Digitaltechnik WS 2017 Prof. Gustrau, Skripte von Digitaltechnik

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Vorlesungsskript

Digitaltechnik

Prof. Dr.-Ing. Frank Gustrau

FH Dortmund

http://www.fh-dortmund.de/gustrau

(Wintersemester 2017/18)

17. Oktober 2017

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Definition analoger und digitaler Signale

Ein Signal kann sowohl in Bezug auf seinen Wertebereich (y-Achse) als auch in Bezug auf seinen Definitionsbereich auf der Zeitachse (x-Achse) kontinuierlich (d.h. nicht abzählbar, stetig, fortdauernd) oder diskret (d.h. nicht-kontinuierlich, abzählbar) sein.

Abbildung 1.1: Zeit- und wertkontinuierliche Signale

• Digitale Signale sind wertdiskret.
• Analoge Signale sind wertkontinuierlich.

Sind nur 2 Werte auf der y-Achse möglich, dann wird ein solches wertdiskretes (di- gitales) Signal binär genannt. Die Bilder 1.2-1.5 zeigen digitale und analoge Signale im weiteren und engeren Sinne.

KAPITEL 1. EINLEITUNG 2

Abbildung 1.2: Analoges Signal im eigentlichen Sinne (zeit- und wertkontinuierlich)

Abbildung 1.3: Digitales Signal im weiteren Sinne (zeitkontinuierlich und wertdiskret)

KAPITEL 1. EINLEITUNG 4

1.2 Abtastung, Quantisierung und Codierung

Die Begriffe Abtastung und Quantisierung tauchen bei der Umwandlung eines analogen in ein digitales Signal auf, Codierung bei der Umwandlung eines digitalen Signals in ein anderes digitales Signal. Da die meisten physikalischen Signale in der Regel analog sind, müssen sie für die weitere Verarbeitung in der Informationstechnik in digitale Signale umgewandelt werden.

1.2.1 Abtastung

Abtastung ist die Ermittlung des aktuellen Signalwertes zu bestimmten Zeitpunkten n·TA. Dies entspricht dem Übergang des Signals in Bild 1.2 zu Bild 1.4. Nach der Abtastung ist das Signal also immer noch analog. Für die notwendige Zahl der Abtastungen pro Zeiteinheit ist die größte Frequenz maß- gebend, die das Informationssignal enthält. (Das Informationssignal muss also bandbe- grenzt sein.) Die Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so groß gewählt werden, wie die größte Signalfrequenz. Dies wird in dem sogenannten Abtasttheorem beschrieben. Wir das Abtasttheorem beachtet, so kann aus den Abtastwerten das ursprüngliche Signal vollständig zurückgewonnen werden. Das Abtasttheorem lautet:

fA =

TA

≥ 2 fmax (1.1)

mit dem Abtastintervall TA und der maximalen Signalfrequenz fmax. Beispiel aus dem Audiobereich: Das menschliche Ohr kann Signale bis ca. 20 kHz wahrnehmen. Sollen diese Signale rekonstruierbar abgetastet werden, so muss die Abtast- frequenz mindestens 40 kHz betragen. (Abtastfrequenz beim CD-Player: 44 kHz)

1.2.2 Quantisierung

Quantisierung bedeutet den Übergang vom abgetasteten analogen Signal zum wertdiskre- ten digitalen Signal. Dies entspricht dem Übergang des Signals in Bild 1.4 zu Bild 1.5. Der Wertebereich des Signals wird in Quantisierungsintervalle aufgeteilt, und alle in einem In- tervall liegenden Werte werden auf einen Quantisierungswert abgebildet. Je nach Art der Anwendung sind die Abstände der Quantisierungsstufen linear oder nicht linear (häufig logarithmisch). Mit Erhöhung der Anzahl der Intervalle nimmt der sogenannte Quantisie- rungsfehler ab, eine exakte Rekonstruktion von wert- und zeitkontinuierlichen Signalen ist aber i.a. nicht möglich.

1.2.3 Codierung

Um aus dem nun vorliegenden wert- und zeitdiskreten Signal mit mehr als zwei Wertstu- fen ein binäres, zeitdiskretes Signal zu erzeugen, müssen die verschiedenen Stufen codiert

KAPITEL 1. EINLEITUNG 5

werden. Bild 1.6 zeigt ein Beispiel bei dem ein digitales Signal mit sieben Diskretisierungs- stufen über eine Code-Tabelle in ein binäres Signal umgewandelt wird. Jeder diskrete Wert wird dabei durch eine Kombination von drei binären Stellen ersetzt.

Abbildung 1.6: Beispiel für eine Codierung zur Gewinnung eines binären Signals

1.3 Zentrale Begriffe der Digitaltechnik

Digitale elektrische Größe Elektrische (physikalische) Größe (Spannung, Strom, Im- pedanz) mit einer endlichen Anzahl nicht überlappender Wertebereiche.

Binäre elektrische Größe Digitale (physikalische) elektrische Größe mit nur zwei mög- lichen Wertebereichen, oft als Low (L)- und High (H)-Bereich bezeichnet.

L-Bereich Derjenige der beiden Wertebereiche einer binären elektrischen Größe, der nä- her bei −∞ liegt.

H-Bereich Derjenige der beiden Wertebereiche einer binären elektrischen Größe, der nä- her bei +∞ liegt.

Bei elektrischen Systemen werden die binären Variablen häufig durch zwei unterschied- liche Spannungsniveaus (Potentiale) festgelegt. Dabei ist zu beachten, dass die Schaltkreise beide Potentiale auch unter ungünstigsten Umständen einwandfrei erkennen und verar- beiten müssen. Aus diesem Grund werden zwei Spannungsbereiche (anstelle von festen

KAPITEL 1. EINLEITUNG 7

Wert Codierung Ursprungsmenge Bildmenge; Code 3 111 2 101 1 100 0 110 -1 010 -2 011 -3 001

Tabelle 1.1: Beispiel für einen Code.

Byte: Ein Wort der Länge 8 Bit wird im allgemeinen als 1 Byte bezeichnet.

Tetrade: Ein Wort der Länge 8 Bit kann in zwei Tetraden (zu je 4 Bit) aufgeteilt werden; diese Tetraden werden auch als Halbbytes bezeichnet.

Gewicht Das Gewicht g eines Datenwortes w entspricht der Anzahl der Einsen, die das Datenwort enthält, z.B. g(1101) = 3.

Hamming Distanz Die Hamming-Distanz D zwischen zwei Datenworten entspricht der Anzahl der Stellen, in denen sich die Datenworte unterscheiden, z.B. für wa = 1001 und wb = 1010 ist D(wa, wb) = 2, da sich die Datenworte in den letzten beiden Stellen unterscheiden.

Code: Ein Code ist in seiner ursprünglichen Bedeutung eine Verschlüsselung zur Dar- stellung von Information. Unter einem Code wollen wir verstehen

a) eine Vorschrift für die eindeutige Zuordnung der Zeichen eines Zeichenvorrats zu denjenigen eines anderen Zeichenvorrates (Bildmenge); b) der bei der Codierung als Bildmenge auftretender Zeichenvorrat.

Kapitel 2

Zahlensysteme

Zahlensysteme dienen der Darstellung von Zahlenwerten sowie dem Rechnen mit diesen Zahlenwerten. Historisch gesehen gibt es viele verschiedene Zahlensysteme. Als historisches Zahlensys- tem wollen wir uns das römische Zahlensystem ansehen. Im Alltag ist das Dezimalsystem wichtig. In der Kommunikationstechnik bedeutsam ist das Dualsystem mit dem wir uns dann eingehender auseinandersetzen wollen.

2.1 Römisches Zahlensystem

KAPITEL 2. ZAHLENSYSTEME 10

2.4 Oktalsystem

2.5 Hexadezimalsystem

Allgemein kann jede natürliche Zahl als Basis eines Stellenwertsystems dienen (z.B. Basis B = 7 → Siebener System, etc.).

KAPITEL 2. ZAHLENSYSTEME 11

2.6 Rationale Zahlen

2.7 Umrechnung zwischen polyadischen Zahlensyste-

men

2.7.1 Umwandlung natürlicher Dezimalzahlen ins Dualsystem

Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl:

1. Lösungsmethode: Suchen der höchsten Potenz von 2, die in der Dezimalzahl enthal- ten ist, die Potenz von der Dezimalzahl abziehen und mit dem Rest der Subtraktion fortfahren, bis das Ergebnis Null ist.
2. Lösungsmethode: Fortwährende Division der Dezimalzahl durch 2, bis das Ergebnis gleich Null ist. Der Rest jeder Division gibt dabei eine Stelle der Dualzahl an.

Beispiel zur ersten Lösungsmethode:

Dezimalzahl D = 86(10) Notieren aller Zweierpotenzen bis zur Zahl D:

größte Zweierpotenz in 86 ist 64 = 2^6 Rest = 22 größte Zweierpotenz in 22 ist 16 = 2^4 Rest = 6 größte Zweierpotenz in 6 ist 4 = 2^2 Rest = 2 größte Zweierpotenz in 2 ist 2 = 2^1 Rest = 0

KAPITEL 2. ZAHLENSYSTEME 13

2.8 Darstellung negativer ganzer Zahlen

2.8.1 Vorzeichen und Betrag

Bei dieser Darstellungsart werden negative Dualzahlen durch das Vorzeichenbit s vor dem MSB gekennzeichnet:

• s = 0 bedeutet positiv
• s = 1 bedeutet negativ

Merke: Eine eindeutige Interpretation ist nur bei einer fest vereinbarter Wort- länge möglich!!!

Beispiel: 7 Bit für den Betrag und 1 Bit für das Vorzeichen:

(^118) (10) = 0 1 1 1 0 1 1 0 − (^118) (10) = 1 1 1 1 0 1 1 0 (−1)s^26 25 24 23 22 21 20 ← Stellenwert Die Darstellung nach Betrag und Vorzeichen hat den Nachteil, dass positive und ne- gative Zahlen nicht einfach addiert werden können, da der Addierer bei negativen Zah- len auf Subtraktion umschalten muss. Die im nächsten Kapitel beschriebenen Zweier- Komplement-Zahlen haben diesen Nachteil nicht.

2.8.2 Zweierkomplementdarstellung

Definition: Beim Zweierkomplement erhält das höchstwertige Bit (MSB) ein negatives Gewicht (Gewicht einer Zweierpotenz, jedoch mit negativen Vorzeichen)! Somit hat bei einer positiven Zahl das höchstwertige Bit den Wert 0, und bei einer negativen Zahl hat das höchstwertige Bit den Wert 1.

Merke: Eine eindeutige Interpretation ist wieder nur bei fest vereinbarter Wortlänge möglich.

Beispiel: Wortlänge von 3 Bit

Das folgende Bild zeigt am Zahlenkreis die Interpretation einer 3-Bit-Zahl als Dualzahl (innerer Kreis) und als Zweierkomplementzahl (äußerer Kreis) (Bsp: −2 = − 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 , etc.)

KAPITEL 2. ZAHLENSYSTEME 14

Die Zahlen im inneren Kreis ergeben sich als 3-stellige positive Dualzahlen. Die Werte der Zahlen steigen mit der Schrittweite 1, und von 111 nach 000 erfolgt ein Sprung um -7. Die Zahlen außerhalb des äußeren Kreises ergeben sich als Zweierkomplement-Zahl. Die Werte der Zahlen steigen ebenfalls mit der Schrittweite 1, aber der Sprung um -7 erfolgt von 011 auf 100. Die Vorzeichenstelle muss nicht (wie vorher) getrennt behandelt werden, sondern zum Vorzeichenwechsel kann einfach das Zweierkomplement der gesamten Zahl einschließlich der Vorzeichenstelle gebildet werden.

Regel für die Rechnung mit dem Zweierkomplement:

Negation im Zweierkomplement Die Negation einer Zahl in Zweierkomplementdar- stellung wird durch Bildung des Zweierkomplements der gesamten Zahl bewirkt. Hierzu wird zunächst das Einerkomplement (=Inversion aller Bits) gebildet und anschließend erfolgt eine Addition von 1 unter Beibehaltung der Stellenzahl n.

Beispiel: 8-stellige Zweierkomplentdarstellung (n = 8):

(^118) (10) = 64 + 32 + 16 + 4 + 2 = 111 0110(2)

Umwandlung 118 → − 118

ursprüngliche Zahl (^118) (10) = 0 1 1 1. 0 1 1 0 Einerkomplement 1 0 0 0. 1 0 0 1 Addition von 1 1 Zweierkomplement − (^118) (10) = 1 0 0 0. 1 0 1 0

Rückumwandlung − 118 → 118

ursprüngliche Zahl − (^118) (10) = 1 0 0 0. 1 0 1 0 Einerkomplement 0 1 1 1. 0 1 0 1 Addition von 1 1 Zweierkomplement (^118) (10) = 0 1 1 1. 0 1 1 0