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Mathematik macht Freu(n)de AB – Bogenlänge
Gesucht ist die dargestellte Bogenlänge l des Graphen von f im Intervall [a; b]. Wir nähern die Bogenlänge durch Streckenzüge an. Mit jeder Verfeinerung kann der Streckenzug insge- samt nur länger werden. Warum? Jede noch so feine Zerlegung kann nicht länger als die Bogenlänge l sein. Warum? Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist eine Strecke.
Der Grenzwert ist die Bogenlänge.
Bogenlänge näherungsweise berechnen
Die Bogenlänge l des Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Intervall [a; b] ist
l =
∫ (^) b a
√ 1 + f ′( x )^2 d x. Auf der Rückseite erfährst du warum.
Bogenlänge
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 2 · x + 1. a) Zeichne rechts den Graphen von f ein. Ermittle die Bogenlänge von f in [0; 3] ohne obige Formel. b) Berechne die Bogenlänge von f in [0; 3] mit der Formel.
a) l =
32 + 6^2 =
b) l =
∫ (^3) 0
√ 1 + 2^2 dx =
5 · x
∣∣ ∣
3 0
Strecke
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) =
( x − (^49)
) (^32)
. Berechne die Bogenlänge von f in [1; 4].
f ′(x) =
( x −
) (^12)
1 + f ′(x)^2 = 1 +
( x −
)
4 ·^ x
l =
∫ (^4) 1
√ 9 4
· x dx =^3 2
∫ (^4) 1
x 12 dx =^3 2
· x 32
∣∣ ∣
4 1
Bogenlänge
Datum: 1. September 2020
Mathematik macht Freu(n)de AB – Bogenlänge
Wir sehen uns die Steigung einer differenzierbaren Funktion f in dem Intervall [a; b] an. Stelle eine Formel für die Steigung k der Sekante durch die Punkte A und B auf:
k =
f (b) − f (a) b − a „ Mittlere Änderungsrate^ von^ f^ in^ [ a ;^ b ]“ Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung garantiert uns (mindestens) eine Stelle s im Intervall mit
f ′(s) = f^ (b)^ −^ f^ (a) b − a
. Steigung einer Tangente
Steigung der Sekante Mehr dazu findest du am Arbeitsblatt – Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
f ist eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall der Länge ∆x. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung garantiert uns (mindestens) eine Stelle s im Intervall mit
f ′(s) =
∆y ∆x ⇐⇒^ ∆y^ = ∆x^ ·^ f^
′(s)
Stelle eine Formel für die Länge L der Sehne in Abhängigkeit von ∆x und f ′(s) auf.
L =
√ (∆x)^2 + (∆y)^2 =
√ (∆x)^2 · (1 + f ′(s)^2 ) = ∆x ·
√ 1 + f ′(s)^2
Sehnenlänge
Wir teilen das Intervall [a; b] in n Teile mit gleicher Breite ∆x. Im Bild ist n = 3.
In jedem Teilintervall nähern wir den Bogen wie zuvor durch eine Sehne an.
Die Länge der i. ten Sehne beträgt dann
L i =
√ 1 + f ′(s i )^2 · ∆x
mit einer geeigneten Zwischenstelle s i. Die Gesamtlänge des Streckenzugs ist
L 1 + L 2 + · · · + L n =
∑^ n i =
L i =
∑^ n i =
√ 1 + f ′(s i )^2 · ∆x.
Das ist genau eine Zwischensumme beim Integrieren von g(x) =
√ 1 + f ′(x)^2 in [a; b].
Der Grenzwert
∫ (^) b a
g(x) dx =
∫ (^) b a
√ 1 + f ′( x )^2 d x ist die Bogenlänge l.
Verfeinerung und Grenzwert
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