Interpolazione Polinomiale
In questo video parleremo del processo di interpolazione polinomiale, il quale è innanzitutto un processo di interpolazione, ovverosia partiremo da un set di dati discreto, come possono essere dei punti completamente separati tra di loro p uno, p due e p tre e passeremo invece a un insieme continuo, ovverosia una funzione a tutti gli effetti continua, derivabile che passi per quei punti.
Quindi un procedimento di interpolazione fondamentalmente è trovare una funzione che descriva bene o male l'andamento dei nostri punti discreti dal momento che passa per essi.
Ora l'interpolazione polinomiale suggerisce il fatto che la funzione interpolante non è una funzione qualsiasi, ma è un polinomio.
Il metodo più standard per interpolare attraverso un polinomio fondamentalmente, è quello di scrivere l'equazione generale del polinomio di grado opportuno e far sì che passi per i punti in questione.
In tal caso, il grado del polinomio Interpolante sarà di uno inferiore rispetto al numero di punti.
Nel momento in cui dovessimo avere tre punti, tre meno uno fa due, un polinomio di secondo grado é quello che ci vuole.
Polinomio di secondo grado la cui forma generica, la possiamo scrivere, è del tipo y uguale a x
alla seconda più b x più c, se non riuscissimo a trovare i coefficienti a, b e c tale per cui questa funzione di secondo grado passa per i punti zero zero, uno uno e due quattro, avremmo trovato la nostra funzione interpolatrice che è un polinomio.
Quindi impostiamo il passaggio per i punti.
Dobbiamo imporre che la funzione generale scritta a destra passi per questi punti.
Ma se deve passare per questi punti, ciò vuol dire che deve passare per zero zero, quindi a sinistra la y sarà zero, a destra la x sarà zero, ma allora se ne vanno tutti gli addendi eccetto la c, se passa per uno uno, la y è uno e la x è uno, ma nel momento in cui la x è uno, la x se ne va perché fondamentalmente è uno moltiplicativo che può essere ignorato e rimane soltanto a più b più c.
D'altra parte ancora, se abbiamo che deve passare per due quattro, nel momento in cui deve passare per due quattro, abbiamo che la y ovviamente è quattro, mentre invece la x deve essere due.
Due alla seconda fa quattro, quindi quattro a più due b più c.
Ovviamente questo sistema è un sistema di facile risoluzione perché la c è zero, come possiamo vedere, quindi questo già si può semplificare sin d'ora.
Inoltre, anche qui in basso possiamo dividere tutto per due e quindi otteniamo questo.
Perciò sistemando il nostro sistema abbiamo c uguale zero, quello che abbiamo appena trovato, possiamo ricavare indifferentemente adesso una di queste due quindi possiamo ad esempio ricavare la b, portando la a al primo membro quindi la b sarebbe uno meno a, in basso abbiamo ottenuto due uguale due a, ora dovremmo mettere più b, ma in realtà a questo punto mettiamo più uno meno a.
E quindi, proseguendo con la risoluzione, abbiamo sempre c uguale zero, abbiamo sempre b uguale uno meno a, adesso abbiamo due a meno a fa a, portando quell’a sinistra otterremo due meno uno che fa uno, quindi in sostanza a è uguale ad uno.
Ma se a è uguale a uno, allora b dovrebbe essere uno meno a e in realtà è zero, é zero e fondamentalmente se ne vanno tutti i coefficienti eccetto la a che è uno.
E quindi la nostra funzione Interpolatrice la possiamo già scrivere, è la funzione y uguale x quadro.
La funzione in cui a il coefficiente di secondo grado è uno e tutti gli altri sono zero, come da soluzione del sistema.
Ed è vero, questa è l'unica funzione di secondo grado che passa per quei punti, passa per zero zero perché il quadrato di zero è zero, passa per uno uno perché il quadrato di uno a tutti gli effetti è uno, passa per due quattro perché il quadrato di due è quattro.
Quindi con questo metodo siamo riusciti a trovare una funzione che non è una funzione qualsiasi, ma è un polinomio quindi una funzione che si comporta molto bene perché sappiamo che polinomi sono continui, sono infinitamente derivabili che passava per i punti richiesti.