Preuzmite Diferencijalne jednačine drugog reda - zadaci i više Skripte u PDF od Diferencijalne jednačine samo na Docsity!
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE II REDA – ZADACI
1. Rešiti diferencijalnu jednačinu y``= x + sinx
Rešenje:
y= x + sinx uzećemo smenu y`= p , odakle je y= p`
p` = x + sinx
dx
dp = x+sinx
dp = (x+sinx)dx ovo je d.j. koja razdvaja promenljive
dp = ( x +sin x ) dx
p = (^1)
2
cos 2
x c
x − + dodali smo konstantu c 1 jer smo rešili jedan integral
y`= (^1)
2
cos 2
x c
x − +
dx
dy = (^1)
2
cos 2
x c
x − +
dy = ( (^1)
2
cos 2
x c
x − + )dx
dy x cos x c ) dx 2
2 = − +
svaki integral na desnoj strani rešavamo posebno
1 2
3
sin 2 3
x cx c
x y = − + + dodamo konstantu c 2
1 2
3
sin 6
x cx c
x y = − + + ovo je opšti integral
2. Nañi opšti integral jednačine y``+ 2yy`
3 =
Rešenje:
y``+ 2yy`
3 =0 uzećemo smenu y= p , odakle je y``= pp ,(pogledaj teorijske napomene)
p`p + 2y p
3 = 0 izvučemo p kao zajednički
p(p`+ 2yp
2 ) = 0 odavde je p = 0 ili p`+ 2yp
2 = 0
Za p= 0 odmah dobijamo rešenje y` = 0 to jest y = c (konstanta)
p`+ 2yp
2 = 0
2 2 yp dy
dp =−
ydy p
dp 2 2
= − d.j. koja razdvaja promenljive, integralimo
= − ydy p
dp 2 2
1
2
c
y
p
1
y c p
1
2
y c
p −
= vratimo y` = p
1
2
`
y c
y −
1
2
dx y c
dy
(y
2
1 2
3
cy x c
y − = + opšti integral
Dakle, rešenja su: y = c i (^12)
3
cy x c
y − = +
4. Naći opšti integral jednačine : y`` - y = x
**2
Rešenje:
Najpre nañemo rešenje odgovarajuće homogene jednačine!
y`` - y = 0
p
2
p = p p
x x y (^) H ce ce
− = 1 + 2
Dalje možemo birati dva puta: metodu neodreñenih koeficijenata ili metodu varijacije konstanti.
Ovde bi bilo dobro da se podsetite teorije, da bi izabrali lakši put.....
Mi ćemo koristiti metodu neodreñenih koeficijenata u ovom slučaju.
Y= ax
**2
- bx + c** gde su a,b,c traženi koeficijenti
Y` = 2ax + b
Y`` = 2a
Ovo zamenimo u datu d.j. y`` - y = x
2
2a – (ax
2
2
2a – ax
2
2
2
2
Sad vršimo uporeñivanje koeficijenata, uz x
2 , pa uz x, pa slobodne članove
-a = 1
-b = 0 Odavde je a = -1, b = 0 i c = -3 , pa to zamenimo u Y= ax
**2
2a – c = 1
Y = - x
2
- 3 pa će konačno rešenje biti :
y = yH+ Y to jest 3
2 = 1 + 2 − −
− y ce ce x
x x
5. Rešiti diferencijalnu jednačinu : x e
y y
`` `
Rešenje:
Nañemo rešenje odgovarajuće homogene jednačine.
y ``− y `= 0
p
2
p = p p
Znači da je rešenje homogene d.j.
x y (^) H = c 1 + c 2 e
Dalje ćemo nastaviti metodom varijacije konstanata ( pogledaj malo teoriju)
c 1 =c 1 (x) i c 2 =c 2 (x) postavimo sistem:
1 + 2 = 0
x c c e
x
x
e
c c e
0 1 2 Iz druge jednačine izrazimo c 2
`^1
(^2) x x e e
c
= integralimo
dx e e
c
∫ x x
2 U ovom integralu ćemo kao trik dodati i gore i dole e
x
dx e e
∫ x x
= dx e e e
e x x x
x
= dx e e
e x x
x
2 uzimamo smenu e dx dt
e t x
x
pa je
dx e e
e x x
x
2
2 t t
dt ovaj integral radimo kao racionalnu funkciju!
2 2 t
C
t
B
t
A
t t +
1= At(t+1) + B(t+1) +C t
2
1 = At
2 +At + Bt + B + C t
2 sad grupišemo članove
1 = t
2 (A+C) + t(A +B) +B ovde uporedjujemo i pravimo sistem
A+C = 0
A+B = 0
B = 1 odavde je A= - 1 i C = 1
6. Rešiti diferencijalnu jednačinu : y`` - 2y` +2y = e
x sinx
Rešenje:
y`` - 2y` +2y =
p
2
p i p i
i i p ⇒ = + = −
1 , 2 1 2
y ce x ce x
x x H = 1 cos^ + 2 sin
Variramo konstante: c 1 =c 1 (x) i c 2 =c 2 (x)
c (^) 1 _e_ cos _x_ + _c_ 2 e sin x = 0
x x Pazi e x e x
x x cos ∧ sin mora kao izvod proizvoda!
c e x e x c e x e x x
x x x x 1 ( cos − sin )+ 2 ( sin + cos )=sin
c (^) 1 cos _x_ + _c_ 2 sin x = 0 sve smo podelili sa e
x
c 1 (cos _x_ −sin _x_ )+ _c_ 2 (sin x +cos x )=sin x
x
x c c sin
cos 2 = − 1 izrazili smo c` 2 i to zamenimo u drugu jednačinu
x x x x
x c x x c (sin cos ) sin sin
cos 1 (cos − sin )− 1 + = sredimo i izrazimo c ` (^) 1 , to je ideja!
x x
x c x x c x ) sin sin
cos (cos sin )(cos
2
1 − − 1 + =
x x
x c x x x ) sin sin
cos `(cos sin cos
2
1 − − − =
x x
x c x ) sin sin
cos `( sin
2
1 −^ − = sve pomnožimo sa^ - sin x
c x x x
2 2 2 ` 1 (sin + cos )=−sin pazi, važi da je sin cos 1
2 2 x + x =
c x
2 ` 1 = −sin integralimo i iskoristimo ( 1 cos 2 ) 2
1 cos 2 sin
2 x
x x = −
1 sin^2 ) 1 2
( 1 cos 2 ) 2
c = − − xdx =− x − x + d
1 sin^21 4
c = − x + x + d nañimo sada i c 2
važi da je :
x
x c c sin
cos 2 = − 1 i c x
2 ` 1 = −sin pa je x x x
x c x sin cos sin
cos ` sin
2 2 = =
c ` 2 = sin x cos x integralimo
c 2 = (^2)
2 2
sin
cos 2
sin sin cos d
t x tdt xdx dt
x t x xdx = = = + =
dakle
2
2
2 2
sin d
x c = +
Vratimo 1 sin (^21) 4
c = − x + x + d i (^2)
2
2 2
sin d
x c = + u y ce x ce x
x x H = 1 cos^ + 2 sin
y = sin 2 ) 4
( − x + x + d 1 e x
x cos + ) 2
sin ( (^2)
2
d
x
x sin konačno rešenje
Možete sve da pomnožite a može da ostane i ovako , kako kaže Vaš profa.
7. Odrediti partikularno rešenje diferencijalne jednačine : x
2 y``-xy`+y = 2x
koje zadovoljava početne uslove y(1)= 0 i y`(1)= 1
Rešenje:
Ovo je Ojlerova jednačina (pogledaj malo teorijske napomene)
Uvodimo smenu x=e
t , odavde je: y`= t
t
e
y ` ; y``= t
t t
e
y y 2
``− `
x
2 y``-xy`+y = 2x
t t t
t t t
t (^) t t y e e
y e e
y y e 2
`
2
`` ` 2 − + =
skratimo…
t y (^) t yt yt yt 2 e
``
t y (^) t 2 yt yt 2 e
`` ` − + = ovo je nehomogena linearna d.j.
`` ` yt − yt + yt =
p
2
p = p p
8. Rešiti diferencijalnu jednačinu : (x – 1 )
2 y``- 2(x – 1)y` + 2y = (x – 1 )
2
Rešenje: Ovo je takoñe Ojlerova jednačina, smena je x – 1 = e
t , pa je y`= t
t
e
y ` ; y``= t
t t
e
y y 2
``− `
(x – 1 )
2 y``- 2(x – 1)y` + 2y = (x – 1 )
2
t t t
t t t
t (^) t t y e e
y e e
y y e
2
`
2
`` ` 2 − 2 + 2 =
t y (^) t yt yt yt e
``
t y (^) t yt yt e
`` ` 2 − 3 + 2 = prvo rešavamo odgovarajuću homogenu jednačinu:
`` ` yt − yt + yt =
p
2
p = p p
t t y (^) t H ce ce
2 ( )= 1 + 2 variramo konstante c 1 =c 1 (t) i c 2 =c 2 (t)
2 1 +^2 =
t t c e c e sve podelimo sa e
t
t t t c e c e e
2 2 1 + 2 2 =
1 + 2 = 0
t c c e pomnožimo ovu jednačinu sa - t t c 1 + 2 _c_ 2 e = e
− 1 − 2 = 0
t c c e
t t c 1 + 2 _c_ 2 e = e
t t c e = e
` 2
` c 2 (^) = integralimo
c (^) 2 = 1 dt pa je c 2 (^) = t + d 2 jedno rešenje
1 + 2 = 0
t c c e
t c 1 = − _c_ 2 e pa je
t c ` 1 =− e i kad integralimo c 1 (^) e d 1
t =− +
Našli smo dakle vrednosti : c (^) 2 = t + d 2 i c 1 (^) e d 1
t = − + koje ćemo vratiti u homogeno rešenje:
t t y (^) t H ce ce
2 ( )= 1 + 2
yt=
t t ( − e + d 1 ) e +
t t d e
2 ( + 2 )
yt = - e
2t
t
t
2t
t t t t y (^) t de d e te e
2 2 2 = 1 + 2 + − ovo je rešenje po t, vratimo smenu x – 1 = e
t to jest t= ln(x-1)
2 2 2 y = d 1 ( x − 1 )+ d 2 ( x − 1 ) +( x − 1 ) ln( x − 1 )−( x − 1 ) ovo je opšte rešenje
9. Rešiti diferencijalnu jednačinu : xy``-(x+1)y`+ y = 0 ako je poznato jedno partikularno rešenje y 1 =e
x
Rešenje:
xy``-(x+1)y`+ y = 0 podelimo sve sa x
`
`` + =
− y x
y x
x y
Da vas podsetimo malo teorije:
JEDNAČINA OBLIKA y``+ a(x)y`+b(x)y=f(x)
Posmatramo odgovarajuću homogenu jednačinu : y``+ a(x)y`+b(x)y=
Ako je poznato jedno partikularno rešenje y 1 (x) ove jednačine onda je drugo rešenje:
y 2 (x)= y 1 (x) dx y x
e
axdx
2 1
()
, pa je rešenje homogene jednačine y(x)=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)
Nadalje variramo konstante da bi našli rešenje odgovarajuće početne nehomogene jednačine.
Mi imamo homogenu jednačinu, pa ne moramo da variramo konstante!
a(x)=
x
x + 1 − i b(x) = x
y 2 (x)= y 1 (x) dx
y x
e
axdx
2 1
()
dx x x x x
x dx x
x a xdx ) ln
