Preuzmite Glava 1 Teorija integrala i više Slajdovi u PDF od Matematika 3 samo na Docsity!
Glava 1
Teorija integrala
1.1 Pojam krive. Krivolinijski integrali
1.1.1 Krive u prostoru
Definicija 1. (Pojam krive) Neka su date funkcije x, y, z koje slikaju I u R px, y, z : I Ñ Rq, gde je I bilo koji neprazan podskup skupa R (H ‰ I Ă R). Najˇceˇs´ce ´ce I predstavljati neki od intervala ra, bs , pa, bq , pa, bs ili ra, bq. Kriva C je skup taˇcaka, definisan na slede´ci naˇcin:
C :
px, y, zq P R^3
x “ x ptq y “ y ptq z “ z ptq
, t P I.
Definicija 2. (Definicija zatvorene krive) Kriva C, definisana u defini- ciji 1, je zatvorena ako je:
plooooooooomooooooooonxpaq, ypaq, zpaqq poˇcetna taˇcka
“ ploooooooomoooooooonxpbq, ypbq, zpbqq krajnja taˇcka
Definicija 3. (Definicija proste krive) Neka je I bilo koji interval. Kriva, definisana u definiciji 1, je prosta ako vaˇzi:
t^1 , t” P I, t^1 ‰ t” ñ pxpt^1 q, ypt^1 q, zpt^1 qq ‰ pxpt”q, ypt”q, zpt”qq,
2 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
pri ˇcemu prethodni uslov ne mora biti ispunjen ako su t^1 i t^2 poˇcetna i krajnja taˇcka intervala.
Definicija 4. (Definicija neprekidne krive) Kriva C, definisana u definiciji 1, pri ˇcemu je I neki od navedenih intervala, je neprekidna kriva, ako su sve funkcije x “ xptq, y “ yptq, z “ zptq neprekidne funkcije na I.
Definicija 5. (Definicija rektificijabilne krive) Kriva C je rektificija- bilna ako ima konaˇcnu duˇzinu.
Teorema 1. (Dovoljan uslov rektificijabilnost krive) Ako su funkcije t Ñ x^1 ptq , t Ñ y^1 ptq , t Ñ z^1 ptq neprekidne na I tada je kriva C rekti- ficijabilna.
Teorema 2. Ako je kriva C zadata parametarski x “ x ptq , y “ y ptq , z “ z ptq i ako funkcije x, y, z : I Ñ R imaju neprekidne prve izvode na nekom segmentu rt 0 , T s, tada je kriva C zadata param- etarskim funkcijama na ovom segmentu rektificijabilna i pri tome vaˇzi
da je duˇzina krive S “ pRq
Tş
t 0
b px^1 q^2 py^1 q^2 pz^1 q^2 dt.
1.1.2 Krivolinijski integral prve vrste
Definicija 6. (Definicija krivolinijskog integrala I vrste) Neka je kriva C, iz definicije 1, pri ˇcemu je I neki od intervala ra, bs , pa, bq , pa, bs ili ra, bq, neprekidna, prosta i rektificijabilna. Neka je poˇcetna taˇcka krive oznaˇcena sa A 0. Krivu C podelimo taˇckama A 0 , A 1 ,... , An, pri ˇcemu je An krajnja taˇcka te krive, na proizvoljan naˇcin. Izbor ovih taˇcaka zovemo podela P krive C, i neka su sa AŔkAk1 , pk “ 0 , 1 , ..., n ´ 1 q oznaˇcen deo krive izmed¯u taˇcaka Ak i Ak 1. Neka σk oznaˇcava duˇzinu luka AŔkAk1. Na svakom od lukova AŔkAk 1 izaberimo proizvoljnu taˇcku Mk “ Mk pξk, φk, ηkq pk “ 0 , 1 , ..., n ´ 1 q.
Neka je data funkcija f : R^3 Ñ R, koja je definisana u svim taˇckama krive C. Sa σ oznaˇcimo Darbouxovu sumu σ “
řn´ 1 k“ 0 f^ pMkq^ σk, funkcije f za izabranu podelu P. Neka je λ “ max 0 ďkďn´ 1
σk.
Ako postoji konstanta I tako da je lim λÑ 0 ` σ “ I odnosno da je ispunjen
4 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
Neka je λ “ max 0 ďkďn´ 1 ∆xk dijametar podele P. Ako postoji konaˇcan
realan broj I tako da vaˇzi lim λÑ 0 ` σ “ I, odnosno da je ispunjen slede´ci
Cauchy-ev uslov:
pDI P Rq p@ε ą 0 q pDδ ą 0 q p@Pq
`
@Mk P AŔkAk` 1
λ ă δ ñ |σ ´ I| ă ε,
tada broj I nazivamo krivolinijski integral II vrste funkcije f duˇz krive C po x-osi. Za funkciju f kaˇzemo da je integrabilna u smislu krivolin- ijskog integrala po x-osi i piˇsemo I “ (II)
ş C f^ px, y, zq^ dx.^ Sliˇcno se definiˇsu krivolinijski integrali druge vrste po y i z osi.
Definicija 8. (Definicija Krivolinijski integral II vrste) Neka su date funkcije P px, y, zq, Qpx, y, zq i Rpx, y, zq : R^3 Ñ R i neka su definisane u svim taˇckama krive C iz R^3 , pri ˇcemu je ta kriva neprekidna, prosta, rektificijabilna. Za funkciju P definiˇsimo krivolinijski integral II vrste po x-osi kao u prethodnoj definiciji, a za Q i R definiˇsemo analogne integrale, ali respektivno po osama y i z. Tada se krivolinijski integral II vrste definiˇse kao slede´ci zbir:
I “ pIIq
ż
C
P ¨ dx Q ¨ dy R ¨ dz
“ pIIq
ż
C
P px, y, zq¨dx`pIIq
ż
C
Qpx, y, zq¨dy`pIIq
ż
C
Rpx, y, zq¨dz
Teorema 4. (Izraˇcunavanje krivolinijskog integrala II vrste) Neka je data kriva C : x “ x ptq , y “ y ptq , z “ z ptq, pri ˇcemu t P I (I je neki od intervala ra, bs , pa, bq , pa, bs ili ra, bq), tako da su funkcije x, y, z, x^1 , y^1 , z^1 neprekidne na I. Neka su date funkcije P, Q, R : C Ñ R koje su neprekidne u svim taˇckama krive C. Tada se integral I “ pIIq
ş C P dxQdy^Rdz^ svodi na Riemann-ov integral na slede´ci naˇcin:
I “
ż (^) b
a
pP pxptq, yptq, zptqq ¨ x^1 ptq ` Qpxptq, yptq, zptqq ¨ y^1 ptq
`Rpxptq, yptq, zptqq ¨ z^1 ptqqdt.
Dokaz: Poˇsto je polazni krivolinijski integral zbir tri integrala, dokaz izvodimo za jedan sabirak. Dokaza´cemo da je:
I “ pIIq
ż
C
P dx “ pRq
ż (^) b
a
P px ptq , y ptq , z ptqq x^1 ptqdt.
1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 5
Prethodnu jednakost dokaza´cemo u sluˇcaju kada je I “ ra, bs.
Pokaza´cemo da se razlika Darboux-ove sume krivolinijskog integrala i Riemann-ovog integrala moˇze uˇciniti proizvoljno malom, manjom od unapred zadanog proizvoljnog ε ą 0. To ´ce znaˇciti da su integrali iz iskaza teoreme jednaki.
Kako je krivolinijski integral II vrste jednak I, vaˇzi:
p@Pq
`
@Mk P AŔkAk` 1
p@ε ą 0 q pDδ ą 0 q λ ă δ ñ |σ ´ I| ă ε.
Posmatrajmo podelu P ˇciji je dijametar λ ă δ (δ je veliˇcina iz uslova koji obezbed¯uje postojanja krivolinijskog integrala). Neka su Ak “ pxk, yk, zkq “ px ptkq , y ptkq , z ptkqq podeone taˇcke krive C, a “ t 0 ă t 1 ă t 2 ă ... ă tn “ b i ∆xk “ xk` 1 ´ xk za k “ 0 , 1 ,... , n ´ 1.
Posmatrajmo Darboux-ovu sumu σ za krivolinijski integral II vrste.
σ “
nÿ´ 1
k“ 0
P pMkq ¨ ∆xk “
nÿ´ 1
k“ 0
P px p¯tkq , y pt¯kq , z p¯tkqq ¨ ∆xk “
nÿ´ 1
k“ 0
P px p¯tkq , y p¯tkq , z pt¯kqq ¨ pxptk` 1 q ´ xptkqq
pri ˇcemu su
Mk “ px p¯tkq , y p¯tkq , z p¯tkqq P AŔkAk1 , ¯tk P rtk, tk 1 s.
Kako je prema Newton-Leibnitz-ovoj formuli
∆xk “ xk1 ´ xk “ x ptk 1 q ´ x ptkq “
ż (^) tk` 1
tk
x^1 ptq dt,
dobijamo da je prethodna Darboux-ova suma jednaka
σ “
nÿ´ 1
k“ 0
P px p¯tkq , y pt¯kq , z p¯tkqq ¨
ż (^) tk` 1
tk
x^1 ptq dt
nÿ´ 1
k“ 0
ż (^) tk` 1
tk
P px pt¯kq , y p¯tkq , z p¯tkqq x^1 ptq dt.
1.1. POJAM KRIVE. KRIVOLINIJSKI INTEGRALI 7
ď L
nÿ´ 1
k“ 0
ż (^) tk` 1
tk
ε^1 dt.
Za polazno ε ą 0 i za ε^1 “ (^) Lpbε´aq postoji δ^1 ă δ tako da je ispunjen uslov iz 2. taˇcke. Sada moˇzemo da zakljuˇcimo da vaˇzi slede´ca implikacija.
p@ε ą 0 qp Dδ^1 “ δ^1
ε Lpb ´ aq
ą 0 q λ ă δ^1 ă δ
ñ |σ ´ I| ď L
nÿ´ 1
k“ 0
ż (^) tk` 1
tk
ε Lpb ´ aq
dt “
ε pb ´ aq
nÿ´ 1
k“ 0
ż (^) tk` 1
tk
dt “
ε pb ´ aq
nÿ´ 1
k“ 0
ptk` 1 ´ tkq “
ε pb ´ aq
pb ´ aq “ ε,
odakle dobijamo
p@ε ą 0 qp Dδ ą 0 qλ ă δ ñ |σ ´ I| ď ε,
ˇsto znaˇci da je lim λÑ 0 ` σ “ pRq
şb a f^ pxptq, yptq, zptqqx
(^1) ptqdt, odnosno
ż
C
f px, y, zqdx “ pRq
ż (^) b
a
f pxptq, yptq, zptqqx^1 ptqdt.
Na sliˇcan naˇcin dokazujemo jednakost krivolinijskih integrala po y i z osi odgovaraju´cim Riemann-ovim integralima, te vaˇzi:
ż
C
P dx Qdy Rdz “ pRq
ż (^) b
a
P
1 x `^ Q
1 y `^ R
1 z
dt.
Tvrd¯enje teoreme vaˇzi i u sluˇcajevima kada je interval I otvoren ili poluotvoren, ˇsto se dokazuje na osnovu prethodno dokazanog i osobine aditivnosti integrala.
8 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
1.1.4 Nezavisnost krivolinijskog integrala druge
vrste od puta integracije
Podsetimo se nekih pojmova:
(a) Za oblast H ‰ D Ă R^3 kaˇzemo da je povezana, ako za D vaˇze slede´ci uslovi:
- Skup D ima neprazan interior (intD ‰ 0).
- Svake dve taˇcke skupa D se mogu spojiti izlomljenom linijom takvom da ta linija ˇcitava leˇzi u D.
(b) Za krivu L kaˇzemo da je glatka ako se u svakoj taˇcki te krive moˇze postaviti tangenta na tu krivu, na jedinstven naˇcin.
(c) Za krivu L kaˇzemo da je deo po deo glatka ako se ona sastoji iz najviˇse konaˇcno mnogo glatkih delova.
Neka je data povezana oblast D Ă R^3 , D ‰ H i neka su funkcije P “ P px, y, zq , Q “ Q px, y, zq , R “ Rpx, y, zq P CpDq. Ako je kriva L Ă D deo po deo glatka takva da joj je A poˇcetna taˇcka, a B krajnja taˇşcka, kakvi uslovi moraju biti zadovoljeni tako da vrednost integrala
L P^ ¨^ dx^ ^ Q^ ¨^ dy^^ Rdz^ ne zavisi od oblika krive (puta integracije)? Odgovor na ovo pitanje bi´ce iskazan u vidu dve teoreme.
Teorema 5. Integral
ş L P^ ¨dxQ¨dyRdz^ ne zavisi od puta integracije ako i samo ako postoji funkcija u : D Ñ R, D Ă R^3 takva da je du “ B Bux dx B Buy dy B Buz dz “ P dx Qdy Rdz, odnosno mora vaˇziti
u 1 x “^
Bu Bx “^ P, u
1 y “^
Bu By “^ Q^ i^ u
1 y “^
Bu Bz “^ R.
Dokaz: Najpre dokaˇzimo da ako posmatrani integral ne zavisi od puta integracije, tada postoji funkcija
u : D Ñ R, tako da je du “ P dx Qdy Rdz koja je definisana sa
upx, y, zq “
ż (^) px,y,zq
px 0 ,y 0 ,z 0 q
P dx Qdy Rdz.
Dokaza´cemo da definisana funkcija zadovoljava uslove teoreme. Pos- matrajmo:
10 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
Teorema 6. Neka su P “ P px, y, zq , Q “ Q px, y, zq , R “ Rpx, y, zq P CpDq neprekidne funkcije. Tada vaˇzi: Izraz P dxQdyRdz je totalni diferencijal neke funkcije u : D Ñ R, ako i samo ako vaˇze uslovi:
p˚˚q
BP
By
BQ
Bx
BR
By
BQ
Bz
i
BP
Bz
BR
Bx
Dokaz: Dokaz ´cemo izvrˇsiti samo u jednom smeru. Pokaza´cemo da ako je izraz P dxQdyRdz totalni diferencijal, da tada vaˇze navedeni uslovi.
Za u : D Ñ R, gde du “ P dx Qdy Rdz, u P C^2 pDq vaˇzi:
B Bx
Bu By
B^2 u BxBy
B^2 u ByBx
B^2 u ByBz
B^2 u BzBy
B^2 u BxBz
B^2 u BzBx
ñ
BQ
Bx
BP
By
BR
By
BQ
Bz
BR
Bx
BP
Bz
Obrnut smer dokaza je dosta sloˇzeniji i ovde ga izostavljamo.
1.2 Dvojni, trojni i viˇsestruki integral
1.2.1 Pojam dvojnog, trojnog i viˇsestrukog inte-
grala
Definicija 9. (Definicija dvojnog integrala) Neka je dat neprazan skup Dp‰ Hq Ă R^2 i funkcija f : D Ñ R, koja je ograniˇcena, tj. postoji konstanta M ą 0 takva da je za @px, yq P D ispunjen uslov: |f px, yq| ď M. Razloˇzimo oblast D podelom P na podoblasti D 1 , D 2 , ..., Dn, tako da vaˇzi:
(i) p@i P N q Di Ă D i Di ‰ H, (ii)
Ťn i“ 1 Di^ “^ D, (iii) intDi X intDj “ H; i, j “ 1 , 2 , ...., n; i ‰ j.
U svakoj od oblasti Di proizvoljnu izaberimo po jednu taˇcku Ti pxi, yiq P Di p 1 ď i ď nq. Sa λ oznaˇcimo maksimum od dijametara oblasti Di: λ “ max 1 ďiďn λi, gde je λi “ diampDiq “ sup A,BPDi
pdpA, Bqq.
1.2. DVOJNI, TROJNI I VISESTRUKI INTEGRALˇ 11
Izrazom σ “
řn i“ 1 f^ pTiq^ mes^ pDiq, gde^ mes^ pDiq^ oznaˇcava povrˇsinu oblasti Di, definiˇsemo Darboux ovu sumu funkcije f po oblasti D za podelu P i izbor taˇcaka Ti.
Ako postoji konstanta I P R tako da je lim λÑ 0 ` σ “ I odnosno da je
ispunjen slede´ci Cauchy-ev uslov:
pDI P Rq p@ε ą 0 q pDδ ą 0 q p@Pq p@Tk P Dkq λ ă δ ñ |σ ´ I| ă ε,
tada kaˇzemo da je funkcija f integrabilna u smislu postojanja dvojnog integrala po oblasti D. Broj I naziva se dvojnim integralom funkcije f po oblasti D u oznaci I “
ť D
f px, yq dxdy.
Napomena: Veoma sliˇcno i pod sliˇcnim uslovima definiˇsemo trojni (trostruki), a takod¯e i viˇsestruki integral. Darbouxova suma u sluˇcaju viˇsestrukog integrala glasi σ “
řn k“ 1 f^ pMkq^ mespVkq, pri ˇcemu^ mespVkq oznaˇcava n-dimenzionu zapreminu podeoka Vk. Trojni integral oznaˇca- vamo sa I “
ţ V
f px, y, zqdV , a n-dimenzioni sa I “
ţ V
ş f px 1 , ..., xnqdV.
1.2.2 Zamena promenljivih u dvojnom integralu
Teorema o smeni promenljive u dvojnom integralu. Posma- trajmo integral I “
ť D
f px, yqdxdy. Neka se parametrizacijom x “
xpξ, ηq, y “ ypξ, ηq, pξ, ηq P ∆ Ă R^2 , skup ∆ Ă R^2 slika u D Ă R^2 , pri ˇcemu su x “ xpξ, ηq, y “ ypξ, ηq jednoznaˇcna i glatka preslikavanja. Tada vaˇzi da je
I “
ij
D
f px, yqdxdy “
ij
∆
f pxpξ, ηq, ypξ, ηqq |J| dξdη,
gde je |J| “
ˇD Dppx,yξ,ηqq
ˇ Jacobieva determinanta preslikavanja x “ xpξ, ηq, y “
ypξ, ηq.
Dokaz. Izvrˇsi´cemo dokaz, za dobro odabran oblik oblasti ∆ Ă R^2 (Svaka oblast moˇze se razloˇziti na oblasti bilo kog oblika, te izbor oblika oblasti ∆ ne umanjuje opˇstost dokaza.)
Neka se preslikavanje ovih oblasti vrˇsi kao na slici:
1.2. DVOJNI, TROJNI I VISESTRUKI INTEGRALˇ 13
Povrˇsina krivolinijskog paralelograma P 1 P 2 P 3 P 4 jednaka je:
P pP 1 P 2 P 3 P 4 q “ 2 ¨ P pP 1 P 2 P 4 q “
Bx Bξ dξ^
Bx Bη dη By Bξ dξ^
By Bη dη
Bx Bξ
Bx Bη By Bξ
By Bη
¨ dξ ¨ dη.
Iz poslednjeg sledi da je
dx ¨ dy “
Bx Bξ
Bx Bη By Bξ
By Bη
¨ dξ ¨ dη “ |J| ¨ dξ ¨ dη .
1.2.3 Green-Riemann-ova formula
Green-Riemann-ova formula. Neka su P, Q : D Ñ R, neprekidno diferencijabilna preslikavanja oblasti D Ă R^2 koju ograniˇcava zatvorena kriva L. Tada vaˇzi ¿
L`
P px, yq dx ` Q px, yq dy “
ij
D
BQ
Bx
BP
By
dxdy.
Dokaz. Izvrˇsimo dokaz za dovoljno jednostavne oblasti.
Pretpostavimo da je data oblast D Ă R^2 i pretpostavimo da je ova oblast D ograniˇcena zatvorenom konturom L “ P QRSŔ, koja je defin- isana na slede´ci naˇcin: y 0 “ y 0 pxq , y “ Y pxq , a ď x ď b, pri ˇcemu je @x P ra, bs , y 0 pxq ď Y pxq i ordinatama x “ a, x “ b.
14 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
Tada, na osnovu Newton-Leibnitz-ove formule imamo da je
I “
ij
D
BP
By
dxdy “
ż (^) b
a
dx
ż (^) Y pxq
y 0 pxq
BP
By
dy
ż (^) b
a
P px, Y pxqq dx ´
ż (^) b
a
P px, y 0 pxqq dx
p˚q “
ż
SR^ Ŋ
P px, yq dx `
ż
QP^ Ŋ
P px, yq dx “
L´
P px, yq dx “ ´
L`
P px, yq dx
(*) zbog
ş RQŊ P^ px, yq^ dx^ “^
ş ŊP S P^ px, yq^ dx^ “^ 0, jer je^ dx^ “^ 0.
Poˇsto se analogno moˇze izvesti da je J “
ť D
BQ Bx dxdy^ “^
ű L`^ Qpx, yqdy sabiranjem integrala I u J dobija se zadato tvrd¯enje ˇcime je dokaz zavrˇsen.
1.3 Povrˇsinski integrali
1.3.1 Povrˇsinski integral I vrste
Definicija 10. (Definicija povrˇsinskog integrala I vrste)
Neka je data povrˇs S Ă R^3 koja je deo po deo glatka (sastoji se od unije najviˇse prebrojivo mnogo glatkih povrˇsi - povrˇsi kod kojih se u svakoj taˇcki, osim u rubnim taˇckama, moˇze postaviti tangentna ravan i to na jedinstven naˇcin), ograniˇcena i rektificijabilna (ima konaˇcnu povrˇsinu).
Neka je povrˇs S razloˇzena podelom P na podpovrˇsi: S 1 , S 2 , ..., Sn tako da vaˇzi:
(i) Si Ă S, i “ 1 , 2 , ..., n;
(ii)
Ťn i“ 1 Si^ “^ S; (iii) intSi X intSj “ H, za i ‰ j pi, j “ 1 , 2 , ..., nq.
Na proizvoljan naˇcin odaberimo po jednu taˇcku Mk “ Mkpxk, yk, zkq P Sk p 1 ď k ď nq. Neka je λ “ max 1 ďkďn diampSkq, pri ˇcemu je dijametar
16 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
gde je
E “
Bx Bu
`
By Bu
`
Bz Bu
F “
Bx Bu
Bx Bv
`
By Bu
By Bv
`
Bz Bu
Bz Bv
G “
Bx Bv
`
By Bv
`
Bz Bv
1.3.2 Jednostrane i dvostrane povrˇsi
Pretpostavimo da je data glatka povrˇs S Ă R^3 , pri ˇcemu je rub ove povrˇsi zatvorena kontura C. U proizvoljnoj taˇcki N ove povrˇsi povuˇcemo jedinstvenu normalun⃗ np⃗ KSq i opiˇsemo konturu L Ă S takvu da je L X C “ H i da kontura L sadrˇzi podnoˇzje normalen⃗.
Pomeramon⃗ duˇz konture L. Mogu nastati dva sluˇcaja:
(i) Pomeraju´cin⃗ duˇz konture L, posle povratka u taˇcku N normala n⃗ se vra´ca u polazni poloˇzaj zadrˇzavaju´ci isti smer.
(ii) Pomeraju´cin⃗ duˇz konture L, posle povratka u taˇcku N normala n⃗ se vra´ca u polazni poloˇzaj menjaju´ci smer u njemu suprotan.
1.3. POVRSINSKI INTEGRALIˇ 17
Ako za svaku konturu L Ă S normala zadrˇzava isti smer kao i u poˇcetnom poloˇzaju za povrˇs S kaˇzemo da je dvostrana ( na primer, sfera). Ako postoji barem jedna kontura L takva da posle njenog obi- laska vektorn⃗ menja svoj smer za povrˇs S kaˇzemo da je jednostrana (na primer, Mebijusov list).
Definicija 11. (Definicija strane povrˇsi)
Izaberimo na dvostranoj, deo po deo glatkoj, ograniˇcenoj i rektificija- bilnoj povrˇsi S jednu taˇcku P i u njoj postavimo normalun⃗ np⃗ KSq, pri ˇcemu biramo na proizvoljan naˇcin i fiksiramo jedan od dva mogu´ca smera. Osim ovoga uoˇcimo proizvoljnu taˇcku X na S. Za taˇcku X i taˇcku P kaˇzemo da pripadaju istoj strani dvostrane povrˇsi S ako za svaku konturu L koja sadrˇzi i P i X, ali ne seˇce granicu od S, nor- malan⃗ posle obilaska te konture zadrˇzava isti smer kao i u poˇcetnom poloˇzaju.
Skup svih taˇcaka koje pripadaju istoj strani dvostrane povrˇsi obrazuju jednu od dve strane te povrˇsi. Skup preosalih taˇcaka obrazuju drugu stranu te povrˇsi.
Ukoliko je na povrˇsi S izabrana jedna strana povrˇsi tada za povrˇs kaˇzemo da je ”orijentisana”.
1.3.3 Povrˇsinski integrali II vrste
Definicija 12. (Definicija povrˇsinskog integrala II vrste po Oxy-ravni)
Neka je povrˇs S Ă R^3 deo po deo glatka, ograniˇcena, rektificijabilna (tj. moˇzemo da odredimo povrˇsinu povrˇsi), dvostrana i orijentisana (na S je izabrana jedna strana povrˇsi oznaˇcena sa S˚).
1.3. POVRSINSKI INTEGRALIˇ 19
definisan povrˇsinski integral druge vrste po povrˇsi S i to onoj strani koja je odred¯ena sa ˚.
1.3.4 Veza povrˇsinskih integrala prve i druge vrste
Neka jen⃗ pcos α, cos β, cos γq jediniˇcni vektor normale na datu povrˇs S (α, β, γ su uglovi kojen⃗ zaklapa sa x,y, z osama). Izdelimo S na veoma male povrˇsi, kojima dodeljujemo po vektorn⃗. Neka je mes pDiq mera povrˇsine projekcije povrˇsi Si na Oxy. Tada imamo da je ˇ ˇ ˇmes mesppDSiiqq
ˇ “ |cos γi|, (odnosno dxdydS “ cos γ), pa je
mespDiq “ mespSiq¨cos γi p γi u izabranoj takiq. S obzirom na prethodno, Darboux ova suma kojom se definiˇse integral po xOy ravni postaje
σ “
ÿ^ n
i“ 1
f pxi, yi, ziq cos γi ¨ mespSiq ñ I “
S
f px, y, zq cos γdS.
Dakle, vaˇzi:
pIIq
S
P dydzQdzdxRdxdy “ pIq
S
pP cos α Q cos β R cos γq dS.
1.3.5 Izraˇcunavanje povrˇsinskog integrala II vrste
Date su tri funkcije: x “ xpu, vq, y “ ypu, vq, z “ zpu, vq, koje jed-
noznaˇcno preslikavaju px, y, zq P S na ô ”1´1”
pu, vq P△Ă R^2. Vektor stan-
dardizovane normale na povrˇs je standardizovan vektor koji se dobija iz
vektorskog proizvoda
Ñ i
Ñ j
Ñ k xu yu zu xv yv zv
. Oznaˇcimo koordinate prethodnog
vektorskog proizvoda sa A “ D Dppy,zu,vqq , B “ D Dppu,vz,xqq , C “ D Dppx,yu,vqq.
Kako je
cos α “ (^) ˘?A (^2) AB (^2)C 2 , cos β “ (^) ˘?A (^2) BB (^2)C 2 , cos γ “ (^) ˘?A (^2) CB (^2)C 2 ,
20 GLAVA 1. TEORIJA INTEGRALA
a dS “
A^2 B^2 C^2 dudv, dobijamo da je:
I “ pIIq
S
P dydz Qdzdx Rdxdy
“ pdvojniq (^) loomo˘on
zavisi od strane povrsi
ij
△
pP A QB RCq dudv.
1.3.6 Stokes-ova formula
Stokes-ova formula predstavlja vezu izmed¯u povrˇsinskog integrala II vrste i krivolinijskog integrala II vrste.
Neka je S Ă R^3 prosta (ne seˇce samu sebe), glatka, dvostrana povrˇs, ograniˇcena deo po deo glatkom konturom L, pri ˇcemu na povrˇsi S bi- ramo spoljnu stranu, a na L pozitivnu orijentaciju kretanja. Neka je data funkcija P “ P px, y, zq koja je neprekidna zajedno sa svim svojim prvim parcijalnim izvodima po svim promenljivim x, y, z i to u oblasti S Y L. Pod svim ovim uslovima vaˇzi:
(A)
ż
L`
P dx “
S`
BP
Bz
dzdx ´
BP
By
dxdy.
