Variabilità-concentrazione-forma, Schemi e mappe concettuali di Statistica

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SINTESI DELLA

DISTRIBUZIONE

DI UN CARATTERE

STATISTICO:

LA VARIABILITÀ

Esprime la tendenza delle

unità di un collettivo ad

assumere diverse modalità

di un carattere

• (^) Variabilità (caratteri quantitativi)

 DISPERSIONE

 DISUGUAGLIANZA

Proprietà essenziali di una misura di

variabilità:

 Essere NULLA quando e solo

quando tutti i termini della

distribuzione sono uguali tra loro

 Crescere all’aumentare della

disuguaglianza tra i termini

• (^) Mutabilità (caratteri qualitativi)

Indici di variabilità (dispersione): Differenza interquartilica:

Dati n valori ordinati in senso crescente:

x 1  x 2  …  x n

si considera la differenza tra il terzo ed il

primo quartile:

W = Q 3

• Q 1 CAMPO DI VARIAZIONE DEL 50% DELLE UNITÀ CENTRALI (PIÙ VICINE ALLA MEDIANA)

ESEMPIO

Quantità di borse prodotte da un’azienda

con due diversi macchinari in 15 giorni:

R

nuovo

R

vecchio

nuovo 21 24 25 35 42 45 46 48 48 50 50

vecchio 8 10 12 12 15 17 18 18 25 28 32

W

nuovo

W

vecchio

Le due distribuzioni, pur presentando lo stesso campo di variazione (R), sono caratterizzate da un diverso grado di variabilità, come evidenziato dalla differenza interquartilica (W)

OSSERVAZIONI SU s 2 :

• (^) Rispetta entrambe le proprietà

essenziali degli indici di variabilità

• (^) Non possiede la stessa unità di misura

dei valori della distribuzione

• (^) Elevando gli scarti al quadrato, tutte le

differenze sono positive e le più grandi

sono messe in maggiore risalto

ESEMPIO Fatturato (migliaia di euro) di 5 aziende   6. 557 , 76 5 1 32. 788 , 80 1 2 2       n i i x x n  Fatturato 268 112,8 12.723, 106 -49,2 2.420, 76 -79,2 6.272, 238 82,8 6.855, 88 -67,2 4.515, 776 32.788, x x i  (^)   2 x x i

5 1 1

   i  i n i i x x n x

ESEMPIO Un’indagine su 200 piccole aziende ha fornito la seguente distribuzione secondo il numero di dipendenti:

Calcolare s:

DIPENDENTI 1 2 3 4 5 TOTALE AZIENDE 60 80 30 25 5 200 2 , 175 200 435 x   1 , 07 200 228 , 87    Media aritmetica Deviazione standard

Peso (kg) e altezza (cm) di un collettivo

di 10 persone:

x = 73,5 s x

y = 170,4 s y

non è possibile confrontare la variabilità espressa in kg (14,76) con quella espressa in cm (9,48)

In una regione si hanno 9 industrie che hanno installato un dispositivo anti- inquinante di tipo A e altre 9 un dispositivo di tipo B. È stata rilevata la “quantità di cenere inquinante” che fuoriesce dalla ciminiera delle predette industrie. Tipo Quantità di pulviscolo (g/min) (*) A 69 80 44 52 54 54 86 77 65 B 35 62 43 23 30 28 22 40 25 ESEMPIO La distribuzione B ha una variabilità più elevata della distribuzione A 34 , 22 64 , 67   B A x x 12 , 02 13 , 65   B A   35 % 21 %   B A CV CV

IMPORTANZA DEGLI INDICI DI VARIABILITÀ Distribuzioni con x = 4: 1 2 3 4 5 6 7 8 x frequenza relativa

1 2 3 4 5 6 7 8 x

frequenza relativa Distribuzioni con R = 8: 1 2 3 4 5 6 7 8 x frequenza relativa 1 2 3 4 5 6 7 8 x frequenza relativa

ESEMPIO CASO A: Equidistribuzione Persone Somma posseduta (A) Somma posseduta (B) Somma posseduta (C) 1 a persona 5.000 0 0 2 a persona 5.000 1.000 0 3 a persona 5.000 1.000 0 4 a persona 5.000 3.000 0 5 a persona 5.000 3.000 0 6 a persona 5.000 4.000 0 7 a persona 5.000 23.000 35. Totale 35.000 35.000 35. CASO C: Massima concentrazione CASO B: Esempio di concentrazione

intermedia

Ordiniamo le N quantità osservate X

i

in

modo che:

x

1

 x

2

 ...  x

i

 ...  x

n

Ammontari cumulati:

A

1

= x

1

A

2

= x

1

+ x

2

A

i

= x

1

+ x

2

+ ... + x

i

A

n

= x

1

+ x

2

+ x

i

+ ... + x

n

A

i

: ammontare di carattere

posseduto dalle i unità più povere

Q

i

= A

i

/A

n

: corrispondente frazione di

ammontare

F

i

= i / n : frequenza relativa cumulata

delle prime i unità

Caso a) – Equidistribuzione: F

i

=Q

i Graficamente:

Caso b) – Un esempio tra le tante configurazioni di concentrazione intermedia:

F

i

> Q

i Avendo posto in ordine non decrescente le x i

la frazione di unità corrispondente, ad es ., al primo settimo possiede meno di un settimo del carattere totale, essendo formata dai più poveri. I primi due settimi delle unità hanno meno dei due settimi del carattere totale, ecc.

Un carattere è tanto più concentrato

quando la maggior parte dell’ammontare

del carattere stesso ( es. il reddito) è

posseduto da poche unità ( es. le famiglie)

Formalmente, un carattere è tanto più

concentrato quanto maggiori sono le

differenze ( F

i

• Q i

) per i diversi valori di i