Preuzmite skripta- Skripta- Diskretna matematika- Građevinski i više Rezime u PDF od Diskretna matematika samo na Docsity!
Glava 1
Elementi matematiˇcke
logike
1.1 Pojam iskaza
Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I moˇze utvrditi da li posjeduje odredeno svojstvo ili ga ne posjeduje. Elementi skupa I nazivaju se iskazi i obiˇcno se oznaˇcavaju malim slovima latinice p, q, r,... Cinjenica da iskaz^ ˇ p ∈ I posjeduje uoˇceno svojstvo oznaˇcava se sa τ (p) = >, dok se ˇcinjenica da iskaz q ∈ I ne posjeduje uoˇceno svojstvo oznaˇcava sa τ (q) = ⊥. Tipiˇcan primjer skupa I je skup svih izjavnih reˇcenica (izjavnih u uˇzem smislu) nekog govornog (npr. bosanskog) jezika. Uoˇceno svojstvo, koju pos- jeduje svaka izjavna reˇcenica, je njena istinitost. Drugim rijeˇcima svaka iz- javna reˇcenica je taˇcna (istinita) ili netaˇcna (laˇzna). U ovom primjeru iskazi su reˇcenice:
- Sarajevo je glavni grad Bosne i Hercegovine.
- Biha´c je najve´ci grad u Bosni i Hercegovini.
- U svakom trouglu moˇze se upisati krug.
- Oko svakog ˇcetverougla moˇze se opisati krug.
Pri tome su prvi i tre´ci iskaz taˇcni, dok su drugi i ˇcetvrti netaˇcni. Ranije upotrebljeni termin “izjavna reˇcenica u uˇzem smislu” zahtijeva ipak dodatno objaˇsnjenje. Naime, postoje izjavne reˇcenice ˇcija se istinitost ne moˇze utvrditi. Takve su npr. reˇcenice:
- Moˇzda ´cu do´ci, a moˇzda ne.
- ˇZedan sam.
i one nisu iskazi. Upitne i uzviˇcne reˇcenice, npr.:
2 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATI CKE LOGIKEˇ
- Koliko je sati? ili
- Ustani!
takode nisu iskazi. Upravo ovaj primjer opravdava opˇsteprihva´cenu terminologiju kojom se umjesto fraze “posjedovanje odredenog svojstva” koristi fraza “istini- tosna vrijednost”. I u ovom tekstu ´ce uglavnom biti zastupljena upravo ova terminologija. Sljede´ci primjer skupa I ima izuzetno vaˇznu praktiˇcnu realizaciju. Sada su elementi skupa I prekidaˇci koji mogu biti u jednom od dva mogu´ca poloˇzaja. Prekidaˇc moˇze biti ukljuˇcen (posjeduje uoˇceno svojstvo, “taˇcan je”) ili iskljuˇcen (ne posjeduje uoˇceno svojstvo, “netaˇcan je”). Naravno, svaka matematiˇcka formula takode predstavlja (taˇcan ili netaˇcan) iskaz. Npr.:
- 3 ≥ 9 (netaˇcan iskaz),
- 4 + 8 = 12 (taˇcan iskaz), itd.
1.2 Logiˇcke operacije i iskazne formule
Slobodno govore´ci, logiˇcka operacija je postupak kojim se iskaz-u/ima pridruˇzuje iskaz. Unarne opeacije djeluju na jedan iskaz, dok binarne opeacije djeluju na dva iskaza. Na skupu iskaza mogu´ce je definisati ˇcetiri unarne i ˇsesnaest bina- rnih operacija. Medu njima se istiˇcu jedna unarna (negacija) i ˇcetiri binarne opeacije (konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija). Slijede definicije ovih logiˇckih operacija.
Definicija 1 Neka je zadan iskaz p. Negacija iskaza p, u oznaci ¬p, je iskaz koji ima suprotnu istinitosnu vrijednost od iskaza p.
Oznaka ¬p ˇcita se na jedan od sljede´cih naˇcina: ne p, nije p, negacija iskaza p.
Definicija 2 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Konjunkcija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ∧ q, je iskaz koji je taˇcan kada su taˇcni i iskaz p i iskaz q. U svim preostalim sluˇcajevima konjunkcija iskaza p i iskaza q je netaˇcna.
Oznaka p ∧ q ˇcita se kao p i q.
Definicija 3 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Disjunkcija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ∨ q, je iskaz koji je netaˇcan kada su netaˇcni i iskaz p i iskaz q. U svim preostalim sluˇcajevima disjunkcija iskaza p i iskaza q je taˇcna.
Oznaka p ∨ q ˇcita se kao p ili q.
Definicija 4 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Implikacija iskaza p i iskaza q, u oznaci p ⇒ q, je iskaz koji je netaˇcan kada je iskaz p taˇcan, a iskaz q netaˇcan. U svim preostalim sluˇcajevima implikacija iskaza p i iskaza q je taˇcna.
4 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATI CKE LOGIKEˇ
- p ⇔ > = p i
- p ⇔ ⊥ = ¬p.
Djelovanjem logiˇckih operacija na viˇse od dva iskaza dobijaju se tzv. iskazne formule.
Definicija 6 Iskazna slova su simboli kojima se oznaˇcavaju iskazi.
- Iskazna slova su iskazne formule.
- Ako su P i Q iskazne formule, onda su i ¬P, P ∧Q, P ∨Q, P ⇒ Q i P ⇔ Q takode iskazne formule.
- Iskazne formule mogu se dobiti samo primjenom prethodna dva pravila.
Prilikom djelovanja, dogovorom se usvaja da najviˇsi prioritet ima negacija, zatim konjunkcija, disjunkcija i implikacija, dok najniˇzi prioritet ima ekvivalen- cija. Ukoliko se ˇzeli promjeniti redosljed izvrˇsavanja logiˇckih operacija koriste se zagrade. Tako je npr. ¬> ∨ > = ⊥ ∨ > = >, dok je ¬(> ∨ >) = ¬> = ⊥.
1.3 Zadaci
Zadatak 1 Odrediti istinitosne vrijednosti sljede´cih iskaza:
− 5 je prirodan broj,
je iracionalan broj,
- N ZD(12, 24) = 8,
- 13 je prost broj,
- 5 · (−8) = − 5 · 8 ,
- | 3 − 2 | = | 3 | − | 2 | i
- | − 5 − 2 | = | − 2 | + 5.
1.3. ZADACI 5
Zadatak 2 Na odgovaraju´cem mjestu napisati broj, tako da dobijeni iskaz bude taˇcan:
1.... je najmanji prirodan broj. 2.... je najve´ci negativni cijeli broj. 3.... nije ni pozitivan, ni negativan broj. 4.... je najve´ci element skupa
5.... je najmanji element skupa
6.... je najve´ci prirodan broj ˇciji je kvadrat manji od 100. 7.... je jedini prost broj u skupu { 8 , 9 , 10 , 11 }. 8.... je jedini sloˇzen broj u skupu { 5 , 7 , 9 , 11 , 13 }.
Zadatak 3 Odrediti istinitosne vrijednosti sljede´cih iskaza:
∈ N ∧ 2 > 0.
[(
]
[(
]
Zadatak 4 Simboliˇcki napisati sljede´ce reˇcenice:
- Oba prirodna broja a i b su parna.
- Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je neparan.
- Oba prirodna broja a i b su neparna.
- Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je paran.
Zadatak 5 Zadani su iskazi p : “
≤ − 1 ′′, q : “Godina ima 8 mjeseci.′′^ i
r : “Dijagonale romba su medusobno normalne.′′^ Odrediti istinitosnu vrijednost sljede´cih formula:
¬p ∨ (q ∧ r).
q ∨
[
p ∧ (¬q ∧ r)
]}
[
¬p ∧ (q ∨ r)
]
Zadatak 6 Nacrtati elektriˇcna kola koja odgovaraju iskaznim formulama:
1.4. TAUTOLOGIJE 7
- (p ⇒ ¬q) ⇔ (q ⇒ ¬p).
Zadatak 12 Ako je τ (p ⇒ q) = > i τ (p ⇔ q) = ⊥ odrediti τ (q ⇒ p).
Zadatak 13 Ako je τ (p ⇔ q) = > odrediti τ (¬p ⇔ q), τ (¬p ⇒ q) i τ (q ⇒ p).
Zadatak 14 Sastaviti istinitosne tablice sljede´cih iskaznih formula:
(p ∧ q) ⇒ r.
(p ∧ ¬r) ⇒ ¬q.
[
(p ⇒ q) ⇒ (r ⇒ ¬p)
]
⇒ (¬q ⇒ ¬r).
{[
¬p ⇒ (q ⇔ r)
]
∧ (¬p ⇒ r) ∧ (q ⇒ ¬r)
⇒ ¬r.
- (p ⇒ q) ⇒
{[
p ⇒ (q ⇒ r)
]
⇒ (p ⇒ r)
Zadatak 15 Rijeˇsiti po p, q, r ∈ {>, ⊥} jednaˇcine:
- τ [(p ⇒ ¬q) ∨ r] = ⊥.
- τ [(p ∧ ¬r) ⇒ q] = >.
1.4 Tautologije
Definicija 7 Iskazna formula koja je taˇcna za sve vrijednosti svojih iskaznih slova naziva se tautologija.
Teorema 1 Sljede´ce iskazne formule su tautologije
- p ∧ q ⇔ q ∧ p, p ∨ q ⇔ q ∨ p.
- (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r).
- p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
- ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q.
- (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p).
- p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q.
- (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)], (p ⇔ q) ⇔ [(p ∧ q) ∨ (q ∧ p)].
8 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATI CKE LOGIKEˇ
Dokaz:Tabela istinitosti za ˇsestu formulu glasi
p q ¬p p ⇒ q ¬p ∨ q F
⊥ > > > ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ >
⊥ > > > >
odakle se zakljuˇcuje da posljednja formula zaista jeste tautologija. Na isti naˇcin se dokazuje da su i ostale formule tautologije. • Treba primjetiti da tautologija 6. omogu´cava “elektriˇcnu” realizaciju imp- likacije.
1.5 Zadaci
Zadatak 16 Ne koriste´ci istinitosne tabele dokazati da su sljede´ce iskazne for- mule tautologije
p ∧
[
p ⇔ (¬q ∧ r)
]}
[
q ⇒ (s ∨ t)
]
[
(p ⇔ q) ⇒ ¬r
]
[
(s ∧ ¬t) ⇒ (r ∨ p)
]
[
p ⇔ (q ∨ r)
]
[
(q ∧ s) ⇒ (t ∨ p)
]
[
(¬p ∧ ¬q) ⇒ (r ∨ s)
]
[
(r ∧ t) ⇔ p
]
1.6 Osnovi predikatskog raˇcuna
1.6.1 Pojam predikata
Definicija 8 Predikat duˇzine n ∈ N, definsan na skupu S 6 = ∅, je svako pres- likavanje P : Sn^7 → {>, ⊥}. Specijalno, predikati duˇzine nula su iskazi.
U daljem tekstu paˇznja ´ce se posvetiti iskljuˇcivo predikatima duˇzine jedan i dva.
Primjer 1 Neka je S skup svih studenata Univerziteta u Sarajevu i neka je P predikat duˇzine jedan definisan na skupu S sa: “biti student Gradevinskog fakulteta.”
Primjer 2 Neka je S skup prirodnih brojeva i neka je P predikat duˇzine jedan definisan na skupu S sa: “broj n je djeljiv sa tri.”
Primjer 3 Neka je S skup svih planeta sunˇcevog sistema i neka je P predikat duˇzine dva definisan na skupu S sa: “planete p 1 i p 2 su susjedne.”
Primjer 4 Neka je S skup prirodnih brojeva i neka je P predikat duˇzine dva definisan na skupu S sa: “zbir brojeva n 1 i n 2 je prost broj.”
10 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATI CKE LOGIKEˇ
odnosno predikati P 3 (y) = (∀x ∈ S)(P (x, y)) (1.5) i P 4 (x) = (∀y ∈ S)(P (x, y)). (1.6)
Ako je Y ∈ S, onda je P 1 (Y ) = > ako je P (a, Y ) = > za neko a ∈ S. Ako je Y ∈ S, onda je P 3 (Y ) = > ako je P (a, Y ) = > za sve a ∈ S. Analogno se definiˇsu vrijednosti predikata P 2 i P 4. Kaˇze se da je u predikatima (1.3) i (1.5) prva promjenjljiva je vezana (odgo- varaju´cim kvantorom), dok je druga promjenjljiva slobodna. Analogno, u predika- tima (1.4) i (1.6) slobodna je prva, a vezana (naravno, odgovaraju´cim kvan- torom) druga promjenjljiva. Dalje se, djelovanjem univerzalnog i egzistencijalnog kvantora na predikate (duˇzine jedan) (1.3), (1.4), (1.5) i (1.6) dobija osam iskaza
I 1 ≡ (∃y ∈ S)P 1 (y) = (∃y ∈ S)(∃x ∈ S)(P (x, y)) I 2 ≡ (∀y ∈ S)P 1 (y) = (∀y ∈ S)(∃x ∈ S)(P (x, y)) I 3 ≡ (∃x ∈ S)P 2 (x) = (∃x ∈ S)(∃y ∈ S)(P (x, y)) I 4 ≡ (∀x ∈ S)P 2 (x) = (∀x ∈ S)(∃y ∈ S)(P (x, y)) I 5 ≡ (∃y ∈ S)P 3 (y) = (∃y ∈ S)(∀x ∈ S)(P (x, y)) I 6 ≡ (∀y ∈ S)P 3 (y) = (∀y ∈ S)(∀x ∈ S)(P (x, y)) I 7 ≡ (∃x ∈ S)P 4 (x) = (∃x ∈ S)(∀y ∈ S)(P (x, y)) I 8 ≡ (∀x ∈ S)P 4 (x) = (∀x ∈ S)(∀y ∈ S)(P (x, y)),
ˇcije se istinitosne vrijednosti odreduju na osnovu definicije egzistencijalnog, odnosno univerzalnog kvantora.
1.7 Zadaci
Zadatak 17 Neka je predikat P definisan na skupu S = {x ∈ N
∣^1 ≤^ x^ ≤^15 } sa “x je prost broj”. Sastaviti istinitosnu tabelu predikata P.
Zadatak 18 Sastaviti istinitosne tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a, b, c}.
Zadatak 19 Sastaviti istinitosne tabele svih dvomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a, b}.
Zadatak 20 Sastaviti istinitosne tablice svih jednomjesnih predikata P, defin- isanih na skupu S = {a, b, c, d}, takvih da je ¬P (a) ⇒ P (c) = ⊥.
Zadatak 21 Odrediti istinitosne vrijednosti sljede´cih iskaza
- (∃x ∈ N)(x < 5),
1.7. ZADACI 11
- (∀x ∈ N)(x ≥ 0),
- (∃x ∈ N)(3x + 2 = 3),
- (∀x ∈ N)(1 · x = x),
- ¬(∃x ∈ N)(x ≤ 2),
- ¬(∃x ∈ N)(x > 5 ∧ x < 10).
Zadatak 22 Napisati negaciju sljede´cih iskaza
- (∀x ∈ R)(x = 0),
- (∃x ∈ N)(x^2 < 0),
- (∀x ∈ R)(x · 0 = 0),
- (∃x ∈ Z)(x + 5 > 0),
- (∀x ∈ N)(x + 1 ≥ 2 ∨ x = 1).
Zadatak 23 Koriste´ci kvantore (i odgovaraju´ce simbole) simboliˇcki napisati sljede´ce reˇcenice
- “x je potpun kvadrat”,
- “Postoji broj ˇciji je kvadrat nula”,
- “Izmedu svaka dva racionalna broja postoji racionalan broj”,
- “Za svaki realan broj x postoji realan broj y ≥ 0 takav da je x^2 = y”.
Zadatak 24 Odrediti istinitosne vrijednosti sljede´cih iskaza
- (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x < y),
- (∃x ∈ N)(∀y ∈ N)(x ≤ y),
- (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x > y),
- (∀x ∈ N)(∀y ∈ N)(x + y = y + x),
- (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(xy = x),
- (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∃z ∈ R)(x · z + y = 0),
- (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∃z ∈ R)(x · z + y 6 = 0),
- (∃x ∈ R)(∃y ∈ R)(∀z ∈ R)(x · z + y = 0),
- (∃x ∈ R)(∃y ∈ R)(∀z ∈ R)(x · z + y 6 = 0).
Zadatak 25 Neka je P predikat duˇzine dva definisan na skupu S = {a, b, c, d} sljede´com tabelom
Glava 2
Skup, binarna relacija,
funkcija
2.1 Pojam skupa
Teoriju skupova mogu´ce je zasnovati aksiomatski ili naivno. Aksiomatsko za- snivanje teorije skupova pretpostavlja da je skup svaki objekat koji zadovoljava zadanu grupu aksioma. Sa druge strane, naivno zasnivanje teorije skupova (u ovom tekstu teorija skupova ´ce biti zasnovana na ovaj naˇcin) polazi od stanoviˇsta da je skup jedan od osnovnih matematiˇckih pojmova i da se ne definiˇse. Po- drazumijeva se da se svaki skup sastoji od svojih elemenata i da je skup korektno zadan ako se za svako objekat moˇze utvrditi da li je element zadanog skupa ili ne. Uobiˇcajeno je da se skupovi oznaˇcavaju velikim slovima latinice A, B, C,... i da se elementi skupova oznaˇcavaju malim slovima latinice a, b, c,...^1 Cinjenicaˇ da je a element skupa A oznaˇcava se sa a ∈ A, dok se ˇcinjenica da b nije element skupa A oznaˇcava sa b /∈ A. Oznaka a ∈ A svakako moˇze biti shva´cena i kao iskaz koji je taˇcan ako a jeste element skupa A, a netaˇcan ako a nije element skupa A. Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i oznaˇcava se sa ∅, dok se skup koji sadrˇzi sve elemente naziva univerzalni skup i oznaˇcava se sa U. Pojam unoiverzalnog skupa obiˇcno se relativizira u zavisnosti od predmeta izuˇcavanja odredene discipline. Skupovi A i B su medusobno jednaki, u oznaci A = B, ako su svi elementi skupa A ujedno elementi skupa B i svi elementi skupa B ujedno elementi skupa A. Skup A je podskup skupa B (odnosno skup B je nadskup skupa A), u oznaci A ⊆ B (odnosno B ⊇ A), ako su svi elementi skupa A ujedno elementi skupa B. Drugim rijeˇcima, skupovi A i B su medusobno jednaki ako je taˇcna ekvivalencija x ∈ A ⇔ x ∈ B, a skup A je podskup skupa B ako je taˇcna implikacija
(^1) Tipiˇcan primjer odstupanja od ove prakse je oznaˇcavanje u geometriji. Naime, u geometriji je uobiˇcajeno da se prave (koje su skupovi taˇcaka) oznaˇcavaju malim slovima latinice, dok se taˇcke, iako elementi ovih skupova oznaˇcavaju velikim slovima latinice.
14 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA
x ∈ A ⇒ x ∈ B. Prema prethodno reˇcenom, prazan skup je podskup svakog skupa, dok je univerzalni skup nadskup svakog skupa. Najjednostavniji naˇcin zadavanja nekog skupa je navodenje svih njegovih ele- menata. Naravno, ovakvo zadavanje supa je mogu´ce samo ako je broj elemenata skupa konaˇcan, (relativno) mali broj. Prilikom zadavanja skupa svaki element se navodi samo jednom, jer ponavljanje istog elementa viˇse puta nema znaˇcaja. U tom smislu, skupovi { 1 , 2 , 3 } i { 2 , 1 , 2 , 3 , 1 , 3 , 3 } su medusobno jednaki. Kada je broj elemenata nekog skupa konaˇcan (relativno) veliki ili beskonaˇcan broj, skupovi se zadaju na drugi naˇcin. Na primjer,
∣x^ ≤^1012 },
∣x ≥ − 100 },
∣ 0 ≤ x ≤ 1 },
∣x^ ∈^ R^ ∧^ y^ ∈^ R^ ∧^ x^2 +^ y^2 = 1}.
2.2 Skupovne operacije
Kao i u sluˇcju logiˇcke operacije, skupovna operacija moˇze biti shva´cena kao postupak kojim se skup-u/ovima pridruˇzuje skup. Od skupovnih operacija u daljem tekstu ´ce se obraditi jedna unarna operacija (operacija koja jednom skupu pridruˇzuje skup), tzv. komplementiranje i tri binarne operacije (operacija koja paru skupova pridruˇzuje skup), tzv. presjek, unija i razlika.
Definicija 12 Komplement skupa A, u oznaci AC^ je skup svih elemenata uni- verzalnog skupa koji ne pripadaju skupu A. Simboliˇcki,
AC^ = {x ∈ U
∣x /∈ A}.
Iz posljednje definicije neposredno slijedi da je ∅C^ = U kao i da je UC^ = ∅.
Definicija 13 Presjek skupova A i B, u oznaci A ∩ B je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju i skupu A i skupu B. Simboliˇcki,
A ∩ B = {x ∈ U
∣x^ ∈^ A^ ∧^ x^ ∈^ B}.
Jednostavno se provjeravaju osnovne osobine presjeka
- za svaki skup A vaˇzi A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A i A ∩ A = A,
- za svaka dva skupa A i B vaˇzi A ∩ B = B ∩ A,
- za svaka tri skupa A, B i C vaˇzi A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
16 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA
Zadatak 29 Neka su [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) uobiˇcajene oznake za zatvoreni, poluotvoreni i otvoreni interval na brojnoj osi. Odrediti i grafiˇcki predstaviti sljede´ce skupove:
- [0, 3] ∩ (1, 7),
- (− 5 , 2] ∪ (2, 4),
- (−∞, 0) ∪ (− 2 , 3),
- (−∞, −1) ∩ (− 2 , ∞),
- ((−∞, −1) ∪ (1, ∞)) ∩ (− 2 , 2),
- ((− 5 , 4] ∪ (7, 9]) ∩ (0, 10].
Zadatak 30 Napisati partitivni skup skupa A = {a, b, c}.
Zadatak 31 Neka je A = {a, b, c, d, e, f, g} i neka je B = {b, c, e, f, g}. Odrediti skup X ako je poznato da je A ∩ X = {c, d} i B ∪ X = {b, c, d, e, f, h, i}.
Zadatak 32 Unije dva skupa ima 15 elemenata, jedan od njih ima 8 , a njihov presjek 5 elemenata. Koliko elemenata ima drugi skup?
Zadatak 33 Svaki uˇcenik jedne ˇskole uˇci barem jedan od tri strana jezika en- gleski, francuski ili njemaˇcki. Pri tome engleski jezik uˇci 280 uˇcenika, francuski 230 i njemaˇcki 230. Dalje, engleski i francuski uˇci 120 uˇcenika, 80 francuski i njemaˇcki i 110 uˇcenika njemaˇcki i engleski. Sva tri jezika uˇci 50 uˇcenika. Koliko uˇcenika ima u toj ˇskoli?
2.4 Pojam binarne relacije
Definicija 17 Uredeni par sa prvom koordinatom a i drugom koordinatom b, u oznaci (a, b) je skup {{a}, {a, b}}.
Najvaˇzniju osobinu uredenog para opisuje sljede´ca
Lema 1 (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
Dokaz ovog tvrdenja moˇze se prona´ci u [1]. Dakle, u opˇstem sluˇcaju je (a, b) 6 = (b, a). Tipiˇcni primjeri uredenih parova iz svakodnevnog ˇzivota su par cipela, rukavica, itd.
Definicija 18 Dekartov proizvod nepraznih skupova A i B, u oznaci A × B, je skup
{(a, b)
∣a ∈ A ∧ b ∈ B}.
2.5. OSNOVNE OSOBINE BINARNE RELACIJE 17
Ukoliko je A = B, umjesto oznake A × A, koristi se oznaka A^2.
Definicija 19 Svaki podskup Dekartovog proizvoda skupova A i B naziva se binarna relacija iz skupa A u skup B. Ako je A = B za binarnu relaciju se kaˇze da je definisana na skupu A.
Iz prethodne definicije se zakljuˇcuje da je sasvim korektno utvrdivati da li neki par pripada binarnoj relaciji ρ ⊆ A × B ili ne. Ukoliko je (a, b) ∈ ρ ⊂ A × B, koristi se oznaka aρb, a ukoliko (a, b) ∈/ ρ ⊂ A × B, koristi se oznaka ¬(aρb).
2.5 Osnovne osobine binarne relacije
Definicija 20 Neka je binarna relacija ρ definsana na nepraznom skupu A. Relacija ρ je:
- refleksivna ako (∀a ∈ A)(aρa),
- antirefleksivna ako (∀a ∈ A)¬(aρa)
- simetriˇcna ako (∀a, b ∈ A)(aρb ⇒ bρa),
- antisimetriˇcna ako (∀a, b ∈ A)(aρb ∧ bρa ⇒ a = b),
- tranzitivna ako (∀a, b, c ∈ A)(aρb ∧ bρc ⇒ aρc).
Binarna relacija koja je refleksivna, simetriˇcna i tranzitivna naziva se relacija ekvivalencije. Binarna relacija koja je refleksivna, antisimetriˇcna i tranzitivna naziva se relacija poretka. Ako je ρ ⊂ A^2 relacija ekvivalencije, onda se za svaki element a ∈ A uoˇcava skup svih elemenata skupa A koji su u relaciji sa elementom a. Taj skup se naziva klasa elementa a i oznaˇcava se sa [a]ρ. Dakle,
[a]ρ = {x ∈ A
∣xρa}
Teorema 3 Neka je ρ ∈ A^2 relacija ekvivalencije. Tada:
(∀a, b ∈ A)([a]ρ = [b]ρ ∨ [a]ρ ∩ [b]ρ = ∅)
Pri tome je taˇcan samo jedan od dva iskaza u prethodnoj disjunkciji.
Dokaz ovog tvrdenja moˇze se na´ci u [1]. Slobodno govore´ci, svaka relacija ekvi- valencije, definisana na skupu A, “razbija” skup A na tzv. klase ekvivalencije. Pomenuto “razbijanje” je takvo da svake dvije particije razbijanja nemaju za- jedniˇckih elemenata, a unija svih particija je upravo skup A.
2.7. POJAM FUNKCIJE 19
2.7 Pojam funkcije
Definicija 21 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Binarna relacija f ⊆ A × B je funkcija koja skup A preslikava u skup B ako za svaki element a ∈ A postoji najviˇse jedan element skupa b ∈ B takav da je af b.
Ukoliko funkcija f preslikava skup A u skup B, koristi se oznaka f : A 7 → B. Dalje, umjesto oznake af b koristi se oznaka f (a) = b. Skup A naziva se domen, a skup B kodomen funkcije f. Elementi skupa A nazivaju se originali, a elementi skupa B slike. Skup svih elemenata skupa A kojima odogovara (taˇcno jedan) elemet skupa B naziva se prirodni domen funkcije f, a skup svih elemenata skupa B koji imaju odgovaraju´ci original u skupu A naziva se skup vrijednosti
funkcije f (faktiˇcki, to je skup f (A) = {b ∈ B
∣(∃a^ ∈^ A)f^ (a) =^ b}). Naravno,
izbacivanjem onih elemenata skupa A koji nemaju odgovaraju´cu sliku u skupu B dobija se prirodni domen funkcije f. Dakle, svaka funkcija je odredena sa tri objekata. To su dva skupa i prav- ilo kojim se elementima jednog skupa pridruˇzuju elementi drugog skupa. Dvije funkcije su jednake ako su im jednaki i domen, i kodomen, i pravilo pridruˇzivanja.
2.7.1 Primjeri
Primjer 5 Neka je A = { 1 , 2 , 3 , 4 } i neka je B = {a, b, c}. Binarna relacija ρ = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, a), (4, a), (4, c)} nije funkcija iz skupa A u skup B jer originalima 2 i 4 odgovaraju po dvije razliˇcite slike iz skupa B.
Primjer 6 Neka su skupovi A i B definisan kao i u prethodnom primjeru. Sli- jede primjeri binarnih relacija koje jesu funkcije f : A 7 → B
a b a c
a b a b
i
c c c c
Primjer 7 Neka je A skup svih stanovnika Kantona Sarajevo i neka je B skup svih ulica u Kantonu Sarajevo. Dalje, neke se svakom stanovniku Kantona Sarajevo (elementu skupa A) pridruˇzuje ulica (elementu skupa B) u kojoj taj stanovnik ˇzivi. Na ovaj naˇcin (pod pretpostavkom da svaki stanovnik ˇzivi u taˇcno jednoj ulici) definisana je funkcija f : A 7 → B.
Primjer 8 Neka je A skup svih knjiga u nekoj biblioteci i neka je B = N (skup prirodnoh brojeva). Funkcije f : A 7 → B svakoj knjizi (elementu skupa A) pridruˇzuje broj njenih strana (element skupa B).
20 GLAVA 2. SKUP, BINARNA RELACIJA, FUNKCIJA
Primjer 9 Neka je uoˇcena ravan π, neka je p ∈ π fiksirana prava i neka je A = B = π. Primjer jedne funkcije iz skupa A u skup B je osna simetrija u odnosu na pravu p.
Primjer 10 Neka je A = B = R i neka je funkcija f : A 7 → B definisana sa f (x) = 2x − 1.
Primjer 11 Neka je zadan neprazan skup A. Vaˇzan primjer funkcije koja skup A preslikava u sebe je tzv. identiˇcko preslkikavanje skupa A (identitet). Ova funkcija se najˇceˇs´ce oznaˇcava sa I i definiˇse se na sljede´ci naˇcin:
(∀a ∈ A)(I(a) = a).
Definicija 22 Neka su zadani neprazni skupovi A i B. Funkcija f : A 7 → B je:
(∀b ∈ B)(∃a ∈ A)(f (a) = b)
(∀a 1 , a 2 ∈ A)(a 1 6 = a 2 ⇒ f (a 1 ) 6 = f (a 2 ))
- bijekcija ako je sirjekcija i injekcija.
Oˇcigledno je da je uslov injektivnosti mogu´ce zamijeniti uslovom
(∀a 1 , a 2 ∈ A)(f (a 1 ) = f (a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 ).
Slobodno govore´ci, funkcija je sirjekcija ako svaka slika (element skupa B) ima odgovaraju´ci original (element skupa A). Sa druge strane, funkcija je injek- cija ako razliˇcitim originalima odgovaraju razliˇcite slike (isim slikama odgovaraju isti originali).
2.8 Sloˇzena funkcija i inverzna funkcija
Definicija 23 Neka su zadani neprazni skupovi A, B i C i neka f : A 7 → B i g : B 7 → C. Kompozicija funkcija f i g, u oznaci g ◦ f, je funkcija koja skup A preslikava u skup C na sljede´ci naˇcin:
(∀a ∈ A)((g ◦ f )(a) = g(f (a))).
Treba primjetiti da gornja definicija podrazumijeva da je skup B prirodni domen funkcije g. U protivnom bi mogao postojati element a ∈ A takav da ne postoji g(f (a)). Dalje, oˇcigledno je da funkcija f ◦ g uopˇste ne postoji. Medutim, ako je A = B = C i ako f, g : A 7 → A, onda postoje i funkcija g ◦ f i funkcija f ◦ g, ali u opˇstem sluˇcaju ne vaˇzi jednakost g ◦ f = f ◦ g, ˇsto ilustruje sljede´ci
