Scarica fondamenti di matematica e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
Funzioni Una funzione tra due insiemi A e B è una legga che associa a ciascun elemento di A uno ed un solo elemento di B. L insieme di partenza A viene definito dominio, mentre l insieme di arrivo B viene definito codominio. Inoltre se la funzione f manda un elemento appartenente ad A nell’ elemento appartenente a B, scriveremo che B=f(a), cioè B è immagine dell elemento a tramite la funzione f. Quando vi è un’immagine dell’elemento A tramite la funzione, diciamo che B è la variabile dipendente mentre A la variabile indipendente. Questo perché il valore B dipende dall’ argomento A e il modo in cui ne dipende è dato dalla funzione f. Discorso analogo viene fatto per i sottoinsiemi. Ogni funzione può anche essere rappresentata a livello grafico attraverso due insieme i che rappresentano rispettivamente un dominio e un codominio, ciò che è importante è che dal dominio parta una è una sola freccia. Questo ci permette di comprendere quando due funzioni F(X) e g(X) sono uguali(F=g). Esse infatti sono uguali quando hanno stesso dominio e stesso codominio, cioè f(a)=g(a). Abbiamo trattato le funzioni reali di variabile reale cioè delle funzioni F con dominio A contenuto nell’ insieme dei numeri reali. Ne sono un esempio i polinomi, le funzioni razionali e le funzioni trascendenti. Tuttavia, per quanto riguarda le funzioni razionali e le logaritmiche, dobbiamo dire che non sono definite in tutto l asse reale, poiché per quanto riguarda le razionali dobbiamo tenere in considerazione gli zeri del denominatore, che devono stare fuori dal dominio, e per quanto riguarda le logaritmiche, queste sono poste strettamente maggiore di zero. Inoltre nel definire il concetto di funzione, abbiamo sottolineato come ad un elemento del dominio deva corrispondere uno ed un solo elemento del codominio e se questo non avviene, non possiamo parlare di funzione. Tuttavia possiamo identificare in base a delle proprietà particolari del codominio, alcune classi significative delle funzioni. Ad esempio:
- Se una funzione che va da A in B è una funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, ci troviamo nel caso di una funzione surgettiva.
- Se la funzione che va da A in B è una funzione tale che ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio, ci troviamo nel caso di una funzione iniettiva.
- Se una funzione che va da A in B è iniettiva e surgettiva, questa prenderà il nome di bigettiva o biettiva. Tramite una funzione bigettiva, ciascun elemento del codominio è immagine di uno e un solo elemento del dominio. Inoltre le funzioni bigettiva vengono dette invertibili e possiamo ottenere l inversa a livello grafico, invertendo proprio il verso delle frecce.
Le funzioni reali di variabile reale Le più semplici sono le funzioni lineari che rappresentano delle relazioni di proporzionalità: infatti una funzione è lineare se il suo valore varia in modo proporzionale alla variazione dell'argomento. In generale diciamo che le funzioni lineari si trovano nella forma f(x) = mx + q dove m è il coefficiente angolare, mentre q è l'intercetta delle ordinate. Possiamo dire, inoltre, che in generale una qualsiasi funzione è crescente se aumentando il valore dell'argomento, aumenta anche il valore della funzione; mentre è decrescente se aumentando il valore dell'argomento, il valore della funzione diminuisce. In altre parole la funzione è crescente se: La funzione è decrescente se: Possiamo anche definire una funzione monotona che viene detta proprio monotona perché non cambia mai modo di crescere Cioè è sempre crescente o sempre decrescente. Inoltre conoscere la crescenza e la decrescenza di una funzione aiuta anche a trovarne i punti di Massimo e di minimo: un punto X0 che appartiene all'intervallo (a,b) è un punto di Massimo se f(X0) FX analogamente X0 che appartiene all'intervallo (a,b) è un punto di minimo se f(X0) FX per ogni x appartenenti a b Possiamo fornire anche la definizione di Massimo e minimo locale. Per quanto riguarda la definizione di Massimo locale diremo che:esiste un sigma maggiore di 0 tale che FX sia minore o uguale a FX 0 per ogni x appartenendo all’intervallo aperto x- 0 - Sigma e x 0 + Sigma Per quanto riguarda la definizione di minimo locale diremo che esiste un sigma maggiore di zero tale che FX sia maggiore o uguale a fx-0 per ogni x appartenente all’intervallo aperto x- 0 - Sigma x 0 + Sigma. Funzioni polinomiali Sì tratta di funzioni che hanno valore in R e presentano una forma del ti dove n appartiene all'insieme dei numeri naturali e sono gli esponenti ed indicano appunto il grado del polinomio mentre a0, an indicano i coefficienti del polinomio. Si suppone sempre che il coefficiente an, ossia il coefficiente direttore, sia diverso da zero. Funzioni razionali La funzione razionale è un quoziente di polinomi con forma: m ed n sono appartenenti ai numeri naturali e indicano il grado della funzione, mentre a0, am, bn, b0 appartengono ai numeri reali con am, bn diverso da zero È importante dire che le funzioni razionali Sono effettivamente delle funzioni reali di variabili reale, ma di fatto non sono definite su tutto l'asse reale, dunque il loro dominio non è l'insieme dei numeri reali. Un esempio potrebbe essere una funzione FX =a/x, che infatti non è definita per x = 0 perché dobbiamo tenere in conto gli zeri del denominatore.
- Il logaritmo di base a e argomento B elevato a C: in questo caso l’esponente si porta fuori dal logaritmo.
- Il logaritmo del cambiamento di base: dato un logaritmo di base a e argomento B avremo il rapporto tra logaritmo in base C di B e logaritmo in base C di a. Funzioni trigonometriche Le funzioni trigonometriche sono delle funzioni periodiche: un fenomeno e periodico se si ripete uguale a intervalli prestabiliti di tempo. L’unità di misura utilizzata è il radiante: l’angolo di un radiante è l’angolo che sottende l’arco di lunghezza uno in una circonferenza di raggio unitario. Consideriamo positivo un angolo percorso in senso antiorario e - 1 angolo percorso in senso orario. Le funzioni periodiche che vengono utilizzate sono il seno e il coseno. La relazione fondamentale che lega il seno e il coseno è: Hanno un periodo T=2π; Tan=senx/cosx; Cotán=cosx/senx. Successioni e serie Una successione è una lista ordinata di numeri reali:x0,x1,x2…xn I due modi per descrivere una successione sono:
- fornire una formula per calcolare direttamente il termine generale Xn
- fornire una formula per calcolare il termine generale Xn, in funzione di qualcuno dei termini precedenti.
Teoria degli insiemi Un insieme viene definito come collezione di oggetti e viene definito tramite le sue proprietà o tramite i suoi elementi. Se A è un insieme scriveremo: Per far comprendere che l’elemento a appartiene all’insieme A. Se B è un altro insieme i cui elementi appartengono tutti all’insieme A, diremo che B è un sottoinsieme di A. Se tutti gli elementi di B sono distinti dagli elementi di a, diremo che vi è un sottoinsieme proprio di a.AB saranno uguali soltanto se hanno esattamente gli stessi elementi. L’insieme è vuoto, invece, è l’insieme privo di elementi. Vi sono alcune operazioni naturali che si possono eseguire sugli insiemi, come ad esempio:
- L’intersezione di A e B è l’insieme contenente solo gli elementi che appartengono sia ad A, sia a B. Se hai intersecato B e uguale ad insieme vuoto, diremo che gli insiemi sono disgiunti.
- L’unione di a e B è l’insieme che contiene tutti gli elementi di A insieme a tutti gli elementi di B.
- La differenza di A e B è l’insieme che contiene esattamente quegli elementi di che non stanno in B. Se A è un sottoinsieme di omega la differenza sarà detta complementare di in omega e verrà indicata con il simbolo a sopra segnato. Probabilità che in una famiglia di quattro figli nascano almeno un maschio e una femmina Innanzitutto diciamo che la probabilità che nasca un maschio è pari a un mezzo analogamente, la probabilità che nasca una femmina è un mezzo. L’evento nasce un maschio e l’evento nasce una femmina sono indipendenti. Dal momento in cui la consegna richiedeva di calcolare la probabilità di nascita di almeno un maschio, io ho calcolato il caso complementare cioè quando non nasce nemmeno un maschio, ovvero quando nascono solo femmine.perciò sono andata a calcolare la probabilità di nascita di quattro femmine che è pari ad un mezzo elevato a quattro, dunque un 16º. Così ho calcolato il complementare per capire qual è la probabilità che nasca almeno un maschio e ho fatto uno meno la probabilità che nascano tutte e quattro le femmine. Allo stesso modo ho calcolato la probabilità di nascita di quattro maschi che è pari sempre ad un 16º e ho calcolato il complementare uno o meno la probabilità che nascano quattro maschi, per ottenere la probabilità che nasca almeno una femmina. A quel punto ho calcolato la probabilità totale del complementare grazie ai risultati ottenuti che è pari ad un 16º +1 16º cioè un ottavo. Infine ho calcolato il complementare, cioè la probabilità di avere almeno un maschio e almeno una femmina che è pari ad 1 - 1 ottavo cioè sette ottavi.
INTEGRALI Si parte da una funzione f definita e continua vicino ad un punto X0. Troviamo una funzione che abbia come derivata il valore di f in X0. Prendiamo la funzione lineare: In generale l’integrazione è l’operazione inversa della derivazione e mettiamo la costante C, perché altrimenti perderemo tutte le possibili soluzioni che differiscono per la costante. Ci sono due tipi principali di integrali che studiamo: gli integrali definiti e gli integrali indefiniti , ognuno con il proprio ruolo e applicazione.
- Gli integrali indefiniti sono come una parte generale della soluzione a un problema. Quando integriamo in modo indefinito, stiamo cercando una funzione che, quando derivata, ci dà la funzione originale con cui abbiamo iniziato.
- D’altra parte, gli integrali definiti sono molto specifici. Li usiamo quando vogliamo calcolare l’area sotto una curva tra due punti specifici su un grafico. Esistono diversi metodi di integrazione: integrazione per parti, sostituzione.
PROBABILITà DISCRETA=PROBABILITà SU INSIEMI FINITI(la probabilità continua è la probabilità su insiemi infiniti) Il primo passo necessario per lo studio probabilistico di un fenomeno e stabilire quali sono gli eventi possibilI. A livello matematico lo spazio degli eventi è un insieme o omega, che può essere qualsiasi. Un evento semplice è un elemento dello spazio degli eventi; un evento composto è un sottoinsieme dello spazio degli eventi. Lo spazio degli eventi omega è chiamato evento certo; l’insieme vuoto è chiamato evento impossibile; di due eventi a e B, l’evento che si verifica se succede a oppure succede B è l’evento unione; dati due eventi a e B l’evento che si verifica se succedono si sia B e l’evento intersezione e coincide con l’intersezione in insiemistica di A e B; dato un evento A, l’evento che si verifica se è solo se A non succede è l’evento complementare, che coincide con la differenza insiemistica omega\ a. Infine, se l’insieme intersezione di A e di B è uguale ad insieme vuoto, diremo che gli eventi sono disgiunti, cioè mutuamente esclusivi oppure incompatibili. ASSIOMI
- L’evento certo ha probabilità uno, l’evento impossibile ha probabilità zero
- Tutti gli eventi hanno una probabilità compresa tra zero e uno inclusi
- La probabilità che avvenga 1 dei due eventi incompatibili è la somma della probabilità dei due eventi. Inoltre, possiamo dire che due eventi sono indipendenti se e solo se: La probabilità dell’intersezione dei due eventi è uguale al prodotto delle due probabilità. Per calcolare la probabilità di un evento, sapendo che un altro evento è già avvenuto, utilizziamo la probabilità condizionata: Ogni informazione per quanto apparentemente insignificante, può modificare le probabilità condizionate: utilizziamo la formula di Bayes
DISTRIBUZIONE GAUSSIANA In natura moltissime variabili aleatorie continue hanno la densità di probabilità con una tipica forma a campana.la tipica funzione a campana nasce dalla funzione gaussiana G0,1 definita in R e data da: G0,1(X)=1/radice quadrata di 2π*e^-x^2/2. Il fattore uno fratto due Pi greco serve ad assicurare che l’integrale che vada meno infinito più infinito di G0,1(x)dx=1. Quindi G 0,1 può essere la densità di probabilità di una variabile aleatoria continua.se la densità di probabilità è questa possiamo dire che una variabile aleatoria continua X è normale ed avrà media zero e varianza uno.(la varianza misura quanto è dispersa una variabile aleatoria rispetto al valore atteso). Possiamo anche variare il valore atteso, ponendo: A questo punto, possiamo dire che una variabile aleatoria continua con densità di probabilità GM, sigma ha valore atteso M e varianza sigma al quadrato. Il motivo per cui le variabili aleatorie normali sono così frequenti in natura è un risultato noto come teorema del limite centrale. Supponiamo di avere una successione X1, X2,… XN…di variabile aleatorie discrete o continue, ognuno con il proprio valore atteso e la propria varianza e supponiamo che tutte le X siano limitate, che tutte le X siano indipendenti, che le varianze non siano troppo piccole in modo che la sommatoria delle varianze sia più infinito. Il teorema del limite centrale ci dice che se la successione di variabili aleatorie soddisfa le condizioni uno e tre allora sia la somma delle variabili aleatorie Sn(X1+X2…) e la media delle variabili aleatorie Mn(1/n Sn) tendono per più infinito a una variabile aleatoria normale. In particolare, se tutte le variabili aleatorie hanno la stessa media e la stessa varianza si ha che: la media sarà uguale a M e la varianza sarà uguale a sigma al quadrato fratto N.
Per la standardizzazione, dobbiamo utilizzare il test Z il cui scopo è testare l’ipotesi nulla che un certo campione di N eventi sia coerente con un fenomeno di media M E varianza sigma al quadrato. La quantità pivotale da considerare è Z=|X-M|/deviazione standard Definizione di quantità pivotale: Una quantità pivotale è una funzione delle osservazioni campionarie e di uno o più parametri incogniti che ha una distribuzione di probabilità nota, indipendente dai parametri incogniti. STATISTICA La statistica è la disciplina che raccoglie, analizza e interpreta dati per descrivere i fenomeni e prendere decisioni.comprende strumenti come: media, varianza, test di ipotesi. Quest’ultimo è una procedura statica per verificare una supposizione su una popolazione basata su dati campionari.si formulano due ipotesi: Ipotesi nulla: afferma che non c’è effetto o differenza Ipotesi alternativa: afferma che esiste un effetto una differenza. consideriamo le misure prese su un campione P di una popolazione. Indichiamo con M e sigma rispettivamente la media e la varianza della popolazione e Xn= (X1,X2…Xn) i valori ottenuti dal campione. Teorema La media E(Xn) al variare di XN è uguale a M; la varianza di E(Xn) è uguale a sigma al quadrato fratto N e al crescere di N, la distribuzione dei valori media approssima sempre meglio una distribuzione normale di media M varianza sigma al quadrato fratto N. Teorema La media delle varianze Var(Xn) al variare di XN è uguale a N - 1 fratto N per sigma al quadrato. Se si introduce la varianza campionaria N fratto N - 1 per var(Xn) l’enunciato del teorema diventa: La media della varianza campionariaS^2(Xn) al variare di XN è uguale al sigma al quadrato. Teorema La variazione della varianza campionaria al variare di XN diventa arbitrariamente piccola, per N abbastanza grande. Quanto deve essere effettivamente grande N? Introduciamo il coefficiente di variazione campionario(CVC) che è uguale alla varianza campionaria fratto radice di N per la media. Se il coefficiente di variazione campionario è minore dell’ordine di precisione che vogliamo ottenere, la media della popolazione apparterrà all’intervallo di confidenza media - 2 per varianza campionaria fratto radice di N, media +2 per varianza campionaria fratto radice di N, per circa il 95% dei campioni. Di conseguenza il rapporto tra varianza campionaria e radice quadrata di N è una buona stima della varianza della popolazione. Media: consideriamo dei valori X1, X2,…, XN, indichiamo la loro somma con il termine Xi. La media di questi valori si indica con il termine X sopra segnato ed è pari a 1/n per la sommatoria di i che va da uno a N di Xi. Mediana: la mediana dei dati è un numero M tale che esattamente metà dei dati è minore o uguale M e metà è maggiore o uguale a M.
Diciamo infatti che XN +1 fratto due è la mediana se N e dispari, mentre un mezzo per XN fratto due più XN +1 fratto due è la mediana se N è pari. dunque, in altre parole la mediana è il dato centrale se N è dispari e della media aritmetica dei due dati centrali se N è pari. Moda: la media e la mediana servono per riassumere i dati numerici con un unico valore.a volte si vorrebbe operare in modo analogo anche con dati non numerici, come ad esempio il colore degli occhi.in tal caso si suddividono i dati in classi; si chiama moda( o classe modale) la classe con il maggior numero di elementi, dunque gli elementi che si ripetono più frequentemente. Varianza: chiaramente la media non basta riassumere ragionevolmente i dati, in quanto serve anche una misura di quanto la media sia rappresentativa, cioè di quanto i dati si accumulino vicino alla media o di quanto invece sono sparsi tra tutti i possibili valori. Dunque ci serve una misura della dispersione dei dati. In generale la media è il numero che minimizza la somma degli scarti quadrati.dunque la misura di dispersione più usata è la media degli scarti quadratici, chiamata. Scarto quadratico medio oppure varianza. Se la varianza è grande significa che i dati sono molto dispersi rispetto alla media, viceversa una varianza più piccola e indice della concentrazione dei dati intorno alla media.la varianza è data dalla differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media. Chiaramente per dire che la varianza è grande o piccola deve essere confrontata con qualcosa è il termine naturale di paragone potrebbe essere la media stessa, tuttavia dal momento in cui la varianza contiene dei quadrati, questa non è direttamente confrontabile con la media. Per ovviare a questa difficoltà si introduce la deviazione standard che è la radice quadrata della varianza. Intervallo di confidenza: un intervallo di confidenza è un intervallo di valori costruito a partire da un campione statistico, che serve a stimare un parametro incognito della popolazione ed è associato a un livello di confidenza, che rappresenta la probabilità che l’intervallo contenga il vero valore del parametro. Per esempio, se un intervallo di confidenza è costruito con un livello di confidenza del 95% significa che se ripetessimo il campionamento molte volte, il 95% degli intervalli costruiti conterrebbe il vero valore del parametro. Metodo dei minimi quadrati: è una tecnica matematica utilizzata per trovare la retta o la funzione che è meglio approssima un insieme di dati, minimizzando la somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati e quelli stimati dal modello.nel caso della regressione lineare la retta dei minimi quadrati a equazione Y uguale MX più Q. L’interpolazione lineare è un metodo per stimare il valore di una funzione tra due punti noti. Se si conoscono: X0, Y0 e X1, Y1, il valore della funzione in un punto intermedio X è dato dalla formula: Y= Y0+ Y1-Y0/X1-X0 * (X-X0). Questo metodo assume che la funzione varia linearmente tra i due punti noti.
