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Breve introduzione al concetto di vettore e alle co-
ordinate polari
Il concetto di “vettore” si incontra fin dall’inizio dello studio della fisica, e i primi “vettori” che si incontrano sono il “vettore spostamento”, il “vettore velocita” e il “vettore forza”. La formalizzazione matematica del concetto di vettore si vedra nei corsi di geometria. Qui, come preliminare al corso di Analisi Matematica 1, interessa solamente richiamare alcune nozioni note dai corsi di Fisica. Riferiamo i punti dello spazio ad un sistema di coordinate cartesiano ortogonale. Per fare questo dobbiamo:
- privilegiare un punto O dello spazio, che si chiama l’origine delle co- ordinate;
- scegliere tre rette tra loro ortogonali che si incontrano in O e decidere quale `e la prima (asse delle ascisse), la seconda (asse delle ordinate) e la terza (asse delle quote) e su ciascuna di esse fissare un verso, che si chiama il “verso positivo”;
- fissare un’unit`a di misura.
Ovviamente, se invece di lavorare nello spazio si lavora con punti di un piano, allora si scelgono solamente l’asse delle ascisse e quello delle ordinate. Si sa che ogni punto P si rappresenta mediante le sue coordinate, P ≡ (x, y, z). Le tre coordinate x, y, z permettono di rappresentare la posizione del punto P rispetto all’origine O. Oltre che il punto P , le tre coordinate rappre- sentano anche il segmento orientato che congiunge O con P , orientato da O verso P. Questo segmento orientato rappresenta lo spostamento che porta a sovrapporsi al punto P un pallino inizialmente nell’origine. L’interpretazione delle coordinate e ora questa: l’ascissa x rappresenta di quanto si sposta lungo l’asse delle ascisse la proiezione ortogonale del pallino su tale asse. Interpretazione analoga per y e z. La lunghezza del segmento OPe √ x^2 + y^2 + z^2.
Uno spostamento “doppio” si ottiene raddoppiando le proiezioni dello spostamento su ciascuno degli assi; Ossia, se lo spostamento (x, y, z) porta
il pallino dal punto O al punto P ≡ (x, y, z), lo spostamento doppio lo porter`a nel punto (2x, 2 y, 2 z). Questo suggerisce di definire l’operazione
α(x, y, z) = (αx, αy, αz) (1)
per ogni numero reale α. Siano ora P ≡ (x, y, z) ed Q ≡ (x′, y′, z′). Spostandoci prima da O al punto P e poi da P parallelamente al segmento orientato OQ fino a descrivere un segmento della stessa lunghezza di OQ, si finisce nel punto R ≡ (x + x′, y + y′, z + z′). Questo suggerisce di definire
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′). (2)
Si noti che questa regola `e niente altro che la regola di somma dei vettori mediante la “regola del parallelogramma”. A questo punto abbiamo non solo definito gli “spostamenti”, ma anche operazioni algebriche tra essi. Si sa dalla fisica che queste regole si applicano non solo ai “vettori spostamento”, ma anche ai “vettori forze” ed anche ad altri tipi di “vettori”. Per questo conviene introdurre una definizione generale:
Definitione 1 L’insieme delle terne ordinate di numeri reali, dotato delle due operazioni (1) e (2) si chiama spazio vettoriale a tre dimensioni^1. Cias- cun elemento di uno spazio vettoriale si chiama “vettore” (senza pi`u pre- occuparci dell’interpretazione fisica di questo termine) e si indica con una lettera in grassetto: v = (x, y, z).
Introduciamo un ulteriore termine: si chiama modulo del vettore (x, y, z) il numero ||v|| =
√ x^2 + y^2 + z^2
(geometricamente, la “lunghezza” del vettore). Tre vettori hanno un ruolo “privilegiato” ed un simbolo particolare. Sono questi i vettori
i = (1, 0 , 0) j = (0, 1 , 0) k = (0, 0 , 1) (^1) se si lavora con coppie, parleremo di spazio vettoriale a due dimensioni, rappresentato geometricamente dai punti di un piano. Si noti che questo suggerisce che si possa lavorare con spazi vettoriali a quattro dimentioni, le quaterne di numeri, a cinque dimensioni ecc.
componenti. Invece il prodotto vettoriale si definisce solamente in spazi vet- toriali di dimensione tre. Niente vieta che i vettori di cui si fa il prodotto vettoriale appartengano al piano (x, y). Pero il loro prodotto vettorialee ortogonale ai due vettori e quindi non sta in tale piano. Il prodotto vettoriale di v e w si indica col simbolo v ∧ w. Il calcolo del prodotto vettoriale si fa usando le proprie`a seguenti:
v ∧ w = −w ∧ v ; v ∧ (w 1 + w 2 ) = v ∧ w 1 + v ∧ w 2 ; i ∧ i = 0 , j ∧ j = 0 , k ∧ k = 0 ; i ∧ j = k , j ∧ k = i , k ∧ i = j.
Come si vedra nel corso di Geometria, queste regole di calcolo si deducono cercando di scrivere in coordinate cartesiane ortogonali la regola nota dalla fisica che il prodotto vettoriale di v e we quel vettore che ha modulo uguale all’area del parallelogramma individuato da v e w; `e ortogonale ai due vet- tori e con verso scelto in modo da costituire una terna orientata come gli assi cartesiani. Usando le regole viste,
(xi + yj + zk) ∧ (x′i + y′j + z′k) = xy′(i ∧ j) + xz′(i ∧ k) + yx′(j ∧ i) + yz′(j ∧ k) + zx′(k ∧ i) + zy′(k ∧ j) = (yz′^ − zy′)i + (zx′^ − xz′)j + (xy′^ − yx′)k.
Coordinate polari
Consideriamo ora il piano cartesiano. Si fissi un sistema di coordinate carte- siane ortogonali e quindi si rappresentino i punti del piano mediante l’ascissa x e l’ordinata y: P ≡ (x, y). Si costruisce in questo modo una corrispondenza biunivoca tra punti e coppie di numeri reali. Ci sono altri modi di rappre- sentare i punti del piano, che in generale non conducono a corrispondenze biunivoche. Tra questi vogliamo indicare la rappresentazione in coordinate polari: un punto P ≡ (x, y) si rappresenta mediante il suo modulo r,
r =
√ x^2 + y^2
e il suo argomento o anomalia θ. Questo `e l’angolo tra il verso positivo dell’asse delle ascisse e il segmento che congiunge O con P , orientato da O
verso P. In questo modo,
x = r cos θ , y = r sin θ
e quindi ogni coppia (r, θ) rappresenta un punto del piano. La corrispon- denza non e biunivoca perche
x = r cos(θ + 2kπ) , y = r sin(θ + 2kπ)
per ogni intero k. Si recupera, ma solamente in parte, la biunivocit`a se si decide di scegliere θ nell’intervallo [0, 2 π). In questo modo si trova una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle coppie
{(r, θ), r > 0 , θ ∈ [0, π)}
e i punti del piano, esclusa l’origine. Si noti che l’origine si trova per r = 0 e qualunque valore di θ. I numeri r e , θ per cui
x = r cos θ , y = r sin θ
si chiamano le coordinate polari del punto P ≡ (x, y). Il numero r si chiama il modulo di P mentre il numero θ si chiama l’argomento o anche anomalia di P.
0.1 Un’applicazione: la legge di Ohm delle correnti alternate
Una corrente alternata ha intensit`a variabile nel tempo, data da
i(t) = I 0 cos(ωt + φ)
dove ω `e la frequenza e φ si chiama fase. Ai morsetti di una resistenza R percorsa dalla corrente alternata si pre- senta una differenza di potenziale anch’essa alternata, con la stessa frequenza e la stessa fase:
V (t) = V 0 cos(ωt + φ) , V 0 = RI 0.
Si noti che se ω = 0 questa e niente altro che la legge di Ohm per le correnti continue. Se pero la corrente I circola in un circuito contenente, oltre che resistenze, anche induttanze e condensatori, allora ai morsetti del circuito
