Šta je to program?, Vežbe od Logika

Preuzmite Šta je to program? i više Vežbe u PDF od Logika samo na Docsity!

Matematička gimnazija

Šta je to program?

Mladen Puzić

Agenda

1. Definicija programa kroz istoriju

2. Osnove kombinatorne logike

3. Aritmetika u kombinatornoj logici

Kombinatorna logika

● Koncept kombinatorne logike prvi predstavio ruski logičar Mojsej Šejnfinkel još 1920. godine ● Tragičan život ga je sprečio da popularizuje ideju, ali to je uspeo američki matematičar Haskel Kari, nakon što je 1927. godine otkrio ovaj koncept ● Sistem je poznat po svojoj jednostavnosti, kao i po tome koliko je rano smišljen u odnosu na druge sisteme ● Jedini elementi alfabeta su zagrade, slova S i K , i prebrojivo promenljivihx, y, z… ● Dva glavna pravila koja se koriste suS-kontrakcija iK-kontrakcija:

K xy -> x S xyz -> xz(yz)

Lambda račun

● Nastao tridesetih godina prošlog veka, smislio ga je Američki matematičar i logičar Alonzo Čerč ● Sastoji se od atomskih promenljivih, pravila građenja terama i operacija redukcija ● Blisko povezan sa kombinatornom logikom, možda najkorišćeniji sistem od navedenih

Unlimited Register Machine

● Objavljen 1963. godine u radu Džona Šepardsona i Hauarda Sturdžisa, kao jednostavnija alternativa Tjuringovoj mašini ● Program se sastoji od beskonačno numerisanih registara (promenljivih), koji na početku sadrže vrednost nula, i niza operacija koje se redom izvršavaju ● Imamo četiri vrste operacija: ○ J(m, n, i): skočiti na operacijui ukoliko registrim in sadrže istu vrednost ○ S(n): povećati (inkrementirati) vrednost u registrun za jedan ○ T(m, n): kopirati vrednost iz registram u registarn ○ Z(n): postavlja vrednost u registrun na nulu ● Program se završava kada naiđe na nepostojeću operaciju (npr. kada prođe sve operacije)

1. Z(3)
2. J(3,2,100)
3. S(1)
4. S(3)
5. J(1,1,2)

Čerč-Tjuringova teza

● Svaki od navedenih sistema opisuje skup funkcija koje se mogu izračunati unutar njega ● To je navelo matematičare tog vremena da se zapitaju:kako se ti skupovi razlikuju? ● Odgovor je fascinantniji od bilo koje pojedinačne definicije - sve četiri definicije opisuju isti skup funkcija! ● Ovo je divan pokazatelj da se matematikaotkriva, a neizmišlja ● Prirodnost ove definicije dovodi do Čerč-Tjuringove teze - ideje da su skup funkcija koje su opisane Tjuringovom mašinom i skup funkcija koje možemo izračunati ‘papirom i olovkom’, zapravo isti skup!

Agenda

1. Definicija programa kroz istoriju

2. Osnove kombinatorne logike

3. Aritmetika u kombinatornoj logici

CL-termi

● Jezik kombinatorne logike izgrađen je koristeći zagrade, K , S i prebrojivo mnogo promenljivihv 0 , v 00 , v 000 , … ● CL-termi su objekti kojima se bavimo u kombinatornoj logici i definisani su rekurzivno: ○ K, S i sve promenljive su CL-termi ○ Ako su X i Y neki CL-termi, onda je i (XY) CL-term ○ Ništa više nije CL-term ● Ako izostavljamo zagrade, podrazumevamo da su levo-asocirane, odnosno term XYUV označava term (((XY)U)V) ● Sa P [ Y /x] označavamo zamenu svakog pojavljivanja promenljivex unutar P sa Y ● CL-term koji ne sadrži promenljive nazivamo kombinatorom

Primeri redukcija

● Podsetnik: S xyz ->xz(yz), K xy ->x ● Naći kombinator I tako da važi I x ->x. ○ I ≡ SKK : ■ I x = SKK x -> K x( K x) ->x

● Naći kombinator B tako da važi B xyz ->x(yz) ○ B ≡ S(KS)K : ■ B xyz = S(KS)K xyz -> ( KS )x( K x)yz -> S ( K x)yz -> ( K x)z(yz) ->x(yz)

Čerč-Roserovo svojstvo

● Drugačije nazvano konfluencija ili dijamantsko svojstvo ● Ako se neki term M redukuje na dva različita terma N i P , onda se i N i P redukuju na isti term Q ● Posledica: svaki term ima najviše jednu normalnu formu

Agenda

1. Definicija programa kroz istoriju

2. Osnove kombinatorne logike

3. Aritmetika u kombinatornoj logici

Iskazna logika

● Definišimo kombinatore t (true) i f (false): t ≡ K ; f ≡ KI. ● Iz ovakve definicije se vidi da važi t xy =x i f xy =y

● Kombinator negacije , odnosno kombinator n takav da važi: nt = f i nf = t definišemo kao rešenje jednačine n x =x ft

● Kombinator disjunkcije odnosno kombinator ∨ takav da važi: ∨ tt = ∨ tf = ∨ ft = t i ∨ ff = f definišemo kao rešenje jednačine ∨xy =x t y

● Kombinator konjunkcije odnosno kombinator ∧ takav da važi: ∧ tt = t i ∧ ff = ∧ ft = ∧ tf = f definišemo kao rešenje jednačine ∧xy =xy f

Sabiranje, množenje i stepenovanje

● Kombinator sabiranja , odnosno kombinator ⊕ takav da važi: ⊕ n m = n+m definišemo kao rešenje jednačine ⊕xy = Z yx( s (⊕x( P y)))

● Kombinator množenja , odnosno kombinator ⊗ takav da važi: ⊗ n m = n·m definišemo kao rešenje jednačine ⊗xy = Z y 0 (⊕(⊗x( P y))x)

● Kombinator stepenovanja , odnosno kombinator E takav da važi: E n m = n m definišemo kao rešenje jednačine E xy = Z y 1 (⊗( E x( P y))x)

Dalje istraživanje:

● KnjigaTo Mock a Mockingbird od Rejmonda Smalijana prolazi kroz kombinatornu logiku na veoma zabavan način, kroz puzle ● Moj maturski rad na temuKombinatorna logika i njena neodlučivost, prolazi detaljno kroz ceo drugi deo ovog predavanja i sadrži prirodan nastavak ove priče ● J. R. Hindley, J. P. Seldin,Lambda-calculus and combinators - mnogo obimnije štivo o lambda računu i kombinatorima