Teoria analisi matematica 1, Appunti di Analisi Matematica I

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TEORIA ANALISI

MATEMATICA

0

• I - Richiami sull'insieme dei numeri reali Indice
• 1. Estremi di un insieme
• 2. Lo spazio topologico R
• II - Successioni e serie di numeri reali
• 3. Successioni convergenti
• 4. Successioni divergenti
• 5. Successioni monotone
• 6. Sottosuccessioni
• 7. Successioni di Cauchy
• 8. Serie numeriche
• 9. Criteri di convergenza per le serie
• 10. Serie assolutamente convergenti
• 11. Riordinamento di una serie
• 12. Prodotto di Cauchy di due serie
• III - Generalit di una funzione scalare di una variabile reale
• 13. Dominio, codominio e gra co di una funzione
• 14. Estremi di una funzione
• 15. Funzioni monotone
• 16. Limite di una funzione
• 16.1. Limite del tipo limx!x 0 f(x)
• 16.2. Limiti del tipo limx!1 f(x), limx! 1 f(x)
• 16.3. Operazioni con i limiti
• 16.4. Alcune proprieta dei limiti
• 16.5. Alcuni limiti notevoli
• 16.6. Limiti laterali
• 17. In nitesimi ed in niti
• 17.1. In nitesimi
• 17.2. In niti
• 18. Asintoti
• IV - Continuita di una funzione
• 19. Generalit
• 20. Punti di discontinuita
• 21. Funzioni continue in insiemi
• 22. Continuita uniforme
• V - Di erenziabilit di una funzione
• 23. Derivata di una funzione
• 24. Regole di derivazione
• 25. I teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy
• 26. I teoremi di de l'H^opital
• 27. Derivate successive
• 28. Convessita e concavit di una funzione
• VI - La formula di Taylor
• 29. Il polinomio di Taylor
• 30. Formula di Taylor e punti di estremo
• 31. Rappresentazioni del resto
• 32. La formula di Mac Laurin
• VII - Integrabilit di una funzione
• 33. Primitive di una funzione
• 33.1. Integrali di funzioni razionali fratte
• 33.2. Integrali abeliani
• 33.3. Integrali trigonometrici
• 33.4. Integrale di erenziale binomio
• 34. Integrale secondo Riemann
• 35. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
• 36. Integrali e formule di Mac Laurin
• 37. Integrali generalizzati
• 37.1. Gli integrali di Eulero
• 37.2. Integrali generalizzati e serie numeriche
• VIII- I numeri complessi
• 38. La costruzione di C
• 38.1. La forma polare di un numero complesso
• 38.2. Le potenze intere e razionali di un numero complesso
• 38.3. Le soluzioni di un'equazione di secondo grado in C
• 39. Lo spazio metrico C
• 39.1. Successioni e serie di numeri complessi
• 39.2. Il logaritmo e la potenza complessa
• IX - Equazioni di erenziali
• 40. Equazioni di erenziali ordinarie
• 41. Equazioni di erenziali lineari del primo ordine
• 42. L'equazione di erenziale di Bernoulli
• 43. L'equazione di erenziale di Riccati
• 44. Equazioni di erenziali del tipo y = f ax + by + c
• 45. L'equazione di erenziale di Clairaut a 1 x + b 1 y + c
• 46. L'equazione di erenziale di D'Alembert-Lagrange
• 47. L'equazione di erenziale di Manfredi
• 48. Equazioni di erenziali lineari di ordine n 2 a coe cienti costanti
• di erenziale (48.1) a coe cienti costanti 48.1. Metodi per la determinazione di una soluzione per l'equazione
• X - Calcolo approssimato di radici
• 49. Metodi elementari per il calcolo approssimato di radici
• 49.1. Il metodo della \regula falsi"
• 49.2. Il metodo delle approssimazioni successive
• 49.3. Il metodo di Newton
• Appendice

I - Richiami sull'insieme dei numeri reali 5

I - Richiami sull'insieme dei numeri reali

In questo capitolo si introducono i concetti di minimo, di massimo, di estremo inferiore e superiore di un sottoinsieme dei numeri reali R. Si richiama brevemente la topologia euclidea di R e si espongono alcuni risultati per lo piu elementari utili per gli argomenti dei Capitoli successivi.

1. Estremi di un insieme Sia A un sottoinsieme di R non vuoto.

De nizione 1.1. Un elemento m 0 2 A si dice minimo di A se per ogni a 2 A e m 0

a; analogamente, un elemento M 0 2 A si dice massimo di A se per ogni a 2 A e a

M 0. Indicheremo con min A e max A rispettivamente il minimo e il massimo di un sottoinsieme A R. Si dimostra (vedi Appendice) che il minimo ed il massimo di A sono nozioni ben de nite, i.e. se A ammette un minimo (un massimo) allora esso e unico. Dalla de nizione segue che R non ha ne minimo ne massimo.

Osservazione 1.1. Non e detto che un sottoinsieme proprio di R abbia il minimo e il massimo. Ad esempio se si ssano a; b 2 R e si considera l'intervallo A = (a; b), esso non ha ne minimo ne massimo, sebbene sia vero che a < x e x < b per ogni elemento x di A. Infatti a e b non appartengono ad A e dunque non possono essere il minimo e il massimo di A.

De nizione 1.2. Sia A R un sottoinsieme non vuoto. Un elemento m 2 R si dice

un minorante di A se per ogni a 2 A e m a; in modo analogo, un elemento M 2 R

si dice un maggiorante di A se per ogni a 2 A e a M.

E ovvio che R non ha ne minoranti ne maggioranti; invece se ad esempio A = (a;

b), a e b sono rispettivamente un minorante e un maggiorante di A. Si noti che in questo esempio ogni elemento x 2 R con x a e un minorante di A, cos come ogni elemento x 2 R con x b e un maggiorante di A. De nizione 1.3. Un sottoinsieme non vuoto A R si dice limitato inferiormente se esso ammette almeno un minorante; A si dice limitato superiormente se esso ammette almeno un maggiorante.

De nizione 1.4. Un sottoinsieme non vuoto A R limitato inferiormente e superiormente si dice limitato. Un sottoinsieme A R privo o di minoranti o di maggioranti si dice illimitato.

Dalla de nizione R e illimitato.

Gli intervalli (a; b), (a; b], [a; b) e [a; b] sono sottoinsiemi limitati.

Gli intervalli A 1 = (a; +1) e A 2 = [a; +1) sono sottoinsiemi limitati inferiormente ma

non superiormente: notare che l'insieme dei minoranti sia di A 1 che di A 2 e M = fx 2 R j x ag; A 1 non ha minimo mentre A 2 ha minimo (che e a). In ogni caso A 1

e A 2 sono insiemi illimitati. Analogamente gli insiemi B 1 = ( 1; b) e B 2 = ( 1; b] sono limitati superiormente ma non inferiormente: l'insieme dei loro maggioranti

e M

c

= fx 2 R j x bg; B 1 non ha massimo, mentre B 2 ha massimo (che e b).

Anche in questo caso B 1 e B 2 sono insiemi illimitati.

I - Richiami sull'insieme dei numeri reali 7

e (^2) R " 2 1 ii per ogni " , " > 0, esiste a A tale che 0 ) sup A " < a" sup A :

Se A non e limitato inferiormente, si pone

inf A := 1

mentre se A non e limitato superiormente si pone

sup A := +1 : 1 1 ; 1 E ovvio allora che inf R = e sup R = +. Per convenzione si pone inf = + e sup ;

= 1.

2. Lo spazio topologico R

De nizione 2.1. In R si chiama distanza euclidea la funzione d : R R! R de nita da d(x; y) := jx yj ; 8 (x; y) 2 R R :

Dalle proprieta del valore assoluto segue che

1. Per ogni x; y 2 R, d(x; y) 0 e d(x; y) = 0 se e solo se x = y,
2. per ogni x; y 2 R, d(x; y) = d(y; x),
3. per ogni x; y; z 2 R, d(x; y) d(x; z) + d(z; y). L'ultima disuguaglianza si chiama disuguaglianza triangolare.

De nizione 2.2. Sia x 0 2 R. Si chiama intorno (sferico) di centro x 0 e raggio r l'insieme

I(x 0 ; r) = fx 2 R j d(x; x 0 ) < rg ovvero l'insieme

I(x 0 ; r) = fx 2 R : jx x 0 j < rg :

Se A R e un sottoinsieme non vuoto,

De nizione 2.3. Un punto x 0 2 A si dice un punto interno di A se esiste un intorno I(x 0 ; r) per cui sia I(x 0 ; r) A.

L'insieme dei punti interni di un sottoinsieme A si chiama interno di A e si indica

con A. Dalla de nizione e chiaro che A A.

De nizione 2.4. Un sottoinsieme A R si dice aperto se A = ; oppure se ogni punto

x 0 2 A e un punto interno di A.

E ovvio quindi che un sottoinsieme A 6 = ; e aperto se e solo se per ogni x 0^ 2 A

esiste un intorno I(x 0 ; r) per cui sia I(x 0 ; r) A e dunque se e solo se A= A.

Proposizione 2.1. Valgono i seguenti fatti:

a) L'insieme vuoto e R sono aperti. b) L'unione di sottoinsiemi aperti e un sottoinsieme aperto. c) L'intersezione di un numero nito di sottoinsiemi aperti e un sottoinsieme aperto. Dimostrazione. La a) segue immediatamente dalla de nizione e dal fatto che, per

ogni xun 0 2 R, e I(xS 0 i 0 0 ; r) R. Per la b) sia fA 0 i 0 igi2I una famiglia di sottoinsiemi aperti.i 0 0 i 0 i 2 I i Se x 0 (^2) i 2 I Ai allora esiste i 0 2 I tale che x 0 2 Ai 0. Poiche Ai 0 e aperto, esiste

intorno I(x ; r ) tale che I(x ; r ) A. Allora e anche I(x ; r ) S

m

A ,

da cui segue l'asserto. Per la c) siano A 1 ; ; Am un numero nito^ m^ di aperti e sia^ x 0^2 i =1^ Ai.

Allora x 0

che per

2 Ai per ogni i = 1; ; m e poiche questi sono aperti si ha

T

8

ogni i = 1; ; m esiste un intorno I(x 0 ; ri) tale che I(x 0 ; ri) Ai. (^) Si ponga

r 0 = min fr 1 ; ; rmg. chiaro che I(x; r ) I(x ; r ) A , per ogni E allora m 0 0 i i

i = 1; ; m, e pertanto I(x 0 ; r 0 )

T

i =1 Ai. Osservazione 2.1. La c) della proposizione precedente e falsa se si considera l'in- tersezione di in niti sottoinsiemi aperti. Infatti se ad esempio AT n = ( 1=n ; 1), per

n 2 N n f0g, allora (^) n2Nnf 0 g An = [0; 1) che non e aperto: infatti 0 non e un punto interno a [0; 1).

La famiglia di sottoinsiemi aperti di R cos de niti determina una topologia di R

detta la topologia euclidea di R.

De nizione 2.5. Sia A R; un ricoprimento aperto di A e una famiglia fAigi2I di sottoinsiemi aperti di R tale che [ A Ai : i2I

De nizione 2.6. Un sottoinsieme A R si dice chiuso se il suo complementare e aperto.

Proposizione 2.2. Valgono i seguenti fatti:

a) L'insieme vuoto e R sono chiusi. b) L'intersezione di sottoinsiemi chiusi e un sottoinsieme chiuso. c) L'unione di un numero nito di sottoinsiemi chiusi e un sottoinsieme chiu- so. C C (^) degli Dimostrazione. Poiche ; = R , R = ; , la a) e ovvia dalla proprieta (^) C aperti. Per la b) se fAigi 2 I e una famiglia di sottoinsiemi chiusi allora ( (^) i 2 I A i ) = S C C m C m C C 1 m i 2 I Ai ,^ dove^ Ai e un sottoinsieme aperto (perch^ Ai e un^ T sottoi nsieme c hiuso) e l'asserto segue dalla b) della proposizione 2.1. Per la c) se A ; ; A sono sottoinsiemi chiusi allora ( (^) i =

A i

) = (^) i =1 Ai , dove Ai e un insieme aperto e

dunque dalla c) della

proposizione 2.1 segue l'asserto. S T Osservazione 2.2. La c) della proposizione precedente e falsa se si considera l'u-nione di in niti sottoinsiemi chiusi. (^) S

Infatti se An = [1=n ; 1], per n 2 N n f0g, allora (^) n 2Nnf 0 g An = (0; 1] che non e

chiuso (il suo complementare ( 1; 0] [ (1; +1) non e aperto).

De nizione 2.7. Sia A R un sottoinsieme non vuoto. Un punto x 0 2 A si dice

isolato se esiste un intorno I(x 0 ; r) per cui sia I(x 0 ; r) \ A = fx 0 g. Ad esempio N e Z sono costituiti solo da punti isolati.

De nizione 2.8. Sia A R un sottoinsieme non vuoto. Un punto x 0 2 R si dice un

punto di accumulazione per A se per ogni intorno I(x 0 ; r) si ha (I(x 0 ; r)\A)nfx 0 g 6= ;.

Osservazione 2.3. Se x 0 2 R e un punto di accumulazione per A allora ogni intono di x 0 contiene in niti punti di A distinti da x 0. Infatti se per assurdo si assume che esista un intorno I(x 0 ; r) per cui (I(x 0 ; r)\A)n fx 0 g contenga solo un numero nito fa 1 ; amg di punti di A allora, posto r 0 = min

fja 1 x 0 j; ; jam x 0 jg, si ha che I(x 0 ; r 0 ) \ A = fx 0 g e dunque (I(x 0 ; r 0 ) \ A) n fx 0 g = ; che contraddice il fatto che x 0 sia un punto di accumulazione per A. L'insieme dei punti di accumulazione di A si chiama il derivato di A e si indica con

A 0 .

Proposizione 2.3. Un insieme A R e chiuso se e solo se A 0 A.

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Si ha il seguente:

Teorema 2.1 (di Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme limitato e in nito ha almeno un punto di accumulazione.

De nizione 2.12. Un sottoinsieme non vuoto A R si dice compatto se da ogni ricoprimento aperto di A si puo estrarre un sottoricoprimento nito. nito A 1 ; ; Am scelti tra gli Ai tali che A (^) k =1^ Ak.^ S 2 A esiste un numero Cioe se per ogni famiglia di aperti fAigi 2 I per

cui A m i I i 2 R a; b) non e compatto. Esempio 2.1. Per ogni a, b , l'intervallo ( S Infatti la famiglia di aperti

An = (a +

n ; b n ) ; n 2 N n f0g ; costituisce un ricoprimento aperto di (a; b). Tuttavia nessuna scelta di un numero nito di essi basta a ricoprire (a; b). Questo non accade per il chiuso [a; b] perch la famiglia fAngn2Nnf 0 g sopra descritta non e un ricoprimento di [a; b].

Vale il seguente

Teorema 2.2 (di Heine-Borel). I sottoinsiemi compatti di R sono tutti e soli i sottoinsiemi limitati e chiusi.

Sia A R. Un sottoinsieme B A si dice aperto relativamente ad A se esiste un aperto B di R tale che B = B \ A. Un sottoinsieme A R si dice connesso se e vuoto oppure, se A 6= ;, non esistono due sottoinsiemi B e C non vuoti, aperti relativamente ad A tali che A = B [ C e B \ C = ;. Un sottoinsieme che sia connesso ed aperto si chiama regione o dominio (di R). Si dimostra che

Teorema 2.3. I sottoinsiemi non vuoti di R connessi sono tutti e soli gli intervalli.

Osservazione 2.4. Se un sottoinsieme non vuoto A R e connesso allora l'inter- vallo (inf A; sup A) e contenuto in A. Infatti se inf A = a > 1 e sup A = b < +1, dalle proprieta degli estremi di un insieme, per ogni x 2 (a; b) esistono a^0 ; a 00 A tali che a (^) a 0 < x < a^00

b, cioe x 2 (ax

0 x^ x^2 x^ x ; ax 00 ) [ax 0 ; ax 00 ]. Poiche A e connesso (i.e. A e un intervallo), e [a^0 x ; a^00 x^ ] A e dunque x 2 A. Se invece inf A = 1 e sup A = b < + 1 , allora ( ; a 00 per ogni x 2 1 ; b) esistono a^0 x x 2 A tali che a^0 < xx e x < a^00 x b. Ancora e

x 2 [a

0 x; a

00 x] A. In modo analgo si procede se inf A > 1 e sup A = +1, oppure se

inf A = 1 e sup A = +1.

II - Successioni e serie di numeri reali 11

II - Successioni e serie di numeri reali

Il concetto di successione e tra i piu importanti nell'analisi matematica. Esso aiuta ad introdurre e meglio capire il concetto di limite di una funzione (del quale tratteremo piu avanti). Qui si studiano soltanto le successioni di numeri reali e si espongono i risultati piu elementari. Inoltre si accenna brevemente alle serie numeriche reali (ovvero particolari successioni di numeri reali i cui termini sono somme nite di numeri reali) e se ne danno i criteri di convergenza piu semplici ed usati.

3. Successioni convergenti Sia A R un sottoinsieme non vuoto. Si chiama successione a valori in A, o piu semplicemente successione di A,

una funzione a : N! A, dove si indica an := a(n) 2 A.

Brevemente una successione si indica elencando le sue immagini cioe con

fa 0 ; a 1 ; ; an g

oppure piu semplicemente con fangn2N Esempio 3.1. Sono successioni quelle de nite ad esempio da

an = n ; an = ( 1) n ; an =

n 2

n ; n 2 N ; 2

• 1 1 an = (^) n ; an = log n ; n 2 N n f0g :

De nizione 3.1. Sia fan gn2N una successione a valori in A. Si dice che il limite

della successione fangn2N, per n tendente all'in nito, e 2 R e si scrive lim an = n!

se per ogni intorno I(; ") esiste n" 2 N tale che per n 2 N, n > n", sia an 2 I(; "). Questo equivale ad avere che:

8 " > 0 9 n" 2 N tale che 8n 2 N, n > n", =) jan j < ". La de nizione ci dice anche che per ogni " > 0 solo un numero nito di an non appartiene a I(; ").

Esempio 3.2. Ad esempio per le successioni 1 n

2

n n^ N^^0 ;^ n^2 + 1 n N 2 si ha che

2 nf g

lim 1 = 0 ; lim n^2 = 1:

n!1 n n! + 1 n^2 + 1 Infatti per la prima successione, per ogni " > 0 si ha

n 1 =^1 1 n < " s e n > " ;

baster allora prendere n" = [1 ="] + 1, dove [ ] indica la parte intera di un numero 2 reale. Analogamente per la seconda successione si ha n 2^ n+ 1^2 1 1 = n 2 + 1 = n 2 + 1 1 < " se n^2 + 1 > 1 " ;

2 Sia x 2 R. Si chiama parte intera di x il piu grande m 2 Z per cui m x ; si indica m =: [ x ].

II - Successioni e serie di numeri reali 13

Proposizione 3.4. Se an 6= 0 e limn!1 an = , 6= 0, allora f1=angn2N e limitata.

Dimostrazione. Dalla de nizione di limite segue che per " = jj=2 esiste n 2 N

tale che per ogni n 2 N, n > n`, si abbia

j`j

jjanj jjj janj < 2

da cui segue janj > jj=2, cioe 1=janj < 2=jj per n > n`.

Si prenda allora L = max f1=ja 0 j; ; 1=janj; 2=jjg per avere

L ; 8 n 2 N : janj

Teorema 3.1 (della permanenza del segno). Se limn!1 an = con > 0

(rispettivamente ` < 0) allora an > 0 (rispettivamente an < 0) per in niti n 2 N.

Dimostrazione. Si prenda " = jj: esistera n 2 N tale che per n 2 N, n > nsia janj < jj. Se > 0 allora jj = e da jan j < segue an > 0 per ogni n 2 N, n > n. Se invece < 0 allora jj = e da jan j < segue an < 0 per ogni

n 2 N, n > n`.

Osservazione 3.2. Se limn!1 an = con > L (rispettivamente con ` < L) allora an

L (rispettivamente an < L) per in niti n 2 N. Infatti Se e > L per " = L esiste n;L 2 N tale che per n 2 N, n > n;L, sia jan j < L; da questa segue an > L per n 2 N, n > n;L. Se invece < L si ripete il ragionamento per " = L `.

Teorema 3.2 (dei due carabinieri). Siano fangn2N, fbngn2N e fcngn2N tre

successioni a valori in un sottoinsieme non vuoto A R per cui esista n 0 2 N tale

che an bn cn per ogni n 2 N, n n 0. Se limn!1 an = limn!1 cn = ` allora anche limn!

bn = `.

Dimostrazione. Sia I(; ") un qualsiasi intorno di: allora esistono n 0 ", n

00 " 2 N tali che per n 2 N, n > n

0 ", si abbia jan `j < " e per n 2 N, n > n

00 ", si abbia jcn `j < ". Per n > n", con n" = maxfn 0 ; n 0 "; n

00 "g, valgono entrambe le disuguaglianze e percio si avra:

" < an bn cn < + " :

Questo implica jbn j < ", per n > n", cioe che limn!1 bn =.

Rispetto alle operazioni tra successioni convergenti si hanno le seguenti relazioni:

Proposizione 3.5. Siano fangn2N e fbngn2N due successioni convergenti. Allora

a) Per ogni 2 R, limn!1 an = limn!1 an;

b) limn!1(an + bn) = (limn!1 an) + (limn!1 bn);

c) limn!1 anbn = (limn!1 an)(limn!1 bn).

d) Se per ogni n 2 N e bn 6= 0 allora

14

8 lim^ bn ; se (^) nlim^ bn 6 = 0^ ;

nn!1!1 lim^ an! an >>

lim = > (^) ; (^) se lim an = 0; lim bn = 0 ; n > bn

1 n 6 n !1 <> !1!

(^) si presenta nella forma

indeterminata \ 0 = 0 " ; se lim : n an = 0;^ limn bn = 0^ : !1!

Dimostrazione

. Nel caso = 0 la a) e banalmente veri cata perch in tal caso e ovvio che limn!1 an = 0, mentre la successione f an gn2N e la successione nulla

e dunque il suo limite e 0. Sia dunque 2 R, 6= 0 e limn!1 an = `; allora per ogni "

0 esiste n" 2 N, tale che se n > n", si abbia jan `j < "=j j. Per n > n" e:

j an j = j jjanj < " e questo prova la a). Sia limn!1 an = e limn!1 bn =

0

. Allora per ogni " > 0 esiste n

0 " 2 N tale che per n 2 N, n > n 0 ", si abbia jan `j < ". Allo stesso modo esiste n

00 " 2 N tale che per n 2 N, n > n 00 ", si abbia jbn `

0 j < ". Dunque se n" = maxfn 0 "; n

00 "g allora per n 2 N, n > n", si ha:

jan + bn (+

0 )j jan j + jbn

0 j < " + " < 2" ; e

dall'arbitrariet di " si ha l'asserto della b). Si ha anche:

janbn `` 0 j = janbn an` 0

• an0 `` 0 j janbn an 0 j + jan` 0 `` 0 j =

= janjjbn 0 j + j 0 jjan j < (L + j 0 j)"

dove, essendo fangn2N una successione limitata, e janj L, per ogni n 2 N e per qualche costante L 2 R. Dall'arbitrariet di " segue l'asserto della c). Proviamo ora il primo asserto della d). Poiche la successione f1=bngn2N una successione limitata, esiste una costante non negativa M 2 R per cui sia j1=bnj M per ogni n 2 N; allora

an (^) = an

0 bn (^) = an

0 ``

0

• ``

0 bn j

0 jjan j (^) + jjjbn `

0 j bn ^0 bn^0 bn^0 j bn jj^0 j j bn (^) jj ^0 j j `

M jan `j +

j j

jbn^ `^0 j < M 1 +

j j j" : 0 j j 0 j

Dall'arbitrariet di " si ha l'asserto.

4. Successioni divergenti

De nizione 4.1. Una successione fangn2N diverge a +1 o ha limite +1, e si scrive

lim an = + n!

se per ogni K > 0 esiste nK 2 N tale che per ogni n 2 N, n > nK , si abbia an > K.

Una successione diverge a 1 o ha limite 1, e si scrive lim an = 1 n!

se per ogni K > 0 esiste nK 2 N tale che per ogni n 2 N, n > nK , si abbia an < K.

Una successione diverge o ha limite 1, e si scrive lim an = 1 n!

se per ogni K > 0 esiste nK 2 N tale che per ogni n 2 N, n > nK , si abbia janj > K.

8

lim an = +1 e > 0 < (^) n! se> lim an = 1 : e < 0 n! 8 lim an^ = +1 e `< 0 < (^) n!

se> lim an = 1 : e ` > 0 n!

s e ` = 0 :

16

e) Se limn!1 an = +1 e limn!1 bn = 1 allora lim an + bn si presenta nella forma indeterminata \1 1" n!

nlim^ an (^) si presenta nella forma indeterminata \ 1 = 1 ": b !1 n

La dimostrazione e lasciata per esercizio al lettore.

5. Successioni monotone

De nizione 5.1. Una successione fangn2N si dice monotona decrescente (rispet-

tivamente monotona strettamente decrescente) se per ogni n 2 N e an an + (rispettivamente an > an +1 ).

Una successione fangn 2N si dice monotona crescente (rispettivamente monotona

strettamente crescente) se per ogni n 2 N e an an +1 (rispettivamente an < an +1 ).

Esempio 5.1. La successione de nita da an = 1=n e (monotona) strettamente

decrescente, mentre la successione de nita da an = n e (monotona) strettamente

crescente. Fissato m 2 N n f0g, la successione fangn2Nnf 0 g de nita da

a (^) n = (^) >m se m n 2 m

< 1

n se 1 n < m o n > 2 m :

e (monotona) decrescente. Analogamente, ssato m 2 N n f0g la successione

fangn2N data da

an = (^8) >> m 0 se m se n = 0n 2 m

<>

n^ se 1^ n < m^ o^ n >^2 m e (monotona) crescente. > >

Proposizione 5.1. Per ogni successione monotona esiste il limite e si ha:

n

lim a

n

ninff^ a^ ng^ ;^ per fangn^2 N^ decrescente o strettamente decrescente; !1 2 N nlim an = supfang ;^ per fangn 2 N crescente o strettamente crescente: !1 n 2 N Dimostrazione. Sia fangn2N una successione decrescente. Si supponga

dapprima che infn2Nfang = 1; allora la successione non e limitata inferiormente e quindi per ogni K > 0 esiste nK 2 N tale che anK < K. Pertanto per ogni n 2 N,

n > nK , e an anK < K, dunque limn!1 an = 1. Si supponga ora che infn2Nfang = > 1; dalla de nizione di estremo inferiore, comunque si scelga n 2 N e an da cui an > " per ogni " > 0. Siccome + " non e un minorante, esiste n" 2 N tale che an" < + " e per ogni n > n" si ha an an" < + ". Quindi per ogni n > n" e " < an < + ": questo implica che limn! an = `. La dimostrazione e la stessa se la successione e strettamente decrescente, tenuto conto del fatto che stavolta an < am se n > m. In modo analogo si procede se la successione e crescente o strettamente crescente.

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7. Successioni di Cauchy Sia fangn2N A una successione di numeri reali; si dice che fangn2N veri ca alla condizione di Cauchy se (7.1) Per ogni " > 0 esiste n" 2 N tale che per ogni n; m 2 N; n; m > n"; si abbia: jan amj < " :

Una successione che veri ca la (7.1) si dice una successione di Cauchy (in A). Questo equivale anche a dire che per ogni " > 0 esiste n" 2 N tale che per ogni m 2 N e ogni n 2 N, n > n", si abbia jan + m anj < " : Proposizione 7.1. Ogni successione di Cauchy e una successione limitata. Dimostrazione. Dalla condizione di Cauchy (7.1) per " = 1, si ha che esiste n 1 2 N tale che per n; m 2 N, n; m > n 1 , si abbia jan amj < 1. In particolare questo vale per m = n 1 + 1. Ne segue che janj < 1 + jan (^1) +1 j per n 2 N, n > n 1. Se allora si prende L = maxfja 0 j; ; jan 1 j; 1 + jan (^1) +1 jg e janj L per ogni n 2 N.

Ci sono molte successioni di Cauchy: infatti Proposizione 7.2. Ogni successione convergente e una successione di Cauchy. Dimostrazione. Sia fangn2N una successione in un sottoinsieme non vuoto A R. Se limn!1 an = 2 A allora per ogni " > 0 esiste n" 2 N tale che per n, m 2 N, n; m > n", si abbia janj < "=2 e jam j < "=2. Allora jan amj janj + jam `j < " :

Il viceversa in generale non e vero, cioe non e detto che una successione di Cauchy (in un sottoinsieme non vuoto A R) sia una successione convergente (in A). Ad p

esempio, per ogni n 2 N n f0g si scelga qn 2 Q, qn > 0, tale che jqn 2j < 1=n. La successione fqngn2Nnf 0 g cos costruita e una successione in Q di Cauchy perch se per " > 0 e n" = [2="] + 1, allora per n; m 2 N, n; m > n" si ha p p 1 1 " " jqn qmj jqn 2j + jqm 2j < n + m (^) < 2 + 2 = " : Tuttavia fq n g n2N non converge in Q. Si noti invece che, pensata come successione p in R, essa converge (in R) a 2 (e ovviamente e una successione di Cauchy). Proposizione 7.3. In R ogni successione di Cauchy e una successione convergente. Dimostrazione. Sia fangn2N R una successione di Cauchy: essa e limitata. Dal teorema di Weierstrass 6.1, da essa si puo estrarre una sottosuccessione convergente: sia questa fakn gn2N, con limn!1 akn = , 2 R. Dalla condizione di Cauchy (7.1), per ogni "

0 esiste n 0 " 2 N tale che, per n; m 2 N, n; m > n

0 " si abbia jan amj < "=2. Inoltre in corrispondenza a n 0 " esiste n

00 " 2 N tale che, per n 2 N, n > n

00 ", si abbia kn > n

0 ". Dunque per n > maxfn 0 "; n

00 "g si ha jan akn j < "=2. D'altra parte se limn!1 akn = , allora in corrispondenza allo stesso " esiste n 000 " 2 N tale che, per n (^2) N , n > n^000 ", si abbia j ak (^) nj < "=2. Si prenda n (^) " = max (^) f n^0 ; n^00 " " ; n (^000) "g 2 N ;

allora per n 2 N, n > n", si ha " " jan j jan akn j + jaknj < (^2) + 2 = "

e questo implica che la successione fangn2N converge (a `). Il fatto che in R ogni successione di Cauchy sia una successione convergente si esprime dicendo che lo spazio R e completo ovvero, ricorrendo alla funzione distanza

II - Successioni e serie di numeri reali 19

d : R R! R, dicendo che lo spazio (R; d) e uno spazio metrico completo. Si osservi che in R le proposizioni 7.2 e 7.3 si riassumono in un'unica proposizione nota con il nome di criterio di Cauchy, e precisamente

Proposizione 7.4 (criterio di Cauchy). Condizione necessaria e su ciente af-nche

una succesione fangn2N sia convergente in R e che per ogni " > 0 esista n" 2 N

tale che, per ogni n 2 N, n > n" e per ogni m 2 N, si abbia

jan + m anj < " :

Osservazione 7.1. Le successioni permettono di:

Caratterizzare la chiusura di un sottoinsieme A R. Infatti un punto x 0 2 R appartiene alla chiusura A di A se e solo se esiste una successione fangn2N A tale che limn!1 an = x 0. Come conseguenza si ottiene che un sottoinsieme A R e chiuso se e solo se ogni successione fangn2N A convergente (in R), e convergente in A. De nire le potenze di base (solo positiva!) ed esponente reali. Infatti siano a > 1 e 2 R; poiche Q = R, si prova che per ogni n 2 N esiste qn 2 Q tale che jqn j < 1=n, inoltre si puo sempre fare in modo che la successione fqngn2Nnf 0 g cos costruita sia strettamente crescente ed allora = limn!1 qn = supn2Nnf 0 g qn. Dalle proprieta delle potenze, la successione fa

qn gn2Nnf 0 g e strettamente crescente e se m 2 N e tale che < m allora a qn < a m per ogni n 2 N n f0g, dunque esiste nito il limn! a qn

. Se fpngn2N e una qualunque altra successione di razionali (distinta da fqngn2Nnf 0 g) convergente ad si prova che lim apn^ = lim aqn^ : n!1 n! Dunque questo limite non dipende dalla scelta della successione di razionali convergente ad. Pertanto si pone 8 n! a

pn

(^) >lim^1 ;^ se a > 1 ; se 0 < a < 1 (7.2) a < := > ^ a

: dove fpngn2N e una qualunque successione di razionali convergente ad. Si dimostra che per le potenze di base ed esponente reale valgono le stesse proprieta che valgono per le potenze di base reale ed esponente razionale.

De nizione 7.1. Un sottoinsieme non vuoto A R si dice compatto per suc-cessioni

se da ogni successione fangn2N A si puo estrarre una sottosuccessione convergente in A.

Si dimostra che in R i sottoinsiemi compatti per successioni sono tutti e soli i sottoinsiemi compatti.

8. Serie numeriche Sia fangn2N una successione di numeri reali. Per ogni n 2 N si ponga n X

(8.1) sn =^ a 0 +^ a 1 +^ +^ an ovvero^ sn =^ ak : k =

De nizione 8.1. Si chiama serie numerica la coppia (fangn2N; fsngn2N) e si indica con una delle seguenti notazioni

X 1 X an ; an : n =0 n^^0