Preuzmite Skripta iz Matematike i više Skripte u PDF od Matematika 1 samo na Docsity!
Osnovni matematički pojmovi su ... pojmovi koji se ne definišu. Izvedeni matematički pojmovi su ... pojmovi koji se definišu pomoću osnovnih matematičkih pojmova ili preko drugih izvedenih pojmova. Prava je ... jedan od osnovnih matematičkih pojmova. Tačka je ... jedan od osnovnih matematičkih pojmova. Ravan je ... jedan od osnovnih matematičkih pojmova. Skup je ... jedan od osnovnih matematičkih pojmova. Duž je ... dio prave ograničen dvjema tačka te prave uključujući i te tačke. Poluprava je ... svaki od dva dijela prave na koje je ona podijeljena jednom proizvoljnom tačkom uključujući i tu tačku. Ugao je ... unija ugaone linije i skupa svih tačaka u ravni koje su s iste strane te ugaone linije. Poligon je ... (mnogougao) skup svih tačaka u ravni koji čine uniju skupa tačaka jedne mnogougaone linije koja nema tačaka samopresjeka i skupa tačaka koje su unutar te linije. Trougao je ... mnogougao koji ima tri stranice. Kako glase kriteriji prema kojima vršimo klasifikaciju trouglova? Klasifikacija trouglova: prema broju jednakih stranica, tj. njihovih dužina (raznostranične, jednakokrake, jednakostranične) i prema veličini najvećeg unutrašnjeg ugla (oštrougli, pravougli, tupougli). Navedi podjele trouglova prema tim kriterijama i definiši svaki od njih. Raznostranični trougao je trougao koji ima sve tri stranice različitih dužina. Jednakokraki trougao je trougao koji ima dvije stranice jednakih dužina. Jednakostranični trougao je trougao koji ima sve tri stranice jednakih dužina. Oštrougli trougao je trougao koji ima sve oštre uglove. Pravougli trougao je trougao koji ima pravi ugao. Tupougli trougao je trougao koji ima tupi ugao. Paralelne prave su ... prave koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka (ne sijek se). Paralelogram je ... četverougao sa dva para paralelnih stranica. Pravougaonik je ... paralelogram sa jednim pravim uglom. Romb je ... jednakostranični paralelogram. Kvadrat je ... pravougaonik sa jednakim susjednim stranicama. Trapez je ... četverougao koji ima jedan par paralelnih stranica. Kružnica je ... skup svih tačaka jedne ravni koje su jednako udaljene od jedne stalne tačke te ravni. Krug je ... dio ravni ograničen kružnicom uključujući i tu kružnicu.
Sfera je ... skup svih tačaka u prostoru jednako udaljenih od jedne stalne tačke. Lopta je ... dio prostora omeđen sferom uključujući i tu sferu. Kvadar je ... prizma čije su strane pravougaonici. Kocka je ... kvadar sa jednakim ivicama. NASTAVNI PRINCIPI Sistem principa nastave matematike- Oni predstavljaju opšte smjernice odgojno-obrazovnog rada, njegovog uspostavljanja, procjenjivanja i vrednovanja. Kao sastavni dio teorije nastave odreduju se ciljevima nastave i odgoja, potrebama društvenog razvoja i karakteristikama rada učenika tokom obrazovnog procesa, oslanjajući se na odgovarajući stepen njihovog psihičkog razvoja. S druge strane, didaktički principi odreduju nastavne metode, odnosno načine prenošenja učenicima odredenih znanja, razvijanja njihovih vještina, navika i sposobnosti. Njima se izražava koncepcija nastave, pojavni oblici i konačni učinci, Rezultat su proučavanja pozitivne obrazovne (nastavne) prakse, zakonitosti procesa učenja, nivoa i kvalitete psihofizičkog razvoja uëenika, te prirode nastavnih sadržaja matematike. Dakle, svako ko organizuje i provodi nastavu matematike treba da se pridržava didaktičkih principa. U savremenoj didaktici nema jedinstvenog stajališta o didaktičkim principima, o njihovom broju i formulisanju sadržaja. Gotovo ni u jednom području didaktike nema ovakve raznolikosti u shvatanjima kakva se sreće na području didaktičkih principa. Za to, generalno, postoji nekoliko razloga. Jedan od razloga je taj što ni nastavna praksa nije uvijek i svugdje jednaka. Drugi razlog je Sto svi didaktičari ne sagledavaju na isti način odnose medu didaktičkim zakonima, principima i pravilima. Treći razlog je taj Sto je kod nekih didaktičara primjetna tendencija da sažimaju dva ili više principa u jedan, a kod drugih se javlja suprotna tendencija, tj. razdvajanje na broj principa. Broj principa kojima se utemeljuje nastava matematike j različit, zavisno od autora, ili uzrasta kojem je nastava matematike namjenjena. Na principe se ne može gledati kao na posve samostalne kategorije. Oni nisu medusobno izolovani, već se medusobno uslovljavaju i simultano realizuju. Moglo bi se reéi i da pojedini principi, uzeti sami za sebe, be povezanosti sa ostalim principima, nemaju didaktičku opravdanost, niti mogu poslužiti kao smjernice i regulatori u nastavnom procesu. Prema tome, didaktiëki principi medusobno su usko povezani i ćine sistem. Sistem didaktičkih principa nije hijerarhijski ureden s obzirom na vijednost i ulogu. Hijererhija se ne moŽe uspostaviti zbog njihove povezanos te zato Sto svaki princip izražava bitan aspekt nastave matematike. Otud zahtjev da se u nastavi matematike podjednako uvažavaju svi principi sistema jer se kvalitetan i uspješan rad može postiéi samo ravnomjernom pr mjenom i uvažavanjem svih principa. Dakle, dobro organizovana i valjan izvodena nastava podjednako uvažava i ostvaruje sve didaktiéke princip Samo takva nastava može se smatrati kvalitetnom i biti uspješnim faktoro matematičkog obrazovanja i odgoja (Markovac, 2001). Za nastavu matematike od značaja su sljedeći didaktički principi:
- princip postupnosti i sistematičnosti,
- princip očiglednosti,
- princip svjesne aktivnosti,
- princip individualizacije,
geometrijska tijela (lopta, kocka, kvadar, piramida, valjak, kupa), a zatim geometrijski likovi, linije i na kraju tačka. Dakle, pravilo od jednostavnog ka slożenom potčinjeno je trećem i četvrtom pravilu. Pravilo od bližeg ka daljem traži da se u nastavi matematike połazi prvenstveno od onoga Sto je učeniku prostorno i vremenski blisko, a što mu je istovremeno i psihički blisko. Medutim, prostorna i vremenska blizina ne podrazumijevaju i psihičku blizinu. Zato je ovo pravilo podredeno ostalima. U nastavi matematike, pogotovo u početnoj nastavi matematike, połazi se od upoznavanja onih objekata koji su učeniku bliski. Tako pri obradi geometrijskih tijela u prvom razredu, prvo se upoznaju sa loptom jer učenici sa predmetima oblika lopte već imaju lična iskustva. Zahtjev sistematičnosti odnosi se, u prvom redu, na izbor i raspored nastavnih sadržaja u cjelini, na izradu nastavnog plana i programa. Izbor i redoslijed nastavnih sadržaja u okviru predmeta matematika obavlja se tako da se učenicima ornoguéi usvajanje novih sadržaja na temelju i pomoéu ranije naučenog i da se omogući povezivanje sadržaja unutar predmeta. Ovaj princip se primjenjuje i pri obradi većih ili manjih nastavnih cjelina - nastavnih tema i nastavnih jedinica. U raščlanjivanju nastavnih sadržaja na nastavne teme, i zatim nastavne jedinice vodi se računa o sistematičnosti. Zato ostvarenje ovog principa zahtijeva planiranje i pripremanje svake nastavne teme, svakog časa, jer ako isplaniran, ako nisu pripremljene sve njegove faze, on sigurno ne može dati dobre rezultate. Pri kreiranju nastavnog plana matematike posebno se vodi računa o psihičkom stepenu razvoja učenika, pa se u osnovnoj školi sadržaji izlażu u tzv. Koncentričnom pokretu. Sistematičnost sustrećemo I u sferi učenikove djelatnosti u nastavnorm procesu. Učenik se tokom nastave susreće sa velikim brojem podataka i činjenica. Zakoni pamćenja ukazuju da će učenik usvojiti nastavne sadržaje utoliko lakše ukoliko su oni izloženi prema odredenom sistemu. Iz ovoga proizilazi potreba sistematskog ponavljanja nastavnih jedinica i tema. Za uspjeh u nastavnom radu posebno značenje imaju etape sistematizacije i uopštavanja nastavnih sadržaja, što vodi ne samo do i zakona, nego i poveéanja trajnosti znanja. Sistematskim ponavljanjem i uopštavanjem povezuju se i utvrduju pojedini dijelovi nastavnih sadržaja. Princip očiglednosti Princip očiglednosti proizilazi iz psihološkog zakona sticanja znanja da ništa nije u svijesti što nije bilo na neki način u čulima. Ovaj princip iziskuje korištenje očiglednih sredstava u sticanju matematiëkih znanja. Oëigledna nastava pomaže otkrivanje osobina ëijim se isticanjem u prvi plan formiraju matematiëki pojmovi. Ona ubrzava hod misli od živog opažanja prema suštini pojma koji se proučava. Zivo opaŽanje predstavlja prvi stepen saznanja i djelomiëno se realizuje kroz oëiglednu nastavu. Matematički objekti su apstraktni — nemaju konkretnu interpretaciju u stvarnosti. Zato mnogi učenici imaju velikih poteškoća da shvate pojedine matematiëke objekte. Shvatanju tih objekata pomažu očigledna nastavna sredstva. Za razliku od sadržaja učenja u npr. biologiji gdje je sadržaj očiglednih sredstva identičan sadržaju učenja, u matematici to nije slučaj. U matematici očigledna sredstva, u prvom redu, modeli pojedinih matematičkih objekata koji predstavljaju matematičke pojmove više ili manje približno. Primjena principa oćiglednosti u nastavi matematike ima opravdanje jer odgovara postavljenim zadacima nastave matematike. Medutim, kada je riječ o očiglednosti u nastavi matematike treba voditi raëuna o sljedećem:
- da učenici ne identifikuju model sa matematičkim pojmom (model kocke sa kockom, sliku prave na tabli sa pravom itd.),
- da očiglednost ima ograničenu ulogu u nastavi matematike-
matematički pojmovi su apstraktni pa je cilj da ih učenici kao takve shvate i usvoje. Zato se na očiglednost u nastavi matematike treba ograničeno osłanjati, odnosno samo dotle dok učenici ne usvoje određeni pojam. Metodička spremnost i iskustvo nastavnika pomoći će mu da odredi kada treba Prestati da se osłanja na očiglednost i kada će početi da operiše isključivo sa apstraktnim matematičkim objektima, koji i jesu predmet proučavanja u matematici. Stoga se princip očiglednosti može definisati i kao zahtjev da u nastavi treba polaziti od konkretnog ka apstraktnorn. Ovo treba uzeti u obzir pri planiranju neke veće nastavne teme tako da se planira put od konkretnog ka apstraktnorn, i dalje, kad se tema razlaže na nastavne jedinice u kojima se također połazi od konkretnog ka apstraktnom. Princip interesa i svjesne aktivnosti Nastava matematike mora biti takva da kod učenika budi interes prema predmetu. U suprotnom će efekt nastave biti slab, usvojena znanja ostaju pasivna i formalna, a takva znanja se brie zaboravljaju. Ključnu ulogu u razvijanju interesa za matematiku kod učenika ima nastavnik kao organizator i realizator nastavnog procesa. On stvara povoljne situacije koje pobuduju kod učenika interes za predmet. Nastavnik ne może potaći interes učenika za predmet ako matematičke sadržaje prezentuje suhoparno, monotono, samo nizanjem činjenica i generalizacija koristeéi uvijek iste nastavne metode i oblike rada. Monotona nastava smanjuje efekat učenja. “Od svih nastavnika najviše se treba bojati dosadnih nastavnika” (Rösner). Ali, ako nastavnik nastoji da eliminiše monotonijU u nastavi nastojeći nastavni rad obogatiti i osvježiti različitim metodama, oblicima rada i raznovrsnirn zadacima, ako nastavni rad obiljeżi vlastitim pozitivnim emocionalnim tonom, doprinijet će stvaranju drugačije, pozitivnije atmosfere među učenicima koja će se ispoljiiti kroz veéi interes za učenje matematike. Interes učenika za učenje matematike i generalno interes subjekta za učenje, potiče ga da, bude akiivan u procesu učenja Aktivnost subjekta je primarna i neizostavna prilikom svakog Vida učenja. Usvajanje matematičkih zakona, teorema, postupaka. dokaza je misaoni proces koji zahtijeva niz logičkih i misaonih operacija. Bez vlastite svjesne aktivnosti učenici ne mogu usvojiti sadržaje matematike. Princip svjesne aktivnosti podrazumijeva da učenici (uz usmjeravanja od strane nastavnika) u skladu sa svojim sposobnostirna, sami, sopstvenirn misaonirn aktivnostima, shvate i usvoje matematičke sadržaje i da na taj način usvojena znanja i vještine postanu trajna. Prinicip svjesne aktivnosti je uslovljen biološki, psihološki, pedagoški, sociološki i gnoseološki. Biološka uslovljenost ovog principa ogleda se u tome da je čovjek (a time i učenik bilo kojeg uzrasta) aktivno biće čijim životom dominira aktivnost kojom on mijenja svijet oko sebe, ali i samog sebe, mijenjajući kvalitete svoje ličnosti. Psihološka uslovljenost ovog prinCipa zasniva se na spoznaji vlastite aktivnosti subjekta kao faktora njegovog razvoja. Razvijanje psihičkih sposobnosti moguée je samo njihovim aktiviranjem. Tako se pažnja razvija aktivnostima usmjerene i distributivne pažnje, pamćenje aktivnostima ponavljanja i vjeżbanja i sl. Pedagoška uslovljenost principa svjesne aktivnosti temelji se na zadatku matematičkog obrazovanja koji obavezuje da stečena znanja budu trajna i primjenjiva. Vlastitom svjesnom aktivnošću stečeno znanje je trajnije, bolje se shvata i primjenjuje. Sociološka uslovljenost ovog principa je zasnovana na zahtjevima formiranja i odgoja članova društva koji će biti svjesni i aktivni. Gnoseološka ili kognitivna uslovljenost principa svjesne aktivnosti odredena je činjenicom da je aktivnost s konkretnim objektima upotpunjena postupcima transformisanja u misaone radnje s pojmovnim objektima glavni izvor matematičkih znanja, pogotovo u početnoj nastavi matematike.
napomenuti da neki didaktičari i metodičari matematike o principu primjerenosti i optimalnog stimulansa govore kao o principu primjerenosti (Markovac, 2001; Šimleša, 1971), dok drugi govore o principu optimalnog stimulansa (Dejié, 2007). Princip primjerenosti je uslovljen öinjenicom da se tokom školovanja uéenici razvijaju, da su njihove sposobnosti i kapaciteti za uëenje matematike razliéiti na poéetku, tokom i na kraju Skolovanja. Zbog toga su u razliéitim etapama uèenici spremni za razliëita optereéenja u procesu uèenja matematike. Ova se optereéenja izražavaju razliëitim sadržajem i obimom nastavnog gradiva. U nastavi matematike princip primjerenosti i optimalnog stimulansa ostvaruje se na razlièite naéine: osiguravanjem potrebnih predznanja, odabirom metoda i oblika rada, odabirom i rasporedom nastavnih sadržaja, metodiökom obradom sadržaja, metodiëkim oblikovanjem ëasa matematike, odabirom odgovarajuéih sredstava i pomagala, kontekstualizacijom matematiékih sadržaja i SI. Osnovni preduslovi za primjerenost nastave matematike moguénostima uèenika su poznavanje razvojnih moguénosti važnih za učenje matematičkih sadržaja i sposobnost nastavnika (učitelja) da nastavne sadržaje metodički interpretira. Nastavnik ne może, prilagoditi nastavu moguénostirna učenika ukoliko ne poznaje intelektualne sposobnosti svojih učenika. Analogno, nastava matematike neće biti primjerena sposobnostima učenika ako nastavnik nije izvršio metodičko oblikovanje matematičkih sadržaja tako da budu razumljiva učeniku. Uskladivanje nastave matematike sa mogućnostima učenika je dinamičan i složen proces koji podrazumijeva neprekidnu interakciju nivoa razvoja učenika i nivoa nastave. Da bi ovaj proces dao pozitivne rezultate, neophodno je da nastavnik ima kontinuiran uvid u rad i napredak svojih učenika. Proces usklađivanja nastave sa mogućnostima učenika zavisi, izmedu ostalog, od spremnosti i brzine modifikovanja nivoa na kojem se izvodi nastava, od kvalitete udžbenika i od kvalitete didaktičkog materijala što se prvenstveno odnosi na početnu nastavu matematike. Ovaj proces se odvija kontinuirano i trajno s ciljem optimizacije učenja. Historijski razvoj shvatanja principa primjerenosti ukazuje na niz zabluda i pretjerivanja na koje možemo i danas naići. Navešćemo neka pogrešrła tumačenja ovog principa.
- Tumařenie principa primjerenosti na način da nastavu treba pretvoriti u igru i zabavu, da sve što učenik uči u nastavi treba da radi bez truda i napora. Ovakvo tumačenje principa primjerenosti treba odbaciti. Stepeu teškoéa i visirłu prepreka na koje učenici nailaze u nastavi matematike treba odmjeriti mogućnostima i sposobnostima llčenika, ali ne tako da nastavni put koji učenici prelaze bude ravan, bez zapreka. Dobra nastava matematike podrazumijeva da učenik neprestano savladava poteškoće, ali one moraju biti takve da ih učenici uz optimalan napor savladaju. Zahtjev da se nastava ne może svesti sarno na igru i zabavu, nipošto ne znači da u početnoj nastavi matematike ne smije biti elemenata igre. U nastavi matematike pred učenike se postavljajtl zahtjevi i za one njihove sposobnosti i koje tek i koje se na takvim zadacima razvijati. samo ona nastava koja sadrži izvjesne poteškoée za llčenike stimuliše, omogućwa i ubrzava razvoj njihovill sposobnosti. Dakie, je primjereno samo ono nije ni preteško ni prelagano, sarno ono mogu učiniti uz određeni napor i sto pokreće i stavlja u funkciju njihove sposobnosti i snage. Nema nastave bez napora učenika, nema dobre nastave koja bi se svela na igru.
- Negiranje principa naučnosti i sisternatičnosti sto se "opravdava" principom primjerenosti dobi učenika. Nairne, u ime dječije prirode i nerazvijenosti dječije psihe, ne vodi se računa o logičkom faktoru procesa matematike — nastavnim sadržajima, njihovoj naučnoj utemeljenosti i sistematici. Prema ekstremnom (i naravno pogrešnom) poimanju principa primjerenosti, odbacuje se svaki obzir prema naučnoj strukturi nastavnih sadrżaja kao i o njihovom poretku. Odabir i raspored nastavnih sadrżaja vrši se prema učenikovoj prirodi i njegovim spontano izraženirn interesirna. Osim
toga, time se negira povezanost matematike kao nauke i metematike kao nastavnog predmeta. Stoga, princip primjerenosti ne smije negirati principe sistematičnosti i naučnosti, nego s njima biti u sprezi.
- Pogrešna interpretacija principa primjerenosti nastala je pod uticajem teorije biološkog sazrijevanja. Prema ovoj teoriji, dijete se razvija autonornno, prema unutrašnjirn biološkim zakonima, bez uticaja društvene sredine i bez uticaja odgoja. Princip primjerenosti se prema postavkama ove teorije primjenjuje tako da se najprije ustanove biološke etape razvoja djeteta i nivoi psihičkog razvoja, a zatim se na pasivan način primjenjuju odgovarajuéi nastavni sadržaji, metode i postupci rada. Međutim, faze i nivoi psihičkog razvoja djece ne zavise samo od biološkog rasta, i nisu apsolutni. Pod uticajem okoline, odgoja i nastave granice nivoa i faza psihičkog razvoja mogu se mijenjati. Nastavnik treba znati da u svakoj fazi dječijeg razvoja postoje relativne granice djetetu pristupačnog i nepristupačnog, on te granice mora poznavati kako bi ih nastavom proširio, a ne učvrstio i konzervirao pasivnirn prilagođavanjem nastave dobi učenika. Dakle, princip prirnjerenosti treba pred nastavu matematike postavljati zadatak da u pravo vrijeme pomaże u razvoju novih sposobnosti i snaga učenika.
- Pogrešno tumačenje principa primjerenosti ogleda se i u zahtjevima da se u procesu nastave učenik postavi u prvi plan. Prema ovome, učenik, njegovi interesi i potrebe čine ne samo polazište nego i konačni cilj nastave matematike. Na ovaj način ignoriše se didaktički trougao kojeg, osim učenika, čine i nastavnik i nastavni sadrżaji. Treba imati u vidu da tok, tempo i efekat učenja zavisi od onog ko uči (tj. od učenika), od onog šta se uči (didaktički obradenih sadržaja) i od onog ko poučava (nastavnika).
- Pogrešna interpretacija principa primjerenosti ogleda se u tome da nastavnici u težnji da matematičko sadržaje prilagode učenicirna i učine ih primjerenim, vulgarizuju i u nekim slučajevirna falsifikuju naučne činjenice, Težnja za popularizacijorn natlke ne srnije iói tako daleko da nastavni sadržaji izgubc naučnu podlogu. Pedagoški je dopušteno da se pred učenicirna u određenim situacijama prešuti istina, ili se istina ne izriče do kraja, ali nije dopušteno da se istina krivotvori.
- Takoder, nastavnici, naročito učitelji, u teżnji da nastavu što više prilagode učenicima, tu nastavu načine ”djetinjastom”, infantilnorn. Nastavnik se mora prilagoditi djetetu, ali sam ne smije postati dijete. Pogrešne interpretacije principa primjerenosti ne znače da ovaj princip treba odbaciti. Naprotiv, princip prirnjerenosti upotpunjen sa zahtjevorn ili principom optimalnog stimulansa zauzima značajno mjesto u sistemu didaktičkih principa i stoga neprestano treba ukazivati na njegovu važnost i njegov osnovni srnisao: nastava je prilagodena učenicima ako ne potcjenjuje niti precjenjuje učeniëke sposobnosti, nego pred učenike stavlja zahtjeve koje oni mogu savladati uz optimalan napor. Princip individualizacije Ukoliko bi se princip primjerenosti nastave matematike dobi učenika primjenjivao jednostrano, odnosno nezavisno od ostalih didaktičkih principa, naročito nezavisno od principa individualizacije, nastava matematike bi isključivo bila prilagodena imaginarnorn prosječnom učeniku. Svi bi se učenici pričinjavali uniformnim, ”sivim” članovima kolektiva. Medutim, odjeljenje ne čini skup medusobno jednakih individua. Mnoga istraživanja prenantalnog razvoja učenika daju obilje podataka o postojanju razlika medu učenicima u sferi kognitivnog razvoja. Nalazi ovih istraživanja ukazuju da se sva djeca ne razvijaju ni pribliżno jednako. Naprimjer, razlike u intelektualnoj razvijenosti, tzv. mentalnoj dobi učenika prvog, odnosno drugog razreda osnovne škole (hronološka dob 6 - 7 godina)
potpunosti reprodukovati sarno ako je retencija naučenih sadržaja potpuna. Smanjen stepen retencije onemogućava reprodukciju znanja, i łada je moguća sarno rekognicija ili prepoznavanje sadržaja. S obzirom na potrebu zapamćivanja u nastavi maternatike rnoŽerno razlikovati tri vrste nastavnih sadržaja: I. Sadržaji koje učenik ne mora zapamtiti, a koji se u nastavnom procesu iznose ili spominju samo radi ilustracije neke zakonitosti, kao zgodan primjer u svrhu motivacije i sl. lako se od učenika ne traži da zapamti ove sadržaje, ne može se reći da su ti sadrżaji nepotrebni. Njihova uloga je značajna u pripremi za shvatanje i u procesu shvatanja matematičkih sadržaja. Posebnu kategoriju ovdje čine matematički zadaci. Zadatke i njihova rješenja učenici ne trebaju i ne smiju pamtiti. Matematički zadaci imaju posebnu ulogu u nastavi matematike, o čemu ée biti riječi kasnije.
- Sadržaji koje učenici treba da shvate, razumiju i zadrže 11 pamćenju, ali od učenika se traži da ih prepoznaju, a ne reprodukuju.
- Sadržaji koje učenici trebaju znati reprodukovati. Najčešće se kao cilj učenja matematike navodi usvajanje elementarnih matematičkih znanja neophodnih za shvatanje pojava i zavisnosti u životu i društvu, osposobljavanje za primjenu usvojenih matematičkih znanja u rješavanju raznovrsnih zadataka iz života. Iz ovog cilja učenja matematike kao i iz psiholoških postavki o učenju i pamćenju proističe princip trajnosti znanja, vještina i navika. Matematički sadržaji čine strogo povezani sistem činjenica. Nova znanja se stiču pomoĆu ranije usvojenih i povezuju u jednu cjelinu koja postaje temelj za izgradnju opet novih znanja. Ovaj proces teče postepeno i sistematično. Njegova uspješnost zavisi od trajnosti usvojenih znanja. Koliko će usvojena znanja biti trajna, zavisi od zavisi od načina na koji se ta znanja stiču, te od načina na koji se utvrđuju. Najstarija znanja su ona do kojih učenik dode samostalno, najčešće rješavanjem problemskih situacija. Jedan od faktora koji utiče na trajnost znanja je i interes za predmet i motivisanost za učenje matematičkih sadržaja. U razrednoj nastavi veliku ulogu u postizanju trajnih znanja ima i primjena principa očiglednosti. Prema psihološkim zakonitostima učenja i pamćenja, neizbježuall i prirodan proces koji prati sticanje znanja je zaboravljanje. U utrđivanje znanja tj. borbi protiv zaboravljanja naučenog osigurava se raznim oblicima ponavljanja, vježbanja, provjeravanja i ocjenjivanja, te sistematizovanjem. S obzirom da je stepen zaboravljanja najveći odmah nakon učenja, neophodno je da ponavljanje započne odmah ili tokom časa. Mogućnosti i situacije u kojima se mogu ponavljati matematička znanja javljaju se prirodno na svakom času matematike jer su matematički sadržaji međusobno neraskidivo povezani, a to znači da se uvijek ukazuje prilika za ponavljanjem ranije naučenog. Zatim, na kraju časa nastavnik treba da ukaże Sta je novo naučeno na času, da zajedno sa učenicima ponovi pravila da ukaže kako su nove činjenice primijjene u rješavanju zadataka, kak su se rješavali odredeni tipovi zadataka i sl., te da od učenika zahtijeva da obrađene pojmove ponove istog dana kod kuće (zadavanjem domaće zadaće). Sistematizacija znanja predstavlja snažno sredstvo za postizanje trajnih znanja. Učenik może poznavati pojmove, pravila i zakonitosti zasebno, ali vrijednost ovakvih znanja je mala ukoliko ona ne čine logički sistem. Samo sistematizovana matematička znanja se pamte trajno. Sistematizacija naučenog postiže se ponavljanjem i povezivanjem naučenog to pod izmijenjenirn uslovima od onih koji su korišteni u procesu sticanja znanja. Na ovaj način stvaraju se nove veze među usvojenim činjenicama, daju se nova turnačenja i produbljuje se znanje i razurnijevanje sadržaja. Znanje postaje
kvalitetnije, izbjegava se mehaničko zapamćivanje i pasivn reprodukcija. Sve nabrojano doprinosi trajnosti znanja. Osnovni cilj učenja matematike ukazuje da, osim znanja, u nastavi matematike učenici stiču vještine i navike. Iz određenja vještina kao sposobnosti primjenjivanja znanja u praksi i navika kao automatizovanih vještina, prołzilazi da je, kao i u slučaju trajnih znanja, u osnovi sticanja trajnih vještina i navika njihovo utvrđivanje, što se postiže ponavljanjem i uvježbavanjem, te primjenom znanja. Za osiguravanje trajnosti stečenog znanja, vještina i navika od posebnog značaja je njihova primjena« U nastavi matematike treba omogućiti štO više prilika da se naučeno primijeni. Najčešće se matematička znanja i vještine primjenjuju u rješavanju matematičkih zadataka. Najbolji vid primjene znanja je rješavanjem problemskih zadataka i zadataka koji su povezani sa životom. Na kraju treba upozoriti na jedno pogrešno turnačenje principa trajnosti znanja, vještina i navika, a koje se ogleda u shvatanju i preporukama da učenici ne treba da pamte forme kao što su odredeni simboli, obrasci, formulacije definicija, pravila, čak i tablica mnożenja. ovo stajalište se opravdava time da u učenju matematike nema mjesta mehaničkom zapamćivanju, nego da se akcenat treba staviti na sposobnostima primjene. Medutim, kako primijeniti znanje ako ono nije usvojeno? Pamćenje određenih obrazaca, tablice množenja, pogotovo formulacije definicija i pravila imaju važnu ulogu u obezbjeđivanju sistema matematičkih znanja. Uzmimo primjer geometrije, pojedine formule zaista ne treba parntiti, one se lako mogu izvesti. Međutim, kako otkrivati osobine kvadrata i pravougaonika, uviđati odnos između ovih pojmova ako ne znamo iskazati definicije ovih pojmova. Stoga, preporukama nekih didaktičara da matematička pravila, obrasce i definicije ne treba pamtiti, treba pristupiti s velikom rezervom. Princip ekonomičnosti i racionalizacije nastave Princip ekonomičnosti u nastavi traži da se uz što manji utrošak vremena i učeničkih snaga postignu što veći obrazovno-odgojni rezultati. Racionalizaciju u nastavi matematike predstavlja skup mjera i postupaka u kojima se u najkraćem vremenu i uz najmanji utrošak učeničkih snaga postižu najbolji rezultati. U školskoj praksi, a naročito u osnovnoj školi, često se mogu naći primjeri nepridržavanja ovog principa koji se ogledaju u primjeni metoda, postupaka, nastavnih sredstava i oblika rada koji nemaju ni didaktičko ni ekonomsko opravdanje. Kao uzroci ove pojave mogli bi se istaéi potcjenjivanje učenikovih sposobnosti i nemogućnost nastavnika da procijene utoršak raspoloživog vremena. Nerijetko nastavnici nisu u stanju da pravilno procijene odnos potrebnog vremena za obradu novog gradiva i vremena potrebnog za vježbanje. U takvim slučajevima se nastavnici fokusiraju samo na obradn novog gradiva, a planiraju mało vremena za vježbanje i utvrđivanje što za posljedicu ima słabe ishode učenja. Osim toga, u nastojanju da diferenciraju nastavne sadržaje koji su "važniji” u odnosu na ostale sadržaje, nastavnici nekim sadržajima poklone više vremena nego što je potrebno, dok druge sadrŽaje zbog nedostatka vrernena skrćéuju ne poštujuéi programom propisane ciljeve i ishode uéenja. Kao reprezentativan primjer može se navesti skraćivauje, a u nekim slučajevima i potpuno ignorisanje nastavne teme o integralima u IV razredu srednje škole, što neki nastavnici "opravdavaju" neuterneljenim razlozirna: nedostatkom Vremena, pripremama za maturu, činjenicom da neće svi uðenici pohadati fakultete na kojima se izučavaju ovi sadržaji. Samo pravilno shvaćeni ciljevi i ishodi učenja i poštivanje smjernica datih nastavnim planom i programorn mogu doprinijeti ekonomiðnosti i racionalizaciji procesa nastave maternatike.
Zahtjeve koji proizilaze iz principa ekonomičnosti i racionalizacije možemo ukratno formulisati na sljedeći način:
- Svaki nastavni postupak zahtijeva optimalni utrošak Vrernena. Svako prekoračenje u utroŠku vremena i energije ide na uštrb ostalih nastavnih sadržaja. Ekonomisanje vremenom i energijom ne smije iéi na uštrb obrazovnih i oclgojuih efekata nastave.
- Pri odabiru nastavnih postupaka, metoda, sredstava i oblika rada treba voditi računa o njihovoj kongruenciji sa nastavnim sadržajima. Za odredene nastavne sadržaje treba odabrati odgovarajuée postupke, metode oblike i sredstva rada koji ée ornoguéiti ekonomizaciju vremena i snaga. Princip naučnosti Princip naučnosti uskladuje interpretacije maternatičkih sadržaja u nastavi matematike na svim nivoima sa njihovim tumačenjem u savremenoj matematici uz pridržavanje najnovijih didaktičkih saznanja. To znači da nastavnik matematike treba upoznavati učenike s onim činjenicama i u mišljenju učenika formirati one matematičke pojmove koji su naučno potvrdeni. Nastava matematike mora biti takva da omogućava dalja produbljivanja i proširivanja gradiva i prirodan nastavak matematiékog Obrazovanja na višem nivou. Ilustrujmo vezu izmedu principa naučnosti i matematičkih pojmova koji se formiraju u miŠljenju uéenika u nastavi matematike, definicija i teorema. Pri obradi matematiökih pojmova nastavnik ostvaruje princip nauënosti ako pravilno provodi proces formiranja pojma (opaŽanje, predstava o POjmu, formiranje pojma) i pridržava se osnovnih pravila koja mora zadovoljavati definicija pojma (primjerenost, minimalnost sadržaja, sažetost' prirodnost, prikladnost, primjenjivost, savremenost). Ponekad se princip naučnosti ostvaruje i u dogovoru o značenju nekog pojma, veličine ili Objekta i objašnjenju razloga zašto se taj dogovor uvodi, Tako se, naprimjer' prazan Skup definiše kao Skup koji ne sadrži nijedan element. Naučiti razlog uvodenju definicije praznog skupa na ovaj način nalazi se u operaciji presjeka skupova. Zahtjev da presjek An B bilo koja dva skupa A i B, a to znaéi i presjek disjunktnih skupova, bude skup, vodi do potrebe uvodenja pojma prazan skup. Navedimo ovdje primjer još jedne konvencionalne definicije U Skolskoj matematici ova jednakost èesto se uvodi bez objašnjenja. Medutim, objašnjenje je jednostavno i proizlazi iz pravila za dijeljenje stepena jednakih baza: Za m — n lijeva strana jednakosti oéigledno je jednaka 1, a desna ao Da bi pravilo vrijedilo i u tom sluöaju, stavlja se da je ao — 1. Pri obradi teorema nastavnik ostvaruje princip naučnosti ako učenike nauči da ispravno i precizno formulišu teoremu, da jasno razlikuju pretpostavku od tvrdnje teoreme, da formulišu obrat teoreme, suprotnu tvrdnju, te ako postigne razumijevanje metodike dokazivanja teorema. U nastavi matematike nerijetko se dešava da učenici ne razlikuju definicije pojmova i teoreme. To je vidljivo u njihovim pokušajima da i definicije dokažu. Nastavnik matematike može primjerenim formulacijama poboljšati razumijevanje. Jasnim razlikovanjem definicija i teorema ostvaruje se prinCip nauènosti. Ovaj princip povlači, medutim, jedan od najznačajnijih problema početne nastave matematike koji se ogleda u metodičkom pojednostavljivanju nastavnih sadržaja. Problemu pojednostavljivanja moŽe se prići sa dva stajališta: prvo, nastavna grada sadrŽi niz značajnih i manje značajnih elemenata, pa se matematiëki pojmovi mogu izgradivati na različitim nivoima naučne strogosti i potpunosti; drugo,
shvatanje matematiëkih pojmova sa odredenim nivoom naučne strogosti i potpunosti zahtijeva adekvatnu psihofizičku zrelost uéenika, pa za svaki razred treba odrediti okvire nauëne rigoroznosti sadrŽaja koji se obraduju. Prema navedenim stavovima, interpretacija nastavnih sadrŽaja mora biti uskladena sa rezultatima matematike kao nauke, ali i razumljiva učenicima. U početnoj nastavi matematike često se javlja nepoštivanje principa nauënosti kada učitelji, u teŽnji da Sto više pribliŽe sadrŽaje učenicima, sadrŽaje uproštavaju, iznose nepotpuno, ili na pogrešan naèin interpretiraju. Tako se, ali ne i iskljuéivo, u poèetnoj nastavi matematike susreéemo sa sljedeéim greškama:
- 3 3 Sm (Zbir dva neimenovana broja ne moŽe biti imenovani broj. )
- Zloupotrebljava se znak jednakosti da se skrati postupak računanja.
- Poistovjećuju se pojmovi stranice i strane, velik i visok, masa i težina, jednaki skupovi i ekvivalentni skupovi itd.
- Uvodi se simbol prije formiranja pojına.
- Kombinuju se slikovni i sintaksiöki znaci. Princip historičnosti i savremenosti Kao jedan od principa u nastavi matematike istaknut je i princip interesa: nastavu matematike treba učiniti takvom da budi kod učenika interes za predmet. Ovaj zahtjev nije uvijek lako postići imajući u vidu specifičnosti matematike kao nauke i nastavnog predmeta. Nastavnik mora da iznalazi različite naćine kako bi kod ućenika pobudio interes za predmet. Jedan od naöina je i putem historicizma. Historicizam predstavlja prouöavanje odredenih sadrZaja preteino s historijskog aspekta i isticanje i naglašavanje historijskih činjenica među svim drugim činjenicama. Većina učenika nema ni najosnovnije predstave o razvoju matematike i uvjereni su da je matematika uvijek bila takva kakva je sada. Zato je korisno da saznaju odredene epizode iz historije matematike kao što su historijat nekih simbola, porijeklo naziva matematičkih pojmova, načini na koji se došlo do odredenih zakonitosti, anegdote iz žvota velikih matematiöara, izreke matematiöara. Saznavši te činjenice shvatit će da su se tokom historije pogledi na jedan te isti pojam mijenjali i da su vremenonı ti pojmovi postajali jednostavniji. Na ovaj naöin uöenici postaju sposobni cijeniti savremene matematiöke metode i pojmove i mogu razumjeti da se matematika neprestano razvija. Razvoj treba shvatiti ne samo kao nagoınilavanje novih öinjenica nego i kao evolüciju metoda. Nastavnik koji u nastavu uvodi elemente historicizma može očekivati porast interesa za predmet. Pri torne treba paziti da predmet interesa ostane sama matematika. Nastavnik ne smije prelaziti u krajnosti i pričati samo o čudnim ponašanjima matematičara, anegdote o njima, nego uz spominjanje matematičara, naprimjer kad je neka teorema vezana imenom uz odredenog matematiöara, spomenuti i vrijeme i područje djelovanja tog matematiéara, njegova najveća dostignuéa i SI. Princip savremenosti odnosi se na neprestano aktualiziranje i osavremenjivanje nastavnih sadrŽaja i unošenje novih nauènih spozmaja, kao i osavremenjivanje nastavnih pomagala. Pri tome treba voditi raètma da unošenje novih spoznaja ne smije preéi u nagomilavanje novih znauja, kao i da primjena novih nastavnih pomagala ne smije postati sama sebi svrhom. Princip problemnosti Matematički sadržaji razlikuju se po sloŽenosti i težini. Neki su izrazito složeni i teški, pa je za njihovo razumijevanje potreban je veéi umni napor. Osim toga, svi matematièki sadržaji logički su povezani Sto čini nastavu matematike veoma zahtjevnom. U nastojanju da se učenicima olakša usvajanje matematičkih sadržaja, nastavnici matematike primjenjuju principe primjerenosti i postupnosti.
Rezultati primjene ovog principa biće, zbog zrelosti uéenika, veći u višim razredima osnovne i u srednjoj školi, ali primjena ovog principa nalazi mjesto i u poéetnoj nastavi matematike. Princip problemnosti posebn dolazi do izraŽaja u nastavnom sisternu koji se naziva problemska nastava, kojem je posvećen odjeljak Prinicip praktične primjene znanja Iz same prirode matematike kao nauke proizilazi neposredna povezanost matematike sa praksom. Na osnovu ovoga princip praktične primjene znanja nailazi na punu primjenu u nastavi matematike. Povezanost matematike sa praksom, tj. praktičnim životom je dvojaka: s jedne strane praksa inicira probleme koje matematika rješava, a sa druge strane teorijska rješenja problema nalaze svoju primjenu u praksi Oli u drugilll naukama). U nastavi matematike postoji ova dvosmjerna povezanost. Da bi nastava matematike postigla Željene efekte i obezbijedila trajna znanja učenika poželjno je insistirati na takvoj organiziaciji nastave i postupaka da se prije teorijske obrade problema ukaže na konkretne primjere iz prakse koji iniciraju taj problem. Na taj način mobiliše se pažnja uëenika i potiée interes za teorijsku obradu problema. Ukazivanjem na praktičnu primjenu teorijskih matematičkih rješenja u praksi ukazuje se na pravi smisao matematike, njen značaj i ulogu u životu. Osim toga, spomenutom organizacijom nastave uklanja se formalizam u nastavi matematike. MATEMATIČKI POJAM Pojam je ono što dobijemo apstrahovanjem. To je misaoni odraz osobina koje su zajedničke za objekte, grupu predmeta i pojava. Stvaranje pojma se odvija u tri faze:
- posmatranje konkretnih primjera
- izdvajanje suštinskih osobina i stvaranje predodžbe (mentalne slike)
- formiranje pojma Pojam se sastoji iz tri komponente:
- primjeri
- naziv
- mentalne slike Npr. pojam ,,kuća“
- ilustracija kuće
- mjesto gdje se stanuje, od čega je
- djeca mogu da zamisle kuću i da je prepoznaju kad je vide Obim = skup svih objekata koje pojam obuhvata obim pojma pravougaonik - svi mogući pravougaonici obim pojma paralelogram - svi paralelogrami: kvadrat, romb, romboid, pravougaonik. Sadržaj = skup svih karakterističnih svojstava jednog pojma sadržaj pojma pravougaonik - podudarnost stranica, podudarnost uglova, dijagonale se polove i jednake su sadržaj pojma paralelograma - naspramne stranice podudarne, naspramni uglovi podudarni, dijagonale se polove, uglovi na jednoj stranici suplementni Obim i sadržaj pojma su obrnuto proporcionalni Pod definicijom nekog pojma smatramo iskaz kojim nedvosmisleno određujemo sadržaj tog pojma. Prema pravilima tradicionalne logike, definicija nekog pojma se izriče tako da se odredi najbliži rodni pojam pojma kojeg definišemo i ujedno istakne specifično svojstvo novog pojma. Npr. Kvadrat je pravougaonik jednakih stranica. Kvadrat je romb sa pravim uglom. Definicijom se određuju suštinske karakteristike pojma. Sve što ulazi u definiciju radi isticanja bitnih svojstava mora biti neophodno i sve zajedno dovoljno da se odredi dati pojam. Definicija ne smije da ima ni višak ni manjak. Npr. Kvadrat je paralelogram u kojem su svi uglovi pravi. (manjak, fali da su sve stranice jednake) Kvadrat je romb koji ima četiri prava ugla. (višak, dovoljno je reći samo jedan pravi ugao) Kvadrat je paralelogram čije su stranice podudarne i jedan ugao pravi. (nedostatak, polazi od daljeg rodnog pojma, romb i pravougaonik su bliži rodni pojmovi)
MATEMATIČKO MISLJENJE
Proces mišljenja karakteriše operisanje iskustvenim operacijama što omogućava da se sazna više od neposrednog iskustvenog doživljaja. Ruski naučnik Hinčin (1963) ističe tri karakteristike matematičkog mišljenja:
- dominiranje logičke sheme mišljenja (u toj mjeri nije prisutna ni u jednoj drugoj nauci)
- lakonizam (svjesna težnja da se uvijek nađe najkraći put do rješenja)
- besprijekorna tačnost simbolike (svaki matematički simbol ima strogo određeno značenje) Specifičnost matematičkog mišljenja – baratanje matematičkim pojmovima koji su lišeni materijalnih svojstava: tačka, prava, paralelno,... Jedna od najuticajnih teorija kognitivnog razvoja djece je Piaget-ova (1896-1980) teorija (konstruktivistička teorija), koja ima 4 stadija/faze mišljenja kod djeteta. On smatra da je kognitivni razvoj ispred učenja, a da stepen učenja zavisi od stepena razvoja
- senzo-motorni stadij (0-2): Podrazumijeva da dijete sve spoznaje čulima. Sa dvije godine je moguća korespondencija 1:1. (Npr. 5 šoljica – 5 tacnica)
- predoperacijski stadij (2-7): Dijete uočava količinu, simbole, sposobno je da se prisjeća, planira, razvija se pojam ,,klasa“ i uključivanje u klase i to se dešava na opažajnom nivou. Dijete nije sposobno za reverzibilno mišljenje – ne može u mislima da vrati slijed događaja u početno stanje, da prezentuje kretanje (opažaju stanja, a ne opažaju transformacije, npr. niz sličica kako štap pada, sličice se izmiješaju i dijete ne može da poreda niz). Centracija. Usredsređivanje pažnje na jedan upadljiv aspekt predmeta ili situacije, a zanemarivanje ostalih važnih aspekta predmeta. Konzervacija: dužine (štapići), broja (kuglice), količine npr. tečnosti (tečnost u čaši) - nisu u mogućnosti
- stadij konkretnih operacija (6-12): Dijete je sposobno da vrši složene mentalne operacije (dodavanje, oduzimanje, serijacija) i sve ove radnje su reverzibilne. Svaki element ima svoju inverziju koja ga poništava kad se s njom kombinuje (reverzibilnost).
Klasifikacija (grupisati elemente prema određenom kriteriju) – uočavanje podklasa, podgrupa i sposobna su da shvate da jedan predmet pripada u dvije klase. U 2. stadiju dijete ne može da klasifikuje podgrupe. Serijacija (grupisanje po određenim razlikama).
- stadij formalnih operacija (od 12 pa na dalje): Mišljenje je oslobođeno konkretnih objekata. Koriste analogno mišljenje, imaju sposobnost formiranja generalizacija. Aeblijeva metoda (1963): Usvaja Piaget-ovu klasifikaciju, ali nezavisno od starosti djeteta. Ističe značaj učenja za razvoj mišljenja (spontano i usmjeravajuće učenje).
ZA IZFGRADNJU REVERZIBILNOG MISLJENJA POTREBNO JE :
- interiorizacija: Sprovodi se u 3 etape: konkretni stadij (efektno izvršavanje radnje na konkretnom predmetu) figuralni stadij (slikovno okruženje i zamišljanje operacije na osnovu slike) simbolički stadij (koriste se isključivo simbolima)
- operativna metoda: Podrazumijeva produbljivanje razumijevanja neke radnje. To se vrši postavljanjem karakterističnih pitanja: Šta to znači? Kako je to? Kada nešto ostaje isto? Šta ostaje isto? ZAAKLJUČIVANJE Matematičko zaključivanje je misaona operacija kojom se iz jednog ili više datih iskaza formira novi iskaz kojeg zovemo zaključak. Iskazi od kojih polazimo su premise ili pretpostavke, a dobijeni iskaz je zaključak ili posljedica. Zaključivanje može biti: neposredno (neposredno deduktivno i po analogiji zaključivanja) posredno je zaključivanje na osnovu više pretpostavki (dedukcija i indukcija, koja može biti nepotpuna i potpuna) Dedukcija = zaključivanje od općeg ka pojedinačnom Indukcija = zaključivanje od pojedinačnog ka općem DOKAZIVANJE I DOKAZ
