Iskazna algebra, Rezime od Algebra

Preuzmite Iskazna algebra i više Rezime u PDF od Algebra samo na Docsity!

Iskazna algebraIskazna algebraIskazna algebra

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako sloˇ

zen bio, jeste da je on ili taˇ

can,

ili netaˇ

can.

Da bi se pravila za odred

¯ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi

se slede´

ca matematiˇ

cka struktura.

Iskazna algebra

je dvoelementni skup

, zajedno sa jednom unar-

nom operacijom

i ˇ cetiri binarne operacije

∧ , ∨ , ⇒ i ⇔

, koje su

definisane slede´

cim tablicama:

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 2 –

Iskazna logika - II deo

Potreban broj iskaznih slovaPotreban broj iskaznih slovaPotreban broj iskaznih slova

Primetimo da svaka iskazna formula moˇ

ze sadrˇ

zati samo konaˇ

cno mnogo

ne moˇSa druge strane, broj iskaznih slova koja se javljaju u svim formulamaiskaznih slova.

ze se ograniˇ

citi nijednim prirodnim brojem, jer se uvek moˇ

ze

napraviti nova formula sa ve´

cim brojem iskaznih slova.

Dakle, za formiranje svih iskaznih formula nije dovoljan konaˇ

can skup

iskaznih slova, ali je dovoljan

prebrojiv skup

iskaznih slova

p 1 , p

2 , p

3 ,... , p

n ,...

Matemati ˇ i da ova lista jeste lista svih iskaznih slova.^ Zato nadalje podrazumevamo da iskaznih slova ima prebrojivo mnogo

cka logika

- 4 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 4 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 4 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formuleIstinitosna vrednost formule

Neka je

A

iskazna formula.

Zato odrednjoj javljaju.Njena istinitost pre svega zavisi od istinitosti iskaznih slova koja se u

¯ivanje istinitosne vrednosti formule

A

mora poˇ

ceti dodelji-

To se moˇPotom se te istinitosne vrednosti sa slova prenose na celu formulu.njoj javljaju.vanjem izvesnih istinitosnih vrednosti svim iskaznim slovima koja se u

ze formalizovati na naˇ

cin prikazan u daljem tekstu.

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 5 –

Iskazna logika - II deo

InterpretacijaInterpretacijaInterpretacija

Kada razmatranje ograniˇ

cimo na formulu

AA

, ili konaˇ

can skup formula

A

1 , A

2 ,... , A

n , onda su nam bitne istinitosne vrednosti samo onih

slova koja se javljaju u formuli

A

, odnosno formulama

A

1 , A

2 ,... , A

n .

Zato se, za razliku od valuacije,

interpretacija

formule

A

, odnosno

formula

A

1 , A

2 ,... , A

n , definiˇ

se se kao funkcija

v

: { p 1 , p

2 ,... , p

k } → {

iz skupa svih iskaznih slova koja se javljaju u formuli

A

, odnosno u

formulama

A

1 , A

2 ,... , A

n , u skup

Drugim reˇ

cima, to je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svim iskaznim

slovima koja se javljaju u formuli

A

, odnosno u formulama

A

1 ,... , A

n .

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 7 –

Iskazna logika - II deo

Vrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuaciji

Neka je

v

: { p 1 , p

2 ,... , p

n ,...

Kao ˇ proizvoljna valuacija.

sto smo rekli, valuacija pridruˇ

zuje istinitosne vrednosti iskaznim

Funkcijaslovima.

v

se sa skupa svih iskaznih slova moˇ

ze proˇ

siriti i na skup svih

To se ˇiskaznih formula.

cini induktivnom definicijom, po sloˇ

zenosti formule, koja omogu-

Matemati ˇ slova koja se u njoj javljaju.´cuje da se istinitosna vrednost formule izvede iz istinitosnih vrednosti

cka logika

- 8 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 8 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 8 –

Iskazna logika - II deo

Vrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuaciji

Dakle, v ( B

C

v ( B

) (^) ∧

v ( C ) , v ( B ∨ C

v ( B

) ∨ (^) v ( C

) ,

v ( B

C

v ( B ) ⇒ v ( C ) , v ( B ⇔ C

v ( B ) ⇔ v ( C ).

Primetimo da su vrednosti na desnoj strani jednakosti iz skupa

a znaci

¬ , ∧ , ∨ , ⇒ i ⇔

na desnoj strani predstavljaju operacije u

Istim tim znacima na levoj strani oznaˇiskaznoj algebri.

ceni su logiˇ

cki veznici.

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 10 –

Iskazna logika - II deo

Vrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuacijiVrednost formule u valuaciji

Uoˇ

cimo joˇ

s jednom da vrednost formule zavisi od valuacije u kojoj se

posmatra - u razliˇ

citim valuacijama ona moˇ

ze imati razliˇ

cite vrednosti.

Takod

¯e, istinitosna vrednost sloˇ

zenih formula odred

¯uje se tako ˇ

sto se

polaze´najpre odrede istinitosne vrednosti jednostavnijih formula koje je grade,

ci od iskaznih slova.

Ako u nekoj valuaciji vrednost formule jednaka

, onda kaˇ

zemo da je

formula

taˇ

cna

u toj valuaciji.

Ako je vrednost foremule u toj valuaciji jednaka

, kaˇ

zemo da je formula

netaˇ

cna

u toj valuaciji.

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 11 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosne tablice

Da bi se odredile vrednosti formule za

sve interpretacije

koriste se

tablice istinitosti

ili

istinitosne tablice

Budu´

ci da svakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola

i 0

po slovima formule, u tablicu se unose svi ti rasporedi.

Za svaki raspored odred

¯uju se vrednosti podformula i na kraju vrednost

Ako razliˇsame formule.

citih iskaznih slova u formuli ima

n , onda svaki raspored sim-

bola

i 0

po slovima jeste jedna ured

¯ena

n -torka tih simbola.

Svih rasporeda, pa tako i svih interpretacija formule, ima dakle

n .

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 13 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosne tabliceIstinitosne tabliceIstinitosne tablice

Vratimo se na formulu

p

∧ (^) ( q

⇔ ¬

r ) iz ranijeg primera.

Svih interpretacija te formule ima

3 = 8

, i vrednost formule za svaku

od tih interpretacija odred

¯ena je slede´

com istinitosnom tablicom:

p q r ¬ r q

r

p (^) ∧

q

⇔ ¬

r )

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 14 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosna funkcijaIstinitosna funkcijaIstinitosna funkcija

Obratan problem je da se za proizvoljnu funkciju

f

: { 1 , (^0) } n

→ {

odredi iskazna formula

A

p 1 ,... , p

n ) , ˇ cija bi istinitosna funkcija bila

funkcija

f (^) , dakle

f

=

f A .

Dokaza´

cemo da takva formula postoji, odnosno da se svaka funkcija

f

: { 1 , (^0) } n

→ {

(tj.

n -arna operacija na skupu

) moˇ

ze na

poseban naˇ

cin izraziti pomo´

cu operacija

i ¬

iskazne algebre.

Matemati ˇ

cka logika

- 16 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 16 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 16 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosna funkcijaIstinitosna funkcijaIstinitosna funkcija

Najpre uvodimo oznaku

x α

=

x,

α

= 1

x,

α

= 0

tj.

x 1 = x i x 0 = ¬ x.

Primetimo da vaˇ

zi slede´

ce:

1 = 1

1 = 0

0 = 0

0 = 1

Prema tome, za svaki

x

∈ {

vaˇ

zi

x α

= 1

ako i samo ako je

x

=

α.

Matemati ˇ

cka logika

- 17 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 17 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 17 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosna funkcijaIstinitosna funkcijaIstinitosna funkcija

Dokaz:

Za proizvoljne

b 1 ,... , b

n

∈ {

kao vrednosti promenljivih

x 1 ,... , x

n , tim redom, vrednost funkcije

f

je

f (^) ( b 1 ,... , b

n ) ∈ {

a izraz na desnoj strani postaje

( α 1 ,...α

n (^) ) ∈{

1 , 0 } n f (^) ( α 1 ,... , α

n ) (^) ∧

(^) b α 1

1

(^) b α n

n

.

Uzimaju´

ci u obzir da, kako smo ranije primetili, za

x

∈ {

vaˇ

zi

x α

= 1

ako i samo ako je

x

=

α,

kao i ˇ

cinjenicu da je konjunkcija taˇ

cna ako i samo ako su svi njeni

ˇclanovi taˇ

cni, zakljuˇ

cujemo da je

b α 1

1

(^) b α n

n

ako i samo ako je

α i =

b i za sve

i.

U svim ostalim sluˇ

cajevima vrednost tog izraza je

Matemati ˇ

cka logika

- 19 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 19 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 19 –

Iskazna logika - II deo

Istinitosna funkcijaIstinitosna funkcijaIstinitosna funkcija

Na ovaj naˇ

cin dobijamo da gornja disjunkcija postaje

f (^) ( b 1 ,... , b

n ) (^) ∧

(^) 1)

f (^) ( b 1 ,... , b

n ) ,

pa je tvrd

¯enje dokazano.

Matemati ˇ

cka logika

- 20 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 20 –

Iskazna logika - II deo

Matemati ˇ

cka logika

- 20 –

Iskazna logika - II deo