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AUFGABENSAMMLUNG – POLYNOMFUNKTIONEN
Inhaltsverzeichnis
- Quadratische Funktionen 2
- Quadratische Gleichungen 6
- Linearfaktorzerlegung 13
- Polynomfunktionen 15
Zur Bearbeitung dieser Aufgabensammlung empfehlen wir die folgenden Materialien: X Arbeitsblatt – Quadratische Funktionen (Ausarbeitung) X Arbeitsblatt – Quadratische Gleichungen (Ausarbeitung) X Arbeitsblatt – Linearfaktoren (Ausarbeitung) X Arbeitsblatt – Polynomfunktionen (Ausarbeitung) X Arbeitsblatt – Polynomdivision (Ausarbeitung) Weitere Informationen und gelöste Aufgaben befinden sich im Kompetenzheft – Polynomfunktionen.
In dieser Aufgabensammlung befinden sich am Ende jedes Abschnitts die Endergebnisse der Aufgaben.
Kompetenzmaterialien – Quadratische Funktionen
Das Mathematik macht Freu(n)de-Team entwickelt eigene Aufgabenstellungen. Sie werden mit dem Projektlogo gekennzeichnet. Diese Aufgaben werden unter einer Creative Commons BY-NC-ND 4.0 Lizenz bereitgestellt. Das bedeutet:
- Die Aufgaben stehen kostenfrei zur Verfügung.
- Es dürfen auch nur einzelne oder mehrere Aufgaben aus der Aufgabensammlung für nicht-kommerzielle Zwecke (Lehre, Übungen, Prüfungen, etc.) kopiert werden. In diesem Fall muss der Ursprung der Aufgabe aber z.B. anhand des Logos erkennbar sein.
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Wie darf ich die Aufgaben verwenden?
Datum: 24. Februar 2021.
- Quadratische Funktionen
1.1. Ermittle jeweils die Gleichung der quadratischen Funktion in Scheitelpunktform.
1.2. Eine quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Punkt S = (2 | 5) und verläuft durch den Punkt P = (− 1 | −22).
1) Ermittle die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform. 2) Forme die Gleichung der Parabel in Polynomform um.
1.3. Eine quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt S = (4 | 7) und eine Nullstelle bei x = 2. Ermittle die Funktionsgleichung in Polynomform.
1.4. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen von f ( x ) = 0 , 5 · x^2 − 8. Fülle die Wertetabelle aus und skizziere den Funktionsgraphen im Intervall [−5; 5].
x f ( x ) − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5
1.5. Ermittle den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion durch Umformen in Scheitelpunktform. Entscheide, ob der Scheitelpunkt ein globales Maximum oder ein globales Minimum ist.
a) f ( x ) = x^2 + 4 · x − 3 b) g ( x ) = − 2 · x^2 − 16 · x − 15 c) h ( x ) = 3 · x^2 − 8 · x + 2
1.12. Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit f ( x ) = − a · x^2 + c.
a) In welchem Punkt schneidet der Graph der Funktion f die vertikale Achse? b) Wenn f (2) = b ist, dann ist f (−2) =.
c) Für welchen Wert von c hat die Funktion f genau eine Nullstelle?
1.13. Die quadratische Funktion f hat den Scheitelpunkt S = (1 | 2). Der Graph verläuft durch den Punkt P = (0 | 4).
a) Erstelle eine Gleichung der Funktion f in Polynomform. b) Begründe ohne Rechnung, warum die Funktion keine Nullstelle in R haben kann.
1.14. Begründe, warum die folgende Ungleichung für alle Zahlen a , b und c stimmt:
a^2 + b^2 + c^2 + 49 ≥ 4 · a − 6 · b + 12 · c
Für welche Zahlen a , b und c sind beide Seiten gleich groß?
1.15. Für ein Computerspiel wurde ein einfaches UFO konstruiert.
Die obige Abbildung zeigt eine Querschnittsfläche des UFOs. In dieser werden die Kuppel und der Unterbau durch die quadratischen Funktionen f 1 und f 2 modelliert.
1) Stellen Sie mithilfe der Abbildung eine Funktionsgleichung von f 1 auf.
1.16. Ein kürzlich eröffneter Vergnügungspark ist ein beliebtes Ausflugsziel in der Region. Beim Eingang zum Ver- gnügnungspark steht ein Torbogen. Dieser wird durch einen Teil des Graphen der Funktion mit folgender Gleichung beschrieben:
y = 9 − x^2 x, y... Koordinaten in Metern (m)
Dabei wird der ebene Boden durch die x -Achse beschrieben. Bei einer Parade muss ein 4 Meter hoher Festwagen durch den Torbogen geschoben werden. Nach oben hin muss ein senkrechter Minimalabstand von 10 cm eingehalten werden (siehe Skizze – nicht maßstabgetreu).
1) Berechnen Sie, welche Breite b der Festwagen maximal haben darf.
1.17. Ein Wasserstrahl tritt in einer Höhe von 1 m aus. Nach 3 m horizontaler Entfernung vom Austrittsort erreicht der Strahl eine maximale Höhe von 2 , 5 m.
1) Ermitteln Sie jene quadratische Funktion, welche die Höhe h des Wasserstrahls in Abhängigkeit von der horizontalen Entfernung x vom Austrittsort des Wassers beschreibt.
- 3 2 2) − x ( ·^18 ) = x (^5 f + 4 2 + 3) x (− ) = x (^4 f 5 − 2 x ·^12 ) = x (^3 f + 1 2 3) − x ( · 2 − ) = x (^2 f + 4 2 3) − x ( ·^14 ) = x (^1 f 1.
7 − x · + 12 2 x · 3 − = y 2) + 5 2 2) − x ( · 3 − = y 1) 1.
21 − x · 14 − 2 x ·^74 − ) = x ( f 1.
1. 8)| − (0 Scheitelpunkt:
- | (4 und 0) | 4 −( Nullstellen:
5 4 3 2 1 0 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − x
5 , 4 0 5 , 3 − 6 − 5 , 7 − 8 − 5 , 7 − 6 − 5 , 3 − 0 5 , 4 ) x ( f
- / 10 | − 3 / (4 Globales Minimum c) 17) | 4 −( Globales Maximum b) 7)| − 2 −( Globales Minimum a) 1.
11 − = d , = 1 c c) 2 − = b b) 0) | = (4 S a) 1.
0 >^ Sy 6 = 0^^ Sx 0 a > a) 1.
0 <^ Sy = 0^ Sx 0 a < b)
0 <^ Sy = 0^ Sx 0 a < oder 0 >^ Sy = 0^ Sx 0 a > c)
14 Größter Funktionswert: 2 Kleinster Funktionswert: a) 1.
50 Größter Funktionswert: 14 Kleinster Funktionswert: b)
29 Größter Funktionswert: 12 , 2 Kleinster Funktionswert: c)
.0) | = (0 S Der Scheitelpunkt einer solchen quadratischen Funktion ist 1.
positiv sein. nicht ist die Parabel nach unten geöffnet. Die Funktionswerte können also 0 a < Wegen
können damit nicht auf dem Graphen liegen.^2 P und^1 P Die Punkte
1.
Art des Scheitels Scheitelpunkt Funktionsgleichung
Maximum 5) | (2 + 5 2 2) − z ( · 3 − ) = z ( f
Maximum 1)| − 7 −( 1 − 2 + 7) t (− ) = t ( g
Minimum 0) | (5 2 5) − s ( · ) = 8 s ( h
Maximum 6) | (0 + 6 2 v · 3 − ) = v ( m
Maximum 1) | c ( + 1 2 ) c − d ( · 4 − ) = d ( q
Minimum ) w | u −( 0 t > , mit w + 2 ) u + x ( · t ) = x ( p
von oben nach unten: 1.Antwort, 3.Antwort, 5.Antwort 1.
= 0 c c) b 2) =− ( f b) ) c | (0 a) 1.
- 4 x · 4 − 2 x · + 2 = 2 2 1) − x ( · ) = 2 x ( f a) 1.
ist. 2 keinen Funktionswert an, der kleiner als f^. Also nimmt Sy 2 = > = 4^ Py Der Scheitelpunkt ist ein globales Minimum, weil b)
Nullstelle. keine f Damit hat
= 6 c , 3 − = b , = 2 a Hinweis: Alle Terme auf die linke Seite bringen und quadratisch ergänzen. 1.
- 3 2 x ·^18 − ) = x (^1 f 1.
breit sein. 42 m , 4 Der Festwagen darf rund 1.
- 1 x + 2 x ·^16 − 5 = , + 2 2 3) − x ( ·^16 − ) = x ( h 1.
2.9. Der Verlauf einer parabelförmigen Brücke wird durch den Graphen der folgenden Funktion f modelliert:
f ( x ) = − 0 , 06 · x^2 + 1 , 8 · x − 7 , 5
a) Berechne die horizontale Entfernung der beiden Punkten P und Q voneinander. b) Berechne die (maximale) Höhe der Brücke. c) Die beiden eingezeichneten Stützen sind jeweils 4 , 5 Meter hoch. Wie weit sind die beiden Stützen voneinander entfernt?
2.10. Ein Ball wird zum Zeitpunkt t = 0 senkrecht nach oben geschossen. Die Höhe des Balls in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit wird durch die folgende Funktion h modelliert:
h ( t ) = − g 2 · t^2 + v 0 · t + h 0 ,
t... Zeit in Sekunden h ( t )... Höhe in m zum Zeitpunkt t
h 0_..._ Abschusshöhe in m über dem Boden v 0_..._ Anfangsgeschwindigkeit in m / s g ≈ 9 , 81 m / s^2_..._ Erdbeschleunigung
Du wirfst einen Ball aus 2 m Höhe über dem Boden mit Anfangsgeschwindigkeit 10 m / s senkrecht nach oben.
1) Wie lang dauert es, bis der Ball am Boden aufprallt? 2) Welche maximale Höhe erreicht der Ball?
2.11. Für welche Werte von p hat die quadratische Gleichung x^2 + p · x + 4 = 0...
1) genau eine Lösung? 2) keine Lösung? 3) zwei Lösungen?
2.12. Welche Abmessungen hat das flächengrößte Rechteck, das wir mit einem Stück Zaun von 12 m Länge einfassen können? Drücke dazu den Flächeninhalt als Funktion einer der beiden unbekannten Rechtecksseiten aus.
2.13. Wir betrachten ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten der Länge 12 cm und 16 cm und schreiben ihm Rechtecke ein, deren Seiten parallel zu den Katheten liegen. Was ist der größte Flächeninhalt, den ein solches Rechteck haben kann?
2.14. Berechne jenen Punkt in der Ebene, sodass die Summe der Quadrate der Abstände dieses Punkts von den drei Punkten A = (1 | 2), B = (5 | −2) und C = (3 | 12) kleinstmöglich ist.
2.15. Für welche Werte von k hat die gegebene Gleichung genau eine reelle Lösung?
x^2 + 2 · k · x − (10 · k + 9) = 0
2.16. Die Leistung eines bestimmten Windrads in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit v kann für Windge- schwindigkeiten von 5 m / s bis 10 m / s näherungsweise durch die Polynomfunktion P beschrieben werden.
P ( v ) = 0 , 0175 · v^2 − 0 , 0796 · v + 0 , 0391 mit 5 ≤ v ≤ 10
v... Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) P ( v )... Leistung bei der Windgeschwindigkeit v in Megawatt (MW)
1) Berechnen Sie, bei welcher Windgeschwindigkeit eine Leistung von 0 , 5 MW erzielt wird.
2.17. Eine Eisenbahnstrecke hat eine Länge von 200 km. Die Züge fahren dabei – vereinfacht betrachtet – mit konstanter Geschwindigkeit. Nach einer Sanierung der Gleise können die Züge mit einer um 10 km / h höheren Geschwindigkeit fahren. Die Fahrzeit wird dadurch um eine halbe Stunde vermindert. Zur Verdeutlichung sind die Angaben in der nachstehenden Tabelle dargestellt. t ist dabei die Fahrzeit vor der Sanierung in Stunden.
1) Berechnen Sie t.
2.18. Die Flugbahn eines Tennisballs ist ein Teil des unten dargestellten parabelförmigen Funktionsgraphen. Der Abschusspunkt A liegt 10 m vom Netz entfernt in einer Höhe von 0 , 75 m. Das Netz ( 0 , 9 m hoch) wird auf der y -Achse dargestellt. Der Ball überfliegt das Netz in einer Höhe von 35 cm und trifft 10 m hinter dem Netz im Aufprallpunkt P den Boden.
a) 1) Kennzeichnen Sie in der oben stehenden Grafik den Abschusspunkt A und den Aufprallpunkt P. 2) Bestimmen Sie dasjenige Intervall, in dem der Funktionsgraph ein Modell für die Flugbahn darstellt. b) 1) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für die Flugbahn des Balles.
2.19. Für ein Produkt lautet die quadratische Kostenfunktion wie folgt:
K ( x ) = 0 , 1 · x^2 + 6 · x + 40
x... erzeugte Menge in Mengeneinheiten (ME) K ( x )... Gesamtkosten von x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE)
1) Ermitteln Sie, wie hoch die Kosten für die Produktion von 10 ME sind. 2) Ermitteln Sie aus der gegebenen Gleichung, wie viele ME produziert wurden, wenn Kosten von 150 GE angefallen sind.
a) Vor 2 Jahren kaufte eine Unternehmerin eine bestimmte Anzahl an identischen Laptops um insgesamt e 9_._ 600. Heute würde sie um den gleichen Betrag um 2 Laptops mehr bekommen, weil der Preis um e 400 pro Laptop gefallen ist. 1) Berechnen Sie, wie viele Laptops die Unternehmerin heute für e 9_._ 600 bekommen würde. b) Ein Computerhersteller hat für den Verkauf von Laptops folgende Gewinnfunktion G ermittelt:
G ( x ) = − 0 , 2 · x^2 + b · x + c (mit b , c ∈ R) x... verkaufte Menge in ME G ( x )... Gewinn bei der Absatzmenge x in GE
Zur Berechnung der Gewinngrenzen benötigt man die Nullstellen der Gewinnfunktion G. 1) Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht. [Lückentext] Die Funktion G hat genau 1 , wenn 2 gilt.
c) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Gewinnfunktion G für Laptops mit Touchscreen eines bestimm- ten Herstellers dargestellt. 1) Kreuzen Sie die für G zutreffende Funktionsglei- chung an. [1 aus 5]
2) Begründen Sie mithilfe der Koeffizienten der Funk- tion, warum nur die von Ihnen gewählte Funktions- gleichung in Frage kommt.
2.23. Die Wushan-Brücke über den Jangtsekiang ist eine der größten Bogenbrücken der Welt:
Die obige Abbildung stellt die Geometrie der Brücke dar. Der obere und der untere Brückenbogen werden durch die Graphen der quadratischen Funktionen f und g dargestellt. Der Punkt S ist der Scheitelpunkt der Funktion f. Die Stellen x 1 und x 2 markieren die Schnittpunkte des unteren Brückenbogens mit der Straße y = 226.
a) 1) Erstellen Sie mithilfe der Punkte A und S eine Gleichung der Funktion f. b) Die Gleichung derjenigen Parabel, die den unteren Brückenbogen beschreibt, lautet:
g ( x ) = − 4701 · ( x − 330)^2 + 288 mit 86 ≤ x ≤ 574 Jemand stellt zur Berechnung der Höhe H ( x ) der Hänger an der Stelle x folgende Formel auf:
H ( x ) = − 4701 · ( x^2 − 660 · x + 79 760) für x 1 ≤ x ≤ x 2 1) Weisen Sie die Korrektheit dieser Formel nach. c) Wirft man einen Stein mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 = 5 m / s von der Brücke senkrecht nach unten, so kann man, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt wird, die Höhe (über Grund) des Steins näherungsweise folgendermaßen berechnen: h ( t ) = 226 − g 2 · t^2 − 5 · t t... Zeit in s h ( t )... Höhe des Steins über Grund zur Zeit t in m g... Erdbeschleunigung ( g ≈ 9 , 81 m / s^2 ) 1) Berechnen Sie diejenige Zeit ta , die der Stein bis zum Aufprall auf die Wasseroberfläche benötigt, wenn der Wasserstand 113 m über Grund beträgt.
- Linearfaktorzerlegung
3.1. Im Folgenden sind die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen dargestellt. Ordne den Funktionen jeweils die zugehörige Gleichung in Linearfaktorform zu.
0 , 2 · ( x − 8) · ( x + 2)
2 · ( x + 1) · ( x − 1)
− 0 , 5 · ( x − 2) · ( x + 4)
−( x − 3) · ( x + 3)
3.2. Die quadratische Funktion f hat die Nullstellen − 4 und 2. Ihr Graph schneidet die vertikale Achse im Punkt (0 | −16).
1) Ermittle die Gleichung der Funktion in Linearfaktorform. 2) Ermittle die Gleichung der Funktion in Scheitelpunktform. 3) Ermittle die Gleichung der Funktion in Polynomform.
3.3. Gesucht sind die Lösungen x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung x^2 − 2 · x − 15 = 0. Michael zerlegt die linke Seite in Linearfaktoren:
x^2 − 2 · x − 15 = ( x − x 1 ) · ( x − x 2 )
1) Fülle die Lücken richtig aus:
x 1 · x 2 = x 1 + x 2 =
2) Ermittle die beiden ganzzahligen Lösungen x 1 und x 2.
3.4. Gegeben ist die quadratische Funktion f mit f ( x ) =^12 · x^2 − x − 32.
a) Ermittle die Nullstellen dieser Funktion. b) Ermittle die Gleichung der Funktion in Linearfaktorform.
3.5.
a) Die quadratische Gleichung x^2 + 4 · x + u = 0 hat die Lösung x 1 = 3. Bestimme u und die zweite Lösung der Gleichung. b) Die quadratische Gleichung 10 · x^2 + v · x − 3 = 0 hat die Lösung x 1 = 1 , 5. Bestimme v und die zweite Lösung der Gleichung. c) Die quadratische Gleichung x^2 + s · x + t = 0 hat die Lösungen x 1 = − 4 und x 2 = 12. Bestimme s und t.
3.6. Gib die Gleichung in Linearfaktorform an.
a) f ( x ) = 5 · x^2 − 3 · x b) f ( x ) = x^2 + 2 · x + 1 c) f ( x ) = 2 · x^2 + 2 · x + 4 d) f ( x ) = − 12 · x^2 − 2 · x
3.7. Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f ( x ) = a · x^2 + b · x + c verläuft durch die Punkte (− 3 | −45), (2 | −80) und (6 | −72).
a) Erstelle ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion f. b) Ermittle die Koeffizienten und gib die Gleichung von f in Polynomform an. c) Gib die Gleichung von f in Scheitelpunktform und Linearfaktorform an.
3.8. Von einer quadratischen Funktion f kennt man die beiden Punkte N 1 = ( 32 | 0) und N 2 = (− 12 | 0). Reichen diese Informationen aus, um die Koordinaten des Scheitelpunkts S = ( xS | yS ) zu berechnen? Begründe deine Antwort.
3.9.
a) Gib die x -Koordinate des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion f mit f ( x ) = 0 , 5 · ( x − 2) · ( x + 3) an. b) Gib die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten quadratischen Funktion an, die an der Stelle x = 4 , 5 sowohl ihren Scheitelpunkt als auch eine Nullstelle besitzt.
3.10. Für wie viele Werte von k hat die Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen? a) x^2 + k · x + 10 = 0 b) x^2 + k · x − 24 = 0
m , h , g , f von oben nach unten: 3.
16 − x · + 4 2 x · ) = 2 x ( f 3) 18 − 2 + 1) x ( · ) = 2 x ( f 2) 2) − x ( · + 4) x ( · ) = 2 x ( f 1) 3.
3 − =^2 x , = 5^1 x 2) = 2^2 x +^1 x 15 − =^2 x ·^1 x 1) 3.
- − x ( · + 1) x ( ·^12 ) = x ( f b) = 3^2 x 1;− =^1 x a) 3.
48 − = t , 8 − = s c) 2 , 0 − =^2 x , 13 − = v b) 7 − =^2 x , 21 − = u a) 3.
- − x ( · + 4) x ( ·^12 − ) = x ( f d) + 2) x ( · 1) − x ( · ) = 2 x ( f c) + 1) x ( · + 1) x ) = ( x ( f b) )^35 − x ( · 0) − x ( · ) = 5 x ( f a) 3.
72 − = c + b · + 6 a · 36 III : 80 − = c + b · + 2 a · 4 II : 45 − = c + b · 3 − a · 9 I : a) 3.
72 − x · 6 − 2 x ) = x ( f 72 − = c , 6 − = b , = 1 a b)
- − x ( · + 6) x ) = ( x ( f Linearfaktorform: 81 − 2 3) − x ) = ( x ( f Scheitelpunktform: c)
.^12 =^ Sx Aus der Symmetrie folgt 3. .^12 − und^32 die beiden Nullstellen 6 = 0 a hat für jede Zahl )^12 + x ( · )^32 − x ( · a ) = x ( f Die quadratische Funktion
sein. 6 = 0 kann also jede Zahl^ S y 2 5) ,^4 −^ x (−^ ) = x (^ f^ Zum Beispiel:^ b)^5 ,^0 −^ =^ Sx^ a)^ 3.
) 23 , 10 , 5 , 2 ± = k Werte ( 8 b) ) 11 , 7 ± = k Werte ( 4 a) 3.
4.8. Für welche Werte von a ∈ R gibt es genau eine Lösung über der Grundmenge R? Wie lautet diese Lösung? a) a · x^2 + 2 · x + a = 0 b) x^2 + 2 · a · x + a = 0 c) a · x^2 + 2 · a · x + 1 = 0
d) a · x^2 + 2 · a · x + a = 0 e) ( x − 2 · a − 1) · ( x + 3 · a + 4) = 0 f) ( a · x + 1)^42 + 1 = 0
g) ( a · x − 1)^42 − 1 = 0 h) (13 · x + 65 · a )^1365 + 1 = 0 i) (13 · x + 65 · a )^1365 − 1 = 0
4.9. Führe die Polynomdivision durch.
a)
3 · x^3 − 19 · x^2 + 30 · x − 8
: ( x − 4)
b)
− 3 · x^5 + 14 · x^4 − 29 · x^3 + 20 · x^2 + 2 · x − 4
− x^3 + 3 · x^2 − 4 · x − 2
c) (12 · x^4 − 29 · x^3 + 23 · x^2 − 34 · x + 21) : (4 · x − 3)
d) (2 + 6 · x^4 − 7 · x^2 ) : (2 − 3 · x^2 )
e) (8 · x^5 + 12 · x^4 − 6 · x^3 + 9 · x^2 + 13 · x + 9) : (2 · x^2 + 3 · x − 4)
f)
8 · x + 23 · x^3 − 39 · x^2 − 12 · x^4 − 9
2 · x − 3 · x^2 − 5
4.10. Prüfe, dass die Polynomfunktion f mit
f ( x ) = 5 · x^3 − 31 · x^2 − 40 · x + 84
die Nullstellen − 2 und 7 hat. Berechne die dritte Nullstelle, und schreibe die Gleichung von f als Produkt von Linearfaktoren.
4.11. Prüfe, dass die Polynomfunktion f mit
f ( x ) = 12 · x^4 − 19 · x^3 − 192 · x^2 − 71 · x + 30
die Nullstellen − 3 und 5 hat. Berechne die anderen beiden Nullstellen, und schreibe die Gleichung von f als Produkt von Linearfaktoren.
4.12. Über die 3 reellen Nullstellen x 1 , x 2 und x 3 der Polynomfunktion f mit
f ( x ) = x^3 + b · x^2 + c · x + 60 = ( x − x 1 ) · ( x − x 2 ) · ( x − x 3 )
sind folgende Informationen bekannt: 1) x 2 ist eine natürliche Zahl. 2) x 3 ist dreimal so groß wie x 2. 3) x^22 ist um 9 größer als x 1.
Berechne die Koeffizienten b und c.
- 42 x ·^75 − 2 x ·^542 − 3 x ·^75 ) = x ( f 2) 5) − x ( · 3) − x ( · + 2) x ( ·^75 ) = x ( f 1) 4.
- − x ( · 4) − x ( · x · + 3) x ) = ( x ( f Zum Beispiel: 2) 4 Grad 1) 4.
3 und 3 − , 1 − , 2 mit Nullstellen 6 Grad c) 5 − und 3 − , 7 − , 0 mit Nullstellen 4 Grad b) 5 − und 3 mit Nullstellen 2 Grad a) 4.
} 0 { f) } 2 , 0 , 2 {− e) } 0 , 4 {− d) } 0 { c) } 2 , 0 , 2 {− b) } 4 , 0 { a) 4.
} 3 − √ 21 , 5 − √ 21 { = L f) } 1 , 2 {− = L e) } 0 { = L d) { } = L c) } 3 , 3 − , 1 , 1 {− = L b) } 2 , 2 {− = L a) 4.
} 2 , (^3) √ , (^3) √− , 2 {− d) } 1 − , 3 {− c) } (^7) √ , (^7) √{− b) } 3 , 2 , 2 − , 3 {− a) 4.
} 5 , 2 , 3 {− = L d) } 1 − , 5 {− = L c) } 2 , 1 , 1 − , 2 {− = L b) } 5 , 0 , 2 {− = L a) 4.
= 1 x ⇒= 1 − = a 1 − = x ⇒= = 1 a a) 4.
1 − = x ⇒= = 1 a = 0 x ⇒= = 0 a b)
1 − = x ⇒= = 1 a c)
liefert unendlich viele Lösungen.) = 0 a ( 1 − = x ⇒= 6 = 0 a d)
1 − = x ⇒= 1 − = a e)
. 0 größer als R ∈ x , a Keiner: Die linke Seite ist für alle f) 2^ a^ =^ x^ und^ = 0^ x^ Lösungen^2 liefert immer^6 = 0^^ a^ liefert unendlich viele Lösungen,^ = 0^ a^ Keiner:^ g)
a ·^13 −1+65^ =^ x^ liefert genau eine Lösung, nämlich^ R^ ∈^ a^ Jeder Wert^ h)
a ·^1365 −− 1 =^ x^ liefert genau eine Lösung, nämlich^ R^ ∈^ a^ Jeder Wert^ i)
4 − (^) 3 x ·− (^) x ·+ 3 242 x · (^2) 3 + − x · + 5 3 x · 4 e) + 1 2 x · 2 − d) 7 − x · + 2 2 x · 5 − 3 x · 3 c) + 2 x · 5 − 2 x · 3 b) + 2 x · 7 − 2 x · 3 a) 4.
5 − x ·+6 x ·+2 223 x ·− 3 − + 3 + x · 5 − 2 x · 4 f)
)^65 − x ( · 7) − x ( · + 2) x ( · ) = 5 x ( f^65 =^3 x 4.
)^14 − x ( · )^23 + x ( · 5) − x ( · + 3) x ( · ) = 12 x ( f^14 =^4 x ,^23 − =^3 x 4.
28 − = c , 3 − = b 4.
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