Preuzmite STATIČKI NOSAČI i više Vežbe u PDF od Konstrukcije samo na Docsity!
Poglavlje 10
STATIČKI NOSAČI
Ciljevi poglavlja
Podela konstrukcija
Linijski nosači u ravni
Određivanje reakcija veza linijskih nosača u ravni
Određivanje sila u štapovima ravne rešetke primenom metode čvorova i
metode preseka
a) Ajfelova kula, toranjski sistem, rešetkasta konstrukcija 15 ; b) Montažna hala od armiranog betona, okvirna
konstrukcija; c) drvena krovna konstrukcija 11 ; d) Gvozdeni rešetkasti most, prosta greda, Škotska 11 .
Primenjujući sve što je izloženo u prethodnim poglavljima, sada je moguće analizirati
probleme ravnoteže tela koja se koriste kao konstruktivni elementi u građevinarstvu.
Elementi o kojima će ovde biti reči mogu biti prosti (osnovni) nosači, kao što su prosta
greda, konzola ili greda sa prepustima, i složeni nosači u ravni, sastavljeni od više prostih
nosača, odnosno štapova, kao što su Gerberova greda ili okvirni nosač na tri zgloba.
Razmatraće se i rešetke u ravni – konstrukcije koje se sastoje samo od prostih štapova, kao
i metode za određivanje sila u štapovima rešetke.
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
10.1 Podela konstrukcija
Pod terrminom konstrukcija podrazumeva se mehanički sklop od osnovnih nosača, koji je
sposoban da prihvati i prenese opterećenje na podlogu. Dakle, konstrukciju definišu tip
elemenata od kojih je sastavljena, geometrija sistema i opterećenje kome je izložena.
Analiza opterećenja nosećih konstrukcija (nosača) pripada oblasti inženjerstva, poznatoj
pod nazivom strukturna analiza..
Prema vrsti osnovnih nosećih elemenata, odnosno načina na koji prihvataju i prenose
opterećenje, konstrukcije mogu biti linijske, površinske, masivne i kombinovane.
Ukoliko su dimenzije elementarnog nosača takve da se dimenzije njegovog poprečnog
preseka mogu zanemariti u odnosu na dužinu, konstrukcija je linijska. Shematski se takvi
elementi konstrukcije prikazuju kao linija, Slika 10.1.
U ove konstrukcije spadaju grede, stubovi, okviri, lukovi, lančanice, rešetke i njihove kom-
binacije. Lukovi i lančanice, zbog svoje složenosti, neće biti razmatrani u ovoj knjizi.
Slika.10.1 a) Okvir; b) okvir; c) okvir; d) luk; e) rešetka; f) višespratni okvir; g) stub sa zategama; h) lančanice.
U površinske konstrukcije spadaju one konstrukcije čija se jedna dimenzija, debljina, može
zanemariti u odnosu na druge dve. To su ploče, ljuske, i membrane, kao i njihove kombi-
nacije. Primeri površinskih konstrukcija prikazani su na Slici 10.2.
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
Složene konstrukcije, odnosno mešovite konstrukcije, nastaju kao kombinacija prethodnih
vrsta. Primeri složenih konstrukcija prikazani su na Slici 10.4 10 .
a) b)
Slika 10.4 a) Visoka zgrada sa linijskim ekzoskeletom, studija S. Kalatrava; b) sferna ljuska na kvadratnoj
osnovi.
10.2 Statički nosači u ravni
Nosači su konstruktivni elementi koji primaju opterećenja i prenose ih na druga tela,
odnosno oslonce. Pod linijskim nosačima se podrazumevaju geometrijski neizmenljivi
sistemi koji su sastavljeni od jednog ili više međusobno povezanih štapova, a vezani su za
tlo ili neku drugu konstrukciju osloncima. Opterećenje koje deluje na linijski nosač može
biti proizvoljno u vidu koncentrisanih sila, spregova ili koncentrisanih momenata, ravno-
merno raspodeljenog opterećenja ili neravnomerno raspodeljenog opterećenja (poglavlje
9). Prema trajanju delovanja opterećenje na nosače je stalno (nepokretno, mrtvo) i obele-
žava se sa g (sopstvena težina), i pokretno (slučajno, promenljivo, korisno), koje se
obeležava sa p (vetar, sneg, udar itd.).
Osnovni element linijskog nosača je štap. To je kruto telo čije su dve dimenzije znatno
manje u odnosu na treću dimenziju dužinu. Linija koja prolazi kroz težišta poprečnih
preseka štapa naziva se osa štapa, Slika 10.5, a može biti prava, kao na Slici 10.6 a), b), c),
d) e), f), g), ili kriva, kao što je kod luka, lančanice itd, Slika 10.6 h), i), j). Poprečni
preseci štapa su normalni na osu štapa. Veze između štapova mogu biti zglobne ili krute
(poglavlje 7.4).
Štapovi mogu biti konstantnog ili promenljivog poprečnog preseka. Linijski nosači se
šematski prikazuju linijom ose svojih štapova, Slika 10.5. Tačke u kojima se seku ose
štapova nazivaju se čvorovima nosača. U zavisnosti od rasporeda opterećenja i geometrije
štapova, linijski nosači se dele na ravne nosače i prostorne nosače. Kod ravnih linijskih
nosača ose svih štapova i sva opterećenja leže u jednoj ravni, dok kod prostornih to nije
slučaj. Svi nosači prikazani na Slici 10.6 su ravni. U ovom poglavlju se obrađuju linijski
nosači u ravni.
Slika 10.5 Linijski nosač prosta greda
Poglavlje 10 Statički nosači
Linijski nosači se prema obliku svojih elemenata dele na pune i rešetkaste. Puni nosači su,
na primer, prosta greda, Slika 10.6 a), greda sa prepustima, Slika 10.6 b), konzola, Slika
10.6 c), prost okvirni nosač – ram, Slika 10.6 o), luk, Slika 10.6 h), i), lančanica, Slika 10.
j), k), Gerberova greda, Slika 10.6 l), m), okvirni nosač na tri zgloba, Slika 10.6 p), itd. Za
prostu gredu, gredu sa prepustima, konzolu i okvir može se reći da su prosti linijski nosači
ili osnovni linijski nosači. Kombinacijama ovakvih nosača dobijaju se složeni nosači, čija
složenost zavisi od broja korišćenih osnovnih nosača i načina njihovog vezivanja.
Gerberova greda i okvirni nosači sastavljeni od više prostih nosača vezanih zglobovima,
tzv. Gerberovi okviri, tj. okviri na tri zgloba ili više od tri zgloba, spadaju u složene, s
obzirom da se sastoje iz više tela, koja su međusobno povezana zglobovima. Rešetkasti
nosači predstavljaju konstrukcijsku celinu, geometrijski nepromenljivu, sačinjenu od
štapova međusobno zglobno povezanih, Slika 10.6 n).
Nosači mogu biti statički određeni i statički neodređeni. Kod statički određenih nosača sve
nepoznate veličine mogu se odrediti postavljanjem odgovarajućih uslova ravnoteže, kao
što je već rečeno u poglavlju 4 (primer 4.15), kao i poglavlju u 7.3 (postupak prilikom
rešavanja zadataka). U ovoj knjizi obrađuju se statički određeni linijski nosači. Za
rešavanje statički neodređenih nosača, kao što su, na primer, greda na tri oslonca, Slika
10.6 e), poduprta konzola na Slici 10.6 f), tri puta statički neodređena uklještena greda na
Slici10.6 g), luk na dva zgloba na Slici 10.6 h) i uklješten luk na Slici 10.6 i), lančanica na
Slici 10.6 j) i k), nisu dovoljni uslovi ravnoteže, već je potrebno postaviti dopunske uslove,
koji uzimaju u obzir deformacije usled opterećenja. Izučavanje ovih dopunskih uslova
pripada drugim disciplinama kao što su otpornost materijala, statika konstrukcija itd.
Slika 10.6 a) Prosta greda; b) greda sa prepustima; c) konzola; d) konzolni stub; e) greda na tri oslonca; f)
poduprta konzola; g) obostrano uklještena greda; h) luk na dva zgloba; i) uklješten luk; j) lančanica; k)
lančanica; l) Gerberova greda; m) Gerberova greda; n) rešetkasti nosač; o) prost okvir; p) okvirni nosač na tri
zgloba; q) okvir na tri zgloba.
Poglavlje 10 Statički nosači
Primeri ravnoteže prostih nosača pod dejstvom ravnog sistema sila
Primer 10.
Odrediti reakcije veza prostih greda prikazanih na Slici P 10.1.
Slika P 10.1 a) Prosta greda opterećena silom; b) greda oslobođena veza; c) prosta greda opterećena spregom –
koncentrisanim momentom; d) greda oslobođena veza; e) prosta greda opterećena jednako podeljenim
opterećenjem duž celog raspona; f) greda oslobođena veza; g) prosta greda opterećena raspodeljenim
trougaonim opterećenjem duž celog raspona; h) greda oslobođena veza; i) prosta greda opterećena silom i
jednako podeljenim opterećenjem; j) greda oslobođena veza; k) prosta greda opterećena silama; n) prosta greda
oslobođena veza.
Reakcije veza prostih greda na Slici P 10.1 određuju se iz uslova ravnoteže ravnog sistema
sila.
Kako se radi o jednostavnim jednačinama, postavljanje i rešavanje ovih jednačina nije
prikazano za sve primere, već samo za prostu gredu na Slici P 10.1 i). Greda je opterećena
koncentrisanom silom F i raspodeljenim specifičnim opterećenjem q, koje je konstantno na
dužini
l
. Prosta greda oslobođena veza, nepokretnog oslonca u A i pokretnog oslonca u
B, prikazana je na Slici P 10.1 j). Jednačine ravnoteže glase:
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
A
A B
A B
X 0 H 0,
Y 0 V V F Q 0,
M 0 V F Q 0,
l l l
l
a njihovim rešavanjem dobija se: A A B
2F q F 2q
H 0, V , V
l l
.
Dobijene vrednosti reakcija veza za proste grede na Slici P 10.1 a), c), e), g), i) i k) upisane
su na Slici P 10.1 b), d), f), h), j) i n).
Primer 10.
Odrediti reakcije veza konzola na Slici P 10.2.
Slika P 10.2 a) Konzola opterećena silom na slobodnom kraju; b) konzola oslobođena veza; c) konzola
opterećena silom na sredini raspona; d) konzola oslobođena veza; e) konzola opterećena jednako podeljenim
opterećenjem; f) konzola oslobođena veza; g) konzola opterećena raspodeljenim trougaonim opterećenjem; h)
konzola oslobođena veza; i) konzola opterećena raspodeljenim trougaonim opterećenjem; j) konzola
oslobođena veza; k) konzola opterećena silom i jednako podeljenim opterećenjem; n) konzola oslobođena
veza; m) konzola opterećena silama; p) konzola oslobođena veza.
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
A
A B
A B 1 2
X 0 H 0,
Y 0 V V 0,
M 0 V M M 0.
l
Rešavanjem ovih jednačina dobija se:
1 2 1 2
A A B
M M M M
H 0, V , V
l l
.
Primer 10.
Odrediti reakcije veza okvira, Slika P 10.4 a) i c).
Slika P 10.4 a) Okvir; b) telo oslobođeno veza; c) okvir; d) telo oslobođeno veza.
Okviri na Slici P 10.4 a) i c) vezani su nepokretnim i pokretnim osloncem. Primenom
jednačina ravnoteže ravnog sistema sila dobijene su reakcije veza, čije su vrednosti upisane
na Slici P 10.4 b) i d).
Primer 10.
Odrediti reakcije veze konzole, prikazane na Slici P 10.5.
Slika P 10.5 a) Konzola; b) telo oslobođeno veza.
Konzola oslobođena veza prikazana je na Slici P 10.5 b). Sila F upravna je na deo BC
konzole, što znači da je ona pod uglom u odnosu na vertikalni pravac. Iz Slike P 10.5 je
očigledno da je:
sin , cos
Poglavlje 10 Statički nosači
Jednačine ravnoteže glase:
A
A
A A
X 0 H Fsin 0,
Y 0 V Fcos Q 0,
M 0 M Fcos 6 Fsin 4 Q 1,5 0,
a njihovim rešavanjem dobijaju se reakcije uklještenja:
A A A
H 1, 6 kN, V 10, 2 kN, M 27,1kNm.
10.2.2 Složeni puni statički određeni linijski nosači
Gerberov nosač
Gerberov nosač predstavlja sistem od više krutih grednih štapova međusobno povezanih
zglobovima, Slika 10.8. Gerberovi nosači se rešavaju rastavljanjem sistema tela na
pojedinačna tela i postavljanjem uslova ravnoteže za svako telo posebno ili postavljanjem
uslova ravnoteže za nosač kao celinu, čime se dobijaju reakcije spoljašnjih veza, a zatim
postavljanjem uslova ravnoteže za jedno ili više tela da bi se odredile reakcije unutrašnjih
veza. Postupak rešavanja detaljno je opisan u poglavlju 7.4, u kome se razmatraju uslovi
ravnoteže sistema tela.
10.8 a) Gerberov nosač; b) Gerberov nosač.
Okvirni nosač na tri zgloba
Nosač na tri zgloba je sastavljen od dva međusobno zglobno vezana kriva ili prava štapa,
koji ne leže na istoj pravoj, a vezani su za spoljašnju sredinu nepokretnim osloncima, Slika
10.9.
Slika 10.9 a) Lučni nosač na tri zgloba; b) okvirni nosač na tri zgloba; c) okvirni nosač na tri zgloba.
Kao što je objašnjeno u poglavlju 7.4, sistem krutih tela se primenom pete aksiome
oslobađa spoljašnjih veza, a uticaj veza se nadoknađuje reakcijama veza VA, HA, VB i HB.
Da bi sistem krutih tela bio u ravnoteži potrebno je da sistem sila koji deluje na
konstrukciju (spoljašnje sile i spoljašnje reakcije veza) zadovoljava uslove ravnoteže
proizvoljnog sistema sila, tj. krutog tela. Pošto u tim jednačinama ravnoteže ne figurišu
unutrašnje sile, potrebno je, primenom pete i šeste aksiome, rastaviti sistem tela na
pojedina kruta tela i na njih primeniti uslove ravnoteže. U tim jednačinama pojaviće se i
unutrašnje sile veza. U tu svrhu mogu da se primene dva postupka, koji su detaljno opisani
u poglavlju 7.4.
Poglavlje 10 Statički nosači
Gerberov nosač na Slici P 10.6 predstavlja sistem od dve grede koje su međusobno
povezane zglobom C. Kao što je opisano u poglavlju 7.4, sistemi tela mogu da se rešavaju
primenom dva postupka:
- postavljanjem uslova ravnoteže za nosač kao celinu, čime se dobijaju reakcije
spoljašnjih veza, a zatim postavljanjem uslova ravnoteže za jedno ili više tela,
čime se dobijaju i reakcije unutrašnjih veza ili
- rastavljanjem sistema tela na pojedinačna tela i postavljanjem uslova ravnoteže za
svako telo posebno.
Posmatrajući Gerberov nosač kao celinu, uočava se da je vezan nepokretnim osloncem u A
i pokretnim osloncima u D i B. Kako se radi o četiri komponente reakcija veza (HA, VA,
VB, VD), iz tri jednačine ravnoteže za ceo sistem se one ne mogu odrediti, pa treba
formirati još tri jednačine ravnoteže za jedno od dva tela na Slici P 10.6 b). Ovde je
primenjen drugi postupak. Sistem je rastavljen na pojedinačna tela, Slika P 10.6 b), i
formirane su jednačine ravnoteže za svako telo posebno. Jednačine ravnoteže glase:
A C
A C
A C
X 0 H H 0,
Y 0 V V Q 0,
M 0 V 3 Q 1,5 0,
C
C B D
X 0 H 0,
Y 0 V V V F 0,
D C B
M 0 V 1 F 1 V 2 0.
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijaju se vrednosti reakcija veza:
A C A C B D
H H 0, V V 15 kN, V 2,5kN, V 32,5 kN.
Primer 10.
Odrediti reakcije veza okvirnog nosača na tri zgloba, prikazanog na Slici P 10.7.
Slika P 10.7 a) Okvir na tri zgloba; b) pojedinačna tela sistema oslobođena veza.
Okvirni nosač na tri zgloba oslobođen je spoljašnjih veza, nepokretnih oslonaca u A i B, i
unutrašnje veze zgloba C, Slika P 10.7 b). Jednačine ravnoteže za svako telo posebno
glase:
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
A C
A C
A C C
X 0 H H 0,
Y 0 V V Q 0,
M 0 V 5 H 2 Q 3,5 0,
C B
B C
B C C
X 0 H H 0,
Y 0 V V F 0,
M 0 V 4 H 2 F 2 0.
Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se:
A C B A B C
H H H 63,32 kN, V 43,33kN, V 46, 66 kN, V 16,16 kN.
Primer 10.
Odrediti reakcije veza okvira, Slika P 10.8.
Slika P 10.8 a) Okvirni nosač; b) sistem oslobođen spoljašnjih veza; c) jedno od tela sistema oslobođeno veza.
Okvir na Slici P 10.8 a) sastoji se od tela AC i BC i prostog štapa EF: Okvirni nosač je za
spoljašnju sredinu vezan nepokretnim osloncem u A i pokretnim osloncem u B. Sistem
oslobođen spoljašnjih veza prikazan je na Slici P 10.8 b).
Jednačine ravnoteže sistema kao celine glase:
A
A B
D A
X 0 H q 4 0,
Y 0 V F V 0,
M 0 5V M F 2,5 Q 2 0.
Iz ovih jednačina se mogu odrediti sve tri komponente spoljašnjih reakcija veza:
A A B
H 12 kN, V 7,8 kN, V 2, 2 kN.
Reakcije unutrašnjih veza mogu se sada odrediti iz uslova ravnoteže jednog od tela. Na
Slici P 10.8 c) prikazano je telo AC oslobođeno veza. Pretpostaljeno je da je štap EF
zategnut. Jednačine ravnoteže za telo AC glase:
A C
A C
C A
X 0 H S H 0,
Y 0 V V 0,
M 0 V 4 M S 2 0.
Rešenja ovih jednačina su: C C
H 7 kN, V 7,8 kN, S 19 kN.
Dobijena negativna vrednost reakcije veze u zglobu E ukazuje na to da je štap EF pritisnut,
a ne zategnut, kao što je pretpostavljeno.
