Tesina di matematica Fibonacci, Appunti di Matematica Generale

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Tesine di storia della matematica

Melissa Lupone, Ilaria Pagliaroli, Alessandro Pigliacelli, Simone Fioravanti.

18 luglio 2011

Fibonacci e la sezione aurea.

«Se una coppia di conigli rimane isolata, quanti conigli nasceranno nel corso di un anno, ammesso che ogni mese una coppia di conigli produca un’altra coppia, e che i conigli incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?.» Questo e il piu noto tra i problemi trattati nel Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto Fibonacci. Sembrera banale la scelta di questo problema tra i tanti presenti nello stesso testo,ma essa puo essere giustificata dall’interesse che ha suscitato nei secoli e che l’ha resa cosı celebre. La risoluzione di questo problema, infatti,e stata ricondotta successivamente, alla gia ben nota sezione aurea, con la quale presenta degli interessanti legami. Ma analizziamo in breve la soluzione del problema proposta dal Fibonacci: Egli ipotizza che i conigli non muoiano mai, quindi, durante il primo mese avremo una sola coppia, e altrettanto durante il secondo. Dopodich´e la prima coppia diverra fertile, e nel terzo mese avremo due coppie. Nel quarto mese la coppia piu anziana, gia fertile, produrra ancora una coppia, mentre quella nata nel terzo mese non sara ancora fertile. Tuttavia, giunti al quinto mese anche questa produrra la sua prima coppia, che andra a sommarsi a quelle prodotte dai primi conigli... Beh, detto cosı sembra molto complesso, ma osservando la figura ci si rende conto che si tratta di un algoritmo banale, soprattutto se consideriamo in maniera astratta la sequenza di numeri originata da questo processo. Partendo infatti dalla coppia (1,1), osserviamo che ogni numero none altro che la somma dei due che lo precedono: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Questa serie numerica e la celebre serie di Fibonacci. Ma che legame puo sussistere tra questa serie e la sezione aurea? Innanzitutto la sezione aurea indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore `e medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione: (a + b) : a = a : b

Tale rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed `e esprimibile per mezzo della formula:

φ =

ottenuta risolvendo l’equazione : x^2 − x − 1 = 0

Curiosamente, se prendiamo in considerazione il rapporto fra due numeri consecutivi della sequenza di Fibonacci, questo tende esattamente al numero decimale illimitato 0,6180339...ovvero φ. Infatti:

Alla sezione aurea e collegata una particolare curva, la spirale logaritmica. Questa curva ha una caratteristica fondamentale: crescendo non cambia forma. Descritta da Jacques Bernoulli (1654-1705) nel trattato Spira mirabilis, la spirale logaritmica diviene sempre piu ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta man mano che ci si allontana dall’origine, detta polo. In particolare avanzando con angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante. La spirale logaritmica `e anche

Enriques e l’insegnamento dinamico.

Dopo l’attenta lettura dell’Insegnamento dinamico di Enriques, e lecito chiedersi,e veramente cambiato qualcosa nei metodi d’insegnamento dal 1921 ad oggi? Fatta la domanda, tentiamo di dare una risposta. Il rapporto insegnante-studente e il perno su cui si basa l’insegnamento a tutti i livelli, e, nonostante non lo dica mai esplicitamente, Enriques sembra condividere quest’opinione. L’insegnamento dinamico, infatti, cos’e se non un nuovo modo di confrontarsi con lo stu- dente? Il classico rapporto insegnante-studente a cui noi tutti siamo abituati, lo potremo definire ”a senso unico”, ovvero l’insegnante parla e lo studente ascolta, senza partecipare attivamente all’acquisizione della conoscenza di cui viene messo a parte. La conoscenza viene ”travasata” a chi ascolta, senza che questo (soprattutto in tenera eta) abbia modo o motivo anche di chiedersi il ”perch´e” di quello che gli viene insegnato. Ovviamente que- sta procedurae del tutto naturale per moltissime cose, pensiamo all’alfabeto,ad esempio. Pensiamo pero, a qualcosa tipo le ”tabelline”. Un bambino puo benissimo annoiarsi ore ed ore, ripetendo una lunga serie di numeri che per lui non hanno alcun senso...l’avra si imparata, e la sapra anche ripetere, pero potrebbe ignorarne il motivo per molti anni della sua vita. Invece se la maestra gli spiega il concetto semplicissimo alla base della tanto nota cantilena, e magari rende la materia abbastanza appetibile per un bambino di 5/6 anni, dopo svariati esercizi e un personale sforzo(senza la noia del semplice studio mnemonico), il bambino la ricordera tutta la vita alla perfezione. E’ proprio questa la base concettuale dell’Insegnamento Dinamico di Enriques. Egli articola un discorso piuttosto generale, ma l’ambito a cui chiaramente si riferisce la quasi totalita del suo discorso e quello che ci interessa particolarmente,e l’insegnamento delle ”Scienze Matematiche”. Come sappiamo egli insegno lungamente all’Universita, prima di Bologna e poi di Roma, e non c’e da stupirsi che avesse una sua particolare opinione sulla didattica. Le sue lezioni rappresentano un vero e proprio ”modello” del tipo di insegnamento che lui considerava il migliore. Infatti nel loro svolgimento, egli tentava di mettersi al livello dei suoi studenti e di sforzarsi insieme a loro a ricostruire l’argomento della lezione, senza rendere quest’ultima, un semplice discorso preparato e poi consegnato ”ben tornito” agli ascoltatori. Nel tentativo di trasmettere delle conoscenze, un insegnante dovrebbe, infatti, compiere anch’esso un certo sforzo in modo da rendere gli studenti capaci di compierlo a loro volta. Una lezione, in altre parole,non dev’essere il resoconto meccanico di una nozione precedentemente appresa, ormai divenuta nella memoria di chi spiega una semplice banalita. L’insegnante piuttosto, dimenticando tutto quanto gia appreso , deve riacquisire le proprie conoscenze insieme agli alunni, aumentando cosı la propria personale padronanza dell’argomento e, ovviamente, la loro. Una lezione ”viva”, insomma, nella quale viene trasmessa anche la propria personale esperienza, e non semplicemente la ripetizione di qualcosa di sentito molto tempo prima. ”Passare qualcosa di vivo nell’animo dello studente, come scintilla di fuoco per accendere altro fuoco”. In un metodo di insegnamento del genere, lo studente non assume passivamente quanto detto dal docente, bensı compie anche lui quella personale fatica, che sola, assieme ad un esercizio continuo, puo stimolare anche l’apprendimento mnemonico. Infatti la memoria, lungi dall’essere una materia malleabile e plasmabile a piacimento, `e anch’essa la risposta ad un ben preciso stimolo. L’interesse, ma soprattutto l’esercizio, permettono di fissare una procedura nella propria mente: come quando un pianista impara un brano musicale; il giorno dell’esibizione le sue dita andranno assolutamente da sole, senza che egli abbia

bisogno di leggere di nuovo lo spartito, o di guardare i tasti. Come direbbero i medici, la memoria a lungo termine e quasi completamente ”procedurale”. Inoltre non tutti gli argomenti hanno la stesa importanza. Sarebbe preferibile, infatti, a parere di Enriques, che lo studente riesca ad intravedere un certo filo conduttore nel corso delle lezioni, a cui poi richiamarsi e da tenere ben presente durante lo studio, preferendo una visione globale ad un’inutile accozzaglia di formule e teoremi. Sarebbe meglio insom- ma, capire perch´e i teoremi si fanno in un certo ordine, piuttosto che ricordarseli tutti, e magari avere una certa consapevolezza dell’ordine storico in cui essi si sono presentati. Queste sostanzialmente sono le direttive che dovrebbero, secondo il nostro matematico, guidare un buon insegnante. Come si evince chiaramente dal testo di Enriques, nel 1921 questo metodo, seppure gia discusso lungamente prima di lui, non era applicato nelle scuole italiane a nessun livello dell’apprendimento, se non in alcuni rarissimi casi. Tornando dunque al nostro quesito iniziale, pensiamo all’insegnamento della matematica oggi, a ben 90 anni dalla stesura del testo che finora abbiamo analizzato. E’ cambiato qualcosa da quei tempi? L’insegnamento dinamico e ormai una realta concreta, a portata di ogni studente? A dire la verita, non sembrerebbe proprio, e ci sono moltissimi dati a confermare questa tesi. Basterebbe chiedere ad un qualunque studente con un livello di istruzione medio cosa ne sa di matematica, o meglio, cosa pensa di saperne. Molti sondaggi l’hanno fatto, confermando che il ”non capire nulla di Matematica”e la realta, da molti anche vantata, dello studente medio italiano. La nostra cultura, in tutti questi anni, ha visto un generale disinteresse per la scuola pubblica, e , particolarmente, per la Matematica, una materia riconosciuta universalmente come ostica e astratta. Di conseguenza anche la Didattica della matematica ha ricevuto un trattamento simile a quello dei tempi di Enriques, se non peggiore, che ha fatto sı che, in quasi 90 anni, l’insegnamento sia tuttora ”statico”. In effetti anche Enriques mostra di ritenere la Matematica una materia d’insegnamento particolarmente difficile, e dunque, il disinteresse e i luoghi comuni che si stanno radicando nella nostra cultura non possono che peggiorare la situazione. Forse, ancora una volta, la spinta al cambiamento deve venire dagli insegnanti che, applicando il metodo qui descritto, possono far sı, nonostante tutte le difficolta, che gli studenti riescano a cogliere la bellezza e il fascino della Matematica.

Teorema 2. L’equazione x^4 + y^4 = z^4 non ammette soluzioni intere diverse da quella banale (ovvero x = y = z = 0).

Dimostrazione. Possiamo dimostrare un risultato pi`u forte di quello richiesto, e che ha il teorema come sua conseguenza immediata, ovvero:

x^4 + y^4 = z^2 (1)

non ha soluzioni non banali. Infatti, se una terna (x 0 , y 0 , z 0 ) soddisfacesse la relazione (1),(x 0 , y 0 , z 02 ) sarebbe soluzione dell’altra equazione. Supponiamo per assurdo che esista una terna non banale che soddisfa l’equazione (1). Possiamo suppore tutti e tre i risultati positivi. Posso supporli coprimi come gi`a fatto nel lemma (dividendo per l’MCD infatti si arri- verebbe ad una terna di coprimi). Allora si nota subito che x^2 , y^2 e z sono una terna pitagorica e quindi, per il Lemma, vale:   

x^2 = 2pq y^2 = p^2 − q^2 z = p^2 + q^2

con p > q > 0, coprimi di parit`a opposta. Dalla seconda equazione del sistema ricaviamo che q, y, p costituiscono una terna pitagorica e quindi vale anche il sistema:   

q = 2ab y = a^2 − b^2 p = a^2 + b^2

con a > b > 0 coprimi di parit`a opposta. Scrivendo x in funzione di a e b si ricava che x^2 =2pq=4ab(a^2 + b^2 ). Osserviamo che ab e a^2 + b^2 devono essere entrambi quadrati(in particolare lo devono essere anche a e b singolarmente, per rendere ab un quadrato), inoltre devono essere primi tra loro poich´e a e b sono a loro volta coprimi. Ponendo a = X^2 , b = Y 2 Z = a^2 + b^2 , si ha che (X, Y, Z) sono un ulteriore soluzione dell’equazione (1). Osserviamo che Z < Z^2 = a^2 + b^2 = p < p^2 + q^2 = z

ovvero la terna e formata da numeri minori di quelli presi inizialmente. Supponendo [in questo consiste la discesa infinita] di iterare il procedimento all’infini- to, trovando soluzioni con terne di numeri positivi sempre piu piccoli, giungiamo ad un assurdo, poich´e i naturali (per il principio di buon ordinamento) ammettono minimo in qualunque sottoinsieme , e una loro sequenza non pu`o decrescere all’infinito.