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Verifica di ipotesi: approfondimenti
1. Il p-value
Il test si pu`o effettuare:
- Determinando preventivamente le regioni di ac- cettazione di H 0 e H 1 per lo stimatore considerato (sulla base del livello α) e osservando a quale delle due appartiene la stima x ottenuta nel campione
- Calcolando il p-value della stima x e confrontan- dolo con α. Che cos’
e il p-value? E^ la probabilita sotto H 0 di ottenere un val- ore campionario piu lontano dall’ipotesi princi- pale e pi`u vicino all’alternativa di quello ottenuto effettivamente nel campione x
Sia la “forma” della regione di rifiuto di H 0 sia il p-value dipendono dal tipo di ipotesi alternativa si con- sidera: unilaterale destra, unilaterale sinistra, bilaterale.
μ 0 p
μ^ p/^2 0 x
p
μ 0 x
μ 0 x
p
p/
α
H 0 accettata 0
H 1 rifiutata H 1 accettata
H rifiutata
μ 0
I grafici precedenti si riferiscono a diversi test sul valore atteso di X.
H 0 : μ = μ 0
H 1 : μ > μ 0 oppure H 1 : μ < μ 0 oppure H 1 : μ 6 = μ 0
Il p-value deve essere confrontato con il livello di significativita del test. See minore di α l’ipotesi principale `e rifiutata.
Esempi
Consideriamo due test sul valore atteso di una variabile aleatoria X con distribuzione normale e varianza nota uguale a 4. Si utilizza come statistica test la variabile aleatoria X.
Test unilaterale sinistro
H 0 : μ = 10 H 1 : μ < 10
La regione di rifiuto dell’ipotesi principale e del tipo (−∞, c). Sulla base di 36 osservazioni campionarie si ottiene un valore campionario x = 9. 4 Il p-valuee:
p = P^0
X < 9. 4
= P
X − 10
= P (Z < − 1 .8) = 0. 03593
A livello di significativit`a del 5% si rifiuta l’ipotesi principale.
Test bilaterale
H 0 : μ = 10 H 1 : μ 6 = 10
La regione di rifiuto dell’ipotesi principale e del tipo (−∞, c 1 ) ∪ (c 2 , ∞). Sulla base di 36 osservazioni campionarie si ottiene un valore campionario x = 10.4. La distanza, in valore assoluto, dall’ipotesi principalee: δ = | 10. 4 − 10 | = 0.4. Il p-value `e:
p = P
X − 10 < − 0. 4
+ P
X − 10 > 0. 4
= P
|X − 10 | > 0. 4
= 2 P
X − 10
2 × 6
= 2 P (Z < − 1 .2) = 2 × 0 .11507 = 0. 23014
Alle soglie usuali di livello di significativit`a si accetta l’ipotesi principale.
- La potenza di un test
La potenza di un test e una funzione del parametro P (θ):e la probabilita di accettare l’ipotesi alternativa H 1. Indichiamo con Θ 0 l’insieme a cui appartiene il parametro quando H 0e vera e con Θ 1 l’insieme a cui appartiene il parametro quando H 1 `e vera.
- Se θ ∈ Θ 1 , P (θ)
e la probabilita di effettuare la scelta corretta: P (θ) = 1−β(θ) - Se θ ∈ Θ 0 , P (θ)
e la probabilita di effettuare la scelta sbagliata: P (θ) = α(θ)
Il grafico a fianco rappresenta la potenza del test:
H 0 : μ ≤ 12 H 1 : μ > 12
dove μ e il valore atteso di una v.a. con legge normale di varianza nota pari a 2. E evidenziato il valore della potenza e dell’errore di sec- onda specie in corrispondenza del valore di μ uguale a 13.5.
11 12 13 14 15
ipotesi alternativa H 1
1-β(13.5)
β
α
1-α
La probabilita di accettare l’ipotesi alternativa, quando questae vera, aumenta al- l’aumentare della numerosita campionaria. Se nella popolazionee vera l’ipotesi alternativa e se i valori del parametro sotto H 1 e sotto H 0 sono molto vicini, solo con grandi campioni si riesce ad avere una probabilit`a alta di effettuare la scelta corretta.
I grafici a fianco rappresentano la potenza del test:
H 0 : μ ≤ 12 H 1 : μ > 12
per due diverse numerosit`a campionarie. Ad esempio, in corrispondenza di un valore atteso μ uguale a 13.5 si ha:
Pn 1 (13.5) ≃ 0 .70 e Pn 2 (13.5) ≃ 0. 95 con n 1 < n 2
11 12 13 14 15
ipotesi alternativa H 1
1-β(13.5)
Confrontiamo ora la potenza di due test sul valore atteso di una v.a. con legge normale di varianza nota pari a 2, uno unilaterale e uno bilaterale.
Essendo X 1 e X 2 definite sulla stessa popolazione, si pu`o considerare la variabile aleatoria D, differenza fra X 1 e X 2 su ogni elemento della popolazione:
D(ωi) = X 1 (ωi) − X 2 (ωi)
Tale variabile aleatoria ha distribuzione normale N (μD, σD); il valore atteso e μ 1 − μ 2 e la varianzae σ^21 + σ 22 − 2Cov(X 1 , X 2 ), in genere sconosciuta. Il test sull’uguaglianza dei valori attesi di X 1 e X 2 si riconduce al test sulla nullita del valore atteso di D, che viene effettuato tramite la quantita pivotale:
D − μD SD/
n
Esempio
L’effetto di due sonniferi A e B stato provato nei riguardi di uno stesso gruppo di 10 persone sofferenti d’insonnia. Nella tabella sono riportate, indicandole con xA e xB le variazioni nelle ore di sonno provocate in ciascun paziente dalla som- ministrazione del sonnifero A e del sonnifero B. Si assume che le variazioni di ore di sonno siano modellabili con variabili aleatorie normali. Si vuole verificare l’ipotesi che i due son- niferi abbiano uguale efficacia. Nell’ultima colonna `e riportata la differenza fra xA e xB.
paz. xA xB d 1 1.9 0.7 1. 2 0.8 -1.6 2. 3 1.1 -0.2 1. 4 0.1 -1.2 1. 5 -0.1 -0.1 0. 6 4.4 3.4 1. 7 5.5 3.7 1. 8 1.6 0.8 0. 9 4.6 0.0 4. 10 3.4 2.0 1. La media campionaria di D e 1.58 e la varianza campionariae 1.513, quindi la realiz- zazione campionaria della quantit`a pivotale sotto l’ipotesi di uguaglianza dell’effetto dei sonniferi vale: (^01) .. 38958 = 4.06 per cui viene rifiutata l’ipotesi di uguaglianza dell’effetto.
- Test di uguaglianza delle varianze di due v.a. Normali
Consideriamo le variabili casuali X 1 e X 2 indipendenti con distribuzione normale rispettivamente N (μ 1 , σ 1 ) e N (μ 2 , σ 2 ). Si vuole verificare, sulla base di informazioni tratte da due campioni di X 1 e X 2 , se le varianze delle due variabili sono uguali. Pi`u precisamente le ipotesi del test sono:
H 0 : σ 12 = σ^22 e H 1 : σ^21 6 = σ 22
Indichiamo rispettivamente con n 1 e n 2 le numerosit`a dei due campioni di X 1 e X 2. Consideriamo le variabili casuali S 12 e S 2 , varianze campionarie di X 1 e X 2. Si ha:
S 12 (n 1 − 1) σ^21
∼ χ^2 [n 1 −1] e
S^22 (n 2 − 1) σ 22
∼ χ^2 [n 2 −1]
Inoltre tali variabili sono indipendenti, essendo X 1 e X 2 indipendenti e cosı S 12 e S 2. Consideriamo la quantita pivotale:
S^21 (n 1 − 1) S^22 (n 2 − 1)
σ 22 σ 12
Se H 0 `e vera, la statistica F :
F =
S 12 (n 1 − 1) S 22 (n 2 − 1)
ha legge F[n 1 − 1 ,n 2 −1]. Il test e bilaterale e la regione di rifiuto dell’ipotesi principalee:
[0, c 1 ] ∪ [c 2 , +∞) con α 1 = P(F < c 1 ) , α 2 = P(F > c 2 ) e α 1 + α 2 = α
Per un test unilaterale del tipo:
H 0 : σ 12 = σ^22 e H 1 : σ^21 > σ 22
allora la regione di rifiuto dell’ipotesi principale `e:
[c, +∞) con α = P(F > c)
e simmetricamente per un test unilaterale sinistro.
Determinazione dei quantili “sinistri” di una v.a. di Fisher
Le tavole della legge di Fisher tipicamente forniscono i valori dei quantili “destri”, cio`e permettono di determinare, per α fissato (al 5% e all’1%), il valore di c tale che
α = P(F > c)
Se F ∼ F[n 1 − 1 ,n 2 −1] allora:
α = P(F > c) = P
F
c
con
F
∼ F[n 2 − 1 ,n 1 −1]
quindi sulle tavole si legge il valore 1/c e si calcola c.
- Confronto fra intervalli di confidenza e test
Consideriamo una variabile aleatoria X di valore atteso μ. Indichiamo con:
- kB = zα √σn semi ampiezza dell’intervallo di confidenza bilaterale
- kU = z α∗ √σn
Si ha:
Tipo Intervallo di confidenza Regione di accettazione di H 0 bilaterale (x − kB , x + kB ) (μ 0 − kB , μ 0 + kB ) unilaterale destro (−∞, x + kU ) (−∞, μ 0 + kU ) unilaterale sinistro (x − kU , +∞) (μ 0 − kU , +∞)
Osserviamo che l’intervallo di confidenza per μ dipende da x, mentre la regione di accettazione di H 0 dipende da μ 0.
