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Definizione operativa di valore atteso di una variabile aleatoria discreta (v.a.d.):
ୀଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
Proprietà:
𝐸(𝑐) = 𝑐 × 1 = 𝑐
ୀଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐[𝑥
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
)] = 𝑐𝐸(𝑋)
ୀଵ
= [𝑐𝑝(𝑥
)]
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
= 𝑐 × 1 + 𝐸(𝑋)
Con Y e X indipendenti avremo che il loro verificarsi congiunto sarà dato da: 𝑃(𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑃(𝑋)𝑃(𝑌).
Scriveremo quindi la doppia sommatoria di tutte le coppie di valori ൫𝑥
൯ moltiplicate tra loro:
ୀଵ
ୀଵ
௦௦ௗ ୀଵ…ୀଶ…ୀ
ୀଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ୀଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ୀଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ୀଵ
Possiamo dunque riscrivere la doppia sommatoria dei prodotti 𝑥
൯, scomponendola nel
prodotto di due sommatorie dei fattori con indici i e j rispettivamente:
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ossia 𝐸
Per quanto visto sopra, possiamo scrivere l’equivalenza nei termini di una doppia sommatoria di coppie
൯ questa volta però sommate tra di loro:
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
scomporre la doppia sommatoria per gli indici i e j nel prodotto di due sommatorie:
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
dato che la somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili in uno spazio campione è 1, avremo infine
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
ୀଵ
In modo analogo si dimostra l’equivalenza
con X e Y indipendenti.
[(
ଶ
]
[
)]
ଶ
ଶ
ଶ
[
)]
ଶ
𝐸[(𝑋 + 𝑌)
ଶ
] − [𝐸(𝑋 + 𝑌)]
ଶ
ଶ
ଶ
) + 2𝐸(𝑋𝑌) − [𝐸(𝑋)]
ଶ
− [𝐸(𝑌)]
ଶ
Riorganizzando gli addendi:
[(
ଶ
]
[
)]
ଶ
ଶ
[
)]
ଶ
()
ଶ
[
)]
ଶ
()
ୀ
L’ultimo termine essendo uguale a zero con X e Y indipendenti: infatti
(Vedi Pagina 1).
A questo punto è facile verificare che:
con X e Y indipendenti.
[
ଶ
]
[
]
ଶ
ଶ
ଶ
[
]
ଶ
𝐸[(𝑋 + 𝑌)
ଶ
] − [𝐸(𝑋 + 𝑌)]
ଶ
ଶ
ଶ
) − 2𝐸(𝑋𝑌) − [𝐸(𝑋)]
ଶ
− [𝐸(𝑌)]
ଶ
Riorganizzando gli addendi:
𝐸[(𝑋 + 𝑌)
ଶ
] − [𝐸(𝑋 + 𝑌)]
ଶ
ଶ
) − [𝐸(𝑋)]
ଶ
()
ଶ
) − [𝐸(𝑌)]
ଶ
()
ୀ
