NAUKA O RUCHU, Ćwiczenia z Fizyka

Pobierz NAUKA O RUCHU i więcej Ćwiczenia w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

NAUKA O RUCHU

,. * • •

Drukarnia Naukowa. Warszawa, Rynek Starego Miasta 11.

Gepriift und auchfflrdie, Ausfuhr freigegeben Preseyerwaltung Warsołiau, den 11/XI 1917. T. )fe 8121. Dr. jsfe 278.. •

PRZEDMOWA.

Książka niniejsza zawiera wykład cynematyki i dynamiki, odpowiadający w głównych rysach kursowi, który wygłosiłem w r. 1916/7 na wydziale Budowy Maszyn Politechniki War- szawskiej. Jest to więc wykład mechaniki teoretycznej (z po- minięciem statyki), przystosowany do potrzeb technika i skut- kiem tego odbiegający dość daleko od wielu podręczników, które uwzględniają raczej potrzeby astronoma i fizyka. Dotyczy to w równej mierze treści, jak i metody. Licząc się więc z po- trzebami współczesnego inżyniera, poświęciłem stosunkowo dużo miejsca cynematyce ciała sztywnego, reakcyom w łożyskach i przegubach, naprężeniom, powstającym w ciele podczas ruchu i t. d. Co się tyczy metody, to dawałem wszędzie, gdzie to było możliwe, pierszeństwo metodzie geometrycznej, gdyż zdaniem mo- jem jest ona dla danego celu odpowiedniejsza od analitycznej. Opanowanie należyte aparatu analitycznego jest rzeczą niełatwą i wymaga długiej pracy, na którą nie każdy technik może się zdobyć. Kto zaś nie włada w dostatecznym stopniu metodą, temu zawiłości rachunku przysłaniają często badane zjawisko. Metoda geometryczna ujmuje rzecz bardziej bezpośrednio i skut- kiem tego daje wyraźniejszy obraz zjawiska zwłaszcza dla umy- słów mniej wyszkolonych matematycznie. Przy studyowaniu mechaniki niezbędne są ciągłe ćwicze- nia, gdyż tylko tą drogą uczący się może osiągnąć całkowitą asymilacyę poznanej teoryi i zapanować nad zjawiskami me- chanicznemi. Pragnąc dostarczyć czytelnikowi materyału do ćwiczeń, zebrałem w książce kosztem niemałej pracy pokaźną liczbę zadań, starając się, aby były interesujące i istotnie kształcące, t. j. aby nie tylko rozwijały wprawę w stosowaniu

SPIS RZECZY

Wstąp.

CYNEMATYKA.

— VI —

— VIII —

Paragr. Str.

99. Wyznaczanie momentów bezwładności. Sztaba. Płyta prosto- kątna. Prosty cylinder kołowy. Stożek prosty. Kula... 218
100. Osi główne punktu i ciała... i.. 224
101. Moment odśrodkowy 225

s102.^ Moment bezwładności w funkcyi kątów^ kierunkowych.^ Ciała kuliste 227

103. Trzecia oś główna. Przekroje kołowe 231
104. Punkt główny prostej 233

VIII. Zasady d y n a m i k i c i a ł a s z t y w n e g o.

105. Model ciała 237
106. Zasada d'Alemberta. 240
107. Przykłady stosowania zasady d'Alemberta 241
108. Równania ruchu układu 247
109. Ruch środka masy 249 -110. Ruch ciała sztywnego. Zasada niezależności ruchów postę- powego i kulistego 251 "•111. Siła żywa ciała sztywnego 254
110. Przykłady stosowania zasady sił żywych 256
111. Ilość ruchu ciała, czyli wektor G.... 260
112. Wektor H (moment ilości ruchu) ciała sztywnego..... 263
113. Ciało jakiekolwiek. Wektor H względem środka masy... 267
114. Zastosowania. Działanie impulsu na wektory G i H.... 271
115. Ruch istot żyjących 278

IX. Ruch obrotowy ciała s z t y w n e g o.

118. Równanie zasadnicze 281
119. Wahadło fizyczne. Środek wahań 283
120. Reakcye łożysk w ruchu jednostajnym. Osi swobodne... 286
121. Reakcye łożysk w ruchu przyśpieszonym. Reakcye dynami- czne i statyczne 289
122. Środek uderzeń 293

X. R u c h p ł a s k i c i a ł a s z t y w n e g o.

123. R ó w n a n i a z a s a d n i c z e 298
124. N a p r ę ż e n i a , w y s t ę p u j ą c e w s z t a b a c h p o d c z a s r u c h u.... 305

XI. R u c h k u l i s t y.

125. Ruch bez udziału sił. Stożek ruchomy osi chwilowych... 310
126. Trwałość ruchu kulistego. Płaszczyzny graniczne 313
127. Elipsoida bezwładności i polodya 317
128. Herpolodya 321

— IX —

Pai-agr. Slr.

129. Przypadki szczególne ruchu kulistego 324
130. Równania Eulera 327
131. Inny dowód równań Eulern 329
132. Precesya .regularna 333
133. Trwałość precesyi regularnej 339
134. Precesya pseudoregularna 341
135. Ruch kuli na płaszczyźnie poziomej 348 XII. Siły chwilowe.
136. Odkształcalność ciał 353
137. Uderzenie proste centralne. Współczynnik restytucyi... 355
138. Przypadki szczególne. Uderzenie plastyczne i uderzenie sprę- żyste ;.
139. Strata siły żywej 360
140. Uderzenie ukośne i ekscentryczne.... : 362

WSTĘP.

1. Skalary. Wielkości, z któremi mamy do czynienia w mechanice, dadzą się podzielić na dwie kategorye: skalary i wektory. Skalar jest to wielkość, nie pozostająca w związku z żad- nym określonym kierunkiem przestrzeni. Daje się ona całko- wicie określić jedną liczbą jednostek znanych. T a k n p. skala- rem jest CZŁŁ. Gdy powiedziano, że pewne wydarzenie trwało tyle a tyle godzin czy minut, to czas trwania tego wydarzenia jest całkowicie określony. Zamiast podawać liczbę można wskazać odcinek odpo- wiedniej skali. Skala taka urządza się na linii prostej, albo na jakiej innej linii. Pewna znana długość, odmierzona na tej li- nii, odpowiada obranej jednostce. Skala czasu urządza sią naj- częściej na okręgu koła, i zazwyczaj godzinie odpowiada łuk długości^ ic r —, gdzie r oznacza promień koła. Prócz czasu do skalarów należą masa, praca, siła żywa, potencyał i in. 2. Wektory. Wektor jest to wielkość, pozostająca w związ- ku z pewnym kierunkiem przestrzeni. Wektor nie daje się cał- kowicie określić zapomocą jednej liczby, gdyż trzeba jeszcze wskazać ów kierunek. Tak więc wektor należy określać pod względem wielkości i kierunku. Prostym przykładem wektora jest przesunięcie jakiegoś drobnego przedmiotu, powiemy punktu ruchomego. Dajmy na to, że punkt ten zajmuje znane położenie A, i wiadomo, że ma być przesunięty o 3 metry. Dane te nie określają jeszcze prze- sunięcia, gdyż na ich zasadzie nie umielibyśmy wskazać, gdzie znajdzie się punkt ruchomy po dokonaniu przesunięcia. Wia- Nauka o ruchu. 1

' £i ~~~~

domo jedynie, że nowe położenie znajduje się gdzieś na po- wierzchni kuli, zatoczonej z punktu A promieniem 3 m. Jeżeli posługujemy się metodami analitycznemi, to okre- ślamy kierunek przesunięcia, lub wogóle kierunek wektora, tak, jak to się robi w geometryi analitycznej, t. j. zapomocą sto- sownych kątów kierunkowych. Jeżeli stosujemy metody wy- kreślne, to określamy kierunek wektora odcinkiem prostej, na którym jeszcze wskazać potrzeba, w którą stronę jest zwrócony wektor. Jeżeli więc odcinek MN ma określać kierunek przesu- nięcia, to należy wskazać, np. zapomocą strzałki, czy przesu- nięcie ma się odbyć w stronę od M do N, czy też w stronę odwrotną. W przypadku pierwszym punkt M zowie się począt- kiem odcinka, a JV końcem. Pod względem wielkości wektor określa się tak samo, jak skalar, a więc liczbą albo długością, wskazaną na skali. Do- godnie jest odznaczać tę długość na tym samym odcinku, który ma wskazywać kierunek, albo wprost nadawać odcinkowi temu taką właśnie długość. Odcinek taki określa wektor nietylko co do kierunku, ale i co do wielkości. Przypuśćmy dla przykładu, że na przyjętej skali przesu- nięć przesunięciu jednego metra odpowiada jeden centymetr. W takim razie przesunięcie, o którem wyżej była mowa, bę- dzie całkowicie określone odcinkiem MN, wskazującym kieru- nek przesunięcia i posiadającym długość 3 cm. Do kategoryi wektorów należą siła, moment, szybkość, przyśpieszenie i t. d.

3. Rodzaje wektorów. Przesunięcie punktu ruchomego z danego położenia A nazywamy" wektorem związanym z pun- ktem A."Umówiono się obierać początek odcinka MN, który ma określać przesunięcie, właśnie w tym punkcie A. Tym sposo- bem, mając dany odcinek MN, nietylko znamy przesunięcie co do wielkości i kierunku, ale wiemy jeszcze, z jakiego położenia wyrusza punkt przesuwany. Przypuśćmy teraz, że chodzi o przesunięcie nie punktu, lecz cienkiego, sztywnego i prostego pręta, powiedzmy linii prostej, w kierunku tejże prostej. Oczywiście wszystkie punkty tej prostej doznają jednakowych przesunięć zarówno pod wzglę- dem wielkości, jak i kierunku. Gdy znamy przesunięcie jedne- go, to znamy przesunięcie i wszystkich innych, a zatem takie

Ą,

punkt przyłożenia do jakiegoś innego punktu, położonego na linii działania lub gdzieindziej, to wogóle skutek byłby inny. Aby się o tem przekonać, wyobraźmy sobie sznur, leżący na podłodze i tworzący linię prostą M.N. Przyłóżmy do końca N siłę, działającą na prostej MN i zwróconą od M do N. Cały sznur zacznie się poruszać wzdłuż prostej MJ^I. Gdybyśmy taką samą siłę, działającą na tejże prostej w tym samym kierunku,, przyłożyli do końca M, to oczywiście wywołała by ona zupeł- nie inny ruch sznura. Stąd widać, że siła jest to wektor związany z punktem. Twierdzenia o siłach, znane ze statyki, dotyczą przeważ- nie tak zw. „ciała sztywnego", t. j. ciała, które nie odkształca się pod działaniem sił. Ciało sztywne jest to abstrakcya, do której jedynie mniej lub więcej zbliżają się takie ciała, jak że- lazo, kamień, drzewo, gdy działające na nie siły nie są zbyt wielkie. Jeżeli siła działa na ciało sztywne, to skutki jej nie ule- gają zmianie, gdy przenosimy punkt przyłożenia na linii dzia- łania. W tym więc razie siła jest wektorem, związanym z prostą. W statyce ciała sztywnego mamy prócz' siły inne zasad- nicze pojęcie, a mianowicie parę sił. Zazwyczaj definiujemy parę, jako układ dwóch sił równych, równoległych i zwróco- nych w strony odwrotne. Trzy są odróżniające znamiona pary: płaszczyzna działania, zwrot, czyli kierunek, w którym pana usiłuje obrócić ciało, i wreszcie moment, czyli iloczyn z jednej siły przez ramię. Wiadomo, że wszystkie te znamiona dadzą się wyrazić zapomocą jednego odcinka, opatrzonego grotem. Odcinek ten jest prostopadły do płaszczyzny pary, jest zwró- cony tak, że dla osoby, patrzącej od końca do początku, zwrot pary pozostaje w zgodzie z ruchem wskazówki zegara, a dłu- gość odcinka wyraża w odpowiedniej skali wielkość momentu. Z tego widać, że para jest to wektor lak, jak siła. Wiadomo, że dwie pary, działające w płaszczyznach rów- noległych, zwrócone zgodnie i posiadające momenty równe, wywierają skutki jednakowe. Para zatem nie pozostaje w związ- ku z żadnym szczególnym punktem ani żadną szczególną pro- stą. Początek odcinka, określającego parę, można obierać dowol- nie w przestrzeni, a więc para jest to wektor swobodny.