Pobierz matematyka_tablice.pdf i więcej Egzaminy w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

1. WARTOÂå BEZWZGL¢DNA LICZBY

WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

x <

x x

x x

dla dla

= H

Liczba x jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególnoÊci:

x H 0 - x = x

Dla dowolnych liczb x, y mamy:

x + y G x + y x - y G x + y x $ y = x $ y

Ponadto, jeÊli y! 0 , to (^) yx^ = yx

Dla dowolnych liczb a oraz r H 0 mamy warunki równowa˝ne:

x - a G r +a - r G x Ga + r x - a H r +x Ga - rlub x H a +r

2. POT¢GI I PIERWASTKI

Niech n b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tà pot´g´: a n a ... a n razy

= $ $

Pierwiastkiem arytmetycznym n^ astopnia n z liczby a H 0 nazywamy liczb´ b H 0 takà, ˝e b n^ = a.

W szczególnoÊci, dla dowolnej liczby a zachodzi równoÊç: a 2 = a.

Je˝eli a^ <^0 oraz liczba n^ jest nieparzysta, to n^ aoznacza liczb´ b^ <^0 takà, ˝e b^ n^ =^ a.

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.

Niech m, n b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:

• dla a! 0 : a a
• n= (^1) n oraz a 0 = 1
• dla a H 0 : a n a

m (^) n m

– dla a > 0 : a

a

mn 1 =n m

Niech r, s b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli a > 0 i b > 0 , to zachodzà równoÊci:

a r^ $ a s^ = ar^ +^ s a r^ a

s (^) r s b l = $ a

a (^) sr^ = ar^ -^ s _a $ b (^) i r^ =a r^ $br b

a b

d nr =arr Je˝eli wyk∏adniki r, s sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory obowiàzujà dla wszystkich liczb a! 0 i b! 0.

3. LOGARYTMY

Niech a > 0 i a! 1. Logarytmem log a cliczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wyk∏adnik b pot´gi, do której nale˝y podnieÊç

podstaw´ a, aby otrzymaç liczb´ c: log (^) ac = b +a b= c Równowa˝nie: a log^ a^ c=c

Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzà wzory:

log (^) a _ x $ y i = log (^) a x +logay log (^) ax r= r $logax log (^) a yx^ = log (^) a x - logay Wzór na zamian´ podstawy logarytmu:

Je˝eli a > 0 , a! 1 , b > 0 , b! 1 oraz c > 0 , to log log

log c (^) b

c b (^) a = a log x oraz lg x oznacza log 10 x.

4. SILNIA. WSPÓ¸CZYNNIK DWUMIANOWY

Silnià liczby ca∏kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca∏kowitych od 1 do n w∏àcznie: n! = 1 $ 2 $ ...$n Ponadto przyjmujemy umow´, ˝e 0! = 1

Dla dowolnej liczby ca∏kowitej n^ H^0 zachodzi zwiàzek: _ n^ +^1 i!^ =^ n!^ $_n+^1 i

Dla liczb ca∏kowitych n, k spe∏niajàcych warunki 0 G k G ndefiniujemy wspó∏czynnik dwumianowy d nkn (symbol Newtona):

n! k (^) k n k = n d n (^) _ - i Zachodzà równoÊci:

...

n ... k (^) k

n n n n k 1 2 3

d

_ _ _

n

i i i (^) n k

n d n =^ dn - kn n d 0 n =^1 n d (^) n n=^1

Próbna Matura z OPERONEM

ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH

OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010 (êród∏o: CKE)

Próbna Matura z OPERONEM

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy: a b n 0 a n 1 a b ... nk a b ... n n 1 ab nn b

n (^) n n 1 n k k n 1 n _ + i = d n + d n -^ + + d n -^ + + d (^) - n - +d n

6. WZORY SKRÓCONEGO MNO˚ENIA Dla dowolnych liczb a, b: a b a 2 ab b

(^2 2 ) _ + i = + + a b a 3 a b 3 ab b

(^3 3 2 2 ) _ + i= + + + a b a 2 ab b

(^2 2 ) _ -^ i =^ -^ + a^ b^ a^3 a^ b^3 ab^ b

(^3 3 2 2 ) _ -^ i=^ -^ +^ - Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: a n^ - b n^ = _ a - b ib a n^ -^1 + a n^ -^2 b + ... + a n^ -^ k^ b k^ -^1 + ...+ ab n^ -^2 +bn-^1 l W szczególnoÊci: a 2 - b 2 = _ a - b i_ a +bi a 3 + b 3 = _a + b ib a 2 - ab +b^2 l a 3 - b 3 = _ a - b ib a 2 + ab +b^2 l a 2 - 1 = a - 1 i a+ 1 i a 3 + 1 = _a + 1 ib a 2 - a+ 1 l a 3 - 1 = _ a - 1 ib a 2 + a+ 1 l a n^ - 1 = (^) _a - (^1) ib 1 + a + ...+ an^ -^1 l

7. CIÑGI ■ Ciàg arytmetyczny Wzór na n-ty wyraz ciàgu arytmetycznego ` a (^) nj o pierwszym wyrazie a 1 i ró˝nicy r: a (^) n = a 1 + _ n - 1 ir Wzór na sum´ S (^) n = a 1 + a 2 + ...+ anpoczàtkowych n wyrazów ciàgu arytmetycznego:

S

a a n

a n r 2 2 n

n = 1 +^ n $ = 1 +^ _^ - i $ Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu arytmetycznego zachodzi zwiàzek: a

a a n 2

= n^ -^1 + n+^1 dla n H 2

■ Ciàg geometryczny Wzór na n-ty wyraz ciàgu geometrycznego ` a (^) nj o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q:

a n= a 1 $qn-^1 dla n H 2

Wzór na sum´ S (^) n = a 1 + a 2 + ...+ anpoczàtkowych n wyrazów ciàgu geometrycznego:

S a^ q

q

n a

q q

dla dla

n

n 1 1

= - -^!

Z

[

\

]]

]]

Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu geometrycznego zachodzi zwiàzek:

a n^2 = a n - 1 $an+ 1 dla n H 2

■ Procent sk∏adany Je˝eli kapita∏ poczàtkowy K z∏o˝ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej, to kapita∏ koƒcowy K (^) n wyra˝a si´ wzorem:

K (^) n K 1 100 p

n = $e + o

8. FUNKCJA KWADRATOWA Postaç ogólna funkcji kwadratowej: f _ x i = ax 2 + bx +c, a! 0 , x! R. Wzór ka˝dej funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci kanonicznej: f x a x p q

2 _ i = _ - i + , gdzie p = - 2 ba, q = - 4 Δa, Δ = b 2 - 4 ac Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho∏ku w punkcie o wspó∏rz´dnych _ p q, i. Ramiona paraboli skierowane sà do góry, gdy a > 0 , do do∏u, gdy a < 0. Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (^) _ x (^) i = ax 2 + bx +c(liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczy-

wistych rozwiàzaƒ równania ax 2 + bx + c = 0 ), zale˝y od wyró˝nika Δ = b 2 - 4 ac:

• je˝eli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równa- nie kwadratowe nie ma rozwiàzaƒ rzeczywistych),
• je˝eli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dok∏adnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwój-

ny, równanie kwadratowe ma dok∏adnie jedno rozwiàzanie rzeczywiste): x 1 = x 2 = - 2 ba

• je˝eli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa ró˝ne pierwiastki rzeczywiste, rów- nanie kwadratowe ma dwa rozwiàzania rzeczywiste): x 1 = -^ b^2 - a^ Δ, x 2 = -^ b^2 +a Δ

JeÊli Δ H 0 , to wzór funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci iloczynowej:

f _ x i = a x - x 1 j x - x 2 j

Próbna Matura z OPERONEM

10. PLANIMETRIA ■ Cechy przystawania trójkàtów To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà przystajàce _ D ABC /DDEFi, mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej z nast´pujàcych cech przystawania trójkàtów :

• cecha przystawania „bok – bok – bok” : odpowiadajàce sobie boki obu trójkàtów majà te same d∏ugoÊci: AB = DE, AC = DF, BC = EF.
• cecha przystawania „bok – kàt – bok” : dwa boki jednego trójkàta sà równe odpowiadajàcym im bokom drugiego trójkàta oraz kàt zawarty mi´dzy tymi bokami jedne- go trójkàta ma takà samà miar´ jak odpowiadajàcy mu kàt drugiego trójkàta, np. AB = DE, AC = DF, ]BAC = ]EDF
• cecha przystawania „kàt – bok – kàt” : jeden bok jednego trójkàta ma t´ samà d∏ugoÊç, co odpowiadajàcy mu bok drugiego trójkàta oraz miary odpowiadajàcych so- bie kàtów obu trójkàtów, przyleg∏ych do boku, sà równe, np. AB = DE, ]BAC = ]EDF, ]ABC =]DEF ■ Cechy podobieƒstwa trójkàtów To, ˝e dwa trójkàty ABC i DEF sà podobne (^) _ DABC ~ DDEFi, mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej z nast´pujàcych cech podobieƒstwa trójkàtów :
• cecha podobieƒstwa „bok – bok – bok” : d∏ugoÊci boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do odpowiednich d∏ugoÊci boków drugiego trójkàta, np.

DE

AB

DF

AC

EF

= = BC

• cecha podobieƒstwa „bok – kàt – bok” : d∏ugoÊci dwóch boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do odpowiednich d∏ugoÊci dwóch boków drugiego trójkàta i kàty

mi´dzy tymi parami boków sà przystajàce, np. DE

AB

DF

AC

= , ]BAC =]EDF

• cecha podobieƒstwa „kàt – kàt – kàt” : dwa kàty jednego trójkàta sà przystajàce do odpowiednich dwóch kàtów drugiego trójkàta (wi´c te˝ i trzecie kàty obu trójkà- tów sà przystajàce): ]BAC = ]EDF, ]ABC = ]DEF, ]ACB = ]DFE Przyjmujemy oznaczenia w trójkàcie ABC: a, b, c (^) – d∏ugoÊci boków, le˝àcych odpowiednio naprzeciwko wierzcho∏ków A, B, C 2 p = a + b + c– obwód trójkàta a, b, c – miary kàtów przy wierzcho∏kach A, B, C h (^) a, h (^) b, h (^) c – wysokoÊci opuszczone z wierzcho∏ków A, B, C R, r – promienie okr´gów opisanego i wpisanego ■ Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) W trójkàcie ABC kàt c jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c^2. ■ Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym Za∏ó˝my, ˝e kàt c jest prosty. Wówczas: h (^) c^2 = AD $ DB h (^) c = abc a = c $ sin a =c$cosb a = b $ tg a =b $tg^1 b R = 21 c r = a^ +^ b 2 -^ c^ = p - c ■ Twierdzenie sinusów

sin (^) sin sin

a (^) = b (^) = c (^) = 2 R a (^) b c ■ Twierdzenie cosinusów a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cosa b 2 = a 2 + c 2 - 2 accosb c 2 = a 2 + b 2 - 2 abcosc ■ Trójkàt równoboczny a – d∏ugoÊç boku, h – wysokoÊç trójkàta

h = a 23 P a 43

2 D= ■ Wzory na pole trójkàta PD (^) ABC = 21 $ a $ h (^) a = 21 $ b $ h (^) b = 21 $ c $hc P (^) D ABC = 21 a $ b$sinc

sin P a sin^ sin^ R sin sin sin 2

ABC

= 2 $^ =^2 $ $ $

a

b c (^) a b c D P^ R

abc (^) rp p p a p b p c DABC =^4 =^ =^ ^ -^ i^ -^ i^ _ - i ■ Twierdzenie Talesa Je˝eli proste równoleg∏e AA' i BB' przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O, to OA' '

OA

OB

OB

O

B

B '

A A '

O

B

A B '

A '

a b

c b a

A c B

C

a b

c b a

A c B

C

D

hc

A B

C

D E

F

A B

C

D E

F

5

■ Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Je˝eli proste AA' i BB' przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie O oraz OA' '

OA

OB

OB

= , to proste AA' i BB' sà równoleg∏e. ■ Czworokàty Trapez Czworokàt, który ma co najmniej jednà par´ boków równoleg∏ych. Wzór na pole trapezu: P = a^2 + b^ $h

Równoleg∏obok Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych. Wzory na pole równoleg∏oboku: P = ah = a $ b $ sin a = 21 $ AC $ BD $sin{

Romb Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych jednakowej d∏ugoÊci. Wzory na pole rombu: P = ah = a 2 $ sina= 21 $ AC $ BD

Deltoid Czworokàt, który ma oÊ symetrii, zawierajàcà jednà z przekàtnych. Wzór na pole deltoidu: P = 21 $ AC $ BD

Ko∏o Wzór na pole ko∏a o promieniu r: P = rr 2 Obwód ko∏a o promieniu r: Obw. = 2 rr

Wycinek ko∏a Wzór na pole wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach: P = rr 2 $ 360 ac D∏ugoÊç ∏uku wycinka ko∏a o promieniu r i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach: l = 2 rr 360 ac ■ Kàty w okr´gu Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po∏owie miary kàta Êrodkowego, opartego na tym samym ∏uku. Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tym samym ∏uku, sà równe.

■ Twierdzenie o kàcie mi´dzy stycznà i ci´ciwà

Dany jest okràg o Êrodku w punkcie O i jego ci´ciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okr´gu w punkcie A. Wtedy ]AOB = 2 $]CAB, przy czym wybieramy ten z kàtów Êrodkowych AOB, który jest oparty na ∏uku znajdujàcym si´ wewnàtrz kàta CAB.

■ Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane sà: prosta przecinajàca okràg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okr´gu w punkcie C. Je˝eli proste te przecinajà si´ w punkcie P, to PA PB PC

2 $ =

■ Okràg opisany na czworokàcie Na czworokàcie mo˝na opisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwleg∏ych kàtów wewn´trznych sà równe 180 c: a + c = b + d= 180 c

■ Okràg wpisany w czworokàt W czworokàt wypuk∏y mo˝na wpisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d∏ugoÊci jego prze- ciwleg∏ych boków sà równe: a + c = b +d

Próbna Matura z OPERONEM

a

b h

D

A E B

C

a

b

D

A B

C

a

h {

a

D

A B

C

h a

D

B

A C

r O

r

A

O

B

a

A

O 2 a B

a

a a

A

O

B

C A

O

B

C A

B

C P

A

B

D

C

a

b

d

c

A

B

D

C

r

a

b

c

d

■ Funkcje sumy i ró˝nicy kàtów Dla dowolnych kàtów a, b zachodzà równoÊci: sin _ a + b i = sin a cos b +cos a sinb sin _ a - b i= sin a cos b - cos a sinb cos (^) _ a + b (^) i = cos a cos b - sin a sinb cos (^) _ a - b (^) i= cos a cos b +sin a sinb Ponadto mamy równoÊci: tg (^) tg tg

tg tg

• = (^1) - $

a b (^) a b

a b _ i tg (^) tg tg

tg tg

• = (^1) + $

a b (^) a b

a b _ i które zachodzà zawsze, gdy sà okreÊlone i mianownik prawej strony nie jest zerem. ■ Funkcje podwojonego kàta sin 2 a = 2 sin a cosa cos 2 a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin^2 a

13. KOMBINATORYKA ■ Wariacje z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n ró˝nych elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy si´ z k niekoniecznie ró˝nych wyrazów, jest równa n k. ■ Wariacje bez powtórzeƒ

Liczba sposobów, na które z n ró˝nych elementów mo˝na utworzyç ciàg, sk∏adajàcy si´ z k ( 1 G k G n) ró˝nych wyrazów, jest

równa

n $ _ n - 1 $ ... $_ n - k + 1 = (^) n - n!k! _

i i i ■ Permutacje

Liczba sposobów, na które n H 1 ró˝nych elementów mo˝na ustawiç w ciàg, jest równa n!.

■ Kombinacje

Liczba sposobów, na które spoÊród n ró˝nych elementów mo˝na wybraç k ( 0 G k G n) elementów, jest równa d nkn.

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIE¡STWA ■ W∏asnoÊci prawdopodobieƒstwa

0 G P _ Ai G 1 dla ka˝dego zdarzenia A 1 Ω

P (^) _Ω i = 1 Ω – zdarzenie pewne P (^) _Q i = 0 Q – zdarzenie niemo˝liwe (pusty podzbiór Ω)

P _ A i GP _Bi, gdy A 1 B 1 Ω

P _ A ' i = 1 - P _Ai, gdzie A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A P _ A , B i = P _ A i + P _ B i - P _A +Bi, dla dowolnych zdarzeƒ A, B 1 Ω

P _ A , B i G P _ A i +P _Bi, dla dowolnych zdarzeƒ A, B 1 Ω

■ Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieƒstwa Niech Ω b´dzie skoƒczonym zbiorem wszystkich zdarzeƒ elementarnych. Je˝eli wszystkie zdarzenia jednoelementowe sà jedna-

kowo prawdopodobne, to prawdopodobieƒstwo zdarzenia A 1 Ωjest równe P A

A

_ i = Ω, gdzie A oznacza liczb´ elementów

zbioru A, zaÊ Ω – liczb´ elementów zbioru Ω.

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH ■ Ârednia arytmetyczna Ârednia arytmetyczna n liczb a 1 , a 2 , …, a (^) n jest równa: ... a (^) n

a 1 a 2 a (^) n

■ Ârednia wa˝ona Ârednia wa˝ona n liczb a 1 , a 2 , …, a (^) n, którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi w 1 , w 2 , …, w (^) n jest równa:

...

w w w

w a w a w a n

n n 1 2

1 $^1 2 $^2 $

■ Ârednia geometryczna Ârednia geometryczna n^ nieujemnych liczb a 1 , a 2 , …, a^ n jest równa: n^ a^1 $^ a^2 $^ ...$a^ n ■ Mediana

Medianà uporzàdkowanego w kolejnoÊci niemalejàcej zbioru n danych liczbowych a 1 G a 2 G a 3 G ...G a njest:

• dla n nieparzystych: a n 2

• 1 (Êrodkowy wyraz ciàgu)

• dla n parzystych: 21 a n an 2 2 1 c +^ +m (Êrednia arytmetyczna Êrodkowych wyrazów ciàgu) ■ Wariancja i odchylenie standardowe Wariancjà n danych liczbowych a 1 , a 2 , …, a (^) n o Êredniej arytmetycznej a jest liczba: ... (^) ... n

a a a a a a n

a a a 2 1 n (^) n a

2 2

2 2 1

2 2

(^2 )

v -

`

_

j j j i Odchylenie standardowe v jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Próbna Matura z OPERONEM

Próbna Matura z OPERONEM

16. TABLICA WARTOÂCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

a (^) 7 A c sin a cos b a (^) 7 A c sin a cos b

• 0 0,0000 0,0000 tg a b 7 Ac
• 1 0,0175 0,0175
• 2 0,0349 0,0349
• 3 0,0523 0,0524
• 4 0,0698 0,0699
• 5 0,0872 0,0875
• 6 0,1045 0,1051
• 7 0,1219 0,1228
• 8 0,1392 0,1405
• 9 0,1564 0,1584
• 10 0,1736 0,1763
• 11 0,1908 0,1944
• 12 0,2079 0,2126
• 13 0,2250 0,2309
• 14 0,2419 0,2493
• 15 0,2588 0,2679
• 16 0,2756 0,2867
• 17 0,2924 0,3057
• 18 0,3090 0,3249
• 19 0,3256 0,3443
• 20 0,3420 0,3640
• 21 0,3584 0,3839
• 22 0,3746 0,4040
• 23 0,3907 0,4245
• 24 0,4067 0,4452
• 25 0,4226 0,4663
• 26 0,4384 0,4877
• 27 0,4540 0,5095
• 28 0,4695 0,5317
• 29 0,4848 0,5543
• 30 0,5000 0,5774
• 31 0,5150 0,6009
• 32 0,5299 0,6249
• 33 0,5446 0,6494
• 34 0,5592 0,6745
• 35 0,5736 0,7002
• 36 0,5878 0,7265
• 37 0,6018 0,7536
• 38 0,6157 0,7813
• 39 0,6293 0,8098
• 40 0,6428 0,8391
• 41 0,6561 0,8693
• 42 0,6691 0,9004
• 43 0,6820 0,9325
• 44 0,6947 0,9657
• 45 0,7071 1,0000 - 46 0,7193 1,0355 tg a b 7 Ac - 47 0,7314 1,0724 - 48 0,7431 1,1106 - 49 0,7547 1,1504 - 50 0,7660 1,1918 - 51 0,7771 1,2349 - 52 0,7880 1,2799 - 53 0,7986 1,3270 - 54 0,8090 1,3764 - 55 0,8192 1,4281 - 56 0,8290 1,4826 - 57 0,8387 1,5399 - 58 0,8480 1,6003 - 59 0,8572 1,6643 - 60 0,8660 1,7321 - 61 0,8746 1,8040 - 62 0,8829 1,8807 - 63 0,8910 1,9626 - 64 0,8988 2,0503 - 65 0,9063 2,1445 - 66 0,9135 2,2460 - 67 0,9205 2,3559 - 68 0,9272 2,4751 - 69 0,9336 2,6051 - 70 0,9397 2,7475 - 71 0,9455 2,9042 - 72 0,9511 3,0777 - 73 0,9563 3,2709 - 74 0,9613 3,4874 - 75 0,9659 3,7321 - 76 0,9703 4,0108 - 77 0,9744 4,3315 - 78 0,9781 4,7046 - 79 0,9816 5,1446 - 80 0,9848 5,6713 - 81 0,9877 6,3138 - 82 0,9903 7,1154 - 83 0,9925 8,1443 - 84 0,9945 9,5144 - 85 0,9962 11,4301 - 86 0,9976 14,3007 - 87 0,9986 19,0811 - 88 0,9994 28,6363 - 89 0,9998 57,2900 - 90 1,0000 —