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STATISTICA - Prova di Esame del giorno 22/06/2016 Testo A
COGNOME ___________________ NOME ____________________ N. MATRICOLA ______
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Esercizio 1 La variabile statistica X è caratterizzata dalla seguente funzione di ripartizione: x x<-1 (^) -1≤x≤ 0 0<x≤ 1 x> F(x) 0 2
x x
2
2
x x 2
a) Determinare e rappresentare graficamente la densità di frequenza relativa; b) Calcolare la frequenza relativa dei casi che presentano valori maggiori o pari al 65° percentile.
Esercizio 2 La varianza: significato, definizione e proprietà.
Esercizio 3 Un’indagine di mercato sul consumo mensile, in euro, di un certo bene ha fornito i seguenti risultati:
Regione di residenza
Numero di famiglie
Consumo medio
Varianza
A 300 30 20 B 400 40 25 C 300 50 30
Misurare l’intensità della dipendenza in media esistente tra consumo e regione di residenza.
Esercizio 4 Definire la convergenza in probabilità e quella in media quadratica. Illustrarne il legame con la proprietà della consistenza degli stimatori.
Esercizio 5 La variabile Normale: descriverne analiticamente la funzione di densità (derivata prima, punto di massimo, derivata seconda, punti di flesso) ed illustrarne l’importanza nell’inferenza statistica.
Esercizio 6 Da una variabile casuale distribuita in modo Normale con σ=15 viene estratto un campione casuale di ampiezza n=225 dal quale risulta una media campionaria pari a 20: a) Si determini l’intervallo di confidenza al 90% per la media μ della variabile casuale; b) Si supponga di volere ridurre l’ampiezza dell’intervallo di confidenza al 90% in modo tale che gli estremi distino dal valore centrale dell’intervallo di ±1. Quanto deve essere grande il campione? (Alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0.95=1.644, z0.965=1.812, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.995=2.576).
Esercizio 4 Definire la convergenza in probabilità e quella in media quadratica. Illustrarne il legame con la proprietà della consistenza degli stimatori.
Esercizio 5 La variabile Normale: descriverne analiticamente la funzione di densità (derivata prima, punto di massimo, derivata seconda, punti di flesso) ed illustrarne l’importanza nell’inferenza statistica.
Esercizio 6 Da una variabile casuale distribuita in modo Normale con σ=20 viene estratto un campione casuale di ampiezza n=100 dal quale risulta una media campionaria pari a 36: a) Si determini l’intervallo di confidenza al 95% per la media μ della variabile casuale; b) Si supponga di volere ridurre l’ampiezza dell’intervallo di confidenza al 95% in modo tale che gli estremi distino dal valore centrale dell’intervallo di ±3. Quanto deve essere grande il campione? (Alcuni quantili della distribuzione Normale standardizzata Z sono i seguenti: z0.965=1.812, z0.975=1.96, z0.985=2.17, z0.99=2.326, z0.995=2.576).
