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Teoria della similitudine, Slide di Sistemi Energetici

Università degli Studi di Firenze (UNIFI)Sistemi Energetici

Slide del corso di Sistemi Energetici 2017/2018 del prof. Bruno Facchini

Tipologia: Slide

2018/2019

Caricato il 25/02/2019

DennyDiM 🇮🇹

4.8

(4)

20 documenti

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Corso: SISTEMI ENERGETICI - Classe: INGEGNERIA INDUSTRIALE, Laurea: INGEGNERIA MECCANICA Pag. 1

Lo scambio energetico negli stadi delle turbomacchine -

Similitudine

Versione: 2.01.00

Ultimo aggiornamento: 15 Marzo 2017

Realizzato da: Fiaschi, C. Carcasci, B. Facchini, D. Bertini

Testi di Riferimento

Lakshminarayana, “Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbomachinery”, Wiley & Sons

–pp.59-64

Dixon, "Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery",

–pp.4-20

Scopri Slide di Sistemi Energetici Università degli Studi di Firenze (UNIFI)

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Anteprima parziale del testo

Scarica Teoria della similitudine e più Slide in PDF di Sistemi Energetici solo su Docsity!

Lo scambio energetico negli stadi delle turbomacchine -

Similitudine

 Versione: 2. 01. 00  Ultimo aggiornamento: 15 Marzo 2017  Realizzato da: Fiaschi, C. Carcasci, B. Facchini, D. Bertini

 Testi di Riferimento

 Lakshminarayana, “Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbomachinery”, Wiley & Sons

pp. 59 - 64  Dixon, "Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery",
pp. 4 - 20

Indice

 Argomenti:

 Analisi dimensionale

 Teorema di Buckingham

 Unità fondamentali

 Determinazione dei gruppi 

 Analisi di flussi comprimibili

 Curve caratteristiche

 Curve caratteristiche per turbina

 Curve caratteristiche per compressore

 Analisi di flussi incomprimibili

 Curve caratteristiche per pompe

Teorema di Buckingham

 Teorema di Buckingham (o teorema ) :

Quando una relazione fra grandezze fisiche è espressa in forma adimensionale, il numero

di grandezze indipendenti che la descrivono si riduce dal valore originale n a n - k , dove k è

il massimo numero di grandezze dimensionalmente indipendenti che possono essere

scelte fra le originali n.

relazione dimensionale relazione adimensionale

G 0 =f(G 1 , G 2 , …, Gn)   0 =g( 1 ,  2 , … ,n-k ) con n > (n-k)

dove G = generica grandezza dimensionale  = generico gruppo adimensionale

 Variabile dipendente G 0

 E' la variabile dipendente del fenomeno fisico considerata

Possono essere anche più di una

 Insieme completo di variabili indipendenti Gi , con i= 1 …n

 Completo: l’insieme deve comprendere tutte le unità di misura fondamentali che necessitano per descrivere il fenomeno fisico (Es.: lunghezza, massa, tempo, temperatura)  Indipendenti: il valore di ciascuna variabile può essere variato arbitrariamente senza influire sul valore delle altre

Unità fondamentali

 Dimensioni e unità fondamentali

 Le dimensioni di una grandezza Gi possono espresse tramite un limitato numero di unità

fondamentali

 Queste sono indicate col simbolo della grandezza racchiuso fra parentesi quadre

Esempio: [Gi]

 La loro scelta risulta arbitraria purché risultino fra esse indipendenti

 Definiscono il sistema di misura a cui si intende riferirsi

 Alcune unità del Sistema Internazionale (S.I.) utilizzate in termofluidodinamica:

 Esempio:

Li Mi ti Ti

G L M t T

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Dimensione Simbolo Dimensione unità Simbolo unità Lunghezza L metro m Massa M chilogrammo Kg Tempo t secondo s Temperatura termodinamica T Kelvin K

Analisi di flussi comprimibili - 1

 Analisi dimensionale per macchina con fluido comprimibile

 Ipotesi di similitudine

 Si considerino due macchine in similitudine geometrica fra loro quando ….

Individuata una lunghezza fondamentale l (ad esempio il diametro della girante D), qualunque altra lunghezza li della stessa macchina (ad esempio, passo circonferenziale della schiera, altezza del vano palare, etc..) può essere rapportata a l
L'insieme delle macchine caratterizzate dagli stessi rapporti l/li rappresenta una famiglia di macchine geometricamente simili
Considerando macchine geometricamente simili fra loro, una sola grandezza geometrica risulta sufficiente ad individuare la geometria dell'intera macchina studiata
E' quindi sufficiente considerare una sola variabile geometrica  Si può passare alla similitudine cinematica introducendo un tempo t (o una velocità angolare) come grandezza fondamentale
si rispettano così i rapporti tra velocità, accelerazioni nelle due macchine  Si può passare alla similitudine dinamica introducendo una massa m (densità ) come grandezza fondamentale
si rispettano così i rapporti tra forze, coppie e potenze nelle due macchine

Analisi di flussi comprimibili - 2

 8 variabili indipendenti

 Variabile geometrica

 Diametro della girante D [m] [L]

 Condizioni operative della macchina

 Densità totale in ingresso  01 [kg/m 3 ] [L- 3 M]  Temperatura totale in ingresso T 01 [K] [T]  Portata in massa m [kg/s] [Mt- 1 ]  Velocità di rotazione dell'albero N [rad/s] [t- 1 ]  Oss: Poiché densità e temperatura variano lungo la macchina, è opportuno indicare in quale punto della stessa tali grandezze vengono considerate

In questo caso si è considerata la sezione di ingresso della macchina (indicata con il pedice 1 )

 Proprietà termodinamiche del fluido

 Costante universale del gas R [J/kg K] [L 2 t- 2 T- 1 ]  Viscosità dinamica  [kg/m s] [L- 1 Mt- 1 ]  Rapporto dei calori specifici  [-] [-]

 Oss: Le grandezze fondamentali necessarie a descrivere le 8 variabili indipendenti sono 4 :

L, M, t, T (similitudine dinamica)

Analisi di flussi comprimibili - 4

 Dal teorema  si ha che si possono determinare (n-k)=( 8 - 4 )= 4 gruppi adimensionali

indipendenti

 A titolo di esempio, consideriamo l'adimensionalizzazione della portata in massa m [kg/s]

Le dimensioni di tale grandezza possono essere espresse in funzione delle 4 indicate precedentemente, ovvero:
Introducendo le unità fondamentali si ha:
Affinché le dimensioni dei due membri dell'espressione siano uguali, devono essere uguali gli esponenti corrispondenti alle varie dimensioni, essendo queste ultime fra loro indipendenti.
Deve pertanto essere risolto il seguente sistema:

    1  01  2  01  3   4    

m  D    T  N

           1  1  3 ^2  3  1 ^4 Mt  L ML  T  t   ^ ^  ^  ^  ^ ^ ^  ^  ^  L^0 M^1  t^1  T^0  L^1 ^3 ^2  M^2  t^4  T^3











 

  



   

1 2

0 3











 



Analisi di flussi comprimibili - 5

 La adimensionalizzazione della portata produce il seguente numero adimensionale,

chiamato Coefficiente di portata :

 Analogamente, dall'adimensionalizzazione di , R e  si ottiene:

         

m  D    T  N



  

 4  

 

2 01 2

ND 

3 RT

ND  

Numero di Reynolds Numero di giri ridotto Rapporto dei calori specifici

Analisi di flussi comprimibili - 7

 Per lo studio delle turbomacchine conviene esprimere diversamente i gruppi

adimensionali trovati

 Ad esempio, per le macchine operanti su gas:

 Legge di stato del gas perfetto P=RT  Trasformazione isoentropica Pv k=costante

 Si modifica l’espressione del gruppo adimensionale:

  2 ND

h0is

 





02 01 01

02 02 01 01

P

T

R

T

h 0is cp T s T cpT s

R/(-1)

T

02s

S

P 02

P 01

compressore

02s

S

T

P 02

P 01

turbina

Trasf. isentropica

Analisi di flussi comprimibili - 8

 Quindi si ottiene il coefficiente di lavoro isentropico (o di carico):

 Il gruppo h 0 is/(ND)^2 risulta pertanto funzione dei seguenti gruppi adimensionali:

(RT 01 )/(ND)^2

P 02 /P 01

 Essendo i primi due fra i gruppi già considerati, si può sostituire h 0 is/(ND)^2 con il semplice rapporto delle pressioni totali P 02 /P 01

    P

P

ND

RT

ND

h0is

02 2



Per lo stesso gas, N, D, T 01 e con P 02 / P 01 >>1 T

02s

S

P 02

P 01

compressore

02s

S

T

P 02

P 01

turbina

Analisi di flussi comprimibili - 10

 Gruppo adimensionale coefficiente di portata :

 Di nuovo, al posto di m/( 01 ND^3 ) si può considerare il gruppo adimensionale indicato  Tale termine viene talvolta indicato con  ed è detto portata ridotta o coefficiente di portata

 

2 01

01 2

01 2 01

01 3 01

01 3 01 P D

m RT

P D

m RT

P ND

mRT

m     

01 ND



p=RT

Proporzionale al coefficiente di lavoro

Analisi di flussi comprimibili - 11

 Considerando i gruppi adimensionali così determinati, si ottengono le seguenti

dipendenze funzionali:

 ovvero ogni gruppo adimensionale dipendente può essere espresso in funzione dei

seguenti parametri:

 portata ridotta

 velocità ridotta

Se espresso come è indicato come numero di Mach di macchina

 numero di Reynolds

 rapporto dei calori specifici

ND / RT 01



 

m RT 01 / P D 01

ND /^2 

RT

ND

P D

m RT

f

T

P

0 01

02 01

2 01 2 01

ND/ RT 01

=/ viscosità cinematica

Curve caratteristiche

 Le curve caratteristiche di una turbomacchina rappresentano le relazioni funzionali

fra i gruppi adimensionali prima definiti.

 Generalmente si ricavano sperimentalmente, anche se possono essere predette per

via teorica; nella pratica si riferiscono ad una macchina con geometria (D) e tipo fluido (R e ) fissati, e si trascurano le variazioni degli effetti dipendenti dal numero di Reynolds

 Le caratteristiche rappresentano l'andamento del rapporto di compressione (o di

espansione) relativo all'intera macchina (P 02 /P 01 ) in funzione della portata ridotta (m(T 01 )^1 /^2 /P 01 ) per diversi valori del numero di giri ridotto (N/(T 01 )^1 /^2 )

 Le curve caratteristiche rappresentano l’elemento di base per la valutazione delle

prestazioni in condizioni di impiego reali di un qualsiasi impianto con turbomacchine.