Pobierz Wektory w Przestrzeni Trójwymiarowej - Wykład 5 i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 5.
WEKTORY
Definicja (Przestrzeń
3 )
Przestrzenią
3
nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek x , y , z liczb rzeczywistych
3 x y z, , : ,x y z ,
Przestrzeń
3 będziemy interpretować geometrycznie na trzy sposoby:
1. zbiór wszystkich punktów P x , y , z ,
2. zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w punkcie O 0,0,0o końcach w punktach
P x y z, , , czyli u OP,
3. zbiór wszystkich wektorów swobodnych uw tej przestrzeni.
Definicja (wektor)
Wektorem zaczepionym nazywamy parę punktów.
B – koniec wektora AB
A – początek wektora AB; AB BAwektor przeciwny do AB;
Jeśli A ( x (^) A, y (^) A , z (^) A ), B ( xB , yB , zB)to AB [ xB xA , yB yA , zB zA]
Wektor
3
u będziemy zapisywać w postaciu^ u^ x^ ,^ uy^ ,uz
.
Działania na wektorach
Niechu u^ x , u y ,uz
,v v^ x , vy , vz ,a
. Wtedy
u v u^ x vx , uy v y ,uz vz
u v u^ x vx , u y v y ,uz vz
a u a u x , a u y ,a u z
Przykład
1,2,3^ ^ 3,2,1^ ^ 4,4,4 , 1,2,3 ^ ^ 3,2,1^ 2,0,2 , 3^ ^ 1,2,3 ^ 3, 6,9
Wektory
3 u v , są równoległe, gdy istnieją takie a b, , że a b 0 0 oraz
a u b v 0.^ W szczególności, jeśli^ u 0 , to wektory
3 u v , są równoległe, gdy istnieje
t takie, że u t v.
Wektory
3 u v w^ ,^ ,^ są współpłaszczyznowe, gdy istnieją takie a b c, ,^ , że a^ ^ b^ ^ c^0
oraz (^) a u b v c w 0.W szczególności, jeżeli wektory
3 u v , nie są równoległe, to
wektory
3
u v w , , są współpłaszczyznowe, gdy istnieją s t, takie, żew s u t v.
Definicja (Układ współrzędnych w przestrzeni)
Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinające się w
jednym punkcje O, które są wzajemnie prostopadłe. Taki układ oznaczamy przez OXYZ. Proste OX,
OY, OZ nazywamy osiami, płaszczyzny XOY, YOZ, XOZ płaszczyznami układu współrzędnych.
Definicja (Orientacja układu współrzędnych w przestrzeni)
W zależności od wzajemnego położenia osi OX, OY, OZ układu współrzędnych wyróżniamy dwie
jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.
Przykład
Obliczyć iloczyn skalarny wektorów u [ 1,2, 3], v [2,0, 1]oraz kąt między wektorami.
Fakt (Własności iloczynu skalarnego)
Niech u w v, , będą dowolnymi wektorami w
3
oraz niech . Wtedy
u v v u;
( u ) v ( v u);
2 u u u ;
( u w) v u v w v;
u v v u;
wektory u iwsą prostopadłe u w 0
Definicja (Orientacja trójki wektorów)
Niech u [ x 1 , y 1 , z 1 ], w [ x 2 , y 2 , z 2 ], v [ x 3 , y 3 , z 3 ]będą wektorami w
3
. Mówimy, że wektory
u w v, , tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x y z
x y z
x y z
Definicja (Iloczyn wektorowy)
Niech u ivbędą niewspółliniowymi wektorami w
3
. Iloczynem wektorowym uporządkowanej
pary wektorów u ivnazywamy wektor w, który spełnia warunki
jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorachu iv
jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach u iv, tj. równa
u v sin ( ,u v )
- orientacja trójki wektorów jest zgodna z orientacją układu współrzędnych OXYZ
Iloczyn wektorowy pary wektorów u ivoznaczamy przez u v. Jeżeli wektory są współliniowe to
przyjmujemy, że u v 0.
Fakt (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
Niech u [ x 1 , y 1 , z 1 ], v [ x 2 , y 2 , z 2 ]będą wektorami w
3
. Wtedy
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i j k y z x z x y u v x y z i j k y z x z x y x y z
gdzie i , j k, oznaczają wersory odpowiednio na osiach OX, OY, OZ.
Wzór na iloczyn wektorowy z definicji można zapisać w postaci
sin ( , )
u v u v u v
co pozwala na obliczanie kata między danymi wektorami.
Przykład
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów (^) u [ 1,2, 3], v [2,0, 3].
Fakt (własności iloczynu wektorowego)
Niech u v w, , będą dowolnymi wektorami w
3
oraz .Wtedy
u v ( v u);
( u ) v u ( v ) (u v);
( u v ) w u w v w;
u ( v w) u v u w;
u v u v;
Niech u v w, , będą dowolnymi wektorami w
3
oraz .Wtedy
- (^) ( ,u v w , ) ( ,v w u , ); 2)( ,u v w , ) ( ,v u w , );
3) ( u r v w, , ) ( ,u v w , ( ,r v w , )); 4) ( u v w, , ) ( ,u v w , );
Wektory u v w, , leżą w jednej półpłaszczyźnie ( ,u v w , ) 0;
( ,u v w , ) u v w;wektory u ivsą równoległe u v0;
