Teoremi di analisi 1:
Sia A R sia K R
K e maggioranza di A se C A x < k
K è minorante di A se C A x > K
K é massimo di A se K C A e K è maggiorante di A(il minore dei maggioranti = massimo)
K è minimo di A se K C A e K é minorante di A (il maggiore dei minorati = minimo)
K è estremo superiore di A sé è minimo tra i maggioranti di A
Max e Min/SUP e INF
Definizione di funzione: una relazione f tra l’insiemi X e Y è detta funzione di X in Y se per
ogni x C X esiste uno e un solo y C Y tale che (X, Y) C f.
L’insieme X è detto dominio di f l’insieme Y è detto codominio di f
Iniettiva: se ad ogni coppia di elementi X1 e X2 (diversi tra loro) risulta sempre f(X1)
diverso da f(X2)
Suriettiva: se ogni y C Y ha almeno un x C X tale che f(X) = Y
f è crescente in X se per ogni x1, x2 C X risulta f(x1) < f(x2)
f è decrescente in X se per ogni x1,x2 C X risulta f(x1) > f(x2)
osservazione: una funzione strettamente monotona é sicuramente iniettiva
Definizione di funzione continua: una funzione f: X → R si dice continua in x0 se per ogni
intorno V di f(x0) esiste un intorno U di x0 tale che, se x C U X allora f(x) C V
lim f(x) = f(x0)
x → x0
Teorema di unicità del limite: una funzione f: X → R non può tendere a due limiti distinti
per x → x0
Teorema di permanenza del segno: se il limite della funzione per x tende a x0 C R è un
numero positivo (rispettivamente, un numero negativo), allora esiste un intorno di x0, privato
del punto x0, in cui la funzione f assume valori positivi (rispettivamente negativi).
(Segno L = segno f)
Corollario: le funzioni polinomiali sono continue su R. Le funzioni razionali sono continue in
ogni punto dove non si annulla il denominatore.
