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TEOREMA DI LAGRANGE
ENUNCIATO
𝐒𝐢𝐚 𝐟 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚 𝐢𝐧 [𝐚, 𝐛] 𝐞 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐛𝐢𝐥𝐞 𝐢𝐧 (𝐚, 𝐛)
′
SIGNIFICATO 1 DEL TEOREMA
La variazione della funzione f(b) − f(a) determina la natura di un punto stazionario (un
punto di massimo o di minimo, che per il teorema di Fermat è a tangente orizzontale):
- se il punto è di massimo la variazione è negativa
- se il punto è di minimo la variazione è positiva.
La variazione della funzione è legata al segno della derivata e questo si intuisce dalla
formula inversa: 𝑓
′
Ma (𝑏 − 𝑎) è sempre una quantità positiva e quindi il segno di 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) dipende
esclusivamente dalla derivata 𝑓
′
Quindi il teorema di Lagrange lega la natura del punto stazionario al segno della
derivata.
SIGNIFICATO 2 GEOMETRICO DEL TEOREMA
Ricordiamo che f′(c) è il coefficiente angolare della tangente alla funzione (nel generico
punto c), mentre
f
( b
) −f(a)
b−a
è il coefficiente angolare della secante.
Riguardando la tesi del teorema di Lagrange vediamo che eguaglia il coefficiente
angolare della tangente alla funzione al coefficiente angolare della secante.
Ciò significa che c’è almeno un punto, all’interno dell’intervallo, dove la tangente è
parallela alla secante.
DIMOSTRAZIONE
PREFAZIONE ALLA DIMOSTRAZIONE: COSA ANDIAMO A DIMOSTRARE
Pensando all’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange…
Noi cerchiamo un punto in cui la tangente alla funzione sia parallela alla secante;
Quindi, la derivata della funzione (che è il coefficiente angolare della tangente alla
funzione) e la derivata della secante (che è il coefficiente angolare della secante e
coincide con il rapporto incrementale) devono essere uguali. Questo significa che la
differenza delle derivate della funzione e della secante deve essere zero perché le due
derivate sono due quantità uguali.
Dunque, io elaboro la differenza tra la funzione e la secante e tale differenza mi darà
un’ulteriore funzione che chiamerò g, la cui derivata deve essere zero (la derivata della
differenza è la differenza delle derivate).
Se la derivata di g deve essere 0 significa quindi che sto cercando un punto stazionario
di questa funzione g.
N.B. CONSIDERAZIONI UTILI AL PRIMO E SECONDO PASSAGGIO
Si sa che la secante è la seguente funzione: 𝑓(𝑎) +
𝑓
( 𝑏
) −𝑓
( 𝑎
)
𝑏−𝑎
Inoltre il coefficiente angolare della secante e quindi la derivata della secante è il
rapporto incrementale
𝑓
( 𝑏
) −𝑓
( 𝑎
)
𝑏−𝑎
PRIMO PASSAGGIO
Scrivo la funzione-differenza di cui abbiamo appena parlato sopra
− [𝑓
]
FUNZIONE
SECANTE
QUARTO PASSAGGIO
Allora all’interno del nostro intervallo la funzione è derivabile e quindi vale il teorema
di Fermat:
′
Ricordiamo che g
′
c
= f
′
c
f(b)−f(a)
b−a
Quindi se portiamo il rapporto incrementale a destra f
′
c
f(b)−f(a)
b−a
