Preuzmite 1. INDEKSNI BROJEVI i više Vežbe u PDF od Dinamika samo na Docsity!
1. INDEKSNI BROJEVI
Društvene pojave, (posebno) ekonomske, u toku vremena se manje ili više menjaju. Njihova dinamika se prati pomoću vremenskih serija koje predstavljaju niz podataka za nivo (veličinu) posmatranih pojava u sukcesiji vremenskih intervala. Vremenske serije se posmatraju kao empirijske funkcije koje izražavaju zavisnost pojava od vremena, tj. vreme se uzima kao nezavisna promenljiva, a veličina pojave čije kretanje se prati kao zavisna promenljiva ili funkcija. Vreme koje označavamo sa (x) nije samo okvir posmatranja neke pojave (y) nego i faktor koji uzrokuje promene u njihovim odnosima. Da bi se došlo do ispravnih zaključaka o dinamici posmatranih pojava i faktora koji ih opredeljuju, vremenske serije moraju da budu homogene, tj. sastavljene od uporedivih podataka. To znači, da ista pojava mora da bude definisana i merena na isti način za sve vreme njenog posmatranja. Mogu se upoređivati samo podaci koji se odnose na iste vremenske jedinice. Uređivanjem statističkih podataka koji se odnose na dva perioda ili više njih nastaje vremenski statistički niz. Vremenski niz čine hronološki uređene pojave y 1 , y 2 ,...,yt,…,yn određene u vremenskim trenucima ili intervalima vremena. t (vreme) – obeležje, yt frekvencija Razlikujemo :
- intervalne vremenske nizove,
- trenutne vremenske nizove. Intervali posmatranja kod intervalnih vremenskih nizova su na pr. dani, nedelje, meseci, godine. Vrednosti članova ovih nizova nastaju sabiranjem vrednosti pojava po tim intervalima i imaju svojstvo kumulativnosti. Grafički se intervalni nizovi prikazuju površinskim ili linijskim grafikonima. Primer intervalnog vremenskog niza za proizvodnju povrća u tonama u jednoj opštini.
Proizvodnja povrća u t u jednoj opštini Godina Proizvodnja Kumulativ 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Trenutni vremenski nizovi iskazuju brojčano stanje pojave u odabranim, većinom jednako udaljenim trenutcima i nemaju svojstvo kumulativnosti. Primer trenutnog vremenskog niza Broj nezaposlenih žena u jednoj opštini Godina Broj žena 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Statistička analiza vremenskih nizova sastoji se od njihovog grafičkog prikazivanja i primene različitih brojčanih postupaka radi uočavanja obeležja razvoja pojave u vremenu.
Osnovni brojčani pokazatelji relativnih promena
U praksi se često pojavljuje problem analiziranja i upoređivanja dinamike kretanja najmanje dve različite pojave. Najčešće se računaju vrednosti niza uzastopnih apsolutnih promena (oznaka: ∆ yt ) neke pojave. Te se vrednosti dobiju tako što se od vrednosti pojave u tekućem periodu oduzme vrednost pojave u prethodnom periodu, tj. ∆ yi = yi − yi − 1 za svaki i =1,2,..., n. Posmatrani vremenski period može biti najčešće godina, kvartal itd.
Primer 1 U tablici su prikazani podaci o kretanju broja prodatih automobila u četiri godine. period broj prodatih automobila 2008 3 724 2009 3 567 2010 3 240 2011 3 500 Potrebno je izračunati koeficijente dinamike promene broja prodatih automobila u uzastopnim vremenskim periodima, kao i odgovarajuće pojedinačne stope promene. Objasniti značenje dobijenih rezultata za 2010. i 2011. godinu. Potom uporediti brojeve prodatih automobila u svakoj godini s brojem prodatih automobila u 2011. godini. Objasniti značenje pokazatelja koji odgovara 2008. godini. Rešenje: Najpre ćemo izračunati koeficijente dinamike i njima odgovarajuće stope promene: Godina i broj prodatih automobila Ki Si 2008 0 3 724 - - 2009 1 3 567 - 0, 04216 - 4,2159 % 2010 2 3 240 - 0, 09167 - 9,16737 % 2011 3 3 500 0, 080247 8,024691 % Iz dobijene tabele uočavamo da je broj prodatih automobila u 2010. godini bio približno 9,17% manji nego 2009. godine. Sada izračunavamo pojedinačne stope promene uzimajući 2011. godinu kao bazni poriod : Godina i broj prodatih automobila Si* 2008 0 3 724 6.4 % 2009 1 3 567 1.91429 % 2010 2 3 240 - 7. % 2011 3 3 500 0 %
Pokazatelj koji odgovara 2008. godini jednak je 6,4%, što znači da je broj prodatih automobila 2008. godine bio za 6,4% veći nego 2011. godine.
1. 1 Individualni indeksi
Relativne varijacije posmatrane pojave u različitim vremenskim intervalima ili trenucima iskazuju se relativnim brojevima – indeksima. Indeksi predstavljaju odnos nivoa pojave u posmatranom periodu i baznom periodu. Ako se pomoću indeksa prati razvoj jedne pojave u vremenu tada je reč o individualnim indeksima , dok grupni indeksi prate razvoj skupa (grupe) pojava. U zavisnosti od toga da li je baza stalna ili promenljiva individualni indeksi se dele na:
- bazne indekse,
- lančane (verižne) indekse.
Lančani indeksi
Lančani indeksi su relativni brojevi (u %) koji pokazuju promene stanja pojave u uzastopnim periodima, odnosno pokazuju za koliko se procenata vrednost pojave u jednom periodu promenila u odnosu na prethodni vremenski period. Ove indekse računamo tako da se vrednost i - tog perioda podeli s vrednošću prethodnog i‐ 1 perioda, a zatim taj odnos pomnoži sa sto. Li = 𝑦𝑖 𝑦𝑖− 1
Lančani indeks pokazuje koliko jedinica pojave u i - tom vremenskom periodu dolazi na svakih sto jedinica pojave i‐ 1 perioda. Lančani indeks za prvi period se ne može izračunati pa se za taj period stavlja – (ne 0, ili 100 ). Vrednost indeksa je broj koji može biti 100, manji ili veći od 100.
Za i = 4 (godina koja sledi posle 2009) 𝑦 2010 = 𝑦 4 = 𝐿 4 𝑦 3 100
105 , 2 ∙ 46030 , 00 100
Prosečna stopa promene je konstanta kojom se zamenjuje niz pojedinačnih stopa. Ona je prosečna i relativna promena vrednosti neke pojave u ukupno posmatranom vremenskom periodu (iskazuje se u % ). Prosečna stopa promene računa se pomoću geometrijske sredine lančanih indeksa i može se iskoristiti za predviđanje razvoja pojave za periode koji slede nakon poslednjeg u posmatranom vremenskom nizu. G = (^) √𝐿 1 𝐿 2 ∙ … .∙ 𝐿𝑛 𝑛− 1 Iz definicije lančanih indeksa sledi da njihovu geometrijsku sredinu možemo izračunati i prema formuli: G = (^) √ 𝑦𝑛 𝑦 0 𝑛− 1 ∙ 100_._ Možemo zaključiti da za alternativno računanje vrednosti geometrijske sredine lančanih indeksa moramo znati samo prvi ( y o) i poslednji ( yn ) član vremenskog niza. To je ujedno i najveći nedostatak geometrijske sredine kao mere prosečnog tempa promene, jer ne uzima u obzir sve frekvencije vremenskog niza, nego isključivo prvu i poslednju frekvenciju u vremenskom nizu, tako da se u praksi navedene vrednosti prognoziraju preciznije na temelju nekoga od modela trenda. Pomoću spomenute geometrijske sredine lančanih indeksa računa se i prosečna stopa promene vrednosti posmatrane pojave (oznaka: S ): S = (G − 100) %. Na temelju nje se okvirno mogu prognozirati frekvencije posmatrane pojave i u budućim vremenskim periodima uz nužnu pretpostavku da se dinamika pojave ne menja u odnosu na dinamiku pojave u posmatranom periodu.
Primer 2. Na osnovu podataka iz Primera 1. Izračunati prosečnu godišnju stopu promene prosečne mesečne isplaćene neto zarade u periodu od 2006. do 2010. godine, i na osnovu toga proceniti prosečnu mesečnu isplaćenu neto zaradu za 2011, 2012. i 2013. godinu. Rešenje: Geometrijska sredina lančanih indeksa jednaka je: 𝐺 = √
4 ∙ 100 = 105 , 55 Sledi prosečna godišnja stopa promene je: S = G – 100 = 105,55 – 100 = 5,55%, Dobijeni rezultat nam ukazuje da su u posmatranom periodu prosečne mesečne zarade rasle za prosečno 5,55% godišnje. Budući da 2011. godini odgovara vrednost vremenske promenljive t = 5, 2012. godini t = 6 , a 2013. godini t = 7, prognozu za 2011., 2012. i 2013. godinu dobijamo na sledeći način : 𝑦̂ 5 = 𝑦 0 ∙ (
5 = 39015 , 15 ∙ (
5 = 51112 , 19 ; 𝑦̂ 6 = 𝑦 0 ∙ (^
6 = 39015 , 15 ∙ (
6 = 53948 , 91 ; 𝑦̂ 7 = 𝑦 0 ∙ (
7 = 39015 , 15 ∙ (
7 = 56943 , 08. Dakle, prognoza za prosečnu mesečnu neto zaradu za 2011. je 51112,19; za 2012. je 53948,91, a za 2013. godinu je 56943,08 dinara.
Bazni indeksi
Bazni indeksi izražavaju procentualnu promenu nivoa pojave, u određenom vremenskom periodu u odnosu na njen nivo u jednom fiksiranom - baznom periodu y 0. Indeks sa stalnom bazom, zapravo predstavlja procenat (udeo) frekvencije posmatrane pojave u tekućem periodu u odnosu na frekvenciju posmatrane pojave u baznom periodu.
Pretvaranje individualnih indeksa možemo podeliti u tri grupe:
- Pretvaranje baznih indeksa sa bazom b 0 u nove bazne indekse sa nekom drugom bazom b 1 ≠ b 0 ; 𝐵𝑏 0 𝑖 = 𝐵 0 𝑖 𝐵𝑏 0 𝑏 1 ∙ 100% , za svako i = 1, 2, …, n.
- Pretvaranje baznih indeksa sa bazom b 0 u lančane indekse; 𝐿𝑖 = 𝐵 0 𝑖 𝐵𝑏 01 ∙100% , za svako i = 1, 2, …, n.
- Pretvaranje lančanih indeksa u bazne indekse sa bazom b 0.
- za i = b 0 , Bi = 100 ;
- za i < b 0 , 𝐵𝑖− 1 = 𝐵𝑖 𝐿𝑖
- za i > b 0 , 𝐵𝑖 = 𝐿𝑖∙𝐵𝑖− 1 100
Primer 3. U sledećoj tabeli su navedeni podaci o ukupnom broju jednog proizvoda proizvedenog u jednoj fabrici u prvih šest meseci 2012. godine. mesec i broj proizvoda januar 0 1604 februar 1 1636 mart 2 1621 april 3 1639 maj 4 1648 jun 5 1628 Izračunati odgovarajuće koeficijente dinamike, lančane indekse i pojedinačne stope promene, pa objasniti značenje vrednosti dobijenih rezultata. Rešenje: Postupak preračunavanja lančanih indeksa je sledeći: 𝐿𝑓𝑒𝑏 =
Sličnim postupkom mogu se izračunati i svi ostali lančani indeksi kao i odgovarajući koeficijenti dinamike i pojedinačne stope promene, Vrednosti traženih relativnih pokazatelja prikazane su u sledećoj tabeli: mesec i Broj proizvoda L (^) i K (^) i S (^) i januar 0 1604 - - - februar 1 1636 101,995 0,01995 1 ,995% mart 2 1621 99,083 - 0,00917 - 0 ,917% april 3 1639 101,110 0,0111 1 ,11% maj 4 1648 100,549 0,0549 5 ,49% jun 5 1628 98,786 - 0,0121 - 1 ,21% Iz dobijenih vrednosti zaključujemo da je na svakih 100 proizvoda u januaru 2012. godine dolazilo približno 102 proizvoda u februaru, tj. broj proizvoda je veći za približno 2% (tačno 1,995%). Na svakih 100 proizvoda u februaru proizvedeno je 99 proizvoda u martu iste godine, pa se može reći da je u martu broj proizvoda za1% ( tačno 0.917%) manji nego u februaru iste godine. Pomoću vrednosti pojave u jednom periodu i svih lančanih indeksa možemo izračunati vrednosti pojave u svakom od preostalih n–1 perioda na temelju sledećih relacija: Za godine koje prethode izabranoj baznoj yi − 1 = 𝑦𝑖 𝐿𝑖
Za godine koje slede odabranoj bazi yi = 𝐿𝑖∙𝑦𝑖− 1 100 Primer 4. Za analizu promene ukupnog broja zaposlenih koriste se podaci iz tabele. Analizirati promenu broja zaposlenih u odnosu na 2003 godinu i u odnosu na predhodnu godinu. Na osnovu toga predvideti ukupan broj zaposlenih za 2012. godinu.
- Indeks zarada,
- Indeks produktivnosti rada i dr Koristićemo neke dogovorene oznake koje se uobičajeno koriste u preračunavanju grupnih indeksa:
- p 0 - cena u baznom periodu;
- p 1 - cena u tekućem periodu;
- q 0 - količina u baznom periodu,
- q 1 - količina u tekućem periodu.
Neponderisani grupni indeksi
Ovaj indeks je najjednostavniji oblik kod koga sve komponente u grupi imaju isti značaj, a podaci svih proizvoda moraju biti dati u istim jedinicama. A) Po metodu agregata grupni indeksi se izražavaju na taj način što se zbir podataka svih serija u posmatranom periodu podeli sa zbirom podataka istih tih serija u baznom periodu, tj. Indeks fizičkog obima: 𝐼𝑞 = ∑ 𝑞𝑖 ∑ 𝑞 0 ∙ 100 ; i = 1,2 ,…, n Indeks cena: 𝐼𝑝 = ∑ 𝑝𝑖 ∑ 𝑝 0
Indeks vrednosti: 𝐼𝑝𝑞 = ∑ 𝑝𝑖𝑞𝑖 ∑ 𝑝 0 𝑞 0
Primer 1. Analizirati promenu cena grupe proizvoda na osnovu podataka iz sledeće tabele: Grupa proizvoda Cena din. 2011 ( p 0 ) 2012 ( p 1 ) Mleko ( l ) 62 78 Hleb ( kg ) 34 42 Meso ( kg ) 448 520 Jaja ( kom ) 8 12 ukupno 552 652 I (^) p
Zaključujemo da su se cene grupe proizvoda povećale u 2012. godini u odnosu na 2011. godinu za 18 ,12% B) Po metodu srednjih vrednosti polazi se od individualnih indeksa svih posmatranih pojava, a zatim se određuje njihova aritmetička sredina. Grupne indekse računamo na sl. način: Indeks fizičkog obima 𝐼𝑞 = ∑ 𝐼𝑞𝑖 𝑛
∑ 𝑞𝑞𝑖 0 𝑛
Indeks cena 𝐼𝑝 = ∑ 𝐼𝑝𝑖 𝑛
∑ 𝑝𝑝𝑖 0 𝑛
Indeks vrednosti 𝐼𝑝𝑞 = ∑ 𝐼𝑝𝑖𝑞𝑖 𝑛
∑ (^) 𝑝𝑝𝑖𝑞𝑖 0 𝑞 0 𝑛
gde je n broj individualnih indeksa. U primeru 1 primenom metode srednjih vrednosti 𝐼𝑝 = ∑ (^) 𝐼𝑝𝑖 𝑛
∑ 𝑝𝑖 𝑝 0 𝑛
1 , 26 + 1 , 24 + 1 , 16 + 1 , 5 4
Ponderisani grupni indeksi
Svakoj komponenti grupe dodeljuje se jedan broj- ponder koji određuje značaj te komponente. Postoje tri načina izbora pondera:
- Za ponder se uzima vrednost iz bazne godine. ( Laspeyers-ov metod )
- Za ponder se uzima vrednost iz tekuće godine. ( Paasche-ov metod )
- Za ponder se uzima neka fiksirana vrednost , iz neke druge godine ili vrednosti određena od strane eksperata. A) U praksi se najčešće koriste sledeći agregatni indeksi: a) Laspeyres-ov oblik grupnih indeksa
- za količinu 𝐼𝑞 = ∑ (^) 𝑞 1 𝑝 0 ∑ (^) 𝑞 0 𝑝 0 ∙^100 Iq je pokazatelj relativne promene ukupnih količina posmatranog skupa od tačno n pojava u tekućem periodu u odnosu na ukupne količine tog skupa pojava u baznom periodu računajući da su cene iz baznog perioda neizmenjene. (Fiksirana veličina pri računanju ovog grupnog indeksa jeste p 0 )
Proizvod Količina proizvoda (hilj. kom.) Cena proizvoda ( hilj. din. ) 2009 2010 2009 2010 A 25 30 20 25 B 50 60 30 40 C 30 30 20 30 Izračunati Laspareov, Pašeov i Fišerov indeks cene i količine ( baza je 2009. god.) za posmatrane proizvode po metodu agregata. Rešenje: Proizvod Količina Cena 2009 𝒒𝟎
A 25 30 20 25 500 600 625 750
B 50 60 30 40 150 1800 2000 2400
C 30 30 20 30 600 600 900 900
Ukupno 2600 3000 3525 4050
- Cene Ip
- Količine Iq Na osnovu dobijenih Laspareovih agregatnih indeksa zaključujemo sledeće: Cena proizvoda 2010. godine u odnosu na 2009 je porasla za 35,58%. Količina proizvodnje posmatranih proizvoda u 2010. godini se povećala u odnosu na 2009 .god. za 15,38%. Pašeov agregatni indeks: Cene 𝐼𝑝 = ∑ (^) 𝑝 1 𝑞 1 ∑ (^) 𝑝 0 𝑞 1 ∙^100 = 4050 3000
Količine 𝐼𝑞 = ∑ (^) 𝑞 1 𝑝 1 ∑ (^) 𝑞 0 𝑝 1 ∙^100 = 4050 3525
Na osnovu dobijenih Pašeovih agregatnih indeksa zaključujemo sledeće: Cena proizvoda 2010. godine u odnosu na 2009 je porasla za 35 %. Količina proizvodnje posmatranih proizvoda u 2010. godini se povećala u odnosu na 2009. god. za 14,89%.
Primer 2. Za navedene prehrambene artikle izračunati indeks troškova života četvoročlane porodice u Srbiji u septembru 2012. god. u odnosu na januar 2012. godine. Artikal ( i ) Prosečna cena u januaru ( p 0 ) Prosečna cena u septembru ( p 1 ) Mesečne količine-tipski budžet ( q ) mleko 70 80 15 l sir 320 340 3 kg mast 40 35 3 kg pasulj 230 180 3 kg jaja 10 15 30 kom. šećer 90 95 3 kg meso 380 410 9 kg hleb 35 36 55 kg Rešenje : Indeks troškova života pokazuje kretanje cena na malo kao relativne promene cena u tekućem odnosno na bazni period određene grupe proizvoda i usluga za podmirenje osnovnih životnih potreba. U tu svrhu se utvrđuje tipski budžet q. On sadrži listu proizvoda i usluga za podmirenje životnih potreba kao i potrebne količine. Izračunava se po formuli: 𝐼𝑝 =
Artikal ( i ) p 1 q p 0 q mleko 1200 1050 sir 1020 960 mast 105 120 pasulj 540 690 jaja 450 300 šećer 285 270 meso 3690 3420 hleb 1980 1925 suma 9270 8735 𝐼𝑝 = ∑ (^) 𝑝 1 𝑞 ∑ (^) 𝑝 0 𝑞 ∙^100 = 9270 8735
Mlečni proizvodi Individualni indeksi (2009 =
- Vrednost (^2010) V = p 0 q 0 Ip
Ip Mleko 108 111 90 Jogurt 124 133 60 Pavlaka 126 140 25 Sir 98 109 1265 Rešenje : Mlečni proizvo di Individualni indeksi (2009=100) Vrednost V = p 0 q 0
IpV
IpV
I
p
I
p Mleko 108 111 90 9720 9990 Jogurt 124 133 60 7440 7980 Pavlaka 126 140 25 3150 3500 Sir 98 109 1265 123970 137885 Suma 1440 144280 159355 𝐼𝑝( 2010 ) =
Fišerov indeks: cene 𝐼𝑝 = √ ∑ (^) 𝑝 1 𝑞 0 ∑ (^) 𝑝 0 𝑞 0 ∙^ ∑ (^) 𝑝 1 𝑞 1 ∑ (^) 𝑝 0 𝑞 1 ∙^100 =
3525 2600
4050 3000
količine 𝐼𝑞 = √ ∑ (^) 𝑞 1 𝑝 0 ∑ (^) 𝑞 0 𝑝 0 ∙^ ∑ (^) 𝑞 1 𝑝 1 ∑ (^) 𝑞 0 𝑝 1 ∙^100 =^ √^ 3000 2600
4050 3525
2. MODELI TRENDA
Ukoliko postoji određena pravilnost u promenama vrednosti posmatrane pojave u određenom vremenskom periodu (tj. ukoliko vremenski niz ima tendenciju rasta ili pada), kažemo da vremenski niz ima trend. U takvim slučajevima kretanje posmatrane pojave se može opisati pomoću odgovarajućeg modela trenda. Grubo govoreći, model trenda, zapravo, nije ništa drugo nego regresioni model u kome nezavisnoj promenljivoj X odgovara vremenska promenljiva t. Tendencija rasta ili pada se određuje izračunavanjem vrednosti uzastopnih apsolutnih promena. Ukoliko se posmatrana pojava menja za približno jednake apsolutne iznose u svakoj jedinici vremena, njeno kretanje možemo opisati modelom linearnog trenda , koji ima oblik prave. Odgovarajuća jednačina modela linearnog trenda i odgovarajući parametri su isti kao i kod modela jednostavne linearne regresije. Ukoliko se, pak, posmatrana pojava ne menja linearno, nego sve brže (ili sporije) u zavisnosti od vrednosti vremenske promenljive, njeno kretanje možemo opisati modelom krivolinijskog trenda , koji ima oblik krive linije.Type equation here. Metoda najmanjih kvadrata je metoda pomoću koje se izračunavaju parametri linearnog ili krivolinijskog trenda. Polazna je pretpostavka da je trend linija koja se najbolje moguće prilagođava zadanim frekvencijama vremenskog niza, tj. da je suma kvadrata odstupanja Σ ( y – yt )^2 minimalna. Vrednost trenda yt se određuje tako da se u jednačini trenda za X uvrsti ona vrednost koja pripada vremenskoj jedinici za koju se izračunava vrednost trenda. Za kontrolu se uzima da je Σyi = Σyt. Reprezentativnost modela trenda obično se procenjuje na temelju koeficijenta varijacije tog modela, ali se za procenu može koristiti i koeficijent determinacije.
Određivanje vrednosti x
Kada se koristi metod najmanjih kvadrata za modeliranje funkcije trenda, potrebno je svakom podatku vremenske serije pridružiti odgovarajuću vremensku jedinicu x (vremenska jedinica može biti mesec, kvartal, godina itd.). Određivanje nezavisne promenljive x zavisi od broja vremenskih jedinica koje posmatramo ili od izbora konkretne vremenske jedinice u odnosu na koju se posmatra pojava i koja se naziva referentni nivo. Razlikujemo dve vrste vremenskih nizova s obzirom na vremensku definiciju:
1. Intervalni vremenski niz - veličina pojave meri se u vremenskom intervalu (npr. broj noćenja u toku cele godine u periodu od 2005. do 2011. godine). Mogući su slučajevi:
- paran broj vremenskih jedinica,
- neparan broj vremenskih jedinica,
- referentni nivo na početku perioda,
