Teorema degli zeri
Consideriamo una funzione continua. Supponiamo che e abbiano segno opposto, ovvero
Allora esiste un punto in tale che
L'idea è quella di costruire una successione reale convergente ad un punto che si verifichi essere proprio lo zero della funzione data. Si ponga
, . Poi si definisca . Se allora non c'è più niente da dimostrare. Se invece si
ponga e ; al contrario, se , si ponga e . Al generico passo si ponga induttivamente
. Se non c'è più nulla da dimostrare, se si ponga e , se invece
si ponga e . Risultano così costruite induttivamente le tre successioni , e . Si vede immediatamente che
è nondecrescente, è noncrescente, e nondimeno per ogni (quindi per il teorema delle successioni
monotone e esistono finiti).Si nota poi che , e di conseguenza
.Quindi , cioè . Possiamo allora applicare il
teorema dei carabinieri e concludere che:
.Sia allora tale limite comune. La continuità della funzione ci assicura che
. Nondimeno il fatto che sia chiuso assicura che . D'altra parte, per costruzione induttiva si
ha che . Quindi possiamo applicare il teorema di conservazione delle disuguaglianze ed affermare:
.Quindi , di conseguenza . Siccome poi e non sono zeri di , deve
essere che , come volevamo. Ovviamente il teorema vale anche nell'ipotesi che , basta applicare il procedimento
visto a , sicuri del fatto che gli zeri di sono tutti e soli quelli di
Teorema di weierstrass
Sia una funzione continua, allora assume massimo e minimo assoluti nell'intervallo .
Poniamo e individuiamo una successione , , tale che per . Questa successione
certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che tale che . Per ogni scegliamo
ora tale che . Per il teorema di Bolzano - Weierstrass la succesione ha una sottosuccessione che
converge verso quando . Per la continuità di abbiamo per . D'altra parte
per . Quindi per l'unicità del limite abbiamo , cioè la funzione ha in un massimo assoluto.
Teorema dei valori intermedi
Sia una funzione continua. Sia (o viceversa ). Allora la funzione assume tutti i
valori compresi tra e , ovvero, per ogni tale che (o rispettivamente ),
esiste un punto in tale che . Supponiamo che e consideriamo un valore tale che
.Introduciamo la funzione , continua in . Risulta che e
.Allora possiamo applicare il teorema degli zeri alla funzione , per il quale esiste tale che
, ossia tale che .Del tutto analogo è il caso in cui
Teorema di fermat
Sia una funzione e si supponga che sia un punto di estremo locale di . Se è derivabile nel punto ,
allora .
Si supponga che sia un punto di massimo locale (la dimostrazione si applica anche nel caso in cui sia un minimo). Allora:
Pertanto, per ogni vale la relazione
Dato che il limite di questo rapporto per esiste ed è pari a (limite del rapporto incrementale), allora si può concludere (permanenza
del segno) che . D'altra parte, per si nota che;
di nuovo, il limite per vale , da cui abbiamo .Combinando i risultati ottenuti si può concludere che
Teorema di Lagrange
