6 ELASTIČNOST, Vežbe od Materijali

Preuzmite 6 ELASTIČNOST i više Vežbe u PDF od Materijali samo na Docsity! 57 6 ELASTIČNOST Među česticama (atomima, molekulima ili jonima) od kojih su tela izgrađena deluju sile elektromagnetne prirode koje sistem čine kompaktnim. Ove kohezione elastične sile imaju osobinu da su jednake nuli kad se čestice nalaze na ravnotežnim rastojanjima. Ukoliko se rastojanje između česticama npr. smanji, u odnosu na ravnotežno, ove sile se aktiviraju i postaju odbojne42 u težnji da vrate čestice na ravnotežno rastojanje. Utvrđeno je da se intenzitet elastičnih sila direktno proporcionalan promeni rastojanja (𝑥) u odnosu na ravnotežno: 𝐹 = −𝑘𝑥 . (6.1) Konstanta srazmere 𝑘 je koeficijent elastičnosti koji zavisi od vrste materijala. Jedinica za koeficijent elastičnosti u SI sistemu je N m . Do promene međusobnog rastojanja među česticama dolazi pri deformaciji tela. Pod deformacijom se podrazumeva promena dimenzija i oblika tela pod dejstvom spoljašnjih sila. Znak minus u izrazu 6.1 označava da se elastične sile suprotstavljaju delovanju spoljašnjih sila, odnosno teže da vrate čestice u ravnotežne položaje. Kod deformacije istezanja rastojanje između čestica raste pa unutrašnje elastične sile imaju privlačni karakter. Nasuprot tome, pri sabijanju su elastične sile odbojne jer se čestice približavaju na rastojanja koja su manja od ravnotežnog. Postojanje unutrašnjih elastičnih sila u oba slučaja ima za posledicu da se telo pri deformaciji nalazi u tzv. napetom stanju. Pri deformaciji telo poprima konačan oblik i dimenzije kad se unutrašnje elastične sile uravnoteže sa spoljašnjim silama. Ako se po prestanku dejstva spoljašnjih sila telo vrati u stanje pre deformacije, deformacija je elastična. Kod plastične deformacije telo po prestanku dejstva spoljašnjih sila ostaje trajno deformisano. Deformacije istezanja (sabijanja) i smicanja predstavljaju osnovne deformacije (slika 6.1 ). Istezanje (sabijanje) nastaje ako spoljašnje sile deluju normalno na površinu, a smicanje u slučaju kada sile deluju tangencijalno. Različite složene deformacije mogu se prikazati kao kombinacija osnovnih deformacija (slika 6.1 ). Na primer, savijanje je 42 Ukoliko se rastojanje poveća sile su privlačne. 58 kombinacija istezanja i sabijanja, a torzija (uvrtanje) se svodi na osnovnu deformaciju smicanja. Slika 6.1 Različite vrste deformacija 6.1 Istezanje i sabijanje Deformaciju istezanja je najjednostavnije proučavati na primeru žice koja se na jednom kraju učvrsti, a na drugom optereti tegovima. Težina tegova predstavlja spoljašnju silu koja uzrokuje deformaciju žice (slika 6.2). Deformisanje traje sve dotle dok unutrašnje elastične sile po intenzitetu ne izjednače sa težinom tegova. Na slici 6.2 je prikazano istezanje žice do kog dolazi ukoliko sila 𝐹 deluje normalno na površinu poprečnog preseka 𝑆. Apsolutna mera deformacije je promena dužine žice odnosno izduženje ∆𝐿. Kao mera deformacije koristi se i relativna deformacija koja predstavlja odnos promene dimenzije tela i prvobitne dimenzije, u slučaju istezanja relativna deformacija je količnik ∆𝐿 𝐿 . Relativna deformacija je bezdimenziona veličina. Engleski naučnik Robert Huk eksperimentalno je ustanovio da je relativno istezanje žice pod dejstvom sile 𝐹 srazmerno količniku sile i površine poprečnog preseka žice: Slika 6.2 Apsolutna deformacija pri istezanju 61 žice, ali je prisutno veće ili manje odstupanje od Hukovog zakona. Napon koji odgovara tački B naziva se granicom elastičnosti. Primenom napona većeg od granice elastičnosti za dati materijal, žica ostaje trajno deformisana. Deo krive od tačke B do tačke C pokazuje da izduženje raste sa povećanjem napona nešto brže nego ranije. Posle tačke C počinje horizontalni deo krive gde se žica izdužuje bez povećanja napona. Ova pojava se objašnjava pregrupisavanjem malih kristala unutar ispitivanog materijala. Nakon pregrupisavanja kristala žica postaje izdržljivija i kriva opet kreće naviše sve dok se žica konačno ne prekine. Napon pri kome dolazi do pucanja žice je granica izdržljivosti (tačka E). 6.2 Koncept ekvivalentnog štapa Delovi građevinskih konstrukcija su najčešće nehomogeni. Za opisivanje njihovih elastičnih svojstava često se koristi koncept ekvivalentnog štapa. Pod ekvivalentnim štapom se podrazumeva homogen štap, iste geometrije kao razmatrani deo konstrukcije, koji se na isti način ponaša pri deformaciji. Redna veza Dvodelni štap se sastoji od homogenih štapova različitih dužina 𝐿1 i 𝐿2 i površina poprečnog preseka 𝑆1 i 𝑆2, kao što je prikazano na slici 6.4. Štapovi su napravljeni od različitog materijala i nadovezani su jedan na drugog, kao na slici, tako da se uzdužne ose štapova poklapaju. Neka na dvodelni štap deluju sile koje izazivaju sabijanje štapa u mirovanju pri čemu se deformacija odvija u oblasti važenja Hukovog zakona. Slika 6.4 Dvodelni štap 62 Iz uslova ravnoteže sledi da je intenzitet sila koje deluju na štapove jednak47. Isti slučaj imamo kad je dvodelni štap jednim krajem oslonjen na nepomičan zid a na drugi kraj štapa se deluje silom 𝐹 na sabijanje48. Pod dejstvom sile 𝐹 dolazi do apsolutne deformacije delova štapa za ∆𝐿1 i ∆𝐿2, respektivno. Na osnovu Hukovog zakona (izraz 6.4) ∆𝐿1 i ∆𝐿2 se mogu izraziti na sledeći način: ∆𝐿1 = 𝐹 𝐿1 𝑆1 𝐸1 , (6.8) ∆𝐿2 = 𝐹 𝐿2 𝑆2 𝐸2 , (6.9) Ukupna promena dužine dvodelnog štapa pod dejstvom sile 𝐹 je: ∆𝐿 = ∆𝐿1 + ∆𝐿2 , (6.10) ∆𝐿 = 𝐹 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐹 𝐿2 𝑆1 𝐸2 = 𝐹 ( 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐿2 𝑆2 𝐸2 ) . (6.11) Zbog različite površine porečnog preseka naponi u štapovima se razlikuju i iznose: 𝜎1 = 𝐹 𝑆1 , (6.12) 𝜎2 = 𝐹 𝑆2 . (6.13) Ukoliko su površine 𝑆1 i 𝑆2 jednake ima smisla govoriti o ekvivalentnom štapu i ekvivalentnom modulu elastičnosti (𝐸𝑒). Pod ekvivalentnim štapom se podrazumeva homogen štap iste geometrije koji se na isti način ponaša pri deformaciji. Dužina ekvivalentnog štapa je 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 a površina poprečnog preseka 𝑆 = 𝑆1 = 𝑆2. Hukov zakon za ekvivalentni štap ima oblik: 47 Kada bi sile bile različitog intenziteta dvodelni štap bi se kretao pod dejstvom rezultujuće sile. 48 Zid deluje na štap silom istog intenziteta a suprotnog smera što proizilazi iz III Njutnovog zakona. 63 𝐹 𝑆 = 𝐸𝑒 ∆𝐿 𝐿1 + 𝐿2 , (6.14) odakle sledi da je aspolutna deformacija homogenog štapa: ∆𝐿 = 𝐹(𝐿1 + 𝐿2) 𝑆 𝐸𝑒 . (6.15) Ukupna promena dužine jednaka je zbiru apsolutnih deformacija delova štapa (∆𝐿 = ∆𝐿1 + ∆𝐿2) što se uz uslov 𝑆 = 𝑆1 = 𝑆2može zapisati: 𝐹(𝐿1 + 𝐿2) 𝑆 𝐸𝑒 = 𝐹 𝑆 ( 𝐿1 𝐸1 + 𝐿2 𝐸2 ) , (6.16) odakle se dobija da ekvivalentni Jangov modul elastičnosti zavisi od elastičnih svojstava materijala i dužine delova na sledeći način: 𝐸𝑒 = 𝐿1 + 𝐿2 𝐿1 𝐸1 + 𝐿2 𝐸2 . (6.17) Množenjem imenioca i brojioca prethodne relacije površinom poprečnog preseka (𝑆) dobija se: 𝐸𝑒 = 𝑆𝐿1 + 𝑆𝐿2 𝑆𝐿1 𝐸1 + 𝑆𝐿2 𝐸2 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑉1 𝐸1 + 𝑉2 𝐸2 , (6.18) gde su 𝑉1 i 𝑉2 zapremine pojedinih delova. Ukoliko se štap sastoji od 𝑛 delova različitih dužina i jednakih površina poprečnog preseka ekvivalentni Jangov modul elastičnosti se može izračunati pomoću jedne od sledećih relacija: 𝐸𝑒 = ∑ 𝐿𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝐿𝑖 𝐸𝑖 𝑛 𝑖=1 (6.19) 66 važenja Hukovog zakona može se opisati ekavivalentnim modulom elastičnosti koji se računa na sledeći način: 𝐸𝑒 = ∑ 𝐸𝑖𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑉𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐸𝑖 ∑ 𝑉𝑖 𝑛 𝑖=1 . (6.30) Kompoziti Kompozitni materijali (kompoziti), predstavljaju kombinaciju dva ili više materijala sa različitim svojstvima. Primer kompozitnih materijala koji se koriste u građevinarstvu su beton, malter, stakloplastika (fiberglas), armirani beton50, ojačano staklo, šperploča itd.. Kombinovanje različitih materijala se vrši u cilju dobijanja kompozita željenih karakteristika, npr. male gustine i velike čvrstoće. Kompoziti mogu biti: ojačani česticama, ojačani vlaknima, laminatni i kombinovani. Kompozit ojačan česticama je beton. Primer kompozita ojačanog vlaknima je stakloplastika gde su u polimernu matricu ubačena staklena vlakna. Šperploča je laminatni kompozit koji se sastoji od unakrsno lepljenih furnira drveta. U pogledu fizičkih osobina kompoziti mogu biti izotropni i anizotropni. Ukoliko su čestice raspoređene ravnomerno, kompoziti ojačani česticama su izotropni. Kompoziti ojačani vlaknima su najčešće anizotropni, dok su laminatni kompoziti anizotropni. Elastična svojstva kompozita zavise od elastičnih svojstava materijala koji se kombinuju, njihovih zapreminskog odnosa ali i od drugih faktora. Na primer, kod kompozita ojačanih vlaknima modul elastičnosti zavisi od orijentacije vlakana u odnosu na pravac delovanja sile. Ukoliko su vlakna orijentisana u pravcu delovanja sile modul elastičnosti dvokomponentnog kompozita se određuje pomoću izraza51: 𝐸𝑐 = 𝑉𝑣𝐸𝑣 + 𝑉𝑚𝐸𝑚 𝑉𝑣 + 𝑉𝑚 = 𝑣𝑣𝐸𝑣 + 𝑣𝑚𝐸𝑚 , (6.31) 50 U poslednje vreme se čelična armatura zamenjuje armaturom od kompozitnog materijala. 51 Pošto izraz istog oblika važi za paralelnu vezu dva štapa iste dužine (relacija 6.29) sledi zaključak da su vlakna i matrica pod različitim naponima pri deformaciji istezanja u pravcu vlakana. 67 u kom 𝑣𝑣 = 𝑉𝑣 𝑉𝑣+𝑉𝑚 i 𝑣𝑚 = 𝑉𝑚 𝑉𝑣+𝑉𝑚 predstavljaju zapreminski udeo vlakana i osnove (matrice), respektivno, dok su 𝐸𝑣 i 𝐸𝑚 njihovi moduli elastičnosti. Ako je opterećenje normalno na pravac vlakana, modul elastičnosti kompozita se računa pomoću izraza52: 1 𝐸𝑐 = 𝑉𝑣 𝐸𝑣 + 𝑉𝑚 𝐸𝑚 𝑉𝑣 + 𝑉𝑚 = 𝑣𝑣 𝐸𝑣 + 𝑣𝑣 𝐸𝑣 . (6.32) Kompoziti ojačani vlaknima u jednom pravcu su anizotropni, najveći modul elastičnosti je u pravcu vlakana. U tom pravcu se povećavaju čvrstoća i krutost. U pravcu normale na vlakna su pomenuta svojstva loša, modul elastičnosti je znatno manji, ponekad manji i od modula elastičnosti same matrice. Da bi se postigla optimalna svojstva u više pravaca, kompoziti često sadrže slojeve sa različitom orijentacijom vlakana. Ukoliko je orijentacija vlakana slučajna kompoziti se pri deformaciji ponašaju izotropno, ali je ojačanje malo. 6.3 Smicanje Do smicanja dolazi pod dejstvom sprega53 sila kao što je prikazano na slici 6.6 . Sile koje izazivaju smicanje deluju tangencijalno na površine te se u materijalu javlja tangencijalni napon 𝜎𝜏 = 𝐹 𝑠 , definisan preko količinika intenziteta sile 𝐹 i površine 𝑆. Kod smicanja dolazi do paralelnog pomeranja tankih slojeva u unutrašnjosti tela. Slojevi se pomeraju, jedan u odnosu na drugog, paralelno pravcima dejstva spoljašnjih sila. Deformacija smicanja se prvenstveno ispoljava preko promene oblika tela, kao što je prikazano na slici 6.6 na kojoj je prikazano nedeformisano telo oblika pravouglog paralelopipeda i isto telo nakon deformacije smicanja. Slika 6.6 Deformacija smicanja 52 Izraz istog oblika važi za rednu vezu dva štapa iste površine poprečnog preseka (relacija 6.20). 53 Spreg sila obrazuju dve međusobno paralelne sile, istih intenziteta i suprotnog smera, koje imaju različite napadne tačke na posmatranom telu. S L 68 U prikazanom primeru smicanja došlo je do pomeranja dve međusobno paralelne stranice paralelograma za ∆𝑥 koje predstavlja apsolutnu deformaciju pri smicanju. Relativna deformacija pri smicanju je količnik apsolutne deformacije i međusobnog rastojanja paralelnih stranica. Sa slike 6.6 se vidi da relativna deformacija pri smicanju (pomenuti odnos ∆𝑥 𝐿 ) predstavlja trigonometrijsku funkciju ugla 𝜃: tg𝜃 = ∆𝑥 𝐿 . (6.33) Pri smicanju je relativna deformacija srazmerna tangencijalnom naponu: 𝜎𝜏 = 𝐸𝑠 ∆𝑥 𝐿 , (6.34) gde je 𝐸𝑠 modul smicanja. U tabeli 6.2 su date brojne vrednosti modula smicanja za različite materijale. Modul smicanja je povezan sa Jangovim modulom elastičnosti preko Poasonovog koeficijenta (definisanog izrazom 6.7) sledećom relacijom: 𝐸𝑠 = 𝐸 2(1 + 𝜇) . (6.35) Tabela 6.2 Modul smicanja pojedinih materijala materijal 𝐸𝑠 [GPa] materijal 𝐸𝑠 [GPa] aluminijum 25 beton 2,6-3,5 čelik 83 bakar 42 gvožđe 77 olovo 54 6.4 Zapreminska deformacija Ukoliko je telo potopljeno u tečnost dolazi do zapreminske deformacije odnosno do smanjenja zapremine za ∆𝑉 u odnosu na zapreminu 𝑉 u vazduhu. Ukoliko se slojevi 71 𝜎 = 𝐸 ∆𝐿 𝐿 = 𝐸𝛼∆𝑇 . (6.40) Sa porastom temperature sve dimenzije tela rastu te se menja i njegova zapremina. Pri promeni temperature tela za ∆𝑇 njegova zapremina poraste za: ∆𝑉 = 𝑉𝛽∆𝑇 , (6.41) gde je 𝛽 koeficijent zapreminskog širenja. Koeficijenti linearnog i zapreminskog širenja su povezani relacijom: 𝛽 = 3𝛼 . (6.42) Ukoliko pri zagrevanju telo nema prostora za povećanje zapremine javlja se napon: σ = 𝐵𝛽∆𝑇 . (6.43) Termički naponi u nehomogenim građevinskim elementima Kada su dva materijala sa različitim koeficijentima termičkog širenja i različitim elastičnim svojstvima primorana da se šire zajedno dolazi do termičkih napona. Primeri su: stakloplastika, višeslojni zidovi, prozorski okvir i staklo, cevi toplovoda koje su obmotane slojem termičke izolacije a nalaze se ukopane u tlu pa je termička dilatacija dodatno otežana, armirani beton56 i slično. Termički naponi koji nastaju zavise od promene temperature koja ih izaziva, geometrije građevinskog elementa odnosno njegovih sastavnih delova, termičkih i elastičnih svojstava materijala. Razmotrićemo geometrije koje su često prisutne u građevinskim konstrukcijama. Slika 6.7 Dvodelni nehomogeni štap uklješten između nepomičnih zidova 56 Koeficijenti termičkog širenja čelika i betona imaju bliske vrednosti pa su termički naponi koji nastaju mali ali ipak postoje. 72 Razmotrimo termičke napone koji nastaju usled zagrevanja dvodelnog štapa, prikazanog na slici 6.7, koji je uklješten između dva nepomična zida (oslonca). Neka je na početnoj temperaturi štap u nenapetom stanju. Ukoliko ne bi bilo nikakvih ograničenja u pogledu termičke dilatacije, porast remperature za ∆𝑡 bi izazvao porast dužine sastavnih delova za ∆𝐿1 = 𝐿1𝛼1∆𝑡 i ∆𝐿2 = 𝐿2𝛼2∆𝑡. Ukupna pormena dužine štapa bi iznosila: ∆𝐿 = 𝐿1𝛼1∆𝑡 + 𝐿2𝛼2∆𝑡 = (𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2)∆𝑡 . (6.44) Pošto je termička dilatacija onemogućena, dužina štapa se ne menja. Isti ishod bi postojao ako bi nakon slobodnog termičkog širenja štap bio podvrgnut sabijanju tako da sumarno gledano nema promene dužine. Razmatranje ove zamišljene deformacije sabijanja omogućava da se procene naponi koji se javljaju u delovima štapa. Sabijanje štapa koji se sastoji od delova različitih dužina i površina poprečnog preseka pod dejstvom sile 𝐹 je prethodno razmatrano te se može iskoristiti relacija (6.11). Izjednačavanjem izraza za promenu dužine koja bi nastala termičkom dilatacijom i apsolutne deformacije koja bi nastala pri sabijanju dobija se: (𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2)∆𝑡 = 𝐹 ( 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐿2 𝑆2 𝐸2 ) , (6.45) odakle sledi da je intenzitet sile međusobne interakcije štapa i zida: 𝐹 = 𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐿2 𝑆2 𝐸2 ∆𝑡 . (6.46) Naponi u pojedinim delovima štapa mogu se izraziti preko intenziteta ove sile i površine porečnog preseka: 𝜎1 = 𝐹 𝑆1 = ∆𝑡 𝑆1 𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐿2 𝑆2 𝐸2 , (6.47) 𝜎2 = 𝐹 𝑆2 = ∆𝑡 𝑆2 𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2 𝐿1 𝑆1 𝐸1 + 𝐿2 𝑆2 𝐸2 . (6.48) Zaključujemo da je termičko naprezanje u delovima štapa različito i zavisi od svojstava materijala, dimenzija i promene temperature. 73 Ukoliko je 𝑆1 = 𝑆2 naponi u delovima štapa bi bili jednaki: 𝜎 = 𝐿1𝛼1 + 𝐿2𝛼2 𝐿1 𝐸1 + 𝐿2 𝐸2 ∆𝑡 . (6.49) Razmotrimo termičku dilataciju nehomogenog cilindričnog stuba koji se sastoji od dva koaksijalna cilindra iste dužine, koji su smešteni jedan unutar drugog. Omotači cilindara se ne dodiruju, kao što se vidi na slici 6.8 b) koja prikazuje poprečni presek stuba, ali su im osnove na oba kraja fiksirane jedna za drugu (slika 6.8 a)). Cilindri su napravljeni od dva različita materijala koji generalno imaju različite Jangove module elastičnosti i različite koeficijente linearnog termičkog širenja. Na slici 6.9 a) prikazan je uzdužni presek stuba dužine 𝐿 u nenapetom stanju. Usled promene temperature dolazi do promene dužine stuba. Ukoliko bi svaki od delova mogao slobodno da se širi unutrašnji cilindar bi promenio dužinu za: ∆𝐿1 = 𝐿𝛼1∆𝑡 , (6.50) a spoljašnji cilindrični omotač za: ∆𝐿2 = 𝐿𝛼2∆𝑡 . (6.51) Centralni deo stuba i omotač bi imali različite dužine kao što je prikazano na slici 6.9 b) za slučaj kada je 𝛼1 > 𝛼2. a) b) Slika 6.8 Uzdužni a) i poprečni b) presek nemogenog stuba sastavljenog od dva koaksijalna cilindra 76 6.6 Pitanja i zadaci za samostalan rad 1. Nabrojati osnovne deformacije. 2. Navesti jedinicu u S sistemu za napon? 3. Pod dejstvom odeđene sile dužina šipke se smanjila za 0,3%. Koliko puta je primenjeni napon manji od Jangovog modula elastičnosti? 4. Kada dolazi do promena dimenzija tela? 5 Šipka dužine 4 m se istegla pod dejstvom napona od 1 GPa za 0,04 mm. Koliko bi iznosilo skraćenje dužine šipke da je isti napon primenjen na sabijanje ? 6. Koeficijent linearnog širenja zlata iznosi 14,1 1 MK . Koliki je koeficijent zapreminskog širenja zlata? 7. Šipka Jangovog modula elastičnosti 90 GPa i koeficijenta linearnog širenja 5 · 10−6 1 K postavljena je između dva nepomična zida na temperaturi 28 ℃. Šipka se potom zagrevala. Koliko je iznosio napon nakon zagravanja za 180 ℃ ako je poznato da je šipka na tempraturi 92 ℃ ispunila ceo prostor između zidova? 8. Na kojoj dubini u moru bi kugla od aluminijuma, prečnika 5 cm, smanjila svoju zapreminu na 99,95% zapremine u vazduhu? Gustina morske vode iznosi 1020 kg m3 a zapreminski modul stišljivosti aluminijuma je 75 GPa. 9. Od čega zavisi Jangov modul elatičnosti i koeficijent linearnog širenja? 77 7 OSCILACIJE I TALASI Kretanje koje se periodično ponavlja, na potpuno ili približno isti način pri čemu neka veličina raste i opada, naziva se oscilatorno kretanje. Primeri ovakvog kretanja su: kretanja klatna i kazaljki časovnika, ljuljanje na ljuljaški, klackanje, kretanje klipa u cilindru motora, obrtanje propelera, otkucaji srca, kretanje Zemlje oko Sunca, itd. Osnovni element oscilatornog kretanja je oscilacija pod kojom se podrazumeva jedan ciklus kretanja koji se periodično ponavlja. Postoje i oscilatorni procesi koji ne podrazumevaju periodično kretanje već periodičnu promenu fizičkih veličina. Primer takvog oscilovanja je naizmenična električna struja. Drugi značajan primer je periodična promena električnog i magnetnog polja koja predstavlja izvor elektromagnetnih talasa. U osnovi svakog talasnog kretanja su oscilacije. Oscilovanje, bilo ono mehaničko ili elektromagnetno, se vrši po istim zakonitostima. Stoga ćemo prvo razmatrati najočigledniji primer oscilovanja a to su mehaničke oscilacije. 7.1 Harmonijske oscilacije Mehaničke oscilacije je najlakše razmatrati na primeru tega okačenog o oprugu, prikazanog na slici 7.1. Teg se u početku nalazi u stanju mirovanja, odnosno u stanju ravnoteže. Iz ravnotežnog stanja se teg izvodi ako oprugu dodatno istegnemo ili sabijemo delujući na nju silom. Ukoliko nakon početnog uticaja prestanemo sa delovanjem (pustimo oprugu) dolazi do oscilatornog kretanja. Tokom Slika 7.1 Oscilatorno kretanje 78 oscilatornog kretanja teg se kreće po jednoj istoj putanji naizmenično u dva suprotna smera. Teg će se nakon izvesnog vremena umiriti, no razmatraćemo idealizovan slučaj kad ne dolazi do zaustavljanja oscilatornog kretanja. Ovaj idealizovan slučaj naziva se neamortizovano (neprigušeno) oscilovanje. Oscilacije se, u pomenutom primeru, vrše pod dejstvom sile elastičnosti opruge koja je uvek usmerena ka ravnotežnom položaju i stoga se naziva još i restituciona sila. Iz iskustava nam je poznato sledeće: da bismo sabili oprugu moramo savladati silu kojom se opruga suprotstavlja promeni dužine. Isto se dešava i pri istezanju opruge. Veće istezanje (sabijanje) zahteva delovanje većom silom. Zaključak koji logički sledi je da se intenzitet restitucione sile tokom oscilovanja menja. Ova sila: 𝐹 = −𝑘𝑥 , (7.1) je srazmerna rastojanju 𝑥 u odnosu na ravnotežni položaj. Konstanta srazmere zavisi od same opruge i predstavlja njenu konstantu elastičnosti 𝑘. Znak minus u prethodnom izrazu označava da je ova sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, kao što je prikazano na slici 7.1. Razmatranjem neamortizovanog oscilovanja tega okačenog o oprugu zaključeno je da se, za posmatrača koji se nalazi u ravni rotacije, po istom zakonu kreće telo koje rotira konstantnom ugaonom brzinom ω, kao što je prikazano na slici 7.2. Neka merenje vremena započne u trenutku kada teg, tokom oscilovanja, prolazi kroz ravnotežni položaj59. Rastojanje tega u odnosu na ravnotežni položaj se tada menja po sledećem zakonu: 𝑥 = 𝑥0 sin 𝜔𝑡 , (7.2) gde je 𝜔 kružna frekvencija. U slučaju tega mase 𝑚 okačenog o oprugu konstante elastičnosti 𝑘 kružna frekvencija iznosi: 𝜔 = √ 𝑘 𝑚 . (7.3) Rastojanje tela koje osciluje u odnosu na ravnotežni položaj naziva se elongacija (𝑥), dok se maksimalno rastojanje (maksimalna elongacija) u odnosu na ravnotežni položaj naziva amplituda (𝑥0). U razmatranom primeru je elongacija sinusna funkcija vremena 59 Merenje vremena može započeti u bilo kom trenutku tokom oscilovanja. Najpraktičnije je odabrati prolazak tega kroz ravnotežni položaj jer se u suprotnom mora voditi računa o tzv. početnoj fazi oscilovanja. 81 amplitude tokom oscilovanja, ukupna mehanička energija (zbir kinetičke i potencijalne energije) se ne menja: 𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 . (7.10) Razmotrimo slučaj harmonijskog oscilovanja u horizontalnoj ravni 60. Izrazi za kinetičku i elastičnu potencijalnu energiju u ravnotežnom i amplitudnom položaju, kao i ukupnu energiju neprigušenog oscilovanja, dati su u tabeli. U amplitudnom položaju je elastična potencijalna energija maksimalna, dok je kinetička jednaka nuli. Pri prolasku kroz ravnotežni položaj je obrnuto. Tabela 7.1 Kinetička, potencijalna i ukupna energija u ravnotežnom i amplitudnom položaju 𝐸𝑘 𝐸𝑝 𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 𝑥 = 0 𝑚v0 2 2 0 𝐸 = 𝑚v0 2 2 = 𝐸𝑘 𝑚𝑎𝑥 𝑥 = 𝑥0 0 𝑘𝑥0 2 2 𝐸 = 𝑘𝑥0 2 2 = 𝐸𝑝 𝑚𝑎𝑥 Iz zakona održanja mehaničke energije za neprigušeno oscilovanja sledi da je ukupna mehanička energija jednaka maksimalnoj kinetičkoj, odnosno maksimalnoj potencijalnoj energiji: 𝐸 = 𝐸𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑝 𝑚𝑎𝑥 → 𝑚v0 2 2 = 𝑘𝑥0 2 2 . (7.11) Jednakost između maksimalne kinetičke i maksimalne potencijalne energije može se pokazati ako se u izraz za maksimalnu kinetičku energiju uvrsti izraz za maksimalnu brzinu (7.7) a zatim u dobijenu jednakost uvrsti 𝜔2 = 𝑘 𝑚 : 60 Promena gravitacione potencijalne energije je tada jednaka nuli. 82 𝑚v0 2 2 = 𝑚 𝜔2𝑥0 2 2 = 𝑚 𝑥0 2 2 𝑘 𝑚 = 𝑘 𝑥0 2 2 , (7.12) Kod svakog realnog oscilovanja amplituda se smanjuje tokom vremena. Smanjenje amplitude je posledica gubitaka mehaničke energije na trenje i otpor sredine, pretvaranja u unutrašnju energiju itd. Oscilacije čija se amplituda smanjuje tokom vremena nazivaju se prigušene odnosno amortizovane oscilacije. Jednačine kojima se opisuje elongacija, brzina i ubrzanje prigušenog oscilatornog kretanja imaju znatno složeniji oblik u odnosu na jednačine neprigušenog oscilovanja. Ukoliko se amplituda, maksimalna brzina i maksimalno ubrzanje sporo menjaju tokom vremena prigušene oscilacije mogu se sa zadovoljavajućom tačnošću opisati jednačinama harmonijskog oscilovanja. 7.2 Prigušene oscilacije Iz iskustva znamo da će se klatno61 koje osciluje umiriti nakon određenog vremena pri čemu se amplituda oscilovanja stalno smanjuje do zaustavljanja. Ovako oscilovanje se naziva prigušeno (amortizovano). Do smanjenja amplitude dolazi usled pretvaranja dela mehaničke energije oscilatornog kretanja u druge vidove energije (npr. toplotu). Do ovog pretvaranja energije, iz jednog oblika u drugi, i zaustavljanja tela dolazi usled delovanja sile trenja (npr. sila otpora sredine). Sila otpora sredine je uvek suprotno orijentisana od smera kretanja i pri relativno malim brzinama kretanja može se uzeti da je srazmerna intenzitetu brzine tela. Kružna frekvencija amotrizovanog oscilovanja 𝜔1 je manja u poređenju sa kružnom frekvencijom neamortizovanog oscilovanja 𝜔0 i iznosi: 𝜔1 = √𝜔0 2 − 𝛼2 , (7.13) gde je 𝛼 – faktor prigušenja koji između ostalog zavisi od vrste sredine u kojoj telo osciluje, kao i od mase, oblika i dimenzija samog tela. Amplituda prigušenog oscilovanja eksponencijalno opada sa vremenom: 𝑥0(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛼𝑡 , (7.14) 61 Klatno predstavlja telo koje se njiše (klati). Postoje različite vrste klatna. Pod matematičkim klatnom se podrazumeva sistem koji čine kuglica mase 𝑚 i nesitegljiva nit o koju je kuglica okačena pri čemu je poluprečnik kuglice zanemarljivo mali u odnosu na dužinu niti. Fizičko klatno predstavlja svako kruto telo koje može da osciluje oko nepokretne horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tela. 83 gde je 𝐴 početna (maksimalna) amplituda. Period prigušenog oscilovanja iznosi: 𝑇1 = 2𝜋 𝜔1 = 2𝜋 √𝜔0 2 − 𝛼2 , (7.15) i veći je u poređenju sa periodom neamortizovanog oscilovanja. Stepen prigušenja (amortizacije) opisuje smanjenje amplitude oscilovanja u toku jednog perioda. Stepen prigušenja je definisan odnosom: 𝑥0(𝑡) 𝑥0(𝑡 + 𝑇1) = 𝐴𝑒−𝛼𝑡 𝐴𝑒−𝛼(𝑡+𝑇1) = 𝑒𝛼𝑇1 , (7.16) gde 𝑥0(𝑡) predstavlja amplitudu oscilovanja u trenutku vremena 𝑡 a 𝑥0(𝑡 + 𝑇1) amplitudu oscilovanja nakon isteka jednog perioda. Na osnovu prethodnog izraza sledi zaključak da se u toku jednog perioda oscilovanja amplituda prigušenog oscilovanja smanji 𝑒𝛼𝑇1 puta. Prirodni logaritam stepena prigušenja: ln 𝑒𝛼𝑇1 = 𝛼𝑇1, (7.17) predstavlja logaritamski dekrement prigušenog oscilovanja. Logaritamski dekrement se određuje eksperimantalno merenjem amplitude prigušenog oscilovanja. 7.3 Prinudne oscilacije Ukoliko se mehanička energija oscilatornog kretanja nekog sistema konstantno povećava doći će do povećanja amplitude oscilovanja, suprotno od prethodno razmatranog slučaja. Energija oscilatornog kretanja se može povećavati delujući na telo silom čiji se smer poklapa sa smerom kretanja tela. Jasno je da ova sila mora biti periodična pošto se smer kretanja tela tokom oscilovanja periodično menja. Delujući spolja ovom periodičnom silom vršimo rad na račun kog se povećava mehanička energija oscilovanja. Kada ne bi bilo trenja amplituda oscilovanja bi stalno rasla. Oscilovanje koje se odvija pod dejstvom spoljašnje sile naziva se prinudno oscilovanje za razliku od slobodnog oscilovanja tokom kog na telo ne deluje spoljašnja sila. Razmotrimo slučaj kada spolja delujući periodičnom silom naizmenično spuštamo i podižemo telo mase 𝑚 okačeno o oprugu konstante elastičnosti 𝑘 (naizmenično istežemoi i sabijajamo oprugu) i na taj način primoravamo posmatrani sistem da osciluje. Jasno je da će frekvencija ovog prinudnog oscilovanja biti jednaka frekvenciji spoljašnje (prinudne) sile. Prethodna 86 električno polja, koje u obližnjem prostoru stvara promenljivo magnetno polje itd. Uzajamno indukovanje promenljivih električnih i magnetnih polja širi se kroz prostor u svim pravcima. Vektori ovih polja su normalni kako međusobno, tako i na pravac prostiranja talasa (slika 7.4). Za razliku od mehaničkih talasa koj se prostiru samo kroz materijalne sredine, elektromagnetni talasi se mogu prostirati i kroz vakuum. 𝑎) 𝑏) Slika 7.5 a) Transverzalni i b) longitudinalni mehanički talas u masivu čvrstog agregatnog stanja Pored pomenute podele na mehaničke i elektromagnetne talase, talasi se dele i na osnovu kriterijuma kako delići sredine osciluju u odnosu na pravac prostiranja talasa. Prema ovom kriterijumu talasi se dele na transverzalne i longitudinalne. Kod transverzalnih mehaničkih talasa delići sredine osciluju normalno na pravac prostiranja talasa (slika 7.5 a)), dok se kod longitudinalnih mehaničkih talasa oscilacije vrše u pravcu prostiranja talasa (slika 7.5 b)). U tečnom i gasovitom agregatnom stanju mogu nastati samo longitudinalni mehanički talasi, dok u čvrstom agregatnom stanju pored longitudinalnih mogu nastati i transverzalni mehanički talasi. Elektromagnetni talasi su uvek transverzalni. U predmetima u čvrstom agregatnom stanju kod kojih su neke od dimenzija relativno male u odnosu na talasnu dužinu (ploče, šipke, žice) javljaju se talasi koji se ne mogu okarakterisati niti kao transverzalni niti kao longitudinalni. Ovi talasi su promenljivo magnetno polje stvara električno. Postojanje elektromagnetnih talasa dokazano je nekoliko godina posle Maksvelove smrti. Nemački fizičar Herc je koristeći jednostavne električne uređaje proizveo elektromagnetne talase. Proučavajući osobine ovih talasa Herc je zaključio da talasi koje je proizveo imaju iste osobine kao svetlost. Kasnije je utvrđeno da svetlost predstavlja samo jedan uski deo spektra elektromagnetnih talasa. 87 prikazani na slici 7.6. U ovim predmetima mogu nastati talasi savijanja (fleksioni talasi) i ekspanzioni talasi kod kojih se na pojedinim mestima debljina, npr. šipke, povećava a na drugim smanjuje i ta promena debljine se prenosi kroz predmet. Slika 7.6 a) Fleksioni i b) ekspanzioni talas u pločama i šipkama Za razliku od jednačine oscilovanja koja daje zavisnost elongacije od vremena za jednu tačku koja osciluje, talasna jednačina opisuje oscilovanje svih tačaka zahvaćenih talasom. Posmatrajno progresivan talas kod kog sve tačke dostižu istu amplitudu ali u različitim trenucima vremena. Jedan od oblika talasne jednačine progresivnog talasa je: 𝛹 = 𝛹0 sinω (𝑡 − 𝑥 v0 ) , (7.20) gde je 𝛹 elongacija a 𝛹0amplituda tačke koja se nalazi na rastojanju 𝑥 od izvora talasa. Vreme 𝑡 se meri od trenutka kad je izvor talasa počeo da osciluje. Da bi se opisalo oscilovanje ostalih tačaka mora se uzeti u obzir da sve one kasne sa osilovanjem za izvorom, drugim rečima od vremena 𝑡 treba oduzeti vreme kašnjenja. Vreme kašnjenja je upravo vreme potrebno da talas dospe do posmatrane tačke i pobudi je na oscilovanje i iznosi 𝑥 v0 gde je v0 brzina prostiranja talasa a 𝑥 udaljenost tačke od izvora talasa. Kao što je već pomenuto, u osnovi talasnog kretanja je oscilatorno kretanje pa talase opisujemo veličinama kojima se opisuje oscilatorno kretanje: period, frekvencija, amplituda, brzina i ubrzanje tokom oscilovanja. Pored pomenutih veličina, Slika 7.7 Talasna dužina transverzalnog mehaničkog talasa 88 za talase se definišu još i talasna dužina i brzina prostiranja. Put koji talas pređe za vreme od jednog perioda63: 𝜆 = v0𝑇, (7.21) naziva se talasna dužina i označava sa 𝜆. Drugim rečima talasna dužina predstavlja najkraće rastojanje između tačaka koje osciluju u fazi64. Ovom fizičkom veličinom opisana je prostorna periodičnost talasnog kretanja kao što je periodom opisana vremenska periodičnost. Uvrštavanjem 𝜔 = 2𝜋 𝑇 u izraz 7.20 dobija se još jedan oblik talasne jednačine: 𝛹 = 𝛹0 sin2𝜋 ( 𝑡 𝑇 − 𝑥 v0𝑇 ) , (7.22) koji se polazeći od definicije talasne dužine može napisati kao: 𝛹 = 𝛹0 sin2𝜋 ( 𝑡 𝑇 − 𝑥 𝜆 ). (7.23) Brzina prostiranja talasa u homogenim sredinama je u svim tačkama ista. Pošto talas za vreme od jednog perioda oscilovanja pređe put koji iznosi jednu talasnu dužinu, brzina prostiranja talasa je po definiciji: v0 = 𝜆 𝑇 = 𝜆ν. (7.24) Prethodni izraz važi generalno, za talase u svim sredinama. Brzina prostiranja talasa, kako mehaničkih tako i elektromagnetnih, razlikuje se u zavisnosti od sredine kroz koju se talas kreće. Elektromagnetni talasi se najvećom brzinom prostiru u vakuumu, gde njihova brzina iznosi 𝑐 ≈ 3 ∙ 108 m s . Brzina prostiranja mehaničkih talasa zavisi od elastičnih karakteristika sredine. Brzina prostiranja longitudinalnih mehaničkih talasa u čvrstom agregatnom stanju data je izrazom: 63 U toku jednog perioda delić sredine izvrši jednu punu oscilaciju. 64 Delići sredine na rastojanju koje iznosi ceo broj talasnih dužina u određenom trenutnu vremena imaju istu elongaciju, pravac i smer kretanja i osciluju u fazi, odnosno „sinhrono”. 91 prikazani slučaj predstavlja osnovni ton (najjednostavniji način oscilovanja), a za njim slede prvi i drugi harmonik. Može se doneti opšti zaključak da je veza između dužine šipke 𝑙 i talasne dužine osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na jednom kraju data sledećim izrazom: 𝑙 = (2𝑘 + 1) 𝜆𝑘 4 𝑘 = 0; 1; 2 … (7.27) Relacija koja povezuje brzinu prostiranja talasa, frekvenciju i talasnu dužinu je oblika: 𝜈𝑘 = v0 𝜆𝑘 , (7.28) gde je 𝜈𝑘 frekvencija, a 𝜆𝑘 talasna dužina 𝑘-tog harmonika. Kombinujući relacije 7.27, i 7.28 dobija se izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na jednom kraju: 𝜈𝑘 = v0 𝜆𝑘 = 2k+1 4𝑙 √ 𝐸 𝜌 . (7.29) Slika 7.9 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na jednom kraju Mogući izgledi stojećeg talasa kod šipke učvršćene na oba kraja prikazani su na slici 7.10 Na učvršćenim krajevima nastaju čvorovi i najjednostavniji slučaj je kad je izmedju njih, na sredini žice, trbuh. Ovo predstavlja osnovni ton. Viši harmonici nastaju pojavom novih čvorova i trbuha, kao što je na slici 7.10 prikazano. Veza izmedju dužine šipke i talasne dužine osnovnog tona, odnosno viših harmonika u ovom slučaju ima oblik: 92 𝑙 = (𝑘 + 1) 𝜆𝑘 2 𝑘 = 0; 1; 2 … (7.30) Izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na oba kraja je oblika: 𝜈𝑘 = v0 𝜆𝑘 = k+1 2𝑙 √ 𝐸 𝜌 . (7.31) Slika 7.10 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na oba kraja Ukoliko je šipka učvršćena na sredini, na učvršćenom mestu nastaje čvor stojećeg talasa dok na slobodnim krajevima nastaju trbusi. Na slici 7.11 je punom linijom prikazan osnovni ton, a isprekidanom prvi harmonik sopstvenih oscilacija šipke. Po analogiji sa prvim, mogli bi se prikazati i ostali viši harmonici. Uslov koji zadovoljavaju stojeći talasi kod ovakvog sistema je da je veza izmedju dužine šipke i talasne dužine oblika: 𝑙 = (2𝑘 + 1) 𝜆𝑘 2 𝑘 = 0; 1; 2 . .. (7.32) Izraz za frekvencije osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na sredini je oblika: 𝜈𝑘 = v0 𝜆𝑘 = 2k+1 2𝑙 √ 𝐸 𝜌 . (7.33) 93 Slika 7.11 Osnovni ton i prva dva harmonika sopstvenih oscilacija šipke učvršćene na sredini 7.6 Pitanja i zadaci za samostalan rad 1. Telo harmonijski osciluje sa amplitudom 𝑥0. Koliki je ukupan pređeni put za vreme od jednog perioda oscilovanja? 2. Kako se menjaju brzina kada se telo tokom harmonijskog oscilovanja približava ravnotežnom položaju? 3. Teg mase 250 g harmonijski osciluje obešen o oprugu konstante elastičnosti 0,7 N cm sa amplitudom od 50 mm. Koliko iznosi period oscilovanja? 4. Longitudinalni talas se prostire brzinom od 340 m s kroz neku sredinu. Kolika je talasna dužina ako je frekvencija 1200 Hz? 5. Uzimajući da je brzina prostiranja zvuka u vazduhu 345 m s odrediti najmanju i najveću talasnu dužinu zvuka. 6. Rastojanje između dve tačke koje su u fazi pri prostiranju talasa jednako je: a) talasnoj dužini, b) celobrojnom umnošku talasnih dužina b) neparnom broju polovina talasnih dužina. Izdvojiti netačno. 7. Nacrtati treći harmonik sopstvenih oscilacija vazdušnog stuba zatvorenog sa jedne strane. 8. Koliko talasnih dužina stojećeg talasa se formira na žici učvršćenoj na oba kraja ako je poznato da je u pitanju drugi harmonik? Nacrtati odgovarajuću sliku. 9. Telo prinudno osciluje pod dejstvom sile koja se periodično menja sa frekvencijom od 290 Hz. Koliko iznosi frekvencija prinudnog oscilovanja tela? 10. Koliko puta se smanji amplituda u toku tri perioda oscilovanja ako faktor prigušenja iznosi 0,05 a frekvencija oscilovanja je 0,5 𝐻𝑧? 96 prostiranja mehaničkih talasa u gasovitom agregatnom stanju, pri adijabatskom procesu, je data izrazom 7.26. Kombinujući izraze 7.26 i 8.1 dobija se: v0 = √ 𝜘𝑅𝑇 𝑀 , (8.2) odakle sledi da sa porastom temperature vazduha i brzina prostiranja zvuka u njemu raste. Primera radi, pri sobnoj temperaturi (300 K) brzina zvuka u vazduhu izračunata pomoću izraza 8.2 iznosi 347 m s . U opsegu uobičajenih sobnih temperatura brzina zvuka u vazduhu se kreće i untervalu 340 − 350 m s , a u većini numeričkih problema se uzima brojna vrednost od 340 m s . U tečnostima je brzina zvuka veća, u vodi na primer iznosi oko 1450 m s 70. Bitna karakteristika zvučnih talasa je jačina (intenzitet) zvuka. Objektivna jačina zvuka je definisana kao energija koju zvučni talasi prenesu u jedinici vremena kroz jediničnu površinu postavljenu normalno na pravac prostoranja talasa. Ova energija je srazmerna kvadratu amplitude oscilovanja delića sredine. Objektivna jačina se meri instrumentima i izražava u jedinicama W m2. Jačina zvuka koja se opaža čulom sluha zavisi od objektivne jačine (intenziteta), ali i od frekvencije. Zvuke istog objektivnog intenziteta koji se razlikuju po frekvenciji detektujemo kao zvuke različite jačine. To je posledica činjenice da naše uho nije jednako osetljivo na sve frekvencije. Ljudsko uho je najosetljivije za frekvencije od nekoliko hiljada herca i u toj oblasti registrujemo najmanji intenzitet. Najmanji objektivan intenzitet koji smo u stanju da registrujemo čulom sluha naziva se prag čujnosti i on zavisi od frekvencije. Intenzitet praga čujnosti na frekvenciji od 1000 Hz iznosi 10−12 W m2. Najveći intenzitet zvuka koji uho nesmetano registruje slabo zavisi od frekvencije i iznosi oko 1 W m2. Ovaj intenzitet se naziva granicom bola, iako kod većine ljudi pri intenzitetu zvuka ovog reda veličine nastaje samo nelagodnost, dok se bol javlja pri intenzitetu koji je za red veličine veći i približno iznosi 10 W m2. Ispitivanjem ljudskog čula sluha utvrđeno je da se promena intenziteta ne registruje linearno već logaritamski. Stoga je uvedena veličina koja se naziva nivo intenziteta zvuka definisana na sledeći način: 70 Najvećom brzinom se zvuk prostire kroz čvrste supstance, primera radi kroz staklo se kreće brzinom od oko 5500 m s . 97 𝐿 = 10 log10 𝐼 𝐼0 , (8.3) gde je 𝐼 intenzitet zvuka dok je 𝐼0 = 10−12 W m2. Ovako definisana veličina objektivno predstavlja broj, ali joj je pripisana jedinica decibel (dB). Nivo intenziteta zvuka na pragu čujnosti, pri intenzitetu 𝐼 = 10−12 W m2 , iznosi 0 dB, dok je na granici bola ( 𝐼 = 1 W m2 ) 120 dB. Najmanja promena nivoa intenziteta zvuka, detektovana od strane osoba koje nemaju problema sa sluhom, u proseku iznosi 1 dB. 8.2 Prelamanje apsorpcija i refleksija zvuka Prelamanje je pojava do koje dolazi usled promene u brzini prostiranja talasa na granici između dve sredine. Zbog skokovite promene brzine dolazi do savijanja talasnog fronta i do nagle promene pravca prostiranja talasa na granici između dve sredine. Pri prelamanju frekvencija i period oscilovanja ostaju nepromenjeni dok se talasna dužina menja. Izraz koji povezuje brzinu prostiranja u datoj sredini, talasnu dužinu i frekvenciju je oblika v0 = 𝜆ν te sledi zaključak da povećanje brzine prostiranja ima za posledicu povećanje talasne dužine i obrnuto. Do promene u brzini prostiranja može doći i u jednoj sredini ukoliko ona nema iste karakteristike u svim delovima. Primera radi gustina i temperatura vazduha, kako u prostoriji tako i u otvorenom prostoru, se razlikuju na različitim visinama u odnosu na površinu poda i zemljišta. Slika 8.2 Prelamanje talasa 98 Slika 8.3 Raspodela intenziteta pri prolasku zvuka kroz pregradu Kada zvučni signal (mehanički talas) koji prenosi energiju naiđe na neku prepreku deo upadne energije će se reflektovati od prepreka, deo će proći kroz nju a deo će u njoj biti disipiran kao što je prikazano na slici 8.3. Koeficijent refleksije se definiše kao odnos reflektovanog i upadnog intenziteta, (reflektovane i upadne energije - obe obračunate po jedinici površine u jedinici vremena): 𝑟 = 𝐼𝑟 𝐼𝑢 . (8.4) Koeficijent disipacije se računa kao odnos intenziteta disipiranog u prepreci i upadnog intenziteta: 𝛿 = 𝐼𝛿 𝐼𝑢 , (8.5) a koeficijent transmisije kao odnos intenziteta propuštenog kroz prepreku i upadnog intenziteta: 𝜏 = 𝐼𝜏 𝐼𝑢 . (8.6) Za akustiku prostorija je bitna energija koja nakon refleksije ostaje unutar prostorije te se energija disipirana u zidovima i predmetima i propuštena kroz granične površine prostorije smatra izgubljenom, a koeficijent apsorpcije definiše preko koeficijenta refleksije na sledeći način: 𝛼 = 1 − 𝑟 . (8.7) Koeficijent apsorpcije zvuka zavisi od vrste materijala i od frekvencije i teorijski može imati vrednosti između 0 i 1. Za većinu neporoznih materijala koji se koriste u građevinarstvu koeficijent apsorpcije ima male vrednosti reda veličine 10−2 (tabela 8.1 ) dok je kod poroznih materijala u proseku za red veličine veći. Odnos Iu Ir I I 101 od 10000 Hz (talasnoj dužini 0,034 m) će dominantna biti regularna refleksija sa površina reljefne strukture. Ako talasi određene frekvencije padaju na prepreku iz više pravaca refleksija od prepreke je dominantno difuzna. 8.3 Prostiranje zvuka u otvorenom prostoru Prostiranje zvuka u otvorenom prostoru, na zadovoljavajući način, opisuje zakon koji važi za slobodno zvučno polje74. U slobodnim zvučnom polju se podrazumeva da u svakoj tački postoji samo direktan zvuk koji na svom putu ne nailazi na prepreke. U aproksimaciji slobodnog zvučnog polja se takođe podrazumeva da nema pretvaranja zvučne energije u druge vidove energije te je snaga zvuka koju nosi talasni front konstantna. Podsetimo se intenzitet zvuka predstavlja snagu obračunatu po jedinici površine pa iako je snaga koju nosi talasni front ista intenzitet zvuka opada zbog povećanja površine talasnog fronta. Pošto je talasni front sfernog oblika sledi da je intenzitet: 𝐼 = 𝑊 4𝜋𝑟2 , (8.9) gde 𝑊 predstavlja ukupnu snagu koju izvor emituje u svim pravcima. Ova relacija je poznata kao zakon slobodnog zvučnog polja u kom intenzitet zvuka 𝐼 opada srazmerno kvadratu rastojanja 𝑟 od izvora zvuka. Shodno prethodnj relaciji, sledi da nivo intenziteta zvuka opadne za 6 dB ako se rastojanje od izvora udvostruči. U uslovima u kojima je broj prepreka prostiranju zvuka u otvorenom prostoru mali, zvučno polje se aproksimativno može smatrati slobodnim pa prethodno pomenuta zakonitost daje zadovoljavajuće rezultate pri proračunima. Razlika između izmerenog i proračunatoog intenziteta, koja je genearalno mala, se može smanjiti ukoliko se uračuna disipacija koja koja je prisutna usled interakcije zvuka sa vazduhom. Disipacija je posledica procesa koji se odvijaju na molekularnom nivou. Proces disipacije podrazumeva pretvaranje zvučne energije (mehaničke energije oscilovanja delića sredine) u druge oblike energije pre svega u u unutrašnju energiju medijuma. Utvrđeno je da se pri frekvencijama reda veličine kHz uticaj disipacije na malim rastojanjima (do 100 m) generalno može zanemariti, dok je njen uticaj na rastojanjima reda veličine km presudan. 74 Slobodan zvučno polje se može realizovati samo u laboratorijskim uslovima, takva prostorija je poznata kao anehoična ˶ gluvaʺ soba. Zidovi ove sobe su obloženi reljefnim konstrukcijama od materijala koji dobro apsorbuju zvuk. Reljefna struktura i upotreba posebnih materijala obezbeđuje da se refleksija zvuka svede na minimum. 102 8.4 Zvučno polje u prostorijama Zakon slobodnog zvučnog polja u zatvorenom prostoru, ni aproksimativno, ne daje zadovoljavajuće rezultate. Razlog za to leži u činjenici da na prostiranje zvuka u zatvorenom prostoru jako utiče refleksija zvuka od zidova i predmeta u prostoriji, kao i apsorpcija zvuka do koje dolazi pri svakoj refleksiji. U zatvorenim prostorijama postoji složeno zvučno polje nastalo sabiranjem direktnog i reflektovanog zvuka. Direktan zvuk dospeva iz jednog pravca a reflektovani talasi iz svih mogućih pravaca. Na slici 8.6 su prikazani pređeni putevi od izvora zvuka do prijemnika za direktan zvuk i zvuk koji nakon jedne ili više refleksija dospeva do prijemnika. Svi ovi zvučni signali su emitovani istovremeno (prenose identičnu informaciju) ali do prijemnika stižu u različitim trenucima vremena. Direktni zvuk dospeva prvi do slušaoca, dok ostali zvučni signali kasne i stižu sukcesivno jedan za drugim pošto je njihov pređeni put do slušaoca veći (videti sliku 8.6). Fizički proces nastanka sukscesivnog niza refleksija zvuka u prostorijama naziva se reverberacija. Reflektovani zvuk koji kasni za direktnim zvukom manje od 0,05 s doprinosi razumljivosti jer povećava intenzitet detektovanog zvuka. Ukoliko je vreme kašnjenja reflektovanog zvučnog signala veće od 0,05 s reflektovani zvuk nepovoljno utiče na razumljivost pošto će ga naše uho detektovati odvojeno od direktnog zvuka. Slika 8.6 Prostiranje zvuka u zatvorenom prostoru U velikim prostorijama zvuk se moze čuti i izvesno vreme, čak i nekoliko sekundi, nakon isključenja izvora kao rezultat postojanja odbijenih talasa. Kod prostorija kod kojih je prigušenje slabo, recimo kod većih praznih prostorija, često se javlja jek i odjek. Ako pretpostavimo da izgovaranje sloga traje približno 0,1 s, a brzina zvuka je oko 340 m s , onda se, ukoliko je rastojanje prepreke manje od 17 m, refktovani zvuk vraća do izvora zvuka u toku trajanja sloga. Ova pojava zove se jek. Ukoliko je pak reflektujuća površina na rastojanju većem od 17 m javlja se odjek (eho). Vreme kašnjenja je tada veće od 0,1 s 103 i reflektovani zvuk se vraća do izvora nakon završenog izgovaranja sloga. Ukoliko je intenzitet jeka i odjeka takav da ih registrujemo čulom sluha oni nepovoljno utiču na razumljivost govora. Tada je svaka nova zvučna informacija koju detektujemo delimično prekrivena zvukom koji je prethodno emitovan a koji još nije dovoljno prigušen. Jasno je da je ovo u akustičkom smislu nepovoljna karakteristika zatvorenog prostora. S druge strane, akustički nije povoljno ni kad postoji suviše velika apsorpcija jer se dobija suviše slab zvuk. Stoga, u zavisnosti od namene prostora, postoji neka optimalna vrednost prigušenja. Izgled impulsnog odziva pri pobudi prostorije Dirakovim75 impulsom prikazan je generalizovano na slici 8.7 Na kojoj je prikazana zavisnost intenziteta I vremena. Impulsni odziv počinje direktnim zvukom koji prvi stiže do prijemnika a zatim slede refleksije koje stižu s manjim ili većim kašnjenjem. Rane refleksije koje stižu odmah posle direktnog zvuka su jasnije izdvojene od kasnih refleksija. Sa slike 8.7 se vidi da intenzitet refleksija opada sa vremenom što je posledica širenja talasnog fronta, gubitaka energije pri svakoj refleksiji i disipacije u vazduhu. Obvojnica impulskog odziva prostorije, isprekidana kriva na slici 8.7, pokazuje kako intenzitet opada sa vremenom. To je približno eksponencijalna kriva čiji parametri zavise od veličine prostorije i sposobnosti površina da apsorbuju zvučnu energiju. Impulsni odzivi različitih prostorija se prvenstveno razlikuju u dužini trajanja i u strukturi ranih refleksija. Slika 8.7 Generalizovana forma impulsnog odziva prostorije Postoje tri pristupa proučavanja i modelovanja zvučnog polja u prostorijama. To su: statistički model, talasni model i geometrijski model. Svaki od pomenitih modela ima svoje prednosti i nedostatke a rezultati dobijeni njihovom primenom u većoj ili manjoj meri odstupaju od realnog zvučnog polja. Pošto je pri rešavanju konkretnih problema 75 Akustički Dirakov impuls se subjektivno doživljava kao pucanj. Pri snimanju impulsnog odziva prostorije izvor zvuka je startni pištolj, petarda, bušenje naduvanog balona, i slično. 106 rezonancije, može doći na tri različita načina. Ivične rezonance nastaju usled ponavljanja putanje zvučne energije između dve naspramne paralelne površine prostorije (slika 8.8). U stojećim talasima koji tako nastaju vrednost pritiska, odnosno nivoa zvuka, menja se samo duž jedne koordinate. Ivične rezonance su analogne ranije opisanim stojećim talasima u vazdušnom stubu zatvorenom sa obe strane. Najniža rezonantna frekvencija u paralelopipednoj prostoriji nastaje zbog ponavljanja putanje zvuka paralelno najvećoj stranici prostorije. Površinske rezonance se javljaju ponavljanjem putanje zvuka nakon refleksija od četiri površine kao što je prikazano na slici 8.8. Zvučni pritisak u ovom tipu stojećih talasa se menja duž dve koordinate. U nastajanju prostornih rezonanci učestvuju svih šest stranica prostorije ( slika 8.8), a promena zvučnog pritiska u stojećem talasu koji nastaje je prisutna u sve tri dimenzije. a) b) c) Slika 8.8 Tipovi rezonance u prostorijama: a) ivična; b) površinska; c) prostorna Geometrijski model se primenjuje za visoke frekvencije kada je talasna dužina zvuka značajno manja u odnosu na dimenzije prostorije i veličinu svih graničnih površina u njoj generalno. Zvučni talasi se prikazuju zracima koji se šire polazeći od izvora a zvučno polje se prikazuje simulacijom koja se zasniva na zanemarivanju svih talasnih fenomena zvuka. Prednost geometrijskog modela se ogleda u činjenici da se jedino ovim pristupom može predvideti struktura impulsnog odziva prostorije te je njegova primena od velikog značaja pri projektovanju prostorija čiji je akustične karakteristike bitne (koncertnih i pozorišnih dvorana, muzičkih studija i slično). 8.5 Apsorberi i difuzori u akustici prostorija Osnovni zadaci akustike prostorija u arhitekturi i građevinarstvu su obezbeđivanje razumljivosti i regulisanje intenziteta zvuka. Da bi se, u zatvorenim prostorima, pomenuto ostvarilo koriste se apsorberi i difuzori. Apsorberi smanjuju intenzitet zvuka 107 u prostoriji i time smanjuju nepoželjni eho. U osnovi dele na porozne apsorbere i rezonatore. Kombinacijom poroznih apsorbera sa rezonatorima može se ostvariti projektovani nivo apsorpcije u širokom opsegu frekvencija. Apsorberi zvuka Porozni materijali su najčešće izgrađeni od vlakana (prečnika 2 − 20 μm) koja su slučajno orijentisana i međusobno povezana vezivom (najčešće smolom). Pored vlaknastih postoje i penasti porozni materijali. Materijali koji se često koriste za pravljenje poroznih apsorbera su tekstilna vlakna, staklo i mineralni materijali. Primera radi gustina neporoznog stakla je 2500 kg m3 dok se gustina staklene vune kreće između 30 kg m3 i 200 kg m3 (u proseku oko 100 kg m3 ). Kod materijala sa otvorenim porama pore su međusobno povezane dok su kod materijala sa zatvorenim porama pore izolovane. Dominantni mehanizam apsorpcije zvučne energije kod poroznih apsorbera je trenje molekula vazduha o zidove apsorbera pri čemu veliki broj pora ima za posledicu veliku kontaktnu površinu. Zvučna energija se pretvara i u energiju deformacije samih vlakana pri čemu se ovi gubici uglavnom javljaju na višim frekvencijama. Energija zvuka se pretvara i u toplotu. U porama dolazi do naimenične kompresije i širenja vazduha pa temperatura vazduha u porama raste i dolazi do razmene toplote između vazduha i vlakana. Ovi toplotni gubici se obično javljaju na nižim frekvencijama. Za dobru apsorpciju zvuka je potrebno da akustična impedanca poroznog apsorbera bude približno jednaka akustičnoj impedanci vazduha u opsegu frekvencija od interesa. Najznačajniji faktori koji utiču na akustičnu impedancu poroznog apsorbera su nabrojani u tekstu koji sledi. Slika 8.9 Zavisnost koeficijenta apsorpcije zvuka poroznog apsorbera od frekvencije 108 1. Širina pora – uže pore generalno pružaju veći otpor strujanju vazduha te apsorpcija raste sa smanjenjem širine pora do određene vrednosti. Daljim smanjivanjem širine pora se postiže suprotan efekat pošto veoma uske pore propuštaju mali deo upadnog intenziteta (energije) zvuka te će stoga apsorpcija biti mala. 2. Debljina poroznog sloja - veća debljina materijala obezbeđuje veću apsorpciju no i ovde treba pronaći optimalno rešenje vodeći računa o otporu koji material pruža strujanju vazduza. Praksa pokazuje da se bolji rezultati postižu u ukoliko se koristi deblji sloj poroznog materiala čiji je otpor strujanju vazduha relativno mali u odnosu na slučaj kada je debljina poroznog apsorbera mala u kombinaciji sa velikim otporom strujanju vazduha. 3. Pozicija u odnosu na zid – porozne apsorbere ne treba postavljati direktno uz zidove već na rastojanju koje iznosi četvrtinu talasne dužine zvuka koji se želi oslabiti. Naime na ovom rastojanju se javljaju trbusi stojećeg talasa nastalog slaganjem upadnog talasa i talasa reflektovanog od površine zida. Maksimalna brzina oscilovanja molekula vazduha je najveća u trbuhu stojećeg talasa pa su tu najveći i gubici mehaničke energije usled trenja. Primera radi ukoliko se želi oslabiti zvuk frekvencije 100 Hz optimalno rastojanje na kom treba postaviti porozni apsorber iznosi 85 cm, dok je za frekvenciju od 1000 Hz ovo rastojanje deset puta manje. 4. Frekvencija zvuka - koeficijent apsorpcije poroznih apsorbera zvuka raste sa porastom frekvencije pri čemu zavisnost nije linearna (slika 8.9 ). Pri većim fekvencijama je brzina oscilovanja molekula vazduha veća te se povećavaju i viskozni gubici. Stoga se porozni apsorberi pre svega koriste za apsorpciju na visokim frekvencijama. 5. Struktura pora pod kojom se podrazumeva da li su pore otvorene ili zatvorene, kao i kolika je tzv. vijugavosti (engleski termin tortuosity) koja je definisana kao odnos srednje dužine toka fluida kroz pore i debljine poroznog materijala. Rezonatori značajno apsorbuju zvučnu energiju u uskoj oblasti frekvencija, oko tzv. rezonantne frekvencije. Dele se na membranske rezonatore (pločaste apsorbere) i Helmholcove rezonatore. Funkcionisanje membranskih apsorbera opisuje se modelom tega okačenog o oprugu. Membranski apsorberi se prave od ploča gipsanog kartona (šperploče, iverice, lima, lesonita, itd.), koje se postavljaju na drvene letvice ili metalne profile na određenoj udaljenosti (najčešće oko centimetar) ispred zida. Ove ploče imaju ulogu tega mase 𝑚. Debljina vazdušnog sloja iza ploče je generalno manja od talasne dužine zvuka pa se može smatrati jednom celinom. Pod dejstvom zvuka se taj vazduh 111 𝜈𝐻 = v0 2𝜋 √ 𝑆𝑜 𝑉 𝑙 , (8.15) gde je 𝑆𝑜 površina otvora uzane cevi, 𝑉- zapremina komore, 𝑙 dužina uzane cevi a v0 brzina prostiranja zvuka kroz vazduh. Otvori Helmholcovih rezonatora mogu biti različitog oblika te se tada računa ekvivalenta dužina cevi kao: 𝑙𝑒𝑞 = 𝑙 + 0,3𝐷 , (8.16) gde je 𝐷- hidraulični prečnik koji zavisi od oblika otvora. Helmholcov apsorber se prvenstveno koristi za slabljenje niskih frekvencija. U stubove i zidove hramova u antičko doba su ugrađivani glineni ćupovi koji su imali ulogu da apsorbuju zvuk i predstavljali su prve Helmholcove rezonatore. Primera radi za posudu zapremine 1 dm3 čiji je grlić dužine 2 cm i a poluprečnik otvora grlića 12 mm rezonantna frekvencija je 261 Hz. Mikroperforirani apsorber – sastoji se od jedne ploče čija je debljina mala reda veličine nekoliko milimetara. Na ploči postoji veliki broj malih otvora prečnika od 0,3 mm do 2 mm. U prostoru Između ploče i zida je vazduh ili neki porozni apsorber. Upadni zvuk u ovom slučaju pobuđuje na vibracije kako panel tako i vazduh u otvorima panela79. Vazduh u otvorima panela i vazduh u prostoru iza panela se ponašaju kao vazduh u cevi i komori Helmholcovog rezonatora. Primera radi uzmimo već razmatrani panel od gipsanih ploča čija masa jedinice površine iznosi 8,8 kg m2 , koji je postavljen na rastojanju 4 cm od zida. Debljina panela ne utiče na rezonantu frekvenciju samog panela te ćemo odve uzeti da je debljina 5 mm. Neka otvori zauzimaju 50% površine, samim tim je masa jednice površine panela duplo manja i iznosi 4,4 kg m2. Rezonantna frekvencija oscilovanja samog panela izračunata pomoću izraza 8.14 iznosi ≈ 142 Hz. Rezonantna frekvencija (modifikovanog) Helmholcovog rezonatora računata po izrazu 𝜈𝐻 = v0 2𝜋 √ 𝑆𝑜 𝑉 𝑙 = v0 2𝜋 √ 0,5𝑆 𝑆 𝑑 𝑙 u ovom slučaju iznosi ≈ 2700 Hz. Za razliku od klasičnog Helmholvcovog rezonatora koji dobro apsorbuje u oblasti niskih frekvencija mikroperforirana ploča se koristi za apsorpciju u oblasti srednjih frekvencija (nekoliko kHz) i oblasti visokih frekvencija. Ove ploče se prave od različitih materijala, u poslednje vreme se dosta koristi akrilno staklo. Difuzori 79 Vibracija panela i vazdušnog sloja iza su prethodno razmatrane. Ovde treba imat na umu da će rezonantna frekvencija biti veća u odnosu na panel istih dimenzija koji nije izbušen. Razlog je manja masa perforiranog (izbušenog) panela. 112 Refleksija zvuka na ravnim velikim površinama u unutrašnjosti prostorija je dominantno regularna te se stoga ove površine „razbijaju” na manje različitim geometrijskim oblicima. Ove strukture složene geometrije predstavljaju difuzore zvuka. Njihova uloga je da difuzno rasejavaju zvuk i da na taj način spreče fokusiranje zvučne energije u pojedinim tačkama prostora odnosno da doprinesu formiranju difuznog zvučnog polja u zatvorenom prostoru. Nastanku difuznog zvučnog polja doprinosi difuzna refleksija koja je objašnjena u jednom od prethodnih poglavlja. Refleksija na glatkim konveksnim površinama, prikazana na slici 8.12 a), takođe doprinosi nastanku difuznog zvučnog polja. Konkavne površine mogu dovesti do fokusiranja zvuka u određenoj tački (slika 8.12 b)) pa su sa stanovišta akustike prostorije generalno nepoželjne. Slika 8.12 Refleksija od glatke a) konveksne i b) konkavne površine Prvim difuzorima se mogu smatrati konveksve površine stubova u hramovima i palatama, izvajani i uklesani ornamenti u unutrašnjosti starih zdanja. Njihove dimenzije, oblik i položaj su zavisili od intuicije majstora ali je bilo iskustveno poznato da su poželjni i to ne samo zbog vizuelnog doživljaja. Naučni pristup projektovanju difuzora željenih karakteristika počeo se razvijati sedamdesetih godina prošlog veka. Postoje jednodimenzioni i dvodimenzioni difuzori. Reljefna struktura jednodimenzionih difuzora je orijentisana u jednom pravcu (žlebovi ili izbočine su međusobno paralalni), dok kod dvodimenzionih reljefna struktura nastaje u dva međusobno normalna pravca tako da udubljenja i izbočine formiraju strukturu sličnu kao kod šahovskog polja. Geometrije modernih difuzora su različite kao i vrste materijala od kojih se prave. Jedna od geometrija koja se koristi je MLS (Maximum length sequence diffusors ) prikazana na slici 8.13. Reljefna struktura ovog difuzora sastoji se od paralelnih žlebova različite širine i jednake dubine (visine). Širina žleba određuje talasnu dužinu (frekvenciju) zvuka koji će se difuzno reflektovati. Širina žleba je približno jednaka polovini talasne dužine zvuka za koju se primenjuje. Oblast talasnih dužina za koje MLS difuzor daje dobru prostornu raspodelu reflektovanog zvuka određena je variranjem širine žleba. Ova oblast je relativno uska, primera radi već na frekvencijama za oktavu višim od optimalne ovaj difuzor daje veoma mali udeo difuzne refleksije. 113 Slika 8.13 Primer geometrije MLS difuzora Slika 8.14 Primer geometrije QRD difuzora Geometrija koja je uspela da poveća opseg frekvencija na kojima dolazi do difuzne reflekcije je QRD (Quadratic-Residue Diffusors). Reljefna struktura ovog difuzora se sastoji od paralelnih žlebova jednake širine a različite dubine kao što je prikazano na slici 8.14. Broj žlebova može biti različit s tim da se bira is skupa prostih brojeva. Dubine žlebova su definisane modularnom aritmetikom za zadati broj žlebova. Poprečni presek difuzora sa 13 žlebova prikazan je na slici 8.15. Širina žleba, na slici 8.15 označena sa 𝑊𝑊 određuje maksimalnu frekvenciju za koju se difuzor primenjuje. Pri konstrukciji je širina žleba približno jednaka polovini najmanje talasne dužine zvuka za koju se difuzor primenjuje 𝑊𝑊 ≈ 𝜆𝑚𝑖𝑛 2 = v0 2𝜈𝑚𝑎𝑥 . Minimalna frekvencija za koju se difuzor primenjuje zavisi od maksimalne dubine žleba (što je dubina veća minimalna frekvencija je niža). Na minimalnu frekvenciju pored dubine žleba utiče i broj žlebova u difuzoru. Ukupna širina difuzora (na slici označena sa p) treba da bude najmanje jednaka najvećoj talasnoj 116 podeli je određen preko srednje vrednosti zvučne energije merene u petnaestominutnim intervalima. • Maksimalno dozvoljenim vrednostima nivoa buke u prostorijama, u kojima je predviđen duži boravak83 ljudi, koji su propisani Pravilnikom o dozvoljenom nivou buke u životnoj sredini i Pravilnikom o merama i normativima zaštite na radu od buke u radnim prostorijama. Primera radi Pravilnikom o dozvoljenom nivou buke u životnoj sredini propisano je da dozvoljen nivo buke u boravišnim prostorijama stambenih objekata danju (pri zatvorenim prozorima) iznosi 35 dB ukoliko se radi o izvoru buke u samom objektu ili 40 dB ukoliko se radi o izvoru buke van zgrade. • Kriterijumima za akustički kvalitet pregradnih konstrukcija koji su definisani standardom JUS U.J6. 201. U okviru ovog standarda su za različite vrste objekata (stambeni, stambeno-poslovni, škole, bolnice itd.) definisana minimalna izolaciona svojstva pregrada koje razdvajaju prostorije različitih kategorija. Primera radi minimalna zvučna izolovanost84 pregrade sa vratima između zajedničkih boravišnih prostorija stana i zajedničkog stepeništa (hodnika) u stambenim i stambeno-poslovnim zgradama, propisana pomenutim pravilnikom, iznosi 52 dB. Slika 8.17 Putevi prenosa zvuka između dve prostorije Zvuk se iz jedne prostorije u drugu prenosi preko zajedničkog zida, bočnih zidova, plafona, tavanice, otvora za provetravanje, cevi u konstrukciji itd. Prenos zvuka koje se odvija preko građevinskih elemenata koji su zajednički za dve prostorije naziva se direktni put (označen brojem 1 na slici 8.17). Prenos sporednim putem podrazumeva prenos koji se ne odvija u celosti preko zajedničkih građevinskih elemenata (sporedni 83 Za prostorije u kojima nije predviđen duži boravak ljudi (pomoćne prostorije, sanitarni čvorovi i sl.) nije definisan dozvoljen nivo buke. 84 Zvučna izolovanost je definisana izrazom 8.17. 117 putevi prenosa zvuka su na slici označeni brojevima 285, 3 i 4). Iz pomenutih razloga se pri opisivanju zvučne izolacije pravi razlika između veličina kojima se opisuje zvučna izolacija pregrada kada se zvuk prenosi isključivo direktnim putem i kad su prisutni i sporedni putevi prenosa zvuka. Standardi ISO 140, ISO 10140 iz oblasti građevinske akustike definišu veličine kojima se opisuju zvučna izolaciona svojstva pregrada kao i procedure za njihovo merenje. Neke od veličina, koje su definisane pomenutim standardima i izražavaju se u decibelima, su navedene u tabeli 8.2. Zvučna izolovanost je definisana izrazom: 𝐷 = 𝐿1 − 𝐿2 , (8.17) gde je 𝐿1 nivo jačine zvuka u predajnoj prostoriji u kojoj se nalazi izvor zvuka a 𝐿2 nivo jačine zvuka u prostoriji u kojoj je prijemnik (prijemna prostorija). Zvučna izolovanoist zavisi i od akustičkih karakteristika prijemne prostorije pošto intenzitet (nivo intenziteta) zvuka u prijemnoj prostoriji ne zavisi isključivo od od intenziteta zvuka propuštenog kroz pregradu već i od apsorpcije i refleksije u pomenutoj prostoriji. Veličina koja opisuje sposobnost zvučne izolacije građevinskog elementa, a ne zavisi od karakteristika prijemne prostorije, definisana na sledeći način: 𝑅 = 𝐿1 − 𝐿2 + 10log10 𝑆𝑠 𝐴 , (8.18) predstavlja izolacionu moć. U prethodnom izrazu je 𝑆𝑠 –površina pregrade a 𝐴 – apsorpcija prijemne prostorije. Razlika između izolacione moći i izolovanosti pregrade je faktor 10log10 𝑆𝑠 𝐴 koji ima ulogu da eliminiše uticaj akustičkih karakteristika prijemne prostorije. Primera radi izolaciona moć lakih pregrada (npr. vrata II i III klase akustičkog kvaliteta) se kreće u intervalu 20 − 30 dB , dok je za masivne zidove njena vrednost znatno veća (50 − 60 dB). Izolaciona moć je obrnuto srazmerna koeficijentu transmisije a relacija koja ih povezuje je oblika86: 𝑅 = 10 log10 1 𝜏 . (8.19) Građevinska izolaciona moć (𝑅’) definisana je na identičan način kao izolaciona moć pregrade, s tim da postoji razlika u načinu postavljanja pregrade pre merenja ovih veličina u laboratorijskim uslovima. Ukoliko se meri izolacona moć pregrada se postavlja 85 Deo prenosa sporednim putem koji se dešava isključivo preko građevinskog elementa koji nije zajednički za dve prostorije, pri čemu se isključiju cevi za provetravanje dimnjaci i slično, naziva se bočni prenos ( na slici 8.17 označen brojem 2). 86 Koeficijent transmisije građevinskih elemenata, u praksi, ima vrednosti u intervalu 0,1 − 10−8 pa se izolaciona moć kreće između 10 dB i 80 dB. 118 tako da se eliminišu svi sporedni putevi prenosa zvuka. Ako se pak meri građevinska izolaciona moć pregrada se postavlja kao u realnim87 uslovima u objektu kada su prisutni i sporedni putevi prenosa zvuka. U slučaju zvuka udara pregradna konstrukcija je pobuđena direktno te je moguće meriti samo nivo zvuka u prijemnoj prostoriji. Pri merenjima se koristi standardizovan izvor zvuka udara (uređaj koji stvara tačno određenu mehanička pobudu) dok merilo izolacione moći pregrade predstavlja nivo zvuka udara u prijemnoj prostoriji (𝐿). Tabela 8.2 Relevantni pokazatelji zvučne izolacije oznaka naziv veličine Veličine koje se koriste za opisivanje zvučne izolacije pojedinačnih građevinskih elemenata 88 R izolaciona moć D zvučna izolovanost L nivo zvuka udara Veličine koje se koriste za opisivanje zvučne izolacije pregrada u zgradama89 R’ građevinska izolaciona moć D’ građevinska zvučna izolovanost 8.6.1 Jednostruki građevinski elementi S akustičkog stanovišta gređevinski elementi (zidovi, pod, zastakljene površine, potporni stubovi i sl.) mogu biti jednostruki i višestruki. Jednostruki građevinski elementi mogu biti homogeni i nehomogeni. Nehomogeni jednostruki elementi su sastavljeni iz više slojeva koji su čvrsto povezani tako da osciluju „kao celina” u fazi (npr. zid od opeke sa slojevima maltera sa obe strane). Zvučna izolaciona moć jednostrukog građevinskog elementa prvenstveno zavisi od njegove mase po jedinici površine, elastičnih 87 Merenja se u specijalnim slučajevima izvode u samom objektu, tada se veličine obeležavaju indeksom 𝑠𝑖𝑡𝑢 (npr. 𝑅𝑠𝑖𝑡𝑢). Ova merenja su značajna stoga što se dobijaju građevinske vrednosti u realnim uslovima kada na ispoljena izolaciona svojstva osim posmatrane pregrade utiču i njoj susedne pregrade s kojima se dodiruje. 88Merenja se izvode u laboratoriji a pregrada se postavlja na poseban način tako da se eliminišu svi sporedni putevi prenosa zvuka između dve prostorije te se tako dobija veličina koja opisuje isključivo izolacionu moć pregrade. 89 Merenja se izvode u laboratoriji a pregrada se postavlja slično kao u realnim uslovima tako da se zvuk između dve prostorije može prenositi kako kroz samu pregradu (direktnimi putem) tako i sporednim putevima prenosa zvuka. 121 𝜈𝑛𝑞 = 𝜋 4√3 ℎ√ 𝐸 𝜌 (( 𝑛 𝑎 ) 2 + (( 𝑞 𝑏 ) 2 )) , (8.22) gde je ℎ - debljina pregrade, 𝑎 i 𝑏 – njena visina i širina, 𝐸 – Jangov modul elastičnosti materijala od kog je napravljena pregrada, 𝜌 – gustina pregrade, dok 𝑛 i 𝑞 opisuju red harmonika (za 𝑛 = 1 i 𝑞 = 1 u pitanju je osnovni ton). 3. Pri frekvencijama koje su značajno veće od sopstvene frekvencije oscilovanja masa pregrade ima dominantan uticaj na zvučnu izolaciju i tada generalno važi Bergerov zakon mase. 4. Do značajnog odstupanja od Bergerovog zakona dolazi i pri frekvencijama koje su bliske tzv. koincidentnoj frekvenciji. Ukoliko se upadni talas (zvuk u predajnoj prostoriji) i talas savijanja pregrade fazno poklope, u prostoru i vremenu, doći će do pojave poznate kao koincidencija koja je slična rezonanciji pošto se ogleda u povećanju amplitude oscilovanja panela. Ovo povećanje amplitude oscilovanja ima za posledicu povećanje intenziteta zvuka koji se prenosi kroz pregradu u drugu prostoriju. Slučaj kada su upadni talas i talas savijanja u fazi je prikazan na slici 8.19. Tada se, u određenom trenutku vremena, poklapaju mesta najvećeg i najmanjeg pritiska vazduha sa mestima donje i gornje amplitude talasa savijanja. Maksimalni pritisci vazduha tada padaju u područja u kojima je pregrada usled fleksionog talasa potisnuta ka prijemnoj prostoriji. Frekvencija pri kojoj dolazi do koincidencije zavisi od ugla pod kojim talasi padaju na pregradu. Koincidentna frekvencija je najmanja pri upadnom uglu od 90° i naziva se kritičnom frekvencijom odnosno graničnom frekvencijom koincidencije i iznosi: 𝜈𝑐 = v0 2 1,8 ℎ√ 𝐸 𝜌 . (8.23) U realnim uslovima na pregradu pod različitim uglovima padaju talasi različitih frekvencija pa će na svim frekvencijama većim od 𝜈𝑐 doći do slabljenja izolacione moći pregrade kao što je prikazano na slici 8.18. 122 Slika 8.18 Zavisnost izolacione moći jednostruke pregrade od frekvencije Slika 8.19 Koincidencija 8.6.2 Dvostruki građevinski elementi Dvostruki građevinski element se sastoji od dve razdvojene pregrade između kojih je vazduh i elastičan materijal koji ima odgovarajuća termoizolaciona svojstva91. Najčešće se za tu svrhu koristi mineralna vune (staklena ili kamena), sunđerasta guma s otvorenim porama, stiropor i filc. S akustičnog stanovišta delovi dvostrukog grđevinskog elementa ne osciluju kao jedna celina već defazovano. Oscilovanje dvostrukog građevinskog elementa se opisuje modelom dva tela, masa 𝑚1 i 𝑚2, koja su povezana oprugom 91 Sendvič konstrukcije se projektuju tako da pregradni zidovi imaju zadovoljavajuću termoizolacionu moć, istovremeno se postiže i bolja zvučna izolacija. 123 konstante elastičnosti 𝑘. Ovaj sistem, kao i svaki drugi, ima svoju sopstvenu (rezonantu) frekvenciju koja iznosi: 𝜈0 = 1 2𝜋 √𝑘 ( 1 𝑚1 + 1 𝑚2 ) = 1 2𝜋 √𝑘 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1𝑚2 . (8.24) pri kojoj će izolaciona moć elementa biti mala. Dvostruki građevinski element ima prednost nad jednostrukim elementom iste mase u oblasti iznad rezonantne frekvencije. Da bi postavljanje dvostrukog građevinskog elementa imalo smisla njegova rezonantna frekvencija treba da bude što manja, u praksi se teži da bude manja od 80 Hz. Pošto je za dato 𝑘 rezonantna frekvencija najmanja ukoliko pregrade imaju jednake mase, to je jedan od načina na koji se može uticati da rezonantna frekvencija bude mala.92 Na izolacionu moć dvostrukog građevinskog elementa utiče i razmak između pregrada ali i vrsta materijala između njih kao i hrapavost površine (što su unutrašnje površine hrapavije izolaciona moć je veća). Ubacivanje elastičnog materijala u međuprostor ima za posledicu smanjenje rezonantne frekvencije sistema (date izrazom 8.24) pošto se na taj način uslovno rečeno smanjuje konstanta elastičnosti međuprostora. Postavljanje elastičnog materijala utiče i da se značajno ublaži smanjenje izolacione moći elementa na frekvencijama pri kojima dolazi do rezonancije vazdušnog sloja. Sloj vazduha ima neograničen broj sopstvenih frekvencija na kojima dolazi do rezonancije (do formiranja stojećeg talasa) i posledično do smanjenja izolacione moći građevinskog elementa. Ove frekvencije su date izrazom: 𝜈𝑛 = v0 𝜆𝑛 = v0 2𝑑 𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)v0 2𝑑 𝑛 = 0, 1, 2, … , (8.25) gde je 𝑑 rastojanje između pregrada a 𝜆𝑛 talasne dužine osnovnog tona i viših harmonika sopstvenih oscilacija vazdušnog stuba zatvorenog sa obe strane. Do rezonancije dolazi pri frekvencijama za koje je ceo broj polovina talasnih dužina jednak rastojanju između pregrada. Primera radi osnovni ton sopstvenih oscilacija vazdušnog sloja debljine 10 cm,93 ograničenog sa obe strane je, ≈ 1700 Hz, dok su frekvencije viših harmonika značajno veće i ne spadaju u oblast građevinske akustike. Uloga poroznog materijala je da redukuje uticaj rezonancije vazdušnog sloja a to se postiže pretvaranjem zvučne energije u druge vidove. U poroznom materijalu se usled trenja molekula vazduha o 92 Ukoliko iz određenih pazloga nije praktično da mase oba panela budu jednake može se odstupiti od pomenutog pravila pošto do značajnog smanjenja rezonantne frekvencije dolazi pri odnosu masa koji se kreće u intervalu od 0,5 do 1. 93 Rastojanje između pregrada je u većini slučajeva 𝑑 ≤ 10 cm te su i frekvencije osnovnog tona ≥ 1700 Hz . 126 Izolaciona moć pregrade u kojoj postoje elementi koji se otvaraju računa se pomoću izraza: 𝑅 = 10 log10 1 𝜏 gde je 𝜏 rezultujući koeficijent transmisije koji se računa na sledeći način: 𝜏 = ∑ 𝜏𝑖𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 U prethodnom izrazu su 𝜏𝑖 koeficijenti transmisije pojedinih delova a 𝑆𝑖 njihove površine. Koeficijenti transmisije pojedinih delova se računaju iz njihove izolacione moći 𝑅𝑖 kao: 𝜏𝑖 = 10− 𝑅𝑖 10 8.6.4 Zaštita od udarne buke U građevinskoj akustici se buka deli na buku prenešenu vazduhom i na udarnu buku. Ova podela je napravljena iz razloga što postoji razlika u načinu i putevima prenošenja, procedurama merenja i sprečavanje prenosa zvuka nastalog na različite načine. Pod udarnom bukom se podrazumeva buka koja nastaje direktnim mehaničkim dejstvom po elementima građevinskih konstrukcija. Udarna buka najčešće nastaje hodanjem po podu ali i usled vibracija kućnih aparata koji su oslonjeni na pod i pomeranjem nameštaja. U udarnu buku se svrstava i buka koja nastaje usled popravki u susednim stanovima ali i dečijom igrom. Materijali od kojih se prave elementi građevinskih konstrukcija imaju mnogo veću akustičnu impedancu u odnosu na vazduh te se zvuk kroz njih mnogo brže prostore i stiže na veće razdaljine uz male gubitke zvučne energije. Velike akustične impedance građevinskih materijala od kojih se prave elementi nosećih konstrukcija ograničavaju efikasnost zvučne zaštite koja se realizuje na putu prenosa udarnog zvuka. Slabljenje na putu prenosa, kroz elemente konstrukcije, može se realizovati ubacivanjem diskontinuiteta (stvaranjem prekida i ubacivanjem materijala sa manjom akustičnom impedancom) ukoliko je to moguće. Efikasna zaštita od udarnog zvuka ostvaruje se pre svega na mestu nastanka postavljanjem elastičnog materijala između izvora udarnog zvuka i konstrukcije. Ako izvor udarne buke ne menja svoj položaj u objektu elastični oslonac, koji je najčešće napravljen od gume u kombinaciji sa oprugama, se postavlja 127 samo pod izvor. Elastična svojstva oslonca moraju biti prilagođena masi izvora buke. Ukoliko izvor udarne buke nije stacionaran i može delovati na većoj površini elastični sloj se postavlja po celoj površini poda postavljanjem plivajućeg poda (slika 8.21) ili mekanog finalnog podnog sloja (tepiha i itisona). Konstrukcija plivajućeg poda sastoji se od elastičnog sloja i dodatne mase koja se postavlja preko njega, ulogu dodatne mase najčešće ima cementna košuljica. Bez obzira da li se zaštita od udarne buke postavlja lokalno ili po celoj površini poda ovaj sistem se opisuje modelom tega mase 𝑚 koji je oprugom konstante elastičnosti 𝑘 povezan za oslonac (građevinsku konstrukciju). Prinudne oscilacije ovog sistema odvijaju se pod mehaničkim dejstvom izvora udarne buke. Pri prinudnim oscilacijama može doći do rezonancije a rezonanta frekvencija pored mase sistema i njegovih elastičnih svojstava zavisi i od faktora prigušenja. Uloga elastičnog oslonca i plivajućeg poda je da smanji intenzitet sile kojom izvor udarnog zvuka deluje na konstrukciju. Smanjenje intenziteta mehaničke pobude (sile) ostvaruje se na frekvencijama koje su veće od rezonantne frekvencije sistema (elastičnog oslonca ili plivajućeg poda). Stoga se ovaj elastični mehanički sistem projektuje tako da njegova rezonantna frekvencija bude mala, reda veličine nekoliko desetina herca. Pri projektovanju treba voditi računa i o tome da rezonantna frekvencija bude znatno manja od frekvencije kojom izvor udarnog zvuka stvara mehaničku pobudu (frekvencije prinudne sile). Slika 8.21 Plivajući pod u kupatilu i prostoriji sa parketom Zaštita od udarnog zvuka u prijemnoj prostoriji izvodi se postavljanjem spuštenog plafona ili dodatnih obloga na zidovima. U oba slučaja je u pitanju dvostruki građevinski element sa slojem vazduha i nekog elastičnog materijala između. 128 8.7 Pitanja i zadaci za samostalan rad 1. Koliki je je nivo intenziteta zvuka frekvencije čiji intenzitet iznosi 10−8 W m2 ? 2. Izračunati intenzitet mehaničkih talasa frekvencije 300 Hz ako je poznato da nivo intenziteta zvuka iznosi 60 dB. 3. Šta je zvuk? 4. Definisati vreme reverberacije. 5. Kako se u prostoriji određene zapremine može uticati na vreme reverberacije? 6. Izračunati sopstvenu frekvenciju oscilovanja laganog panela, napravljenog od gipsanih ploča debljine 15 mm čija masa po jedinici površine iznosi 11 kg m2 , postavljenog na rastojanju 4 cm od zida pri atmosferskom pritisku od 101000 Pa. 7. Opisati Helmholcov rezonator i ukratko objasniti kako dolazi do apsorpcije zvučne energije u njemu. 8. Grafički prikazati puteve prenosa zvuka između dve prostorije i označiti prenos sporednim putem. 9. Pomoću Bergerovog zakona, u aproksimaciji difuznog zvučnog polja, proceniti izolacionu moć pregrade na frekvenciji 2000 Hz ako je poznato da masa po jedinici površine pregrade iznosi 500 kg m2, a zatim na osnovu izolacione izračunati koeficijent transmisije pregrade. 10. Kako nastaje udarna buka? 131 Ukupan svetlosni fluks izvora predstavlja ukupnu snagu koju izvor emituje u svim pravcima. Objektivna jedinica za fluks je vat (W). Subjektivna jedinica za fluks je lumen (lm). Jednaki objektivni fluksevi svetlosti različitih talasnih dužina neće izazvati isti osećaj osvetljenosti. Prosečno ljudsko oko je po danu najosetljivije na talasnu dužinu od 555 nm. Objektivnoj snazi svetlosti od 1 W, talasne dužine 555 nm, odgovara vizuelni fluks od 683 lm. Za svetlost ostalih talasnih dužina je ova vrednost manja95. Relativna oseljivost oka definisana kao odnos svetlosnog fluksa za svetlost talasne dužine 555 𝑛𝑚 i fluksa svetlosti talasne dužine 𝜆, koji izazivaju isti osećaj osvetljenosti, prikazana je na slici 9.2. Jačina svetlosnog izvora Izvori svetlosti koji emituju jednako u svim pravcima nazivaju se izotropni. Jačina izotropnog svetlosnog izvora definisana je kao fluks koji se emituje u jediničnom prostornom uglu. Da bismo definisali prostorni ugao potrebno je da izvor svetlosti postavimo u centar zamišljene lopte. U centar lopte potrebno je postaviti i vrh konusa kao što je prikazano na slici 9.3. Prostor u unutrašnjosti konusa ograničen kalotom koju na lopti odseca konus određuje prostorni ugao. Mera prostornog ugla je odnos površine kalote 𝑆 i kvadrata poluprečnika lopte: 𝛺 = 𝑆 𝑟2 . (9.2) Prostorni ugao se izražava u sterradijanima (sr) iako realno gledano nema jedinicu. Pošto površina lopte iznosi 4𝜋𝑟2, pun prostorni ugao oko neke tačke ima vrednost 4𝜋 sr. 95 Za belu polihromatsku svetlost jednom lumenu odgovara objektivni fluks od 0,0048 W (1W ≈ 208 lm). Slika 9.3 Prostorni ugao Slika 9.2 Normirana osetljivost ljudskog oka na različite talasne dužine 132 Kada se ukupan fluks koji emituje izotropni izvor podeli sa punim prostornim uglom dobija se njegova jačina (intenzitet): 𝐼 = 𝜙 4𝜋 . (9.3) Ukoliko izvor setlosti nije izotropan jačina svetlosnog izvora se razlikuje u različitim pravcima. Ako u određenom pravcu kroz prostorni ugao 𝑑𝛺 prolazi fluks 𝑑𝜙 jačina svetlosnog izvora u tom pravcu iznosi: 𝐼 = 𝑑𝜙 𝑑𝛺 . (9.4) Objektivna jedinica za jačinu svetlosnog izvora je W sr a subjektivna je kandela (cd)96. Sjajnost Izvori svetlosti koji se ni aproksimativno ne mogu smatrati tačkastim opisuju se veličinom koja se naziva sjajnost. Sjajnost je definisana kao fluks koji izvor emituje obračunat po jedinici površine i jedinici prostornog ugla u posmatranom pravcu. Objektivna jedinica za sjajnost je W m2sr , dok je odgovarajuća vizuelna jedinica nit (nt = cd m2). Sjajnost površine može biti posledica emisije svetlosti, refleksije ili pak transmisije. Ovako definisana veličina najbliže opisuje ono što u procesu viđenja opisujemo kao sjaj.97 Razmotrimo izotropan izvor svetlosti konačnih dimenzija kao što je prikazano na slici 9.4. Jednostavnosti radi uzmimo da je površina 𝑆 koja emituje svetlost kružnog oblika. Ovakav izvor za posmatrača ima različit sjaj iz različitih uglova. Vizuelni doživljaj je različit, pošto se 96 Kandela je jedina vizuelna jedinica među sedam osnovnih fizičkih jedinica u Internacionalnom sistemu. 97 Doživljaj sjaja površine je srazmeran sjajnosti, no između njih ne postoji linearna zavisnost. Na doživljaj sjaja pored sjajnosti posmatrane površine utiče sjajnost neposredne okoline, boja površine i neposrednog okruženja, dimenzije površine, nivo adaptacije oka uslovima vidljivosti (veličina otvora zenice) itd. Slika 9.4 Sjajnost svetlosnog izvora 133 veličina površine sa koje se emituje svetlost, gledano iz različitih uglova, razlikuje. Posmatrač vidi projekciju površine 𝑆, na ravan koja je normalna na pravac posmatranja. Ova projekcija iznosi: 𝑆𝑛 = 𝑆 cos 𝜃 , (9.5) gde je 𝜃 ugao koji zaklapaju normala na emitujuću površinu i pravac posmatranja. Sjajnost izotropnog izvora svetlosti čije se dimenzije ne mogu zanemariti zavisi od ugla posmatranja i u konkretnom primeru iznosi: 𝐿 = 𝜙 𝑆𝑛𝛺 = 𝐼 𝑆 cos 𝜃 . (9.6) Izvori svetlosti čija sjajnost ne zavisi od pravca posmatranja nazivaju se Lambertovi izvori. U ovu grupu prvenstveno spadaju sekundarni izvori svetlosti koji reflektuju ili propuštaju svetlost emitovanu od strane drugih (primarnih) izvora. Ovi izvori nisu izotropni, što je uočljivo na slici 9.5. Jačina Lambertovog izvora svetlosti najveća je u pravcu normale na površinu izvora (𝐼0), dok u pravcu koji sa normalom zaklapa ugao 𝜃 iznosi: Prethodni izraz je poznat kao Lambertov zakon. Površine koje difuzno reflektuju svetlost ponašaju se kao Lambertovi izvori, pošto se jačina (intenzitet) difuzno reflektovane svetlosti menja saglasno Lambertovom zakonu. Primer ovakvog izvora su zidovi prostorije od kojih se svetlost dominantno difuzno reflektuje. Objekti koji difuzno rasejavaju svetlost koja prolazi kroz njih aproksimativno predstavljaju Lambertove izvore svetlosti. Primer je nebo pri oblačnom danu. Osvetljenost Srednja osvetljenost površine (E) definiše se kao fluks koji pada po jedinici površine: Slika 9.5 Jačina Lambertovog izvora svetlosti 𝐼𝜃 = 𝐼0 cos 𝜃. (9.7) 136 10 JEDNOSMERNA ELEKTRIČNA STRUJA Električna struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanih čestica. Ukoliko se smer kretanja naelektrisanih čestica ne menja tokom vremena, električna struja je jednosmerna. U pogledu sposobnosti da provode električnu struju materijali se dele na provodnike, izolatore i poluprovodnike. Električnu struju u čvrstim provodnicima (metalima) čini usmereno kretanje slobodnih elektrona koji se mogu kretati po celoj zapremini metala. U rastvorima (rastopima) soli, baza i kiselina (tzv. elektrolitima) električnu struju čini usmereno kretanje pozitivno i negativno naelektrisanih jona. Za razliku od provodnika, izolatori ne poseduju slobodne nosioce naelektrisanja i pružaju veliki otpor proticanju električne struje 99. Tipični predstavnici izolatora su drvo, plastika, guma itd. Sposobnost poluprovodnika da provode električnu struju se menja od velike do veoma male, što zavisi od niza faktora kao što su npr. temperatura i prisustvo drugih materijala (tzv. primesa). Električnu struju u poluprovodnicima čini usmereno kretanje elektrona i šupljina100. Tipični čisti poluprovodnici su germanijum i silicijum. 10.1 Jačina električne struje Kroz provodnik protiče električna struja ukoliko između krajeva provodnika postoji razlika potencijala, odnosno napon 𝑈. U provodniku se tada uspostavlja električno polje pod čijim uticajem dolazi do usmerenog kretanja slobodnih elektrona. Protok naelektrisanja kroz provodnik se opisuje jačinom električne struje. Ako količinu naelektrisanja koja protekne kroz poprečni presek provodnika u toku vremena 𝑡 podelimo sa vremenom, dobijeni količnik predstavlja srednju jačinu električne struje: 𝐼 = 𝑞 𝑡 . (10.1) 99 Ukoliko se izolator nađe u veoma jakom električnom polju može doći do proboja tj. do jonizacije atoma što za posledicu ima proboj dielektrika (provođenje električne struje). 100 Šupljina je upražnjeno mesto koje nastaje kad elektron napusti svoj položaj. Ovo upražnjeno mesto se ponaša kao nosilac pozitivnog naelektrisanja. 137 Drugim rečima, srednja jačina električne struje po definiciji predstavlja količinu naelektrisanja koja protekne kroz poprečni presek provodnika u jedinici vremena. Ako se protok naelektrisanja menja u toku vremena, definiše se trenutna jačina električne struje: 𝑖 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 , (10.2) koja predstavlja prvi izvod količine naelektrisanja po vremenu101. Jedinica za jačinu električne struje u SI sistemu je amper (A)102. Jačina električne struje je ista na svim poprečnim presecima provodnika. U protivnom bi se naelektrisanja nagomilavala u određenim delovima provodnika. Jačina električne struje je skalarna veličina, ali joj je iz praktičnih razloga pripisan smer. Dogovorom je utvrđeno da se pod smerom proticanja električne struje podrazumeva smer u kom bi se pod datim uslovima kretala pozitivna naelektrisanja. Slobodni nosioci naelektrisanja u provodnicima su elektroni - negativno naelektrisane čestice. Stoga je smer proticanja električne struje kroz provodnik suprotan od smera kretanja elektrona u njemu. 10.2 Izvor elektromotorne sile Razmotrimo šta se dešava ako dve metalne kugle naelektrisane različitim količinama pozitivnog i negativnog naelektrisanja spojimo pomoću dva provodnika. Jasno je da će se elektroni, kroz oba provodnika, kretati ka kugli višeg potencijala. Ovaj proces se odvija veoma brzo i prestaje kad se električni potencijali kugli izjednače. Da bi kroz provodnike struja stalno proticala potrebno je održavati razliku potencijala između kugli, drugim rečima potrebno je stalno nadoknađivati elektrone na kugli negativnog potencijala. To znači da u jednom delu ovog zatvorenog kola treba stalno razdvajati naelektrisanja, a to je moguće samo ako se vrši rad protiv električnih sila. Taj deo (element) strujnog kola naziva se izvorom elektromotorne sile odnosno izvorom napona ili izvorom struje103. U 101 Trenutne vrednosti vremenski promenljivih veličina u kolima električne struje obeležavaju se malim slovima. 102 Kroz električne instalacije u našim domovima teče električna struja reda veličine desetak ampera. 103 Prvi izvor elektromtorne sile konstruisan je krajem osamnaestog veka. Tada su, kao i danas, Italijani voleli da jedu žablje batake. Spremajući pomenuto jelo u kući profesora anatomije Galvanija neko je uočio da su se noge mtrve žabe zgrčile dok su sečene na metalnom služavniku. Galvani je proučavao ovu pojavu verujući da je pronašao izvor životne snage. U tom pogledu je bio u zabludi, ali ga je sa druge strane samo korak delio od 138 svakom izvoru elektromotorne sile postoji neki mehanizam koji pokreće nosioce naelektrisanja u suprotnom smeru od smera sile kojom na njih deluje električno polje. Da bi do ovog došlo potrebno je pretvarati neki drugi vid energije u električnu energiju. Elektromotorna sila ℰ definiše se preko količine pretvorene energije i brojno je jednaka radu koji se izvrši pri pomeranju jediničnog pozitivnog naelektrisanja od negativnog do pozitivnog pola izvora unutar samog izvora: ℰ = 𝐴 𝑞 . (10.3) Jedinica za elektromotornu silu u SI sistemu je volt (V). Iako naziv elektromotorna sila ne odgovara fizičkoj prirodi ove veličine, on se koristi i danas. Izvor struje (napona) ne stvara naelektrisanja već poput neke pumpe usmereno pokreće ona koja već postoje u sistemu. Često se pravi paralela između vodene pumpe i izvora elektromotorne sile. Voda u prirodi teče sa veće nadmorske visine ka manjoj, pri tome se gravitaciona potencijalna energija vode smanjuje. Pomoću pumpe vodu možemo podići iznad nivoa mora i povećati njenu gravitacionu potencijalnu energiju. Energiju za vršenje ovog rada pumpa npr. dobija na račun sagorevanja goriva u njoj. Slično tome u baterijama se na račun hemijske energije razdvajaju naelektrisanja odnosno hemijska energija se pretvara u električnu potencijalnu energiju. U hidroelektranama se mehanička energija vode pretvara u električnu. U termoelektranama se toplota pretvara u mehaničku energiju a potom u električnu. U nuklearnim elektranama se nuklearna energija dobijena u fisionim reakcijama na sličan način pretvara u električnu energiju. U fotoćelijama se energija elektromagnetnih talasa, između ostalog i svetlosti, pretvara u pronalaska izvora napona. Promaklo mu je da do grčenja dolazi samo ukoliko su služavnik i nož od različitog metala (npr. bakra i cinka). Prvi izvor elektromotorne sile konstruisao je Alesandro Volta. On je uronio ploče od cinka i bakra u vodeni rastvor sumporne kiseline. Ploče su se naelektrisale nakon uranjanja, bakarna pozitivno a cinkova negativno. Ploče je zatim povezao provodnikom. Kroz provodnik je potekla električna struja koja je tekla satima. Interesantno je bilo to da razlika potencijala između ploča nije zavisila od veličine samih ploča. Volta je uočio da se napon povećava ako se napravi redna veza nekoliko ovakvih izvora, odnosno ako se izvori spoje tako da se bakarna elektroda jednog izvora poveže sa cinkovom elektrodom drugog i tako redom. Slika 10.1 Strujno kolo 141 gde je 𝐼 jačina električne struje u kolu, ℰ elektromotorna sila izvora, a 𝑅𝑢 ukupan otpor strujnog kola. Ukupan otpor, u ovom jednostavnom strujnom kolu, pored otpora provodnika u sebi sadrži i otpor izvora elektromotorne sile koji se često naziva unutrašnji otpor. Unutrašnjem otporu kola doprinosi i električni otpor mernog instrumenta (npr. ampermetra) ako je on priključen u kolo, kao i otpor prekidača ako on u kolu postoji. U većini slučajeva je otpor provodnika priključenih na izvor napona mnogo veći od unutašnjeg otpora u kolu, te se zadovoljavajući rezultati dobijaju ako se u proračunu ukupan otpor strujnog kola aproksimira ukupnim otporom provodnika 𝑅𝑢 ≈ 𝑅. 10.4 Rad i snaga električne struje Pri proticanju struje kroz provodnik dolazi do pretvaranja električne energije u toplotu i do zagrevanja provodnika107. Razmotrimo od čega zavisi količina transformisane električne energije ukoliko struja stalne jačine 𝐼 protiče kroz provodnik električnog otpora 𝑅 između čijih krajeva vlada razlika potencijala ∆𝜑, odnosno napon 𝑈. Neka kroz poprečni presek provodnika u toku vremena 𝑡 prođe količina naelektrisanja 𝑞 = 𝑁𝑒. Srednja jačina električne struje kroz provodnik je po definiciji: 𝐼 = 𝑞 𝑡 = 𝑁𝑒 𝑡 . (10.12) Naelektrisanja koja se u provodnicima usmereno kreću su elektroni. Oni se pod dejstvom električnog polja kreću od mesta nižeg ka mestima višeg potencijala108. Ovo usmereno kretanje elektrona praćeno je smanjenjem njihove električne potencijalne energije. Električna potencijalna energija 𝑁 elektrona smanji se za iznos: ∆𝑊 = 𝑁𝑒∆𝜑 = 𝑁𝑒𝑈 . (10.13) Energija u prirodi ne nestaje već se transformiše u neki drugi vid energije, pri čemu ukupna energija ostaje nepromenjena109. Smanjenje električne potencijalne energije u ovom slučaju dovodi do povećanja kinetičke energija elektrona za isti taj iznos. Priraštaj kinetičke energije se dalje transformiše u unutrašnju energiju na sledeći način. Krećući 107 Ova pojava ima veliku praktičnu primenu u uređajima u kojima se električna energija pretvara u toplotu, kao što su: električni šporet, bojler, električna grejalica, pegla itd. 108 Smer električne struje je suprotan. 109 Zakon održanja energije je jedan od fundamentalnih zakona fizike. 142 se kroz materijal elektroni se sudaraju sa pozitivnim jonima i u tim sudarima im predaju svoju kinetičku energiju na račun koje se povećava unutrašnja energija materijala, odnosno njegova temperatura. Jasno je da do povećanja unutrašnje energije dolazi na račun smanjenja električne energije kao i da se ova transformacija energije odvija u skladu sa zakonom održanja energije. Promena električne energije može se izraziti i na sledeći način: ∆𝑊 = 𝑈𝐼𝑡 . (10.14) Ova promena električne energije jednaka je radu koji vrši električna sila nad naelektrisanjima u provodniku ∆𝑊 = 𝐴. U kombinaciji sa Omovim zakonom prethodni izraz se može napisati na još dva načina: 𝐴 = 𝐼2𝑅𝑡 = 𝑈2 𝑅 𝑡 . (10.15) Električna energija, izražena na jedan od ova tri načina, se pretvara u druge vidove energije110. Deljenjem prethodnih izraza sa vremenom dobija se snaga: 𝑃 = ∆𝑊 𝑡 = 𝐴 𝑡 , (10.16) 𝑃 = 𝑈𝐼 = 𝐼2𝑅 = 𝑈2 𝑅 . (10.17) Da li veliki električni otpor111 provodnika znači da se na njemu oslobađa velika snaga? Sam podatak o električnom otporu provodnika nije dovoljan da bismo doneli zaključak. Pri proticanju iste jačine električne struje kroz različite otpornike veća snaga se oslobađa na otporniku većeg električnog otpora. Ukoliko različite otpornike povežemo na isti izvor napona najveća snaga se oslobađa na otporniku čiji je električni otpor najmanji. Elektrodistribucija naplaćuje utrošenu električnu energiju koja je u našim domaćinstvima pretvorena u druge vidove energije: svetlosnu, toplotnu ili mehaničku. 110 Pri proticanju električne struje kroz grejače u bojlerima jedan deo električne energije troši se na povećanje temperature (zagrevanje) samog grejača a drugi na zagrevanje vode. Klasične električne sijalice sa vlaknom u vidljivu svetlost pretvore manje od 5% električne energije, ostalo se pretvori u infracrveno zračenje i toplotu. 111 Električni otpor 𝑅 naziva se još i omski odnosno termogeni otpor. 143 Na računima koje dobijamo od elektrodistribucije utrošena električna energija je izražena u kWh (kilovat časovima): 1 kWh = 103 J s ∙ 3600 s = 3,6 ∙ 106 J . (10.18) Primera radi, za zagrevanje jednog litra vode od sobne temperature do ključanja potrebna je količina toplote od: 𝑄 = 𝑚𝑐𝑣 ∆𝑡 = 1 kg ∙ 4190 J kg°C ∙ (100 − 22)°C = 326820 J Q ≈ 0,09 kWh. (10.19) Realno je utrošena veća količina električne energije od proračunate jer se pored vode zagrevala i posuda, okolni vazduh, sam grejač i radna ploča šporeta. 10.5 Redna veza otpornika Neka je u kolu povezano nekoliko otpornika redno jedan iza drugog, tako što je na kraj jednog povezan početak drugog. Ova redna (serijska) veza otpornika spojena je na izvor napona. Jačina struje kroz sve otpornike je ista. Zbir padova napona na otpornicima koji su redno vezani jednak je ukupnom padu napona odnosno elektromotornoj sili izvora. Pomenute tvrdnje koje se odnose na jačinu struje i napon su eksperimentalne činjenice koje imaju i svoje teorijsko objašnjenje. Napravimo analogiju sa proticanjem fluida kroz cev različitog poprečnog preseka. Protok fluida na svakom preseku je isti jer se fluid ne može nagomilavati, nestajati niti stvarati u samoj cevi. Pri proticanju električne struje kroz provodnike, električno polje ne dozvoljava nagomilavanje naelektrisanja u pojedinim delovima provodnika. U električnom kolu ne može doći do stvaranja novog ili nestanka postojećeg naelektrisanja, shodno zakonu održanja količine naelektrisanja. Naelektrisane čestice smanjuju električnu energiju krećući se usmereno kroz provodnike (otpornike), a povećavaju električnu energiju krećući se kroz izvor napona. Ukupna promena električne energije je nula pa je stoga i zbir padova napona na redno vezanim otpornicima jednak elektromotornoj sili (naponu) izvora.