Travaux pratiques sur le système décimal, Exercices de Mathématiques Appliquées

Télécharge Travaux pratiques sur le système décimal et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat C Orléans septembre 1970 \ EXERCICE 1 Déterminer le nombre entier du système décimal qui s’écrit abca, dans le système à base onze et bbac, dans le système à base sept. EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction, f , de la variable réelle x définie par y = f (x) = 2ex −e2x . Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On précisera la pente de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des abscisses. EXERCICE 3 On donne un plan (P) rapporté au repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . On consi- dère la transformation plane, T , qui, au point m de coordonnées x et y , associe le point M dont les coordonnées X et Y sont définies par { X = x + y, Y = x − y. On écrit M = T (m). 1. a. Démontrer que cette transformation T réalise une application bijective de (P) dans (P). b. La transformation T admet-elle des points doubles ? La transformation T est-elle involutive ? 2. On établit une correspondance bijective entre les points de (P) et l’ensemble des nombres complexes. Au point m(x ; y), on associe z = x + iy . Soit Z = X + iY l’affixe de M. a. Si z désigne le nombre complexe conjugué de z, démontrer que Z = (1+ i )z. b. On donne deux points m et m′ distincts. On pose M = T (m) et M ′ = T ( m′ ) . Soit d la distance entre m et m′, D la distance entre M et M ′. Calculer D d . c. Calculer la somme des deux angles polaires ( −−→ Ox , −−−→ mm′ ) et ( −−→ Ox , −−−−→ M M ′ ) . d. Démontrer que la transformation T est le produit d’une symétrie axiale, que l’on précisera, et d’une homothétie de rapport positif. Ce produit est-il commutatif ? 3. On pose T 2 = T ◦T . Étudier T 2. On définit la suite d’applications T n par récurrence à l’aide de la relation T n = T ◦T n−1, n > 2. Soit m un point de (P). On posera M1 = T (m), puis, pour tout n supérieur ou égal à 2, Mn = T n(m).