TRASFORMAZIONI LINEARI E MATRICI !
Trasformazioni lineari !
Trasformazione da uno spazio a un altro !
Data una una funzione f, definita nello spazio vettoriale Rn, a valori nello spazio vettoriale Rm!
f : Rn → Rm.!
se n > 1, la funzione è di variabile vettoriale e, se m > 1, la funzione è a valori vettoriali.!
f è una trasformazione lineare di Rn in Rm se f ha queste due proprietà:!
1. ∀x,y∈Rn, f(x+y)=f(x)+f(y) (proprietà d’ additività); !
2. ∀x ∈ Rn e ∀α ∈ R, f(αx) = αf(x) (proprietà di omogeneità).!
se f è una trasformazione lineare di Rn in Rm e se v1,v2,...,vk sono vettori di Rn, allora per ogni
c.l. α1v1 +α2v2 +...+αkvk dei k vettori si ha!
f(α1v1 +α2v2 +...+αkvk)=α1f(v1)+α2f(v2)+...+αkf(vk)!
Lineare = presenza di polinomi di 1 grado ( tutte le componenti devono essere componenti di
primo grado senza termini noti) !
Per capire se una trasformazione è lineare !
f(0 · x) = 0 · f(x) (omogeneità) e quindi f(0) = 0 -> una trasformazione f non trasforma 0 in 0, allora
non può essere lineare!
!
F(x) -> dominio Rn !
= x -> codominio Rm !
Rappresentazione di una T. lineare !
Per rappresentare una rappresentazione lineare è possibile farlo attraverso una matrice di
rappresentazione = !
