TEOREMA DELLA MEDIA
ENUNCIATO
Sia 𝒇:[𝒂,𝒃]→ℝ una funzione continua.
Allora ∃𝒄∈[𝒂,𝒃]:∫𝒇(𝒙) 𝒅𝒙=𝒇(𝒄)∙(𝒃−𝒂)
𝒃
𝒂
𝑓(𝑐) si dice media integrale ed è quindi 𝑓(𝑐)=∫𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
𝒂(𝑏−𝑎)
INTERPRETAZIONE GEOMETRICA
Esisterà un punto 𝒄 per cui l’area della regione di piano sottesa a f sarà uguale all’area del
rettangolo che ha come base l’intervallo [𝒂,𝒃] e come altezza il valore 𝒇(𝒄)
DIMOSTRAZIONE
PRIMO PASSAGGIO
Per ipotesi so che 𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ è una funzione continua e quindi il teorema di Weierstrass
assicura l’esistenza di un minimo e un massimo tra i quali, per il teorema dei valori
intermedi, è compresa la funzione.
𝑚 ≤𝑓(𝑥)≤𝑀 (𝑥∈[𝑎,𝑏])
SECONDO PASSAGGIO
Per la proprietà di monotonia
∫𝑚
𝑏
𝑎𝑑𝑥≤∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥≤∫𝑀
𝑏
𝑎𝑑𝑥
Ma poiché 𝑚 ed 𝑀 sono due costanti posso riscrivere i due integrali in questo modo:
∫𝑚
𝑏
𝑎𝑑𝑥=𝑚∙(𝑏−𝑎) ∫𝑀
𝑏
𝑎𝑑𝑥=𝑀∙(𝑏−𝑎)
Riscrivo la quantità in blu e poi divido per (𝑏−𝑎):
𝑚∙(𝑏−𝑎)
(𝑏−𝑎)≤∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥
(𝑏−𝑎)≤𝑀∙(𝑏−𝑎)
(𝑏−𝑎) 𝑚 ≤∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥
(𝑏−𝑎)≤𝑀
TERZO PASSAGGIO
Per il teorema dei valori intermedi ∃𝑐∈[𝑎,𝑏]:𝑓(𝑐)=∫𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎𝑑𝑥
(𝑏−𝑎)
