Prodotto Vettoriale
In questo video parleremo di prodotti vettoriali.
Il prodotto vettoriale un'operazione che si può svolgere su dei vettori, fondamentalmente un'operazione matematica, ma trova la sua massima espressione in fisica, ad esempio dell'elettromagnetismo, tanto che in esercizi sul campo elettrico sul campo magnetico abbastanza comune dovere sfruttare dei prodotti vettoriali per ottenere la soluzione.
Del prodotto vettoriale è importante dire che si può calcolare soltanto in R tre.
Infatti vediamo che questi vettori, u e v hanno soltanto tre componenti, u uno, u due, u tre e v uno, v due e v tre e il modo in cui si calcola il prodotto vettoriale facendo uso di questo determinante in basso, questo determinante in basso vediamo che contiene i j e k che ci aiuteranno a interpretare il risultato in maniera tale che sia un vettore.
Perché infatti il prodotto vettoriale si chiama così perché il risultato è un vettore.
Il modo in cui lo faranno ce lo spiegherà questo esempio.
Vediamo questi due vettori u e v uno zero tre, zero uno meno uno, possiamo scriverli sotto forma di matrice nel mondo che abbiamo appena visto, quindi la prima riga i j k, ora vedremo il significato di questi simboli, poi le coordinate di u e le coordinate di v, ed essendo una matrice tre per tre si può calcolare il suo determinante con la regola di Sarrus, quindi facendo il prodotto delle tre diagonali principali e sommandole fra di loro e poi sottrarre il prodotto delle tre diagonali secondarie.
Fatto questo possiamo procedere con i conti per vedere quanto verrebbe fuori questo determinante.
La prima diagonale principale è i per zero per meno uno, che fa zero per via della presenza dello zero, anche la seconda perché sarebbe j per tre per zero, la terza invece k per uno per uno che ovviamente fa solo k perciò k è il primo frammento della nostra soluzione.
Andiamo a leggere le secondarie, la prima è k per zero per zero che fa zero, la seconda i per tre per uno che fa tre i, però questa é la diagonale secondaria, quindi dobbiamo sottrarre tre i, perchè meno tre i e poi l'ultima, j per uno per meno uno, questo farebbe meno j ma essendo una diagonale secondaria si sottrae e quindi il meno diventa più e otteniamo più j.
Il modo in cui J e k ci aiutano a leggere questo risultato come se fosse un vettore è il seguente.
Siccome i, j e k rappresentano fondamentalmente le tre direzioni dello spazio cartesiano in cui viviamo, i corrisponde alla coordinata x, j corrisponde
alla coordinata y e k corrisponde alla coordinata z, quindi il coefficiente di i è meno tre, la componente in x è meno tre, il coefficiente di j è uno, il coefficiente di k è uno.
Quindi leggendo i coefficienti di i, j e k in questo ordine si ottengono le componenti appunto del vettore risultato del prodotto vettoriale.
Questo è il procedimento algebrico, ma c'è anche un procedimento geometrico per poter trovare il prodotto vettoriale che vediamo qua.
Notiamo avendo questi due vettori che la norma, ovverosia la lunghezza indicata dalle doppie barrette di u prodotto vettoriale v, si calcola moltiplicando la lunghezza di u per la lunghezza di v per il seno dell'angolo compreso.
Questa formula ricorda molto quella del prodotto scalare con l'unica differenza che c'è un seno al posto del coseno, ma se per il prodotto scalare quello bastava, perché il prodotto scalare era un numero quindi fondamentalmente già solo quella formula era sufficiente, il prodotto vettoriale è un vettore quindi capire quanto è lungo questo vettore questa formula ce lo dice non è sufficiente, occorrono ancora la direzione e il verso del prodotto vettoriale in forma geometrica.
La direzione e il verso del prodotto vettoriale in forma geometrica sono spiegati qui.
Come si nota la direzione è sempre perpendicolare sia a u che a v ed è sempre possibile trovare questa direzione perché due vettori definiscono un piano, quindi si intende la direzione perpendicolare al piano al quale appartengono u e v, mentre invece il verso è deciso dalla regola della mano destra.
La regola della mano destra è illustrata sulla destra e si calcola in questo modo, questo il modo in cui si utilizza la regola.
Si prende la mano appunto destra e si allineano le tre dita: pollice, indice e medio in questo modo.
Il pollice si allinea nella direzione di u, l'indice si allinea nella direzione di v e poi si cerca di mettere il dito medio in maniera tale appunto che sia perpendicolare sia a u che a v, perché abbiamo appena visto che la direzione deve essere questa.
Il verso nel quale punta a tutti gli effetti il dito medio sarà il verso del vettore risultato del prodotto vettoriale.
Questa regola adesso la vedremo meglio all'atto pratico con un esempio.
E l’esempio è il seguente.
Abbiamo questi due vettori u e v, u lungo due centimetri e v lungo tre centimetri, quindi per quanto riguarda la lunghezza non è nulla di particolare, perché semplicemente la lunghezza di u, due per la lunghezza di v, che è tre, per il seno dell'angolo compreso.
Ma il seno trenta di gradi sappiamo dalla trigonometria essere un mezzo, quindi fondamentalmente abbiamo questo: due e due si semplificano e perciò rimane soltanto tre.
Quindi il prodotto vettoriale sono un vettore con lunghezza tre molto semplice come conto.
Ma quale sarà la sua direzione?
Quale sarà il suo verso?
La direzione è abbastanza facile anche questa, perché abbiamo già letto fondamentalmente qual è la direzione.
La direzione è quella perpendicolare.
Quindi se noi vediamo questi vettori sullo schermo, a tutti gli effetti abbiamo che il vettore, prodotto vettoriale, sarà un vettore perpendicolare allo schermo.
Perpendicolare allo schermo comunque ci lascia due possibilità per il verso, perché può essere un vettore entrante nello schermo, così come può essere un vettore uscente dallo schermo.
Per questo serve appunto la regola della mano destra, per decidere fra queste due possibilità, fra questi due vettori ugualmente perpendicolare allo schermo quale sia quello giusto.
Quindi per la regola della mano destra, fondamentalmente quello che serve è andare ad allineare il pollice della mano destra in maniera tale che sia nella direzione di u, l'indice della mano destra in maniera tale che sia nella direzione di v e, se si fa questo, si scopre che l'unico modo per poterlo fare con la mano destra anatomicamente è quello di avere il palmo rivolto verso di noi mentre stiamo guardando lo schermo.
Quindi questo vuol dire fondamentalmente che il dito medio, nel momento in cui lo mettiamo perpendicolare sia a u che, che vi, punterà nella nostra direzione.
Questo vuol dire che per la regola della mano destra il verso è uscente, non è entrante perché, se il dito medio avesse puntato nella direzione dello schermo, allora in quel caso il verso sarebbe stato entrante, ma siccome il dito medio, in questo setting punta verso di noi, il verso è uscente.
Quindi possiamo subito scrivere, la direzione perpendicolare, non c'è bisogno di scriverlo perché fondamentalmente è sempre perpendicolare in ogni prodotto vettoriale, ma la cosa importante qui è che il verso è uscente.
E avendo descritto il fatto che il prodotto vettoriale ha lunghezza tre, ovviamente in questo caso si intende tre centimetri, visto che sono l'unità di misura che stiamo lavorando e il verso è uscente, abbiamo già caratterizzato in toto il prodotto vettoriale.
Si noti infine che il prodotto vettoriale non è un prodotto commutativo perché la regola della mano destra dipende strettamente da quale vettore si prende come primo vettore, da quale vettore si prende come secondo.
Perché il pollice si deve allineare al primo vettore, l'indice si deve allineare al secondo vettore.
Se l'ordine dei vettori viene cambiato, la regola della mano destra cambia radicalmente e in particolare il medio va a puntare nella direzione opposta.
Quindi il prodotto vettoriale è un'operazione anticommutativa perché scambiando l'ordine dei fattori si ottiene si un vettore che bene o male somiglia a quello di prima, ma che è l’opposto perché anziché puntare in un certo verso, per via della regola della mano destra che cambia con il cambiare dell'ordine dei vettori, va a puntare nel verso opposto.