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ANALISI MATEMATICA L-B, 2005-06.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
- Equazioni del primo ordine
- Introduzione Una equazione differenziale del primo ordine nella funzione incognita y(x) `e una equazione y′(x) = f (x, y(x))
con f (x, y) una assegnata funzione continua di due variabili, f : A → R, A insieme aperto non vuoto di R^2. Una soluzione e una funzione y(x) di classe C^1 della variabile x, de- finita in un intervallo reale I tale che (x, y(x)) ∈ A per ogni x ∈ I e tale che y′(x) = f (x, y(x)) per ogni x ∈ I. Si puo dimostrare che l’ipotesi di continuita della funzione f (x, y)e sufficiente per l’esistenza di infinite soluzioni. Una soluzione si dice massimale se `e definita in un intervallo I tale che non esiste una soluzione prolungamento di y(x) ad un intervallo J che contiene I strettamente. Salvo diverso avviso, nominando soluzioni intenderemo soluzioni massimali. Spesso scriveremo y′^ = f (x, y)
sottintendendo la variabile x in y(x) ed y′(x). Una rappresentazione di tutte le soluzioni viene chiamata integrale generale dell’equazione.
Esempio 1.1. Il piu semplice esempio di equazione differenzialee dato attraverso funzioni continue f dipendenti solo da x ∈ I, I intervallo reale: y′^ = f (x).
Si tratta del problema gi`a risolto nel primo corso di Analisi delle primi- tive di funzioni continue. Fissato un qualunque x 0 ∈ I, tutte le infinite soluzioni sono rappresentate da
y(x) = c +
∫ (^) x
x 0
f (t)dt
con c ∈ R costante arbitraria, per il teorema fondamentale del calcolo. Se si considera la condizione iniziale y(x 0 ) = y 0 con y 0 valore asse- gnato, allora la costante c viene univocamente determinata: c = y 0. Questa situazione sara quella generale, sotto opportune ipotesi di re- golarita di f (x, y), le soluzioni di una equazione del primo ordine sono 1
infinite, dipendenti da un parametro reale c. Assegnando una condizio- ne iniziale, si determina una unica soluzione massimale che la soddisfa determinando univocamente c.
Esempio 1.2. Il modello matematico del decadimento radioattivo e fornito da una equazione differenziale nella variabile y(x) numero di isotopi radioattivi al tempo x. Infatti, sperimentalmente si osserva che la variazione relativa (rapporto incrementale) nell’intervallo di tempo [x, x + ∆x]e proporzionale ad y(x):
y(x + ∆x) − y(x) ∆x
= −αy(x),
con α > 0 una costante dipendente dal materiale. Per ∆x → 0 si ottiene l’equazione y′^ = −αy.
Moltiplicando per eαx^ l’equazione
y′^ + αy = 0,
si ottiene y′(x)eαx^ + αy(x)eαx^ = 0
che possiamo scrivere nella forma
d dx
(y(x)eαx) = 0.
Avendo derivata nulla su un intervallo, la funzione y(x)eαx^ `e costante:
y(x)eαx^ = c.
Data una soluzione, necessariamente
y(x) = ce−αx.
Viceversa, ogni funzione di questo tipo e una soluzione. Ponendo x = 0 si ottiene c = y(0), la quantita iniziale di materiale radioattivo. Cono- scendo y(0) e misurando y(x), si pu`o determinare il tempo trascorso x:
x =
α
log
y(0) y(x)
Esempio 1.3. L’equazione
y′^ = − 2 xy^2
ha per soluzione la funzione nulla. Per y(x) 6 = 0 per x ∈ I, si ha
−
y′(x) y^2
= 2x
Cenno di dimostrazione. Diamo lo schema della dimostrazione per- che fornisce un modo per approssimare la soluzione. Per prima cosa, dal teorema fondamentale del calcolo, l’esistenza ed unicita della so- luzione del problema di Cauchy equivale alla esistenza di una unica soluzione continua della equazione integrale
y(x) = y 0 +
∫ (^) x
x 0
f (t, y(t))dt.
Si osservi che una soluzione continua e in realta di classe C^1. Per l’unicit`a, consideriamo due soluzioni ya, yb nell’intervallo [x 0 , x 0 +δ], δ > 0, e valutiamone la differenza valutando
‖ya − yb‖ = sup x 0 ≤x≤x 0 +δ
|ya(x) − yb(x)|.
Abbiamo
|ya(x) − yb(x)| =
∫ (^) x
x 0
(f (t, ya(t)) − f (t, yb(t))) dt
∫ (^) x 0 +δ
x 0
|f (t, ya(t)) − f (t, yb(t))| dt =
∫ (^) x 0 +δ
x 0
|fy(t, c)| · |ya(t) − yb(t)|dt
con c tra ya(t) e yb(t) per il teorema del valor medio di Lagrange. La funzione fy e continua, quindie limitata sugli insiemi limitati e chiusi. Esiste una contante L > 0 tale che |fy(t, c)| ≤ L per (t, c) in un rettangolo limitato e chiuso centrato in (x 0 , y 0 ). Ne segue
|ya(x) − yb(x)| ≤
∫ (^) x 0 +δ
x 0
L|ya(t) − yb(t)|dt
∫ (^) x 0 +δ
x 0
L‖ya − yb‖dt = Lδ‖ya − yb‖
per tutti gli x ∈ [x 0 , x 0 + δ], quindi passando all’estremo superiore anche a primo membro,
‖ya − yb‖ ≤ Lδ‖ya − yb‖.
Se si stringe l’intervallo in maniera che
Lδ < 1 ,
allora necessariamente
‖ya − yb‖ = 0
che significa ya(x) = yb(x), x 0 ≤ x ≤ x 0 + δ.
Allo stesso modo si prova che le due soluzioni devono coincidere nell’in- tervallo [x 0 −δ, x 0 ]. Si puo poi ragionare alla stessa maniera sostituendo x 0 con x 0 ± δ e y 0 con y(x 0 ± δ) e provare che la soluzione massimale, se esiste,e unica. Per provare l’esistenza di una soluzione dell’equazione integrale, si definisce la successione di funzioni yn(x), n ≥ 0, data da
y 0 (x) = y 0 ,
funzione costante, e
yn+1(x) = y 0 +
∫ (^) x
x 0
f (t, yn(t))dt, n ≥ 0.
Se yn(x) ha per limite una funzione continua y(x), allora non `e difficile dimostrare che anche ∫ (^) x
x 0
f (t, yn(t))dt →
∫ (^) x
x 0
f (t, y(t))dt,
quindi y(x) `e una soluzione dell’equazione integrale passando al limite in entrambi i membri dell’uguaglianza che definisce yn+1. Per provare che yn converge, si scrive yn come serie telescopica yn = y 0 + (y 1 − y 0 ) + (y 2 − y 1 ) +... + (yn− 1 − yn− 2 ) + (yn − yn− 1 )
e si prova che tale serie
y 0 +
∑^ ∞
k=
(yk+1(x) − yk(x))
converge per ogni x ∈ [x 0 , x 0 + δ]. Ragionando come fatto sopra con ya − yb, si ottiene
‖yk+1 − yk‖ ≤ Lδ‖yk − yk− 1 ‖, k ≥ 0 ,
da cui per induzione
‖yk+1 − yk‖ ≤ (Lδ)k‖y 1 − y 0 ‖.
La serie che rappresenta yn(x) converge per ogni x ∈ [x 0 , x 0 + δ] per confronto con la serie geometrica
∑^ ∞
k=
(Lδ)k, 0 < Lδ < 1.
Si prova poi che la somma y(x) `e una funzione continua, quindi effet- tivamente una soluzione dell’equazione integrale, e la si prolunga allo stesso modo fin quando possibile, ottenendo una soluzione massimale.
sono entrambe soluzioni, come subito si verifica. In realt`a le soluzioni sono infinite: tutte le funzioni del tipo
y(x) =
(x − a)^3 x < a
0 a ≤ x ≤ b
(x − b)^3 x > b
con a ≤ 0 ≤ b, sono soluzioni. Si noti che la funzione 3
y^2 non e di classe C^1 in alcun intorno del valore iniziale y 0 = 0. La sola continuita del secondo membro assicura l’esistenza di soluzio- ni del problema di Cauchy ma, in generale, non l’unicita. Le soluzioni assumono valori compresi tra quelli assunti da due soluzioni particola- ri, dette integrale inferiore ed integrale superiore. Quando l’integrale inferiore e superiore coincidono, si ha unicita. Nell’esempio precedente, l’integrale inferiore yi e superiore ys, sono
yi(x) =
x^3 x < 0
0 x ≥ 0
, ys(x) =
0 x ≤ 0
x^3 x > 0
- Equazioni lineari del primo ordine Solo per alcune classi particolari di equazioni, si conosce un procedi- mento risolutivo che porta ad una rappresentazione analitica delle so- luzioni. La prima di queste classi che vediamo,
e quella della equazioni lineari del primo ordine y′^ = a(x)y + b(x), con a, b : I → R funzioni continue in I. La funzione f = a(x)y + b(x)e continua cosı come loe fy = a(x): sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza e unicit`a della soluzione del problema di Cauchy. Scritta l’equazione nella forma y′^ − a(x)y = b(x)
e denotata Ly = y′^ − a(x)y l’operazione sulla funzione y di classe C^1 , si ha che L `e lineare: L(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 Ly 1 + c 2 Ly 2 per ogni coppia di costanti c 1 , c 2 e di funzioni y 1 , y 2. Questo giustifica il nome della classe di equazioni.
Sia A(x) =
a(x)dx
una fissata primitiva di a(x) e moltiplichiamo l’uguaglianza y′^ −a(x)y = b(x) per la funzione e−A(x). L’uguaglianza y′(x)e−A(x)^ − a(x)e−A(x)y(x) = b(x)e−A(x) che si ottiene, si pu`o scrivere d dx
y(x)e−A(x)
= b(x)e−A(x).
Indicata con (^) ∫ b(x)e−A(x)dx
una fissata primitiva della funzione nota a secondo membro, abbiamo
y(x)e−A(x)^ =
b(x)e−A(x)dx + c
con c costante reale arbitraria, da cui la formula dell’integrale generale
y = ceA(x)^ + eA(x)
b(x)e−A(x)dx, x ∈ I.
Una condizione iniziale y(x 0 ) = y 0 porta a determinare univocamente c, determinando cos`ı l’unica soluzione del problema di Cauchy.
Osservazione 1.7. Tutte le soluzioni sono globali, cioe sono definite in tutto l’intervallo I dove sono definiti e continui i coefficienti a(x), b(x). Questa proprieta discende dalla linearit`a dell’equazione.
Osservazione 1.8. L’integrale generale della equazione omogenea y′^ = a(x)y
`e y = ceA(x), mentre eA(x)^
b(x)e−A(x)dx e una particolare soluzione dell’equazio- ne completa (quella con c = 0). L’integrale generale della equazione completa ha quindi la struttura (integrale generale omogenea)+(soluzione particolare). L’integrale generale dell’omogeneae uno spazio vettoriale di dimensione 1 di funzioni, generato dalla funzione eA(x). La dimensione e pari all’or- dine dell’equazione. L’insieme delle soluzioni dell’equazione completae quindi uno spazio affine (spazio vettoriale traslato). Ritroveremo questa struttura per equazioni lineari di ogni ordine.
- Equazioni del secondo ordine riconducibili ad equazioni lineari del primo ordine Una equazione del secondo ordine del tipo
y′′^ = a(x)y′^ + b(x)
con a, b : I → R continue, si riconduce ad una equazione lineare del primo ordine
z′^ = a(x)z + b(x)
nell’incognita
z = y′.
Trovato l’integrale generale in z(x) dipendente da una costante arbi- traria c 1 , si passa alle primitive
y(x) =
z(x)dx + c 2.
L’integrale generale in y(x) viene a dipendere dalle due costanti arbi- trarie c 1 , c 2. Esse vengono univocamente determinate da condizioni iniziali y(x 0 ) = y 0 , y′(x 0 ) = y 1.
Il problema di Cauchy del secondo ordine
y′′^ = a(x)y′^ + b(x), y(x 0 ) = y 0 , y′(x 0 ) = y 1 ,
ha una unica soluzione definita su tutto I.
Esempio 1.10. Risolviamo il problema di Cauchy
y′′^ = y′^ + 1, y(0) = y′(0) = 0.
Posto z′^ = y nell’equazione, si ottiene
z′^ = z + 1, x ∈ R.
Come primitiva del coefficiente a(x) = 1, prendiamo A(x) = x ed applichiamo la formula risolutiva
z = c 1 ex^ + ex
1 · e−xdx = c 1 ex^ + ex^ · (−e−x) = c 1 ex^ − 1.
A questo punto, si pu`o determinare subito la costante c 1 dalla con- dizione iniziale z(0) = y′(0) = 0, poi integrare z =
y(x)dx + c 2 e determinare la costante di integrazione c 2 con la condizione ini- ziale y(0) = 0. Se invece vogliamo dare anche l’integrale generale dell’equazione assegnata, integriamo con c 1 arbitraria:
z =
y(x)dx =
(c 1 ex^ − 1)dx = c 1 ex^ − x + c 2 , x ∈ R.
Imponendo nell’integrale generale le condizioni iniziali y(0) = 0, y′(0) = 0, si ottiene c 1 + c 2 = 0, c 1 − 1 = 0,
da cui c 1 = 1, c 2 = − 1.
L’unica soluzione del problema di Cauchy `e
y = ex^ − x − 1 , x ∈ R.
- Equazioni di Bernoulli Un altro tipo di equazioni riconducibili ad equazioni lineari del primo ordine, `e quello di Bernoulli
y′^ = a(x)y + b(x)yα,
a, b : I → R continue, con α 6 = 0 e α 6 = 1 altrimenti l’equazione e gia lineare. Nel caso α > 0, una soluzione `e la funzione identicamente nulla. Supponiamo y 6 = 0 e moltiplichiamo per y−α. L’equazione
y′y−α^ = a(x)y^1 −α^ + b(x)
ottenuta, si scrive
1 1 − α
d dx
(y^1 −α) = a(x)y^1 −α^ + b(x).
Ci siamo ricondotti alla equazione lineare
z′^ = (1 − α)a(x)z + (1 − α)b(x)
nell’incognita z = y^1 −α.
Risolta questa, y = z^1 /(1−α)
fornisce l’integrale generale dell’equazione data. Le funzioni z(x) sono definite sull’intero intervallo I ma questo non `e vero in generale per y = z^1 /(1−α). Le soluzioni y sono definite in intervalli dove z^1 /(1−α)^ ha significato e definisce funzioni di classe C^1.
Esempio 1.11. Determiniamo l’integrale generale dell’equazione
y′^ = y + xy^2.
I coefficienti a(x) = 1 e b(x) = x sono definiti e continui su tutto R. Una soluzione `e la funzione nulla su tutto R, le altre si trovano dividendo per y^2. Si ottiene
y′y−^2 = y−^1 + x,
Se h′(y) e definita e continua, allora questae l’unica soluzione. In caso contrario, ci possono essere altre soluzioni, come visto nell’esempio
y′^ = 3 3
y^2 , y(0) = 0.
Per h(y 0 ) 6 = 0, la sola continuita di h(y) e g(x)e sufficiente ad assicurare esistenza ed unicit`a per questo tipo di problema di Cauchy. Infatti, da h(y(x 0 )) = h(y 0 ) 6 = 0, segue h(y(x)) 6 = 0 per tutti gli x in un intorno di x 0. Dividendo l’equazione per h(y(x)), otteniamo
y′(x) h(y(x))
= g(x).
Consideriamo una primitiva fissata H(y) =
1 /h(y)dy della funzione 1 /h(y) in un intorno di y 0. L’equazione si scrive
d dx
H(y(x)) = g(x)
da cui
H(y) = G(x) + c
con G(x) =
g(x)dx una primitiva fissata. Si lascia c costante arbi- traria se si devono rappresentare soluzioni non costanti dell’integrale generale dell’equazione, mentre, per risolvre il problema di Cauchy, si impone la condizione iniziale ottenendo per c il valore
c 0 = H(y 0 ) − G(x 0 ).
La funzione H(y) ha derivata continua e non nulla H′(y) = 1/h(y) quindi e strettamente monotona nell’intervallo di definizione, percio invertibile. L’unica soluzione del problema di Cauchy `e
y = H−^1 (G(x) + c 0 )
definita nel pi`u grande intervallo contenente x 0 dove tale espressione definisce una funzione di classe C^1. Diamo un procedimento formale per ricordare il modo precedente di determinare le soluzioni non costanti. Scritta l’equazione nella forma
dy dx
= h(y)g(x),
si divide per h(y) e si moltiplica per dx (questo non `e un passag- gio algebrico ma solo un passaggio simbolico), ottenendo l’uguaglianza formale 1 h(y)
dy = g(x)dx.
Ora si integra ciascun membro rispetto alla propria variabile arrivando alla rappresentazione sopra ottenuta
H(y) = G(x) + c
delle soluzioni.
Esempio 1.12. Risolviamo il problema
y′^ =
x(y^2 − 1) 2 y
, y(0) = y 0
nei due casi y 0 = −1 e y 0 = − 1 /2. Si tratta di una equazione a variabili separabili y′^ = h(y)g(x) con, ad esempio, h(y) = (y^2 − 1)/ 2 y, g(x) = x. Dal momento che h′(y) e definita e continua per tutti gli y 6 = 0, ogni problema di Cauchy per questa equazione ha una unica soluzione. L’equazionee anche di Bernoulli in quanto si pu`o scrivere y′^ =
x 2
y −
x 2
y−^1.
Lasciamo questo secondo metodo risolutivo al lettore. Tornando alle variabili separabili, nel caso y 0 = −1, si ha h(y 0 ) = 0 quindi il problema ha per soluzione la funzione costante y(x) = −1.Per la regolarita vista di h(y), questae l’unica soluzione. Il suo dominio e R visto che la funzione g(x) = xe definita e continua ovunque. Nel caso y 0 = − 1 /2, si ha h(y 0 ) 6 = 0. Si separano le variabili ottenendo (^) ∫ 2 y y^2 − 1
dy =
xdx,
da cui
log |y^2 − 1 | =
x^2 2
Imponendo la condizione iniziale si ha
c = log
∣ = log
∣ = log
Il segno di y^2 −1 `e negativo nel punto iniziale, quindi permane negativo in tutto il dominio massimale. Questo porta a
log(1 − y^2 ) =
x^2 2
da cui
1 − y^2 = ex
(^2) /2+log 3/ 4 = ex
(^2) / 2 · elog 3/^4 =
e
x 22 .
Infine da
y^2 = 1 −
e
x 22
quindi ci siamo ricondotti ad una equazione a variabili separabili. De- terminato l’integrale generale z(x) di questa, l’integrale generale della equazione data `e fornito da y(x) = xz(z). Nel caso si abbia una condizione iniziale y(x 0 ) = y 0 ,
con x 0 6 = 0 per avere significato, la condizione iniziale per la funzione z(x) diventa
z(x 0 ) =
y(x 0 ) x 0
y 0 x 0
Esempio 1.13. Consideriamo il problema di Cauchy
y′^ =
x^2 + y^2 xy
, y(−2) = − 1.
Il secondo membro dell’equazione e il quoziente di due polinomi omo- genei nelle variabili x, y, entrambe non nulle. In questi casi, dividen- do per x elevato al grado di omogeneita, l’equazione assume la forma y′^ = f (y/x). Nel caso in questione, basta scrivere
x^2 + y^2 xy
x^2 xy
y^2 xy
x y
y x
e l’equazione diventa
y′^ =
x y
y x
dove il secondo membro dipende solo dal rapporto y/x. Ponendo
z(x) =
y(x) x
, y(x) = xz(x), y′(x) = z(x) + xz′(x),
il problema dato si riduce a
z + xz′^ =
z
y(−2) − 2
cio`e dz dx
x
z
, z(−2) =
problema a variabili separabili. La funzione 1/z non si annulla quindi l’equazione non ha soluzioni costanti. Separando le variabili si ottiene ∫ zdz =
x
dx,
da cui z^2 2
= log |x| + c,
dove log |x| = log(−x) in quanto x varia in un intervallo che contiene il punto iniziale x 0 = −2 e che non contiene x = 0, quindi in un intervallo completamente contenuto nella semiretta dei reali negativi. Imponendo la condizione iniziale z(−2) = 12 , si ottiene
1 8
= log 2 + c,
quindi
c =
− log 2.
Ne segue
z^2 = log
x^2 4
, x < 0 ,
che porta a considerare
z = ±
log
x^2 4
L’unica soluzione del problema nella variabile z `e data da
z =
log
x^2 4
tenendo ancora conto della condizione iniziale z(−2) = 1/2 (l’altra soluzione dell’equazione soddisfa la condizione iniziale z(−2) = − 1 /2). Oltre alla condizione gi`a introdotta x < 0, il dominio si determina imponendo anche
log
x^2 4
L’espressione trovata definisce una funzione anche quando l’argomento della radice si annulla ma l’equazione perde di significato per z = 0, in ogni caso in tali punti x l’espressione trovata non definisce una funzione derivabile. Abbiamo
2 log
|x| 2
da cui |x| > 2 e−^1 /^8.
Dovendo essere x < 0, si ottiene
x < − 2 e−^1 /^8
come dominio massimale. Si noti che l’intervallo ottenuto contiene il punto iniziale x 0 = −2. Tornando al problema dato nella incognita y = xz, abbiamo la soluzione
y = x
log
x^2 4
, x < − 2 e−^1 /^8.
Al problema di Cauchy per questo sistema nel vettore incognito Y , del tipo
Y ′^ = A(x)Y + B(x)
con A(x) matrice di funzioni continue in I e B(x) vettore colonna con componenti continue in I, si applicano argomenti simili a quelli visti nel problema per una sola equazione scalare del primo ordine y′^ = a(x)y + b(x).
- Spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea Consideriamo per prima l’equazione omogenea. Ricordiamo che l’in- sieme di tutte le funzioni definite su un medesimo intervallo I ed a valori reali `e uno spazio vettoriale, con le naturali operazioni di som- ma tra funzioni e di moltiplicazione di una costante per una funzione. Lineare indipendenza per un sistema di n funzioni f 1 ,... , fn significa, denotando con c 1 ,... , cn delle costanti,
c 1 f 1 (x) +... + cnfn(x) = 0 ∀x ∈ I =⇒ c 1 =... = cn = 0.
Teorema 2.2. Sia
y′′^ + a 1 (x)y′^ + a 2 (x)y = 0
una equazione omogenea con coefficienti a 1 , a 2 definiti e continui nel- l’intervallo reale I e siano y 1 , y 2 due soluzioni linearmente indipendenti. Allora l’integrale generale dell’equazione `e rappresentato da
y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)
con c 1 , c 2 costanti arbitrarie. In particolare, l’insieme di tutte le solu- zioni `e uno spazio vettoriale di dimensione 2.
Dimostrazione. Che l’insieme delle soluzioni sia uno spazio vettoriale segue immediatamente dalla linearita dell’equazione. Infattie imme- diato verificare che ogni combinazione lineare di soluzioni e a sua volta una soluzione. Dobbiamo provare che la dimensionee pari a 2. Dalla teoria degli spazi vettoriali, sappiamo che `e sufficiente esibire una base con 2 elementi per concludere che una qualunque coppia di soluzioni linearmente indipendenti genera l’intero spazio. Fissiamo un punto x 0 ∈ I e consideriamo la soluzione y 1 con dati iniziali y 1 (x 0 ) = 1, y 1 ′(x 0 ) = 0, e la soluzione y 2 con dati iniziali y 2 (x 0 ) = 0, y 2 ′(x 0 ) = 1. Sia poi y una qualunque soluzione e denotiamo
α 0 = y(x 0 ), α 1 = y′(x 0 )
i suoi valori iniziali. Il sistema nelle incognite c 1 , c 2
y 1 (x 0 )c 1 + y 2 (x 0 )c 2 = α 0
y′ 1 (x 0 )c 1 + y′ 2 (x 0 )c 2 = α 1
ha l’unica evidente soluzione c 1 = α 0 , c 2 = α 1 per come sono stati scelti i dati iniziali di y 1 e y 2. Siano c 1 e c 2 le soluzioni di tale sistema e consideriamo le due soluzioni della equazione differenziale
y(x), c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x).
Per costruzione entrambe risolvono il problema di Cauchy con gli stessi valori iniziali α 0 , α 1 nello stesso punto x 0. Per l’unicit`a della soluzione si ha
y(x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x)
identicamente per ogni x ∈ I, come si voleva dimostrare.
- Wronskiano Il problema di trovare l’integrale generale di una equazione lineare omo- genea del secondo ordine
e stato ridotto a trovare 2 soluzioni linear- mente indipendenti. Situazione analoga si ha per equazioni omogenee di ordine n > 2, dove lo spazio vettoriale delle soluzioni ha dimensione n ede quindi generato da n soluzioni linearmente indipendenti. Mentre nel caso di due soluzioni la lineare indipendenza e semplice da verificare, basta infatti controllare che non si abbiano due funzioni con rapporto costante, nel caso generale la verifica diretta none sempre agevole. Anticipiamo fin dal caso n = 2 uno strumento per riconoscere la lineare indipendenza di n soluzioni y 1 ,... , yn. Si tratta di calcolare il determinante
W (x) =
y 1 (x)... yn(x) y 1 ′(x)... y′ n(x) .. .
y( 1 n −1)(x)... y( nn −1)(x)
detto wronskiano.
Teorema 2.3. (Del wronskiano) Siano y 1 e y 2 due soluzioni della equazione lineare omogenea del secondo ordine
y′′^ + a 1 (x)y′^ + a 2 (x)y = 0
