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DOMANDE DI TEORIA:
1. Scrivere la definizione di maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo
inferiore per un sottoinsieme di numeri reali.
Maggiorante e minorante:
Sia X un campo ordinato ( X=Q o X=R ), sia Ø ≠ E c X. Si dice che k ϵ X è un maggiorante (minorante) per E se
∀ x ϵ E x ≤ k (x ≥ k).
Massimi e minimi:
Sia X un campo ordinato ( X=Q o X=R ), sia Ø ≠ E c X. M (m) si dice massimo (minimo) se è maggiorante
(minorante) di E ed appartiene all'insieme.
Estremo superiore e estremo inferiore:
Sia X un campo ordinato ( X=Q o X=R ), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo
(minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se ∃). Se E è inferiormente (superiormente) illimitato (cioè se
∀ k ϵ X ∃x ϵ E tale che k < x (k > x)) l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞).
2. Scrivere la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme di numeri reali.
Enunciare la proprietà caratteristica di estremo superiore e estremo inferiore per insieme di numeri reali.
Estremo superiore e estremo inferiore:
Sia X un campo ordinato ( X=Q o X=R ), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo
(minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se ∃). Se E è inferiormente (superiormente) illimitato (cioè se
∀ k ϵ X ∃x ϵ E tale che k < x (k > x)) l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞).
Considerando il sottoinsieme E, m (M) è estremo inferiore (superiore) se e solo se m ≤ x (M ≥ x) ∀ x ϵ E , e
∀ε > 0 ∃ x ε
ϵ E tale che x ε
< (m + ε) (x ε
> (M – ε)).
3. Enunciare il Principio di Induzione. (Facoltativo: esibire un esempio di applicazione)
Principio di induzione:
Sia P(n) una proprietà che dipende da n ϵ N e n 0
ϵ N, supponiamo che:
- P(n 0
) sia vera (passo base).
- ∀n ≥ n 0
si ha: P(n) vera ≥ P(n + 1) vera (passo induttivo).
allora P(n) è vera ∀n ≥ n 0
Esempio:
Dimostrare che ∀n ≥ 1
𝑛(𝑛+ 1 )
2
𝑛
𝑘= 1
} P(n) P(n) <=> 1 + 2 + 3 + 4 … + n =
𝑛(𝑛+ 1 )
2
Per induzione
- Passo base: P(1) è vera?
P(1) <=> 1 = (1*2)/2 = 1 ok!
- Passo induttivo:
Ipotesi:
𝑛
( 𝑛+ 1
)
2
𝑛
𝑘= 1
=> Tesi:
( 𝑛+ 1
) (𝑛+ 1 + 1 )
2
𝑛+ 1
𝑘= 1
𝑛+ 1
𝑘= 1
1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = ∑ 𝑘 + (𝑛 + 1 ) =
𝑛
𝑘= 1
𝑛(𝑛+ 1 )
2
𝑛(𝑛+ 1 )+ 2 (𝑛+ 1 )
2
(𝑛+ 1 )(𝑛+ 2 )
2
Quindi anche P(n+1) è vera.
4. Scrivere la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale. Enunciare la formula del binomio di
Newton.
n! (si legge n fattoriale) rappresenta il numero di permutazioni di n oggetti distinti (cioè il numero di casi in cui
possono essere ordinati).
Il coefficiente binomiale è il numero di sottoinsieme di cardinalità k su n elementi dato 0 ≤ k ≤ n (
𝑛
𝑘
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
Binomio di Newton: (𝑎 + 𝑏)
𝑛
𝑛
𝑘
𝑘
𝑛 𝑛−𝑘
𝑘= 0
a, b numeri reali, n > o. Essa equivale all'elevazione a qualsiasi potenza di un binomio.
5. Scrivere la definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Scrivere la definizione di funzione
inversa. Dato il grafico di una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.
Data una funzione f: X - > Y, f si dice iniettiva se vale una delle seguenti proprietà equivalenti:
, x
2
ϵ X se x
1
≠ x
2
allora f(x
1
) ≠ f(x
2
, x
2
ϵ X se f(x
1
) = f(x
2
) se x
1
= x
2
(y) è o vuoto o contiene solo un elemento.
Data una funzione f: X - > Y, f si dice suriettiva se ∀y ϵ Y ∃ x ϵ X e f(x) =y, cioè f
(y) ≠ Ø ∀y ϵ Y
Data una funzione f: X - > Y, f si dice biettiva se è sia iniettiva sia suriettiva, cioè se ∀y ϵ Y ∃ unico x ϵ X tale che
f(x) = y. Si chiama tale x = f
(y) e f
è la funzione inversa di f equivale a f
: Y - > X.
Dato il grafico di una funzione invertibile, il grafico della sua inversa è simmetrica rispetto alla bisettrice del
primo e del terzo quadrante rispetto alla f.
6. Scrivere la definizione di funzione limitata, funzione monotona, funzione simmetrica e funzione periodica.
Disegnare un grafico ∀ tipo di funzione.
Funzione limitata:
Sia f: D c R - > R, f si dice limitata se l'insieme f(D) è limitato, cioè ∃ m, M tali che: m ≤ f(x) ≤ M ∀x ϵ D.
Funzione monotona:
} diverge a - ∞ se ∀ M > 0, la proprietà P m
(n) = {a n
< - M} è definitivamente vera, in questo caso si scrive
lim
𝑛→+∞
𝑛
} è irregolare quando lim
𝑛→+∞
𝑛
10. Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente, allora
essa è anche limitata. Dire se è vero il viceversa. (in caso contrario, dare un controesempio)
Data {a n
n ϵ N
diremo che essa è limitata se ∃ un minorante m e un maggiorante M tale che m ≤ a
n
≤ M ∀ n, essa
può essere o convergente o irregolare.
Se {a n
n ϵ N
è convergente allora essa è limitata poiché se la successione è convergente sappiamo che il suo
limite è l,
fissiamo ε = 1, allora ∃ n 1
ϵ N tale che l - 1 < a n
< l + 1 ∀ n ≥ n 1
Sia A l'insieme che comprende tutti i punti della successione {a n
} (prima di a
1
) = {a
0
, a
1
, ..., a
n- 1
, l + 1, l - 1 }, A è
un insieme finito quindi ammette massimo (M) e minimo (m). Quindi m ≤ a n
≤ M ∀ n ϵ N.
Il viceversa non è vero, esempio a n
n
11. Enunciare e dimostrare il teorema dell’unicità del limite per le successioni. Se {a n
} è una successione
convergente a l, allora l è unico.
Se {a n
n ϵ N
è una successione convergente a l allora l è unico.
Dimostrazione:
supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti l 1
≠ l
2
(l
1
< l
2
Prendiamo ε < | l 1
2
| /3 in modo che
- I
1
= (l
1
1
- I
2
= (l
2
2
I
1
∩ l
2
= Ø
poiché lim
𝑛→+∞
𝑛
1
, allora ∃ n
1
, tale che ∀n ≥ n
1
, {a
n
} ϵ I
1
poiché lim
𝑛→+∞
𝑛
2
, allora ∃ n 2
, tale che ∀n ≥ n 2
, {a n
} ϵ l 2
∀n > max{n 1
, n 2
}, {a n
} ϵ I 1
e I 2
, cioè {a n
} ϵ l 1
∩ l 2
, ma essa è l'Ø, quindi è assurdo.
12. Scrivere la definizione di successioni monotone. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite delle
successioni monotone.
Data {a n
} una successione, {a
n
} si dice crescente (decrescente) se ∀(n+1) > n, allora a
n
(n+1)≥ a
n
(a
n
(n+1)≤ a
n
Data {a n
} una successione, {an} si dice strettamente crescente (decrescente) se ∀(n+1) > n, allora a
n
(n+1)> a
n
(a n
(n+1)< a
n
Sia {a n
} una successione monotona, allora la successione è regolare. In particolare:
se {a n
} è crescente lim
𝑛→+∞
𝑛
= sup{a
n
tale che n ϵ N}
se {a n
} è decrescente lim
𝑛→+∞
𝑛
= inf{a n
tale che n ϵ N}
Dimostrazione:
Se la successione è monotona crescente l'estremo superiore può essere
∀M > 0 ∃ a nM
tale che a
nM
M, se n > n
M
allora a
n
≥ a
nM
> M
∀M > 0 ∃ n M
tale che a
n
M ∀n ≥ n
M
=> lim
𝑛→+∞
𝑛
- numero finito l
∃ un maggiorante l tale che a n
≤ l
quindi ∀ε > 0 ∃ a nε
tale che l - ε ≤ a nε
se n ≥ n ε
allora a n
≥ a nε
l - ε
quindi l - ε < a nε
≤ a n
≤ l < l + ε ∀n ≥ n ε
lim
𝑛→+∞
𝑛
13. Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma
o del prodotto.
Algebra dei limiti 1
Siano {a n
n ϵ N
e {b n
n ϵ N
due successioni convergenti lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑎 e lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑏 allora:
- lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
- lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
- se b n
≠ 0 e b ≠ 0 lim
𝑛→+∞
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
𝑎
𝑏
Dimostrazione del prodotto:
Ipotesi: lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑎 e lim
𝑛→+∞
𝑛
Tesi: lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
quindi si deve dimostrare che ∀ε > 0 ∃ n ε
tale che | 𝑎
𝑛
𝑛
− 𝑎𝑏 | < ε ∀n ≥ n ε
lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑎 <=> data ε > 0 ∃ n
a
ε
tale che | 𝑎
𝑛
− 𝑎 | ≤ ε ∀n ≥ n
a
ε
lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑏 <=> data ε > 0 ∃ n
b
ε
tale che | 𝑏
𝑛
− 𝑏 | ≤ ε ∀n ≥ n
b
ε
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
siccome {𝑎
𝑛
} è convergente allora {𝑎
𝑛
} è limitata quindi ∃ n > 0 tale che |𝑎
𝑛
| ≤ M
𝑛
𝑛
− 𝑎𝑏 | ≤ M|𝑏
𝑛
𝑛
Si fissa ε > 0
si considera ε 1
ε
2 𝑀
poiché lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑏 ∃ n ε 1
tale che ∀n ≥ n ε
𝑛
ε
2 𝑀
si considera ε 2
ε
2 |𝑏|
poiché lim
𝑛→+∞
𝑛
= 𝑎 ∃ n
ε 2
tale che ∀n ≥ n
ε 2
𝑛
ε
2 |𝑎|
sia n ε
= max{ n
ε 1
, n
ε 2
se n ≥ n ε
𝑛
𝑛
− 𝑎𝑏 | ≤ M|𝑏
𝑛
𝑛
− 𝑎| < M
ε
2 𝑀
ε
2 |𝑏|
= ε
Data {a n
} e {b n
} si ha:
- se lim
𝑛→+∞
𝑛
= + ∞ e {b n
} è inferiormente limitato, allora lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
- se lim
𝑛→+∞
𝑛
= − ∞ e {b n
} è superiormente limitato, allora lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
- se lim
𝑛→+∞
𝑛
= + ∞ (− ∞) e lim
𝑛→+∞
𝑛
= b ≠ 0 , allora lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛
= 𝑠𝑔𝑛(𝑏)∞ ∙ (−sgn(a) ∞)
in particolare a n
--> + ∞ b n
--> + ∞ a n
b n
--> b a n
- se | a n
| --> + ∞ allora
1
𝑎
𝑛
- sia {a n
} infinitesima,
se lim
𝑛→+∞
𝑛
, allora lim
𝑛→+∞
1
𝑎
𝑛
se lim
𝑛→+∞
𝑛
−
, allora lim
𝑛→+∞
1
𝑎 𝑛
(fare esempi di forma indeterminate)
17. Enunciare e dimostrare il Criterio del rapporto per successioni positive.
Criterio del rapporto per successioni positive:
Sia {a n
} una successione con a
n
0, se ∃ lim
𝑛→+∞
𝑎
𝑛+ 1
𝑎 𝑛
= l ϵ R
U {+∞}
allora si ha:
se L < 1 la successione è infinitesima
se L > 1 la successione è infinita
se L = 1 non si può concludere nulla
Dimostrazione:
l ϵ R lim
𝑛→+∞
𝑎 𝑛+ 1
𝑎
𝑛
= l
∀ε > 0 ∃ n’ tale che l – ε <
𝑎
𝑛+ 1
𝑎
𝑛
< l + ε ∀n ≥ n’
caso l < 1
Si fissa ε > 0 in modo che l + ε = q < 1
quindi ∃ n’ tale che l – ε <
𝑎
𝑛+ 1
𝑎 𝑛
< q ∀n ≥ n’
n’ + 1 =>
𝑎 𝑛′+ 1
𝑎
𝑛′
< q => 𝑎
𝑛′+ 1
< a
n’
q
n’ + 2 =>
𝑎 𝑛′+ 2
𝑎
𝑛′
< q => 𝑎
𝑛′+ 2
< a n’+
q < a n’
q q = a n’
q
2
n’ + 3 =>
𝑎
𝑛′+ 3
𝑎
𝑛′
< q => 𝑎
𝑛′+ 3
< a n’+
q < a n’
q
3
quindi ∀k > 0
𝑛′+𝑘
< q
k
𝑛′
con q < 1
lim
𝑘→+∞
𝑘
𝑛′
= 0 lim
𝑘→+∞
𝑛
′
+𝑘
= 0 => lim
𝑛→+∞
𝑛
caso l >
∃ n’ tale che q = l – ε <
𝑎
𝑛+ 1
𝑎 𝑛
< l + ε ∀n ≥ n’
𝑎
𝑛+ 1
𝑎 𝑛
q ∀n ≥ n’
𝑛′+ 1
a n’
q
𝑛′+ 2
a n’+
q = a n’
q
2
𝑛′+𝑘
a n’
q
k
poiché q > 1 => lim
𝑘→+∞
𝑘
𝑛′
quindi per il confronto lim
𝑘→+∞
𝑛
′
+𝑘
= +∞ => lim
𝑛→+∞
𝑛
18. Scrivere la definizione di successioni asintotiche ed enunciarne le principali proprietà; dimostrare
poi almeno una di queste proprietà (a scelta).
Date due successioni {a n
}, {b
n
} sono definite asintotiche a
n
~ b
n
se lim
𝑛→+∞
𝑎
𝑛
𝑏
Proprietà:
- se a n
~ b n
allora {a n
} e {b n
} hanno lo stesso comportamento per n che tende a + ∞, cioè lim
𝑛→+∞
𝑛
∃ e = l
<=> lim
𝑛→+∞
𝑛
∃ e = l
- se a n
~ b n
e b n
~ c n
=> a n
~ c n
- se a n
~ a
n
', b
n
~ b
n
', c
n
~ c
n
𝑎
𝑛
∙ 𝑏
𝑛
𝑐 𝑛
𝑎′
𝑛
∙ 𝑏′
𝑛
𝑐′ 𝑛
Dimostrazione(seconda):
se a n
~ b
n
e b
n
~ c
n
=> a
n
~ c
n
lim
𝑛→+∞
𝑎
𝑛
𝑐 𝑛
= lim
𝑛→+∞
𝑎
𝑛
𝑏 𝑛
𝑏
𝑛
𝑐 𝑛
19. Scrivere la definizione successionale di limite di funzione per x --> c. Scrivere la definizione
topologica di limite di funzione per x --> c, c finito o infinito.
Definizione successionale di limite di funzione per x --> c :
Si dice che lim
𝑥→ 𝑐
= 𝑙 per ogni successione {x n
} di punti di I diversi da c, tale che x n
--> c si ha che f(x n
) --> l
per n --> ∞.
Definizione topologica di limite di funzione per x--> c (c finito e l finito):
Sia x 0
ϵ R ∪ {±∞} e f una funzione definita in un intorno di x
0
escluso al più x
0
, si dirà lim
𝑥→ 𝑥
0
𝑓(𝑥) = 𝑙 ϵ R ∪
{±∞} se per ogni intorno V l
di l esiste un intorno x 0
U
x
tale che f(x) ϵ V l
se x ϵ U x
\ {x 0
se:
- Limite finito al finito: c, l ϵ R
∀ ε > 0 ∃σ > 0 tale che ∀x ≠ c, |x - c| < σ => |f(x) - l|< ε
2 ) Limite infinito al finito: c ϵ R, l = +∞
∀ K > 0 ∃σ > 0 tale che ∀x ≠ c, |x - c| < σ => f(x) > K
funzione composta.
Sia f o g una funzione definita in un intorno di x 0
, escluso al più x 0
, x 0
ϵ R ∪ {±∞} se:
- lim
𝑥→𝑥
0
0
- lim
𝑡→𝑡
0
- se vale:
- g(x) ≠ t
0
per x --> x
0
(∃ un intorno di x
0
V
x
tale che g(x) ≠ t
0
∀x ϵ V
x
\ {x
0
oppure 2. se t 0
= ±∞ o f è continua in t
0
allora esiste il lim
𝑥→𝑥
0
𝑓( 𝑔(𝑥)) ed è uguale ad l
Dimostrazione:
Si deve dimostrare che lim
𝑥→𝑥 0
𝑓( 𝑔(𝑥)) = 𝑙 quindi si deve dimostrare che ∀ {x
n
} con x
n
≠ x
0
x
n
--> x
0
si ha =>
f(g(x)) --> l si fissa {x n
n ϵ N
x
n
≠ x
0
x
n
--> x
0
dalla prima ipotesi: lim
𝑥→𝑥
0
0
=> g(x
n
) --> t
0
dalla seconda ipotesi: lim
𝑡→𝑡
0
= 𝑙 cioè ∀ {t n
} con t n
--> t 0
t n
≠ t 0
si ha f(t n
) --> l
si prende come t n
= g(x n
) e si sa che t n
= g(x n
) --> t 0
=> f(t n
) --> l
se vale la terza ipotesi (1.) g(x) ≠ t 0
quindi t n
= g(x n
) --> t 0
con t n
≠ t 0
=> f(t n
) = f(g(x)) --> l
se vale la terza ipotesi (2.) t 0
= ±∞ => g(x) ≠ t 0
=> si conclude come prima
se f continua in t o
anche g(x
n
) = t
0
f(g(x)) = l quindi lim
𝑛→+∞
24. Dimostrare che
𝒙→𝟎
𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒙
dimostrarne poi almeno una conseguenza.
lim
𝑥→ 0
sin 𝑥
𝑥
premessa: se x < 0 allora
sin(−𝑥)
(−𝑥)
− sin 𝑥
−𝑥
sin 𝑥
𝑥
è funzione pari
quindi possiamo supporre che x > 0 e x <
𝜋
2
considerando che sin(x) < x < tg(x) = sin(x) < x < sin(x)/cos(x)
si dividono tutti i membri per sin(x) > 0 --> 1 < x/sin(x) < 1/cos(x)
il limite del primo membro = 1, il limite del terzo membro = 1 perché cos(0)=1, quindi per il teorema del
confronto anche x/sin(x)-->1 per x-->0.
Conseguenza:
lim
𝑥→ 0
1 −cos 𝑥
𝑥
2
1
2
infatti
1 −cos 𝑥
𝑥
2
1 −cos
2
𝑥
𝑥
2
( 1 +cos 𝑥)
sin 𝑥
𝑥
2
1
cos 𝑥
1
2
25. Dimostrare che
𝒙→𝟎
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒙)
𝒙
e che
𝒙→𝟎
𝒆
𝒙
− 𝟏
𝒙
lim
𝑥→ 0
log( 1 + 𝑥)
𝑥
prendendo in considerazione il limite fondamentale lim
𝑥→±∞
1
𝑥
𝑥
= 𝑒 si aggiunge il logaritmo da
entrambi le parti, ne deriva lim
𝑥→±∞
1
𝑥
𝑥
= log 𝑒, quindi lim
𝑥→±∞
1
𝑥
utilizzando il cambio di variabile, si prende in considerazione y =
1
𝑥
, se 𝑥 → ±∞, 𝑦 → 0
±
, sostituendo ne
deriva che : lim
𝑦→ 0
±
𝑙𝑜𝑔( 1 +𝑦)
𝑦
lim
𝑥→ 0
𝑒
𝑥
− 1
𝑥
considerando che lim
𝑦→ 0
±
𝑙𝑜𝑔( 1 +𝑦)
𝑦
si pone che 𝑦 = 𝑒
𝑥
− 1 , allora 𝑦 → 0 equivale 𝑥 → 0 , e sostituendo si ricava
log(𝑒
𝑥
)
𝑒
𝑥
− 1
𝑥
𝑒
𝑥
− 1
→ 1 𝑠𝑒 𝑥 → 0 scambiando il numeratore e il denominatore ne deriva lo stesso limite.
26. Enunciare e dimostrare il Teorema degli zeri.
Teorema degli zeri:
Sia f: [a, b] --> R continua, con f(a) ∙ f(b) < 0, allora ∃ un punto c ϵ all'intervallo (a, b) tale che f(c) = 0.
Dimostrazione:
Se f è strettamente monotona, allora f è iniettiva, quindi il c è unico.
Si pone a 0
= a e b 0
= b, si prende in considerazione il punto medio del tratto ab: c 1
𝑏 − 𝑎
2
𝑏 0
− 𝑎 0
2
se f(c 1
) = 0 allora si è trovato il c ed è uguale a c
1
se f(c 1
) ≠ 0 allora si deve continuare e sostituire uno dei due estremi (a
1
o b
1
) con c
1
1
) ∙ f(a) > 0 allora a
1
=c
1
e b
1
rimane = b
0
) ∙ f(a) < 0 allora a 1
rimane = a 0
e b 1
=c 1
In ogni caso si trova a 1
, b
1
tali che:
- a 0
≤ a
1
< b a < b
1
≤ b
0
- b 1
1
𝑏 0
− 𝑎 0
2
- f(a 1
) ∙ f(b 1
Ora si considera c 2
𝑏 1
− 𝑎 1
2
) = 0 allora si è trovato il c ed è uguale a c 2
Sia f continua su [a b], allora f ammette massimo e minimo su [a b], cioè esistono x m
, x M
in [a b] e m = f(x m
f(x) ≤ f(x M
) = M ∀x ϵ a [a b]. Allora x m
è il punto di minimo e x M
è punto di massimo.
(fai controesempi)
28. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.
Teorema dei valori intermedi:
Sia f: [a b] --> R continua, siano m = min{f(x) con x ϵ [a b]}, M = max{f(x) con x ϵ [a,b]}. ∀ λ ϵ a [m, M] ∃ un c ϵ a
[a b] tale che f(c) = λ.
Dimostrazione:
per il teorema di Weierstrass ∃ x m
punto di minimo e x M
punto di massimo tale che f(x m
) = m ≤ f(x) ≤ f(x M
) = M
∀ x ϵ [a,b].
Si suppone che x m
< x M
e si considera la funzione g: [x m
, x M
] --> R con x--> f(x) - λ, g è continua perché f è continua,
g(x m
) = f(x m
) - λ = m - λ < 0
g(x M
) = f(x M
) - λ = M - λ > 0
quindi applicando il teorema degli zeri a g si ha che ∃ un c ϵ [x m
, x M
] sottoinsieme di [a, b] tale che g(c) = 0,
quindi g(c) = f(c) - λ = 0 --> f(c) = λ.
29. Scrivere la definizione di asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Caratterizzare gli asintoti obliiqui.
Asintoto verticale:
Sia f definita in un intorno di x 0
escluso x
0
e tale che lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = ±∞ in questo caso si dice che la retta
verticale x = x 0
è asintoto verticale per x-->x 0
Asintoto orizzontale
Sia f definita in un intorno di +∞ (o di - ∞ ), se lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑐 ϵ R, si dice che la retta y = c è asintoto
orizzontale per + ∞ (o - ∞).
Asintoto obliquo
Sia f definita in un intorno di + ∞ (o - ∞), tale che lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = ±∞, si dice che la retta y = mx + q (m ≠ 0,
q ϵ R) è asintoto obliquo per x --> + ∞ (o x --> - ∞). lim
𝑥→+∞
[𝑓
] = 0.
Per trovare i valori di m si calcola lim
𝑥→+∞
𝑓
( 𝑥
)
𝑥
per trovare il valore di q si calcola lim
𝑥→+∞
Una funzione f(x) ammette asintoto obliquo per x --> +∞ se e solo se valgono le seguenti due condizioni:
- Esiste finito lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
- Esiste finito lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑞
30. Enunciare il teorema sulla continuità della funzione inversa.
Sia f: I --> R, con I intervallo, una funzione continua in I. Allora f è invertibile in I se e solo se è strettamente
monotona. In tal caso la sua inversa f
è strettamente monotona e continua.
31. Enunciare il teorema sui limiti destro e sinistro delle funzioni monotone.
Sia f: (a b) --> R una funzione monotona. Allora per ogni c ϵ (a b) esistono i limiti destro e sinistro, per x --> c; ai
due estremi a, b esistono i limiti destro (in a) e sinistro (in b), eventualmente infiniti.
32. Scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto. Spiegare il significato geometrico della
derivata.
Considerando f: (a b) --> R con x 0
ϵ (a, b), f si dice derivabile in x
0
se ∃ finito: lim
𝑥→𝑥 0
𝑓
( 𝑥
) −𝑓
( 𝑥 0
)
𝑥−𝑥
0
0
), tale
limite si chiama derivata di f in x 0
. Compiendo un cambio di variabile h = x – x
0
, x = x
0
0
=> h --> 0
si ottiene 𝑓
′
0
= lim
𝑥→𝑥
0
𝑓
( 𝑥 0
+ℎ
) −𝑓
( 𝑥 0
)
ℎ
𝑓(𝑥
0
+ℎ)−𝑓(𝑥
0
)
ℎ
rappresenta il rapporto incrementale, ovvero il coefficiente angolare, della retta secante la
funzione nel punto (x 0
; f (x
0
)) e (x
0
0
- h)). La retta secante avrà quindi equazione 𝑦 = 𝑓
′
0
𝑓(𝑥
0
+ℎ)−𝑓(𝑥
0
)
ℎ
0
′
0
rappresenta invece il coefficiente angolare della retta tangente al grafico
nel punto (x 0
; f (x
0
)) se esiste. La retta tangente avrà equazione 𝑦 = 𝑓(𝑥
0
′
0
0
33. Scrivere la definizione di funzione continua e di funzione derivabile in un punto. Enunciare e
dimostrare la relazione fra continuità e derivabilità.
Funzione continua in un punto:
Sia f una funzione definita in un intorno di c, f si dice continua in c se lim
𝑥→𝑐
Funzione derivabile in un punto:
Considerando f: (a b) --> R con x 0
ϵ (a, b), f si dice derivabile in x 0
se ∃ finito: lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
0
), tale
limite si chiama derivata di f in x 0
Continuità e derivabilità:
Sia f: (a b) --> R derivabile in x 0
(x 0
ϵ (a b)), allora f è continua in x 0
Dimostrazione:
f è continua se e solo se lim
𝑥→𝑥 0
0
) <=> lim
𝑥→𝑥 0
0
- Si divide e si moltiplica la funzione per (x - x
0
) --> lim
𝑥→𝑥 0
𝑓
( 𝑥
) −𝑓
( 𝑥 0
)
𝑥−𝑥 0
0
= f’(x
0
- Si sa che f(x) = f(x
0
) + f'(x
0
)(x - x
0
) + o(x - x
0
36. Enunciare e dimostrare il teorema di derivazione della funzione composta (regola della catena).
Siano f, g funzioni tali che g o f è definita in un intorno di x 0
. Sia f derivabile in x 0
, e g derivabile in f(x 0
). Allora
g o f è derivabile in x 0
e si ha :
′
0
0
0
Dimostrazione:
definiamo ℎ
𝑔
( 𝑦
) −𝑔(𝑓
( 𝑥 0
) )
𝑦−𝑓(𝑥
0
)
0
′
0
0
poiché g è derivabile in f(x 0
) si ha che h è continua in f(x
0
0
0
0
0
0
quindi lim
𝑥→𝑥
0
𝑔(𝑓(𝑥))−𝑔(𝑓(𝑥
0
))
𝑥−𝑥
0
= lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
0
0
0
0
37. Enunciare e dimostrare il teorema di derivazione della funzione inversa.
Sia f: (a b) --> R derivabile e invertibile e sia g = f
, definita in f((a b)).
Se f è derivabile in x 0
e f'(x
0
) ≠ 0, allora g è derivabile in y
0
= f(x
0
) e 𝑔
′
0
1
𝑓′
( 𝑥 0
)
1
𝑓′(𝑓
− 1
( 𝑦 0
) )
essendo y
0
f(x 0
) e x 0
= g(y 0
) = f
(y 0
Dimostrazione:
Si consideri la funzione f: (a b) --> R
f è derivabile => f è continua e invertibile => f è strettamente monotona => g
è strettamente monotona e
continua.
x 0
--> y
0
= f(x
0
) quindi x
0
= f
(y
0
) = g(y
0
) f’(x
0
Si calcola la derivata della funzione inversa applicando la definizione di derivata usando il limite:
lim
𝑦→𝑦
0
𝑓
( 𝑦
) −𝑓
( 𝑦 0
)
𝑦−𝑦
0
x = g(y)
se x = g(y) allora x = f
(y) --> f(x) = y
se y--> y 0
allora x = g(y) --> g(y
0
) poiché g è continua g(y
0
) = f
(y
0
) = x
0
Sostituendo:
lim
𝑥→𝑥
0
𝑥−𝑥
0
𝑓
( 𝑥
) −𝑓
( 𝑥 0
)
= lim
𝑥→𝑥
0
1
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥 0
1
𝑓′(𝑥 0
)
38. Scrivere la definizione di punto di massimo e minimo relativo e la definizione di punto critico.
Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
Considerando la funzione f: [a b]-->R, x 0
si dice punto di minimo (rispettivamente massimo) locale (o relativo)
se ∃ un intorno di x 0
, cioè se ∃ σ > 0 I = (x o
) (rispettivamente ≤) ∀ x ϵ I = (x o
x 0
- σ). I punti di massimo/minimo locali si chiamano punti di estremo
Si dice punto critico o stazionario per f se f'(x 0
Teorema di Fermat:
Sia f: [a b] --> R, x 0
ϵ (a b). Se x 0
è punto di estremo e f è derivabile in x 0
, allora f'(x 0
) = 0 e quindi è un punto
critico.
Dimostrazione:
prendendo come esempio x 0
punto di massimo relativo (locale):
f(x) ≤ f(x 0
) ∀ x ϵ I
lim
𝑥→𝑥
0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥 0
′
0
) ≤ 0 si sa che tendendo x --> x
0+
allora il denominatore è positivo mentre
essendo x 0
punto di massimo relativo il numeratore è ≤ 0 perché f(x
0
) ≤ f(x)
quindi per il teorema della permanenza del segno 𝑓
′
0
lim
𝑥→𝑥
0
−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
−
′
0
≤ 0 si sa che tendendo x--> x 0 -
allora il denominatore è negativo
mentre essendo x 0
punto di massimo relativo il numeratore è ≤ 0 perché f(x
0
) ≤ f(x)
quindi per il teorema della permanenza del segno 𝑓
−
′
0
se f è derivabile in x 0
allora 𝑓
′
0
′
0
−
′
0
39. Enunciare e dimostrare uno a scelta fra il Teorema di Rolle e il Teorema di Lagrange (o del Valor
Medio).
Sia f: [a b] --> R continua e derivabile in (a b). Allora ∃ c ϵ (a b) tale che 𝑓
′
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
Dimostrazione:
Prendendo in considerazione la funzione ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − ( 𝑓(𝑎) +
𝑓
( 𝑏
) −𝑓
( 𝑎
)
𝑏−𝑎
essendo ( 𝑓
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
) la retta che unisce i due punti della funzione, le cui ascisse sono a e b.
h: [a, b] --> R è continua in [a b] e derivabile in (a b)
h(a) = 0 h(b) = 0
per il teorema di Rolle, essendo uguali le ordinate di due punti di estremo dell'intervallo, ∃ c ϵ (a b) tale che
h'(c) = 0
essendo ℎ′
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
h'(c) = 0 => 𝑓
′
𝑓
( 𝑏
) −𝑓
( 𝑎
)
𝑏−𝑎
40. Caratterizzare le funzioni costanti su un intervallo I.
f: (a b) --> R, derivabile
f è costante <=> f’(x) = 0 ∀ x ϵ (a b)
f si dice convessa in [ab] se ∀ x₁,x₂ in [ab] si ha:
f(x) ≤f(x₁) +
𝑓(𝑥₂)−𝑓(𝑥₁)
𝑥₂−𝑥₁
( x-x₁)
si dice strettamente convessa se vale ” < ”
f(x₁) +
𝑓(𝑥₂)−𝑓(𝑥₁)
𝑥₂−𝑥₁
( x-x₁)→ 𝑅𝐸𝑇𝑇𝐴 𝑃𝐴𝑆𝑆𝐴𝑁𝑇𝐸 𝑃𝐸𝑅 𝑋₁𝐸 𝑋₂
FLESSI
Sia [ab] → IR,x˳ ∈ [ab], f derivabile in x˳ oppure f’̟(x˳) = f’̠(x˳)=±∞
Se Ǝ un intorno destro di x˳, del tipo(x˳,x˳+δ) in cui f e` convessa( risp. Concava) e un intorno sinistro di x˳, del
tipo (x˳-δ,x˳) in cui f e` concava (risp.convessa) allora x˳ si dice p.to di FLESSO per f.
Sia x˳ p.to di flesso allora x˳ e` p.to di estremo per f’ quindi se e1 derivabile due volte in x˳ si f’’(x˳)=0.
TEST di CONVESSITA`
Sia f:(ab)→ 𝑅
x Se f(x) è derivabile in (ab) allora f è convessa(concava) in (ab) ↔ f’ è crescente (decrescente) in (ab)
x Se f(x) è derivabile due volte in (ab) allora f è convessa(concava) in (ab) ↔f’’(x) ≥ 0 (≤ 0 ) ∀ x ∈ (ab)
Strettamente togliendo gli uguali.
43. Enunciare il Teorema di De l’Hopital
Siano f,g definite e derivabili in un intorno di x˳ escluso al piu` x˳, x˳ ∈ a IR U{±∞} con g(x)≠0 e
g’(x) ≠0.
Se:
- lim
𝑥→𝑥
˳ 𝑓
( 𝑥
) = 0 = lim
𝑥→𝑥˳
𝑔(𝑥)
Oppure lim
𝑥→𝑥
˳ 𝑓(𝑥) = ±∞ = lim
𝑥→𝑥˳
𝑔(𝑥)
- Esiste (eventualmente anche ±∞)
lim
𝑥→𝑥˳
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= 𝐿 ∈ 𝐼𝑅𝑈{±∞}
Allora esiste anche
lim
𝑥→𝑥˳
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1
Si applica con le forma indeterminate:
0
0
e
∞
∞
Si applica anche se il limite e` solo limite destro o lim sinistro.
E` importante che lim
𝑥→𝑥˳
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
= ∃ altrimenti non si puo` concludere nulla.
44. Enunciare la formula di Taylor di ordine n con resto (a scelta) nella forma di Peano
o di Lagrange.
Sia f:[ab]→IR ,x˳ ∈ (ab),f derivabile n-volte in x˳, si chiama polinomio di Taylor di grado n, centrato in x˳, il
polinomio:
T̪ ₓₒ(x) = 𝑓(𝑥ₒ) + 𝑓
′
(𝑥ₒ)(𝑥 − 𝑥ₒ) +
𝑓"(𝑥ₒ)
2!
(𝑥 − 𝑥ₒ)
2
𝑓ʿᴺʾ
( 𝑥˳
)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥˳)ᴺ
T̪ ₓₒ(x) = ∑
𝑓ʿᴷʾ
( 𝑥ₒ
)
𝑘!
𝑛
𝑘= 0
(𝑥 − 𝑥ₒ)ᴷ
FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO
T̪ ₓₒ
( x
) = 𝑓
( 𝑥ₒ
)
′
( 𝑥ₒ
)( 𝑥 − 𝑥ₒ
)
𝑓"(𝑥ₒ)
2!
( 𝑥 − 𝑥ₒ
)
2
𝑓ʿᴺʾ(𝑥˳)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥˳)ᴺ + o((x-xₒ)ᴺ)
T̪ ₓₒ
( x
) = ∑
𝑓ʿᴷʾ(𝑥ₒ)
𝑘!
𝑛
𝑘= 0
(𝑥 − 𝑥ₒ)ᴷ+o((x-xₒ)ᴺ)
RESTO DI PEANO :
R̪.ₓₒ(x)= o((x-xₒ)ᴺ) x→xₒ
45. Scrivere la definizione di serie convergente, divergente, irregolare (o
indeterminata). Presentare un esempio per tipo.
SERIE CONVERGENTE
Data la successione {an} chiamiamo successione delle somme parziali n-esime o ridotta n-esima la
successione:
Sn=aₒ+a₁+…..+an
Diremo che la serie numerica
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛
e`:
lim
𝑥→∞
𝑆𝑛 = 𝑆 ∈ 𝐼𝑅
Es:
∑
1
2
𝑛
∞
𝑛= 0
lim
𝑥→∞
𝑆𝑛 = ±∞
Es:
∑ 1
∞
𝑛= 0
lim
𝑥→∞
𝑆𝑛 = ∄
