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Matematica
Vettori : Con Rn si indica il prodotto cartesiano di R moltiplicato per sé stesso n volte. Rn costituisce uno spazio vettoriale, ossia è una struttura algebrica composta da: un campo, i cui elementi sono detti scalari; un insieme, i cui elementi sono detti vettori; due operazioni binarie, dette addizione e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà. Le funzioni reali di n variabili reali associano a ogni elemento di A, sottoinsieme di Rn, un unico numero reale. Gli elementi di Rn sono vettori. Il numero reale xi è detto i-esima componente del vettore x appartenente a Rn. Due vettori sono uguali quando risultano uguali le loro componenti. Operazioni :
- Definiamo somma di x e y l’elemento x+y appartenente a Rn le cui componenti si ottengono sommando le componenti di x e y;
- Per ogni x appartenente a Rn e per ogni numero reale k, definiamo prodotto tra x e k l’elemento kx appartenente a Rn, ottenuto moltiplicando per k ogni componente di x;
- Somma e prodotto soddisfano le proprietà associativa e commutativa e anche la proprietà distributiva;
- Il prodotto interno di x e y è il numero reale dato dalla sommatoria del prodotto tra la componente del vettore x e la corrispondente componente del vettore y;
- Il prodotto interno verifica la proprietà commutativa e la a proprietà distributiva. Definizione : dati m vettori appartenenti a Rn, si dice loro combinazione lineare un qualsiasi vettore x appartenente a Rn ottenuto a partire dagli m vettori assegnati attraverso le operazioni (di somma e di prodotto per un numero reale) che caratterizzano la struttura di spazio vettoriale; il vettore x sarà del tipo: x = k 1 x^1 + k 2 x^2 + … + kmxm^ che è quindi uguale alla sommatoria che va da 1 a m; una combinazione lineare di vettori è una loro somma, in cui ogni vettore viene moltiplicato per un coefficiente k, detto coefficiente o peso della combinazione lineare. Definizione : si chiamano vettori fondamentali di Rn quei vettori che hanno nulle tutte le componenti, tranne una (che è uguale a 1). Definizione : i vettori appartenenti a Rn si dicono linearmente dipendenti quando è possibile esprimerne uno come combinazione lineare degli altri; i vettori si dicono linearmente dipendenti quando esiste una loro combinazione lineare con coefficienti non tutti nulli uguale al vettore nullo. Definizione : i vettori appartenenti a Rn si dicono linearmente indipendenti quando l’unica loro combinazione lineare uguale al vettore nullo ha i coefficienti tutti nulli. Definizione : i vettori appartenenti a Rn costituiscono una base dello spazio vettoriale Rn quando sono linearmente indipendenti e ogni vettore appartenente a Rn può essere espresso come loro combinazione lineare. Definizione : la dimensione dello spazio vettoriale Rn è il numero di vettori che compongono una qualunque sua base, cioè il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in quello spazio, tali che ogni altro vettore di Rn può essere espresso come loro combinazione lineare. Definizione : per qualsiasi x e y appartenenti a Rn, definiamo distanza tra x e y il numero reale (non negativo) d(x,y) dato dalla radice quadrata della sommatoria di (y-x)^2 con i che va da 1 a n. Definizione : la norma di un vettore è la sua distanza dall’origine. Definizione : per qualsiasi x appartenente a Rn, chiamiamo suo intorno (di raggio r) l’insieme N dei punti x, la cui distanza da x0 è minore di r. Definizioni :
- Un punto x0 appartenente a Rn si dice interno al sottoinsieme A di Rn quando appartiene ad A ed esiste un suo intorno contenuto in A;
- Un punto x0 appartenente a Rn si dice esterno al sottoinsieme A di Rn quando non appartiene ad A ed esiste un suo intorno nel quale non ci sono punti di A;
- Un punto x0 appartenente a Rn si dice di frontiera per l’insieme A di Rn quando ogni suo intorno contiene punti sia di A, sia del suo complementare;
- Un punto x0 appartenente a Rn si dice isolato per l’insieme A di Rn quando esiste un suo intorno al quale non appartiene alcun altro elemento di A;
- Un punto x0 appartenente a Rn si dice di accumulazione per l’insieme A di Rn quando in ogni suo punto esistono infiniti punti di A; l’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama insieme derivato di A ed è indicato con A’;
- Un insieme A di Rn si dice aperto quando ogni suo punto è interno;
- Un insieme A di Rn si dice chiuso quando il suo complementare è aperto oppure, equivalentemente, quando contiene tutti i propri punti di accumulazione. Matrice : Una matrice è una tabella di numeri reali; è indicata con una lettera maiuscola, mentre gli elementi al suo interno con lettere minuscole, accompagnate da un doppio indice per precisare la riga e la colonna. L’ordine di una matrice quadrata o la dimensione di una matrice rettangolare è il numero di righe e colonne. Qualora la matrice sia costituita da una sola riga o colonna si parla di vettore riga o vettore colonna; la matrice può essere vista come l’accostamento di più vettori riga o di più vettori colonna. In una matrice quadrata gli elementi aij per i quali i = j, si dicono appartenere alla diagonale principale della matrice. Una matrice quadrata, in cui gli elementi non appartenenti alla diagonale principale sono uguali a 0, si dice matrice diagonale; una matrice diagonale, in cui gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1, è detta matrice identità o matrice unità. Una matrice quadrata, in cui sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale (aij = aji), si dice simmetrica. Calcolo matriciale : le operazioni tra matrici si basano sulle seguenti regole:
- Le operazioni tra matrici sono addizione, moltiplicazione per un numero e prodotto tra matrici;
- Due matrici sono confrontabili quando hanno la stessa dimensione e sono uguali quando ogni elemento della prima è uguale al corrispondente elemento della seconda;
- Due matrici si possono sommare quando hanno la stessa dimensione; il risultato è una matrice della stessa dimensione che si ottiene sommando gli elementi delle due matrici che occupano la stessa posizione;
- Una matrice può sempre essere moltiplicata per un numero reale; per calcolare il prodotto, basta moltiplicare per quel numero ogni altro elemento della matrice;
- Il prodotto tra due matrici A e B (in quest’ordine) è possibile quando il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B; il risultato è data da una matrice C che ha tante righe quante quelle di A e tante colonne quante quelle di B; il generico elementi cij della matrice C si ottiene come somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna di B → sommatoria; il prodotto tra matrici non verifica la proprietà commutativa, ma verifica la proprietà associativa e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Trasposizione : la trasformazione che in una matrice A scambia tra loro ordinatamente le righe con le colonne è detta trasposizione; ne risulta una matrice trasposta di A indicata con AT; le matrici trasposte soddisfano le seguenti proprietà;
- La trasposta della trasposta di A è uguale ad A;
- La trasposta della somma A + B è uguale alla somma delle trasposte;
- La trasposta della matrice moltiplicata per un numero è uguale al prodotto tra quel numero e quella stessa matrice trasposta;
- Sistema crameriano: il teorema di Cramer è applicabile a sistemi lineari Ax = b in cui la matrice dei coefficienti A è quadrata e non singolare e per riportarci a questa situazione occorre rendere crameriano il sistema: o Isolare nella matrice A una sottomatrice quadrata Ar, non singolare, di dimensioni pari al rango r di A; o Trascurare le eventuali equazioni i cui coefficienti non intervengono nella formazione di Ar; o Portare, nelle equazioni rimaste, al secondo membro gli eventuali termini i cui coefficienti non compaiono in Ar;
- Teorema di Cramer : il sistema lineare Ax = b con A matrice quadrata e non singolare ammette la soluzione data da: det Ai/det A, dove Ai^ è la matrice che si ottiene da A sostituendo la colonna dei termini noti al posto della i-esima colonna. Insiemi numerici : Definizione : l’insieme A1 è un sottoinsieme dell’insieme A quando ogni elemento di A1 appartiene anche ad A. A1 è contenuto propriamente in A quando ogni elemento di A1 appartiene ad A, ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene ad A Operazioni :
- Unione : l’unione di due insiemi A e B è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi;
- Intersezione : l’intersezione di due insiemi A e B è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B; gli insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi comuni; unione e intersezione soddisfano la proprietà commutativa, associativa e distributiva;
- Differenza : la differenza tra due insiemi A e B è l’insieme (detto complementare) costituito dagli elementi di A che non appartengono a B;
- Prodotto cartesiano : il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l’insieme delle coppie ordinate (a,b) con a appartenente ad A e b appartenente a B. Insiemi numerici principali : sono:
- N: insieme dei numeri naturali;
- Z: insieme dei numeri interi, anche negativi;
- Q: insieme dei numeri razionali;
- R: insieme dei numeri reali. Q è un insieme denso, nel senso che ci sono infiniti elementi di Q tra due elementi qualsiasi appartenenti a Q; N e Z sono, invece, insieme discreti; Q è denso, ma anche discontinuo: tra due elementi di Q ve ne sono alcuni che non appartengono a Q. Intervallo : l’intervallo di due estremi è l’insieme di tutti i numeri reali compresi tra i due estremi, i quali possono essere compresi nell’intervallo (chiuso) o meno (aperto). Funzione : Definizione : dati due insiemi X e Y, chiamiamo funzione da X a Y un’assegnata corrispondenza che a ogni x appartenente a X associa (al più) un unico y appartenente a Y. L’insieme di partenza X prende il nome di dominio, mentre il suo sottoinsieme A, costituito dai punti da cui partono le frecce, è detto insieme di definizione o di esistenza; l’insieme di arrivo Y è detto codominio e il suo sottoinsieme formato dai valori assunti dalla funzione è detto insieme delle immagini. A ogni elemento di X corrisponde un unico elemento di Y, che è detto immagine di X: x è la variabile indipendente, mentre y è la variabile dipendente. Funzione iniettiva : una funzione si dice iniettiva quando elementi distinti di A hanno in Y immagini distinte. Se per ogni y esiste al più un elemento di A tale che y=f(x). Funzione suriettiva : una funzione si dice suriettiva se per ogni y esiste almeno un elemento di A tale che f(x)=y.
Funzione biiettiva : è una funzione che è sia iniettiva che suriettiva: a ogni elemento y la funzione associa uno e un solo elemento x. Funzione inversa : sia f una funzione iniettiva, la sua inversa è la funzione definita su f(X) e a valori in X, che a ogni y appartenente a f(X) associa la sua controimmagine. Funzione composta : date due funzioni f e g, definite rispettivamente in X e Y: a ogni x appartenente ad A corrisponde, tramute la prima, l’elemento f (x) appartenente a Y il quale a sua volta viene trasformato dalla seconda funzione in g di f di x. E’ detta funzione composta, mediante f e g, la funzione h da X a Z che a ogni x appartenente ad A associa l’elemento g di f di x. Grafico della funzione : è un sottoinsieme del piano cartesiano ed è l’insieme delle coppie ordinate (x, f(x)) appartenenti a R2 tale che x appartiene al dominio. Funzioni crescenti e decrescenti : una funzione è detta crescente in senso stretto quando, per ogni x1, x appartenenti al dominio con x1 < x2, si ha f(x1) < f(x2) (se si ha minore o uguale la funzione è crescente); ragionamento opposto può essere fatto per la funzione decrescente in senso stretto (o decrescente). Funzioni convesse e concave : una funzione è detta strettamente convessa, quando per ogni x1 e x appartenenti a R la corda congiungente i punti (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) sta, in corrispondenza dei punti dell’intervallo chiuso x1,x2, al di sopra del grafico della funzione (o, nel caso di funzione convessa, per lo meno non al di sotto); ragionamento opposto può essere fatto per la funzione concava. Funzioni pari e dispari : una funzione con l’insieme di definizione simmetrico rispetto all’origine, si dice pari quando per ogni x appartenente all’insieme di definizione risulta f(x) = f(-x); il grafico di una funzione pari risulta simmetrico rispetto all’asse y. Una funzione con l’insieme di definizione simmetrico rispetto all’origine si dice dispari quando per ogni x appartenente all’insieme di definizione risulta f(x) = - f(-x); il grafico di una funzione dispari risulta simmetrico rispetto all’origine. Funzioni elementari :
- Lineari : sono rappresentate da una retta di equazione f(x) = mx + q; quando il coefficiente angolare è zero si ha una funzione costante, parallela all’asse x; quando il coefficiente angolare è maggiore di zero la funzione è crescente, quando è minore di zero la funzione è decrescente; due rette sono parallele quando hanno lo stesso m, mentre sono perpendicolari quando il prodotto dei loro m è uguale a - 1; per un punto passano infinite rette e l’equazione del fascio di rette è f(x)= y0 + m(x-x0); per due punti passa un’unica retta, la cui equazione è data da: y = y1 + y2-y1/x2-x1 (x-x1);
- Quadrato : sono rappresentati da parabole di equazione y = ax^2 +bx+c;
- Iperboli : tali funzioni descrivono l’andamento di due funzioni inversamente proporzionali e sono rappresentate da un’iperbole di equazione f(x) = ax+b/cx+d;
- Potenza : è una tipologia di funzione polinomiale del tipo f(x) = xa;
- Esponenziale : una funzione esponenziale di base a è del tipo f(x) = ax; è necessaria la distinzione tra a>1 e 0 < a < 1;
- Logaritmiche : le funzioni del tipo f(x) = log(x) sono definite per x>0;
- Trigonometriche :
- Modulo : sono funzioni che hanno a oggetto un valore assoluto, dunque sono del tipo f(x) = |x|; il valore assoluto di numero x è il numero stesso se x è positivo o nullo, mentre è il suo opposto se x è negativo; è, dunque, una quantità sempre positiva (o nulla). Il modulo di x è uguale a x per x maggiore o uguale a 0 ed è uguale a - x per x minore di 0. Ricerca dei punti di massimo e di minimo e studio di crescenza e decrescenza :
- data una funzione, un punto x0 appartenente al dominio si dice punto di massimo (o di minimo) assoluto per la funzione, quando risulta: f(x0) >= f(x) (oppure minore o uguale per il minimo), per ogni x appartenente al dominio;
- data una funzione, un punto x0 appartenente al dominio si dice punto di massimo (o di minimo) assoluto per la funzione, quando esiste un suo intorno N(x0) tale che: f(x0) >= f(x) (oppure minore o uguale per il minimo), per ogni x appartenente all’intorno;
Punto di accumulazione : un punto a appartenente a R* è di accumulazione per l’insieme A quando ogni suo intorno contiene almeno un punto di A, distinto da a. L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A viene chiamato insieme derivato di A e indicato con A’. Punto isolato : un punto a, appartenente a un insieme A, è detto isolato quando non è di accumulazione per A, ovvero quando esiste un suo intorno al quale non appartiene alcun altro elemento di A. Insieme aperto : un insieme A si dice aperto quando ogni suo punto è interno all’insieme. Insieme chiuso : un insieme A si dice chiuso quando il suo complementare è aperto, ovvero equivalentemente quando contiene tutti i propri punti di accumulazione. L’insieme R* è chiamato sistema ampliato di numeri reali ed è dato dai numeri reali finiti più più e meno infinito. Massimo e minimo : sia A un insieme di numeri reali; un numero reale M si dice massimo di M quando appartiene ad A ed è maggiore o uguale ad a, per ogni a appartenente ad A; si dice minimo quando è minore o uguale ad a. Estremo superiore ed inferiore : sia A un insieme di numeri reali limitato superiormente, tale che esista un numero k appartenente a R maggiore o uguale di tutti gli elementi di A; si dice estremo superiore di A l’elemento S appartenente a R che soddisfa le seguenti proprietà: S è maggiore o uguale ad a per ogni a appartenente ad a e per ogni e>o esiste almeno un elemento a appartenente ad A che è maggiore di S-e ed è minore o uguale a S; l’estremo superiore è il minimo dei maggioranti dell’insieme A. Sia A un insieme di numeri reali limitato inferiormente, tale che esista un numero k appartenente a R minore o uguale di tutti gli elementi di A; si dice estremo inferiore di A l’elemento s appartenente a R che soddisfa le seguenti proprietà: s è minore o uguale ad a per ogni a appartenente ad a e per ogni e>o esiste almeno un elemento a appartenente ad A tale che è maggiore o uguale a s ed è minore s+e; l’estremo superiore è il minimo dei maggioranti dell’insieme A. Successioni Definizione : chiamiamo successione ogni funzione definita in N. Crescente e decrescente. Limiti di successioni : la successione s converge per n che tende a più infinito al valore finito k quando, in corrispondenza a un qualsiasi e>0 è possibile individuare un numero H>0 tale che per ogni n > H si abbia che s appartiene all’intorno di k di semiampiezza e. La successione s diverge, per n che tende a più infinito, a più o meno infinito quando, in corrispondenza a un qualsiasi M>0, è possibile individuare un numero H>0 tale che per ogni n > H si abbia che s > M o s < - M. Limiti Definizione : sia f una funzione e P appartenente ad A’; il limite di f per x che tende a P è uguale a T quando per ogni intorno di T esiste un intorno di P tale che, per ogni x di A appartenente a tale intorno, la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di T. Definizione : sia f con x0 punto di accumulazione per l’insieme A; diciamo che f ammette k come limite, al tendere di x a x0, quando, in corrispondenza a un qualsiasi e>0, è possibile individuare un numero r>0 tale che, per ogni x appartenente all’intorno di x0 di semiampiezza r, con x diverso da x0, si abbia che f(x) appartiene all’intorno di k di semiampiezza e. Definizione : sia f con x0 punto di accumulazione per l’insieme A; diciamo che f ammette più o meno infinito come limite, al tendere di x a x0, quando, in corrispondenza a un qualsiasi M>0, è possibile individuare un numero r>0 tale che, per ogni x appartenente all’intorno di x0 di semiampiezza r, con x diverso da x0, si abbia che f(x) è maggiore di M o minore di - M. Definizione : sia f con A insieme illimitato superiormente o inferiormente; diciamo che f ammette limite finito k al tendere di x a più o meno infinito quando in corrispondenza a un qualsiasi e>0 è possibile individuare un numero H>0 tale che per ogni x maggiore di H o per ogni x minore di - H si abbia che f(x) appartiene all’intorno di k di semiampiezza e.
Definizione : sia f con A insieme illimitato superiormente o inferiormente; diciamo che f ammette limite uguale a più o meno infinito x a più o meno infinito quando in corrispondenza a un qualsiasi M>0 è possibile individuare un numero H>0 tale che per ogni x maggiore di H o per ogni x minore di - H si abbia che f(x) > M o f(x) < - M. Asintoto verticale : sia x uguale a x0 un punto di accumulazione per l’insieme di definizione di una funzione f; quando risulta che il limite della funzione per x che tende a x0 è infinito, il grafico della funzione ha un asintoto verticale di equazione x = x0. Asintoto orizzontale : consideriamo una funzione f definita in un intorno di più o meno infinito; quando il suo limite per x che tende a più o meno infinito risulta finito, diremo che il grafico di f ammette la retta di equazione y = k come asintoto orizzontale. Asintoto obliquo : il grafico di una funzione ammette la retta y=mx + q quale asintoto obliquo se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- esiste, finito e diverso da zero, il limite di f(x)/x per x che tende a infinito;
- esiste finito il limite di f(x) – mx per x che tende a infinito. Limite destro e limite sinistro : sia f con x 0 punto di accumulazione per l’insieme A; diciamo che f ammette k come limite destro al tendere di x a x0 quando, in corrispondenza a un qualsiasi e>0 è possibile individuare un numero r>0 tale che, per ogni x appartenente a (x0, x0+r) si abbia che la f(x) appartiene all’intorno di k di semiampiezza e; discorso analogo può farsi per il limite sinistro (x0-r,x0). Limite per eccesso e per difetto : sia f con A insieme illimitato superiormente; diciamo che f ammette limite finito k per eccesso (o per difetto) al tendere di x a più infinito quando, in corrispondenza a un qualsiasi e>0, è possibile individuare un numero H>0 tale che per ogni x > H si abbia che f(x) appartiene a k (compreso) e k+e (escluso). Teoremi :
- della permanenza del segno : se per x che tende a P la funzione ammette limite positivo o negativo, allora esiste un intorno di P con x diverso da P in cui f è positiva o negativa.
- del confronto : prese tre funzioni f, g e h con P punto di accumulazione per i loro insiemi di definizione; se: o esiste un intorno N di P i cui punti x con x diverso da P soddisfano la doppia limitazione: g(x) minore o uguale a f(x) minore o uguale a h(x); o i limiti di g e di h, per x che tende a P, esistono finiti e sono uguali; allora anche f ammette lo stesso limite per x che tende a P;
- di unicità del limite : se la funzione f ammette limite, per x che tende a P, questo limite è unico;
- dell’esistenza del limite per le funzioni crescenti : consideriamo i punti x appartenenti a un intorno destro N+ di un punto x0 con x diverso da x0; se la funzione f è crescente in N+, allora il suo limite per x che tende a x0 esiste ed è uguale all’estremo inferiore dei valori che f assume nell’intorno considerato. Proprietà dei limiti : siano f e g due funzioni definite su uno stesso insieme A con P appartenente ad A’; il limite per x che tende a P:
- della somma di f e g è uguale alla somma dei limiti di f e g per x che tende a P;
- del prodotto di f e g è uguale al prodotto dei limiti tra f e g per x che tende a P;
- del rapporto tra 1 ed f(x) è uguale a 0 quando f(x) tende a infinito;
- del rapporto tra 1 ed f(x) è uguale a infinito quando f(x) tende a 0 ;
- del rapporto tra f(x) e g(x) è uguale al rapporto dei limiti di f e g per x che tende a p;
- di f(x) elevato a g(x) è uguale al limite di f(x) elevato al limite di g(x); Tali uguaglianze perdono di significato se i limiti formano una delle sette forme di indecisione. Definizione : una funzione si dice infinita per x che tende a P quando il limite tende all’infinito; ordini di infinito: funzioni logaritmiche, funzioni potenza, funzioni esponenziali e incognita esponenziale. Definizione : una funzione f si dice infinitesima per x che tende a P quando il limite di f(x) tende a 0.
Applicazioni delle derivate Teorema di Rolle : se la funzione f soddisfa le seguenti ipotesi:
- È continua nell’intervallo chiuso a,b;
- È derivabile nello stesso intervallo, salvo, eventualmente, gli estremi;
- In corrispondenza dell’intervallo assume lo stesso valore f(a) = f(b); allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo chiuso a,b in cui la derivata f si annulla: f’(c) = 0 → la retta tangente al grafico è orizzontale. Teorema di Lagrange : se la funzione f soddisfa le seguenti ipotesi:
- È continua nell’intervallo chiuso a,b;
- È derivabile nello stesso intervallo, salvo, eventualmente, gli estremi; allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo chiuso a,b in cui è verificata l’uguaglianza: f’(c) = f(b)-f(a)/b-a → il secondo membro dell’equazione non è altro che il coefficiente angolare della secante dei punti A e B con coordinate (a,f(a)) e (b,f(b)); ciò vuol dire che la tangente al punto c e la secante passante per A e B hanno lo stesso coefficiente angolare e quindi sono parallele. Primo corollario del teorema di Lagrange : le funzioni continue nell’intervallo chiuso a,b e che nell’intervallo aperto a,b hanno derivata nulla, sono tutte e sole quelle del tipo f(x)=c; f’(c)=0 → f(x)=c Secondo corollario del teorema di Lagrange : due funzioni f e g, continue nell’intervallo chiuso a,b e derivabili nell’intervallo aperto a,b, hanno derivate uguali per ogni x appartenente all’intervallo aperto a,b se e solo se differiscono per una costante additiva → f’(x) = g’(x) → f (x) = g (x) + c Teoremi di De l’Hopital : tali teoremi permettono di affrontare le forme di indecisioni 0/0 e ∞/∞:
- Primo teorema : se f e g soddisfano le seguenti ipotesi: a. sono derivabili in un intorno di x0 (salvo al più nel punto x0, in cui comunque sono continue) con g(x) diverso da zero e g’(x) diverso da zero, per ogni x diversa da x0 di tale intorno; b. f(x0) = g(x0) = 0; c. esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate per x che tende a x0; allora si ha che il limite di f(x)/g(x) per x che tende a x0 è uguale al limite di f’(x)/g’(x) per x che tende a x0 → tale teorema è relativo alla forma di indecisione 0/0;
- Secondo teorema : se f e g soddisfano le seguenti ipotesi: a. sono derivabili in un intorno di x0 (salvo al più nel punto x0) con g’(x) diverso da zero, per ogni x diversa da x0 di tale intorno; b. il limite di f(x) per x che tende a x0 è uguale al limite di g(x) per x che tende a x0 ed entrambi sono uguali a ∞; c. esiste (finito o infinito) il limite del rapporto delle derivate per x che tende a x0; allora si ha che il limite di f(x)/g(x) per x che tende a x0 è uguale al limite di f’(x)/g’(x) per x che tende a x0 → tale teorema è relativo alla forma di indecisione ∞/∞. Teorema di Taylor : sia f una funzione derivabile n volte in un punto x0 appartenente al dominio. Per ogni punto x0 + h appartenente al dominio, in un intorno di x0,vale lo sviluppo del polinomio di Taylor, dove o rappresenta una quantità che tende a 0 più velocemente di ciò che vi è all’interno della parentesi. Teorema di Taylor-Lagrange : Forme di indecisione nel calcolo dei limiti :
Anti-derivata e integrale Definizione : data la funzione f, chiamiamo sua anti-derivata (o sua primitiva) in un intervallo I una funzione F tale che, per ogni x appartenente a I, risulta: F’(x)=f(x). Tuttavia, una funzione f, che in un intervallo I ammette una anti-derivata, ne ammette infinite della forma F(x)+c. Definizione : si chiama integrale indefinito di una funzione f in un intervallo I l’insieme delle sue anti- derivate (o delle sue primitive). Integrazione per parti : siano u e v due funzioni continue, dotate di derivata continua. Vale allora l’uguaglianza dell’integrazione per parti. La funzione u prende il nome di fattore finito, mentre la funzione v’ prende il nome di fattore differenziale. Integrazione per sostituzione. Definizione : la funzione limitata f è integrabile nell’intervallo limitato e chiuso a,b quando l’estremo superiore della classe delle somme inferiori e l’estremo inferiore delle somme superiori coincidono: → sup s = inf S. Il numero reale che esprime il valore comune di sup s e inf S viene detto integrale definito di f, esteso da a a b, e indicato con il simbolo matematico dell’integrale definito. a è l’estremo inferiore di integrazione e b quello superiore; f è la funzione integranda e x è la variabile d’integrazione. Significato geometrico : l’integrale definito di una funzione definisce e rappresenta l’area della regione di piano delimitata dall’asse x e dal grafico di f, compresa tra le rette verticali di equazione x = a e x = b. L’area della regione compresa tra il grafico di f, l’asse x e le rette di equazione x = a e x = b è espressa da un numero positivo o negativo a seconda che il grafico di f sia al di sopra o al di sotto dell’asse x o, più in generale, a seconda della compensazione tra superfici positive e negative e della loro preponderanza; qualora l’integrale di una funzione diversa da 0 sia uguale a 0, vuol dire che le superficie positive e negative si compensano esattamente. Proprietà :
- Il valore dell’integrale definito da a ad a è uguale a 0;
- Quando si invertono gli estremi di integrazione si cambia il segno dell’integrale definito;
- Se k è una costante all’interno dell’integrale, si può portare fuori dall’integrale;
- Il valore assoluto di un integrale è minore o uguale dell’integrale del valore assoluto della funzione integranda;
- Se un integrale è definito da a a b, può essere separato in due integrali definiti da a a c e da c a b, per ogni c che appartiene all’intervallo chiuso e limitato a,b;
- Qualora all’interno dell’integrale vi sia una somma di funzioni, le funzioni possono essere separate in diversi integrali sommati tra loro;
- Se la funzione è maggiore o uguale a zero, per ogni x appartenente all’intervallo chiuso e limitato a,b, allora l’integrale definito è maggiore o uguale a zero;
sufficiente, quando si deriva rispetto a una variabile, considerare l’altra come costante. Nelle funzioni a due variabili, la derivabilità non implica la continuità. Significato geometrico delle derivate parziali : il significato geometrico della derivata parziale rispetto a x è rappresentato dal coefficiente angolare della retta tangente nel punto (x0,y0) alla curva z=f(x,y0) che risulta dall’intersezione tra la superficie z=f(x,y) e il piano verticale y=y0; ragionamento analogo può essere fatto per la derivata parziale rispetto a y. Funzione composta : si parla di funzione composta o di funzione di funzione quando in una funzione f(x,y)=z le variabili x e y dipendono da una terza variabile t Teorema di Dini: sia data l’equazione f(x,y) = 0 e un punto (x0,y0) che la soddisfa: f(x0,y0) = 0. Se sono verificate le seguenti ipotesi: a. f è continua, insieme alle sue derivate parziali prime in un intorno di (x0,y0); b. f’ di y (x0,y0) è diversa da zero; allora esiste un’unica funzione y = g(x) definita con continuità dall’equazione f(x,y) = 0, in un intorno del punto x0. Il suo diagramma passa per il punto (x0,y0): g(x0) = y0. La funzione y = g(x) risulta anche derivabile con derivata continua e il valore della sua derivata nel punto x0 è dato dal rapporto negativo tra la derivata parziale rispetto a x e la derivata parziale rispetto a y, entrambe nel punto (x0,y0). Definizione massimo e minimo assoluto : da una funzione a due variabili, un punto (x0,y0) appartenente all’insieme di definizione si dice di massimo o minimo assoluto per f quando risulta che f(x,y) è minore o maggiore di f(x0,y0) per ogni x,y. Definizione massimo e minimo relativo : da una funzione a due variabili, un punto (x0,y0) appartenente all’insieme di definizione si dice di massimo o minimo relativo per f quando esiste un suo intorno N per cui risulta che f(x,y) è minore o maggiore di f(x0,y0) per ogni x,y appartenente all’intorno N. Teorema : sia f una funzione derivabile e sia A (insieme di definizione) un insieme aperto. Se il punto (x0,y0) è un punto di massimo o di minimo relativo per f, allora necessariamente in tal punto devono annullarsi entrambe le derivate parziali prime di f. Calcolo degli estremanti : i punti che soddisfano il sistema che impone entrambe le derivate parziali uguali a zero vengono chiamati punti stazionari e possono essere punti estremanti, ma è necessario svolgere ulteriori indagini per decidere la loro natura → sia (x0,y0) un punto stazionario; è necessario calcolare le quattro derivate parziali seconde, che formano la matrice hessiana:
- se il determinante della matrice è minore di zero, il punto non è un estremante, ma è un punto di sella;
- se il determinante della matrice è uguale a zero è un caso dubbio;
- se il determinante della matrice è maggiore di zero si deve considerare l’elemento in alto a sinistra della matrice: o se è positivo, allora il punto è un minimo relativo; o se è negativo, allora il punto è un massimo relativo. Teorema e moltiplicatori di Lagrange : consideriamo la ricerca degli estremanti relativi della funzione z=f(x,y) con il vincolo g(x,y)=0. Se il punto (x0,y0) è un estremante relativo vincolato e le funzioni f e g sono derivabili con le derivate parziali continue, allora esiste necessariamente un numero reale λ 0 (detto moltiplicatore di Lagrange) tale che (x0,y0, λ 0 ) è un punto stazionario per la funzione lagrangiana L(x,y, λ) = f (x,y) – λ g(x,y), ovvero ne annulla tutte le derivate parziali. Il valore del moltiplicatore di Lagrange, associato a un punto estremante vincolato, indica la misura dell’effetto che una variazione marginale del vincolo esercita sul valore ottimale della funzione obiettivo. Teorema di Weierstrass : una funzione continua su un insieme chiuso e limitato assume in tale insieme valore massimo e valore minimo.
