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Capitolo 1
L’insieme dei numeri complessi
1.1 Introduzione ai numeri complessi
Definizione 1.1.1 Assegnata una coppia ordinata (a, b) di numeri reali si definisce numero complesso l’espressione
z = a + ιb.
I numeri a e b sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z e sono indicati con i simboli
a = ℜe z b = ℑm z.
I numeri con parte immaginaria nulla possono essere identificati con i numeri reali e percio si scrive semplicemente a e non a + ι0. I numeri con parte reale nulla sono detti immaginari puri e si scrivono semplicemente ιb invece che 0 + ιb; in particolare il numero 0 + ι1 si indica semplicemente con ι ede detto unit`a immaginaria. Due numeri complessi a + ιb e c + ιd sono uguali se e solo se a = c e b = d. Nell’insieme dei numeri complessi si possono introdurre le operazioni di somma e di prodotto tramite la seguente definizione.
Definizione 1.1.2 Dati due numeri complessi a + ιb e c + ιd, la loro somma `e il numero complesso (a + c) + ι(b + d),
mentre il loro prodotto `e il numero complesso
(ac − bd) + ι(ad + bc).
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 2
La somma e il prodotto cosı definiti godono delle proprieta associativa e commutativa. Osserviamo che, posto z = a + ιb e 0 = 0 + ι0, risulta
z + 0 = (a + ιb) + (0 + ι0) = a + ιb = z
per cui 0 ha le stesse proprieta formali dell’insieme dei reali, ovvero di essere elemento neutro per la somma. Per ogni numero complesso z = a + ιbe possibile definire l’opposto come
−z = −a − ιb
tale che z + (−z) = 0. La differenza tra due numeri complessi si definisce come la somma dell’opposto, infatti
(a + ιb) − (c + ιd) = (a + ιb) + (−c − ιd) = a − c + ι(b − d).
E facile vedere dalla definizione di prodotto che il numero complesso 1 +^ ι 0e elemento neutro per il prodotto. Assegnato z = a + ιb si definisce coniugato di z il numero z = a − ιb, e che si puo indicare anche con z∗. Inoltre se z 6 = 0 si puo definire il reciproco 1 /z come il numero x + ιy tale che
z ·
z
Deve essere
(a + ιb)(x + ιy) = 1 ⇒
ax − by = 1
bx + ay = 0
⇒ x =
a a^2 + b^2
; y =
−b a^2 + b^2
Dunque 1 z
a a^2 + b^2
−b a^2 + b^2
In pratica 1/z puo essere ottenuto cosı
1 z
a + ιb
a − ιb (a + ιb)(a − ιb)
a a^2 + b^2
− ι
b a^2 + b^2
L’insieme dei numeri complessi munito delle operazioni di somma e prodotto `e indicato con C. Osservazione. Dalla definizione di prodotto risulta
ι^2 = ι ι = (0 + ι1)(0 + ι1) = − 1.
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 4
- tan θ = b/a.
In definitiva z pu`o essere scritto in questo modo
z = |z| (cos(arg(z)) + ι sin(arg(z))).
Osservazione. La rappresentazione in forma trigonometrica di un numero complesso non fornisce una corrispondenza biunivoca tra la coppia (|z|, arg(z)) e i punti del piano complesso. L’origine del piano complesso corrisponde in- fatti alle (infinite) coppie della forma (0, θ) indipendentemente dal valore di θ. Se assumiamo |z| 6 = 0 notiamo che un punto del piano complesso individua sia la coppia (|z|, θ) che la coppia del tipo (|z|, θ + 2kπ). Il modulo di un numero complesso soddisfa le seguenti propriet`a:
- |z| ≥ 0 per ogni z ∈ C e |z| = 0 se e solo se z = 0;
- |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | per ogni z 1 , z 2 ∈ C;
- |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | per ogni z 1 , z 2 ∈ C.
L’argomento di un numero complesso soddisfa le seguenti propriet`a:
- arg(z 1 z 2 ) =arg(z 1 )+arg(z 2 ) per ogni z 1 , z 2 ∈ C;
- arg(z 1 /z 2 ) =arg(z 1 )−arg(z 2 ) per ogni z 1 , z 2 ∈ C.
Il numero complesso z = z∗, coniugato di z = a + ιb, `e legato alla parte reale, immaginaria e modulo di z dalle seguenti relazioni:
- ℜez = (z + z∗)/2;
- ℑmz = (z − z∗)/(2ι);
- |z|^2 = zz∗.
Inoltre
- (z 1 + z 2 )∗^ = z∗ 1 + z 2 ∗ ;
- (z 1 z 2 )∗^ = z 1 ∗ z 2 ∗.
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 5
Formula di De Moivre
Posto z = ρ(cos θ + ι sin θ) dalla formula del prodotto `e facile dedurre che, per n = 1, 2 ,... : zn^ = ρn(cos nθ + ι sin nθ).
Infatti per n = 1 la relazione `e banalmente verificata. Assumendola vera per un certo n proviamola per n + 1.
zn+1^ = zn^ · z = znρ(cos θ + ι sin θ) =
= ρn(cos nθ + ι sin nθ)ρ(cos θ + ι sin θ) =
= ρn+1(cos nθ cos θ − sin nθ sin θ + ι(sin nθ cos θ + cos nθ sin θ)) =
= ρn+1(cos(n + 1)θ + ι sin(n + 1)θ)).
Radici n-esime di un numero complesso
Assegnato w ∈ C si vogliono determinare tutti i numeri z ∈ C tali che
zn^ = w.
Tali numeri sono detti radici n-esime di w. Proviamo che ogni numero complesso ammette esattamente n radici distinte e diamo una formula per calcolarle. Posto w = r(cos φ + ι sin φ)
e z = ρ(cos θ + ι sin θ)
l’equazione zn^ = w si scrive
ρn(cos nθ + ι sin nθ) = r(cos φ + ι sin φ).
Ricordando che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e argomenti che differiscono per un multiplo di 2π abbiamo
ρn^ = r
e nθ = φ + 2kπ
ricavando allora ρ = n
r
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 7
Dalla definizione di prodotto si ha:
z 1 z 2 = cos(θ + φ) + ι sin(θ + φ)
|z 1 z 2 | = 1
arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ).
Notiamo che la moltiplicazione di z 1 e z 2 si traduce in una somma (quella degli argomenti) e in particolare per φ = −θ si ha
z 1 z 2 = 1.
Questo comportamento `e analogo a quello della funzione esponenziale reale. Infatti eaeb^ = ea+b, eae−a^ = 1.
Questa analogia formale suggerisce di introdurre una rappresentazione del numero complesso di modulo 1 che faccia intervenire l’esponenziale del suo ar- gomento. Ovviamente non si tratter`a di esponenziali reali in quanto bisogna rappresentare numeri complessi. Queste considerazioni motivano, seppure in modo intuitivo, l’introduzione della formula di Eulero:
eιθ^ = cos θ + ι sin θ
per la rappresentazione di numeri complessi di modulo 1. Sia ora z un generi- co numero complesso espresso nella forma z = x+ιy. Considerando l’analogia formale con gli esponenziali reali imponiamo che l’esponenziale di una somma sia il prodotto degli esponenziali, cio`e
ez^ = ex+ιy^ = exeιy.
Questa relazione, insieme alla formula di Eulero, pone la seguente definizione di esponenziale di un numero complesso:
ez^ = ex+ιy^ = ex(cos y + ι sin y). (1.1)
Da questa si deducono le seguenti propriet`a:
- ℜeez^ = ex^ cos y;
- ℑmez^ = ex^ sin y;
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 8
- |ez^ | = ex;
- arg(ez^ ) = y.
Utilizzando la (1.1) `e facile provare che per l’esponenziale complesso valgono le stesse regole dell’esponenziale reale:
- ez+w^ = ez^ ew, per ogni z, w ∈ C;
- (ez^ )w^ = ezw.
Non e possibile estendere al campo complesso la proprieta di stretta positivita di cui gode l’esponenziale reale, pero `e possibile provare che
ez^6 = 0 ∀z ∈ C.
Infatti se esite un numero complesso z 0 = x 0 + ιy 0 tale che ez^0 = 0 dovrebbe essere (^)
ex^0 cos y 0 = 0
ex^0 sin y 0 = 0
cos y 0 = 0
sin y 0 = 0
e cioe assurdo. La definizione di esponenziale complesso ha per`o una con- seguenza imprevedibile se si considera l’analogia con la funzione esponenziale reale. Infatti per qualunque k ∈ Z si ha
ez+2kπι^ = ex+ιy+2kπι^ = ex+ι(y+2kπ)^ =
= ex(cos(y + 2kπ) + ι sin(y + 2kπ)) =
= ex(cos y + ι sin y) = ez
cioe la funzione esponenziale complessae periodica di periodo 2πι.
Alcune propriet`a dei moduli e dell’argomento
La forma esponenziale complessa permette un’agevole dimostrazione di al- cune propriet`a del modulo e dell’argomento di un numero complesso. Siano infatti z 1 = ρ 1 eιθ^1 e z 2 = ρ 2 eιθ^2
allora z 1 z 2 = ρ 1 eιθ^1 ρ 2 eιθ^2 = ρ 1 ρ 2 eι(θ^1 +θ^2 )
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 10
Dunque
arg(z) = −
π 3
π 2
π 6
Inoltre
|z| =
1 + ι
ι
Seni e coseni complessi
Fissato α ∈ R dalla formula di Eulero si ha:
eια^ = cos α + ι sin α
e e−ια^ = cos α − ι sin α.
Sommando e sottraendo queste due relazioni si ottengono rispettivamente:
cos α =
eια^ + e−ια 2
e sin α =
eια^ − e−ια 2 ι
Poich`e abbiamo dato significato all’esponenziale anche nel caso in cui α sia complesso possiamo facilmente estendere la definizione di seno e coseno a tutto il campo complesso nel seguente modo. Per ogni z ∈ C:
cos z =
eιz^ + e−ιz 2
e sin z =
eιz^ − e−ιz 2 ι
Con tali definizioni non e difficile provare che molte proprieta delle funzioni trigonometriche, quali ad esempio le formule di addizione e sottrazione e le formule di duplicazione, continuano a valere. Le funzioni seno e coseno cos`ı definite sono funzioni periodiche di periodo 2π. Infatti
cos(z + 2kπ) =
eι(z+2kπ)^ + e−ι(z+2kπ) 2
eιz^ + e−ιz 2
= cos z.
Analoga dimostrazione vale per la funzione seno. Le funzioni seno e coseno complessi, a differenza di quelle reali, possono avere modulo maggiore di 1. Per esempio
cos(2ι) =
eι(2ι)^ + e−ι(2ι) 2
e−^2 + e^2 2
CAPITOLO 1. L’INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI 11
Seni e coseni iperbolici complessi
Fissato t ∈ R si definiscono seno e coseno iperbolico le funzioni
cosh t =
et^ + e−t 2
e sinh t =
et^ − e−t 2
E naturale allora estendere al campo complesso questa definizione, ponendo,^ ` per ogni z ∈ C:
cosh z =
ez^ + e−z 2
e sinh z =
ez^ − e−z 2
Le funzioni appena definite risultano essere periodiche di periodo 2π. Infatti
cosh(z + 2kπ) =
ez+2kπ^ + e−(z+2kπ) 2
ez^ + e−z 2
= cosh z.
Tra funzioni iperboliche e funzioni circolari valgono le seguenti relazioni
- sin(ιz) =
eι(ιz)^ − e−ι(ιz) 2 ι
= −ι
e−z^ − ez 2
= ι sinh z
- cos(ιz) =
eι(ιz)^ + e−ι(ιz) 2 ι
e−z^ + ez 2
= cosh z
- sinh(ιz) =
eιz^ − e−ιz 2
= ι
eιz^ − e−ιz 2 ι
= ι sin z
- cosh(ιz) =
eιz^ + e−ιz 2
= cos z.
Gli zeri delle funzioni iperboliche
Vogliamo determinare ora i valori z ∈ C che annullano le funzioni iperboliche.
sinh z = 0 ⇔ ez^ − e−z^ = 0 ⇔ e^2 z^ = 1 ⇔ e^2 z^ = eι^2 kπ^ ⇒ z = kπι.
Analogamente
cosh z = 0 ⇔ ez^ + e−z^ = 0 ⇔ e^2 z^ = − 1 ⇔
⇔ e^2 z^ = eι(π+2kπ)^ ⇒ z = ι
π 2
Capitolo 2
Teoria delle funzioni di
variabile complessa
2.1 Funzioni complesse
Assegnato un sottoinsieme Ω dell’insieme dei numeri complessi, se ad ogni elemento z di Ω corrisponde uno o piu valori di una variabile complessa w si dice che we una funzione della variabile complessa z e si scrive
w = f (z).
Una funzione di variabile complessa si dice ad un solo valore se ad ogni valore di z corrisponde un solo valore di w; in caso contrario la funzione si dice a piu valori. In generale si puo scrivere
w = f (z) = u(x, y) + ιv(x, y)
dove u(x, y) e v(x, y) sono rispettivamente la parte reale e la parte immagi- naria della funzione.
Esempio 2.1.
w = z^2 = (x + ιy)^2 = x^2 − y^2 + ι 2 xy
u(x, y) = x^2 − y^2 v(x, y) = 2xy.
D’ora in poi si intender`a sempre f (z) come funzione ad un valore.
CAPITOLO 2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA 14
2.1.1 Intorni e insiemi in C
Definizione 2.1.1 Fissato z 0 ∈ C e ρ > 0 si dice intorno di z 0 l’insieme
I(z 0 ) = {z ∈ C : |z − z 0 | < ρ}.
Definizione 2.1.2 Un insieme A ⊆ C si dice aperto se per ogni z 0 ∈ A esite un intorno I(z 0 ) ⊂ A.
Definizione 2.1.3 Un insieme A ⊂ C si dice chiuso se il suo complementare `e aperto.
Definizione 2.1.4 Fissato ρ > 0 si definisce intorno dell’infinito l’insieme
I = {z ∈ C : |z| > ρ}.
Definizione 2.1.5 Fissato A ⊆ C e z 0 ∈ C allora z 0 si dice punto di accu- mulazione per A se per ogni intorno I(z 0 ) esite un punto z 1 ∈ A, con z 1 6 = z 0 , tale che z 1 ∈ I(z 0 ).
2.1.2 Limiti e continuit`a
Le definizioni di limite e di continuita di una funzione di variabile complessa sono formalmente identiche a quelle gia note per funzioni di variabile reale. Cos`ı, per esempio, diremo che f (z) ha limite l ∈ C per z che tende a z 0 e scriveremo lim z→z 0 f (z) = l
se ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋′^ ∀z : 0 < |z − z 0 | < δ : |f (z) − l| < ε.
Diremo che f `e continua in z 0 se
lim z→z 0 f (z) = f (z 0 ).
2.1.3 Derivate
Se f (z) in una regione del piano `e ad un solo valore, la derivata di f (z), indicata con f ′(z) o con df (z) dz
CAPITOLO 2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA 16
In virtu dell’analiticita di f il limite in questione non dipende da come ∆z tende a 0. Scegliendo ∆y = 0 abbiamo:
lim ∆z→ 0
f (z + ∆z) − f (z) ∆z
= lim ∆x→ 0
[
u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x
v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x
]
∂u ∂x
∂v ∂x
Se invece scegliamo ∆x = 0, allora
lim ∆z→ 0
f (z + ∆z) − f (z) ∆z
= lim ∆y→ 0
[
u(x, y + ∆y) − u(x, y) ι∆y
v(x, y + ∆y) − v(x, y) ∆y
]
ι
∂u ∂y
∂v ∂y
Poich`e (2.2) e (2.3) coincidono risulta:
∂u ∂x
∂v ∂x
ι
∂u ∂y
∂v ∂y
= −ι
∂u ∂y
∂v ∂y
da cui le equazioni di Cauchy-Riemann. Osservazione. Da (2.2) e (2.3) `e anche evidente che
f ′(z) =
∂u ∂x
∂v ∂x
= −ι
∂u ∂y
∂v ∂y
Viceversa si puo dimostrare che se le derivate parziali prime di u e v rispetto a x e y sono continue nella regione R allora le equazioni di Cauchy-Riemann sono anche condizioni sufficienti per l’analiticita di f (z) in R. Osservazione. Se le derivate parziali seconde di u e v rispetto a x e y sono continue, derivando le condizioni di Cauchy-Riemann si trova:
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
CAPITOLO 2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA 17
e ∂^2 v ∂x^2
∂^2 v ∂y^2
Dunque la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica sulla regione R soddisfano l’equazione di Laplace bidimensionale. Le funzioni che soddisfano l’equazione di Laplace sono dette funzioni armoniche.
Esempio 2.1.2 Dimostrare che
dz dz
, dove z `e il coniugato di z, non esiste in
alcun punto. Per definizione
f ′(z) = lim ∆z→ 0
f (z + ∆z) − f (z) ∆z
Allora d dz
z = lim ∆z→ 0
z + ∆z − z ∆z
= lim ∆x,∆y→ 0
x + ιy + ∆x + ι∆y − x + ιy ∆x + ι∆y
= lim ∆x,∆y→ 0
x − ιy + ∆x − ι∆y − (x − ιy) ∆x + ι∆y
= lim ∆x,∆y→ 0
∆x − ι∆y ∆x + ι∆y
Affinche la derivata esista questo limite deve esistere ed essere indipendente dal modo con cui ∆z tende a 0 ; pero scegliendo ∆x = 0, abbiamo
lim ∆z→ 0
z + ∆z − z ∆z
= lim ∆y→ 0
−ι∆y ι∆y
mentre scegliendo ∆y = 0 abbiamo
lim ∆z→ 0
z + ∆z − z ∆z
= lim ∆x→ 0
∆x ∆x
Questi due possibili percorsi di avvicinamento a zero provano che il limite dipende dal modo con cui ∆z tende a 0 per cui la derivata non esiste, cioe z none analitica in alcun punto.
CAPITOLO 2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA 19
aperto, due funzioni analitiche in Ω e φ analitica in un sottoinsieme I di C tale che φ(I) ⊂ Ω. Allora:
d dz
(αf (z) + βg(z)) = αf ′(z) + βg′(z), α, β ∈ C
d dz
f (z)g(z) = f ′(z)g(z) + f (z)g′(z)
d dz
f (z) g(z)
f ′(z)g(z) − f (z)g′(z) g(z)^2
se g(z) 6 = 0
d dz
f (φ(z)) = f ′(φ(z))φ′(z).
2.1.6 Integrali di Linea
L’insieme dei numeri complessi C e privo di una relazione d’ordine quindi per definire l’integrale di una funzione f (z) tra due numeri complessi z 1 e z 2 si deve necessariamente definire il concetto di curva nel piano complesso. Una curva γ nel piano complessoe una funzione
z : [a, b] ⊂ R → C
che ad ogni t ∈ [a, b] associa il numero complesso
z(t) = x(t) + ιy(t).
Le funzioni x(t) e y(t) sono due funzioni reali di variabile reale e rappresen- tano rispettivamente le parti reale ed immaginaria dei punti di γ. Una curva si dice regolare nell’intervallo [a, b] se le funzioni x(t) e y(t) han- no derivate prime continue e non contemporaneamente nulle in tutti i punti dell’intervallo. Una curva si dice regolare a tratti se l’intervallo [a, b] puo essere suddiviso in un numero finito di sottointervalli chiusi in cui la curvae regolare. Una curva si dice chiusa se z(a) = z(b). Una curva si dice semplice se per ogni t 1 , t 2 ∈ [a, b], t 1 6 = t 2 , risulta z(t 1 ) 6 = z(t 2 ). Una curva chiusa e semplice si dice curva di Jordan. L’integrale della funzione di variabile complessa f (z) tra due punti del pi- ano complesso z 1 e z 2 pu`o essere definito come l’integrale lungo una curva
CAPITOLO 2. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA 20
regolare (o regolare a tratti) γ che unisce i due punti:
∫
γ
f (z)dz.
Tale integrale `e detto integrale di linea lungo la curva γ. Se
z = x + ιy, dz = dx + ιdy
allora l’integrale di linea pu`o essere scritto come somma di integrali di forme differenziali ∫
γ
f (z)dz =
γ
f (x + ιy)(dx + ιdy) =
γ
(u(x, y) + ιv(x, y)) (dx + ιdy) =
γ
(u(x, y)dx − v(x, y)dy) + ι
γ
(v(x, y)dx + u(x, y)dy).
Se γ : t ∈ [t 1 , t 2 ] → z(t) = x(t) + ιy(t)
allora ∫
γ
(u(x, y)dx − v(x, y)dy) =
∫ (^) t 2
t 1
u(x(t), y(t))
dx dt
− v(x(t), y(t))
dy dt
dt
e, analogamente
∫
γ
(v(x, y)dx + u(x, y)dy) =
∫ (^) t 2
t 1
v(x(t), y(t))
dx dt
dy dt
dt.
In questo modo gli integrali di funzioni di variabile complessa sono calcolati in modo simile a quelli di variabile reale.
