Arithmetik und Algebra, Leitfäden, Projektarbeiten und Recherchen von Arithmetik

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”Hallo Welt!” für Fortgeschrittene^ Arithmetik und Algebra

von Gerhard Pfeiffer ([email protected])Seminarvortrag am 29. Juni 2004

”Hallo Welt!” f ¨ur Fortgeschrittene – p.1/

Inhalt^

^ Arithmetik? Algebra? Was ist das überhaupt? ^ Rechnen mit grossen Zahlen ^ Chinesischer Restesatz ^ Diophantische Gleichungen ^ Gauß-Algorithmus

Inhalt – p.2/

Arithmetik

Arithmetik – p.4/

Rechnen mit grossen (Ganz-)Zahlen

^ Darstellung von grossen Zahlen^ ^ ArrayLeicht zu implementierenQuasi statisch (

realloc

)

^ Verkettete ListeDynamisch, schwieriger zu implementierenMehr overhead durch Liste (next-Pointer) Prinzip: ^ Einzelne Ziffern (nicht zwingend Basis 10) alsArray-/Listenelemente. ^ Rechnen wie in der Schule ^ Implementierungsbeispiel siehe Buch ”ProgrammingChallenges”

Arithmetik – p.5/

Formosa’s Soldiers (Problem E, Dezember-Contest)

^ Die Bewohner der Insel Formosa leben in ständiger Angstvor einer feindlichen Invasion; deswegen wurde eine riesigeArmee aufgestellt. ^ Problem: Wieviele Soldaten sind angetreten? ^ Lösungsvorschlag:Soldaten bilden Gruppen zu

Leuten. Gezählt wird,

wieviele übrig bleiben. Dies wird mit unterschiedlichenPrimzahlen

wiederholt. Aus den Resten lässt sich die komplette Anzahl anSoldaten konstruieren. In insider-Kreisen bekannt als: Formosa Theorem

Chinesischer Restesatz – p.7/

Modulare Arithmetik

^ Repräsentation einer Zahl durch Moduli. ^ Vorausgesetzt,

und alle

 paarweise

teilerfremd, lässt sich

eindeutig darstellen durch ein

Kongruenzensystem:

^ Gäbe es ein

 mit gleicher Darstellung, so folgt

Aufgrund der gleichen Darstellung gilt

und damit auch

.

^ Wie kommt man nun von der modularen Darstellung zurZahl?

Chinesischer Restesatz – p.8/

Modulare Arithmetik

^ Beispiel: ^

(^)
^ und

 ^ 



^ Bezout-Koeffizienten für

^  und^ : ^
^ 

^ ^  

^ Also:

^
^  

^ 



^ ^ ^ 

^ ^ bestimmen:

^  ^ 

^ ^ ^ 

^ ^ 

^ ^ bestimmen:

^  

^
^  



Chinesischer Restesatz – p.10/

Modulare Arithmetik

^ Algorithmus:^ ^ Berechne

for ^
to^ :^ ^ ^  ^ ^ ^  for to

 :   ^  ^ 

^ ^ ^  

^ 

^ Berechne

aus den

^ for

^
to^ : ^  ^ ^ ^  for to

 : ^ ^ 

^ 

^

Chinesischer Restesatz – p.11/

Schnittpunkte mit den Koordinatensystem

^ ^

  ^

^ Gesucht: ganzzahlige Lösungen von

^ ^ ^ 

Erweiterter Euklid liefert:

^  ,

^  

Diophantische Gleichungen – p.13/

Diophantische Gleichungen

^ Definition:Gleichung(ssystem), für das nur ganzzahlige Lösungenzugelassen sind. ^ Beispiel:Fermatsche Vermutung:

Für   heißen die diophantischen Lösungen ”pythagoräische Zahlentripel”.

Diophantische Gleichungen – p.14/

Diophantische Gleichungen

^ Lösungsverfahren (Fortsetzung)^ ^ Wenn

  , verwende die Gleichung, um die zu

gehörige Variable (hier o.B.d.A

) zu eliminieren

^ Wenn

 , prüfe, ob wenn 


^  

^ ^ 

^  


  , auch

^  ,

ansonsten hat die Gleichung keine ganzzahligenLösungen. Dividiere Gleichung durch c und eliminiere

wie oben. ^ ^ Ist

 und nicht alle

^


, führe neue Variable

ein:

^ ^ ^ ^ ^ ^

^ ^  ^ ^

^ ^ ^ ^ 

^ Benutze

^
, um^

zu eliminieren:    ^ ^  
^ 

 

^ 

^ 

^ ^ Diophantische Gleichungen – p.16/

Diophantische Gleichungen

^ Beispiel:^

^ ^
^ 

^ ^ ^

 ^ 

(11)

^ ^ ^ 

^ 

(12)

 ^ einführen:^ 

 ^ ^

 ^ 

 ^ ^ 

^  

^ 

^ 

^ eliminieren:^ ^ ^ 

^  ^ ^ 

  

^ ^ 

 ^ ^ 

^   ^ ^ 

Diophantische Gleichungen – p.17/

Diophantische Gleichungen

^ Beispiel: (Fortsetzung)^ ^ Neue Variable einführen und

 eliminieren: ^ ^ ^ 

^ ^ 

^  ^ 



^ Nach

 auflösen und Einsetzen liefert schließlich die Lösung:

^ 

^ ^
^ ^ 

^ ^  

(13)

^ ^
^  

^ ^  

(14)

 ^  


^  

(15)

^ 

^ ^ 

^  

(16) Diophantische Gleichungen – p.19/

Gauß Algorithmus

Gauß Algorithmus – p.20/