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Formelsammlung Wechselstrom Jens Reichle
1. Grundlagen und Definitionen
Der arithmetische Mittelwert, Gleichwert
ut dt T
u
t T
t
=
= 0
Gleichrichtwert
ut dt T
u ut
t T
t
Gl =^ = ∫ ⋅
=
= 0
Effektivwert U
~ 0
ut dt U U T
U U
t T
t
= (^) Eff = ⋅ = = +
=
=
Scheitelfaktor
U
u ks
^
2. Sinusgrößen
Kreisfrequenz
T
f
Arithmetischer Mittelwert einer sinusförmigen Spannung
_ u =
Effektivwert einer sinusförmigen Spannung
∧ ∧ U = ⋅u≈ 0 , 707 ⋅u 2
ds
d E
= − u = ⋅U
∧ 2
Scheinwiderstand, Impedanz
∧
∧
i
u Z
Wirkwiderstand, Resistanz
R Z cos ϕ ui
i
u (^) // = = ⋅ ∧
∧
Blindwiderstand, Reaktanz
X Z sin ϕ ui
i
u = = ⋅ ∧
⊥
∧
Widerstandsdreieck
Z ² =R²+X ²
Scheinleitwert, Admittanz
Z
Y
u
i = = ∧
∧
Wirkleitwert, Konduktanz
G Y cos ϕ ui
u
i (^) // = = ⋅ ∧
∧
Blindleitwert, Suszeptanz
Y ui
u
i
B= =− ⋅sin ϕ
∧
∧
⊥
Leitwertdreieck
Y ² =G²+B ²
Der Ohmsche Widerstand ϕ= 0
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
R
i
u Z (^) R = = ∧
∧
R
i
u RR = = ∧
∧ // = = 0 ∧
⊥
∧
i
u X (^) R
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
R
u
i YR
∧
∧
R
u
i GR
∧
∧
∧
⊥
∧
u
i BR
Die Induktivität ϕ = 90 °(Spg. vor Strom)
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
L
i
u Z (^) L= = ω ∧
∧
// = = ∧
∧
i
u RL L
i
u X (^) L= = ω ∧
⊥
∧
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
L
u
i YL ω
∧
∧
// = = ∧
∧
u
i GL L u
i BL ω
∧
⊥
∧
Die Kapazität ϕ = − 90 °(Spg. hinter Strom)
Widerstände (Bezugsgröße ist i)
C
i
u ZC ω
∧
∧
// = = ∧
∧
i
u RC C i
u X (^) C ω
∧
⊥
∧
Leitwerte (Bezugsgröße ist u)
C
u
i YC= = ω ∧
∧
// = = ∧
∧
u
i GC C
u
i BC= = ω ∧
⊥
∧
Leistung
Leistungsmomentanwert, Leistungsschwingung
p =u⋅ i
Leistungsschwingung bei sinusförmigen Strömen
p=P−S⋅cos( 2 ωt +ϕu+ ϕi )
Wirkleistung, Mittelwert der Leistungsschwingung bei Sinus W
P=U⋅I⋅cos(ϕ u −ϕi)=S⋅cosϕ=S⋅cos ϕ ui
Scheinleistung, allgemein in VA
S =U⋅ I
Blindleistung in var
Q= U⋅I⋅sin ϕ =S⋅sin ϕ
Leistungsfaktor
S
P
Leistungsdreieck
S ² =P²+Q ²
Leistungsfaktor
S
P
cos ϕ =
P
Q tan ϕ =
S Q
P
Y B
G
Z X
R
3. Die komplexe Rechnung j² =− 1
Darstellung
R-Form, Gauß’sche Zahlenebene
A =ar +j⋅a (^) i =Re(A)+j⋅Im(A )
P-Form, Polarkoordinaten
α A = A⋅e =A∠
j
Eulersche Formel
α e = cos +j⋅sin
j
Umrechnung von P- in R-Form
ar= A⋅cos α ai= A⋅sin α
Umrechnung von R- in P-Form
A = ar ² +ai ² r
i
a
a
α= arctan
Rechnen mit komplexen Zahlen
konjungiert komplexe Zahl
r i
j A = A⋅e =a −j⋅a
Addition (R-Form)
C =ar +br+j( ai+bi )
Subtraktion (R-Form)
C =ar −br+j( ai−bi )
Multiplikation (P-Form)
(α + β ) = ⋅ ⋅
j C A B e
Division (P-Form)
(α − β ) = ⋅
j e B
A
C
Inversion
j α
r i
r i
r i
e a a A
a j a
A a ja
A
− (^) − = ⋅
Verschiedenes
DC-Kopplung: kein Kondensator in Reihe
ω → 0 : L = Kurzschluss
C = Leerlauf
ω → ∞: L = Leerlauf C = Kurzschluss
4. komplexes Rechnen in der Wechselstromlehre
Komplexer Stromteiler
1
2
2
1
2
1
Z
Z
Y
Y
I
I
Komplexer Spannungsteiler
1 2
2
Z Z
Z
U
U
e
a
Dreieck-Stern-Umformung
∆ → Y:
AB BC AC
AB AC A Z Z Z
Z Z
Z
Y → ∆:
C
A B AB A B Z
Z Z
Z Z Z
komplexe Leistung ∧^ ∧ = ⋅ = ⋅ = + =
2
S U I S e P jQ ui
j ϕ
kompl. Leistung mit Stromeffektivwert (bei Reihenschaltung)
I
S =Z⋅I⋅I =Z⋅I = = ⋅
Kompl. Leistung mit Spannungseffektivwert (Parallelschaltung)
² U I
Z
U
S =U⋅U ⋅Y =U ⋅Y = = ⋅
5. Wichtige Betriebsfälle Leistungsanpassung
optimaler Abschlusswiderstand bei Leistungsanpassung
Z (^) opt = Ra+jXa=Ri−jXi=Z i
Z ' (^) v =Zi
Maximale Wirkleistung bei Leistungsanpassung
i^ i
q
a
q
i
q
R
Z I
Z
U
R
U
R
U P ⋅
⋅
⋅
= ⋅
= ⋅
= 4
( )²
4 4 4 Re{ }
2 2 2
max
Übertragungswirkungsgrad bei Leistungsanpassung
i opt
opt
I R R
I R
η
Betragsanpassung
Abschlusswiderstand für Betragsanpassung
Ra = Ri +Xi =Zi =Z i
2 2
Wirkleistung für Betragsanpassung
a i
q
i i
q a R R
U
Z R
U
P
7. Ersatzquellenverfahren
- Bis auf eine Quelle alle anderen stilllegen („Kringel“ enfernen)
- Den durch die eine aktive Quelle verursachten Spannungs- und
Stromanteil in einem Zweig berechnen und aufschreiben
- Durch sämtliche anderen Quellen verursachten Teilströme in
diesem Zweig nach dem gleichen Schema berechnen und
aufschreiben
- Sind alle Quellen aktiv, ergibt sich die gesamte Spannung oder der
gesamte Strom in dem untersuchten Zweig durch Addition aller
aufgeschriebenen Teilspannungen oder Teilströme
8. Wechselstrom-KPA
- Netzwerk vereinfachen (Weglassen von Widerständen in Reihe zu idealer Stromquelle und parallel zu idealer Spannungsquelle)
- Reale Spannungsquellen in entsprechende Stromquellen umwandeln. Ideale Spannungsquellen zunächst weglassen. Diese werden bei der Modifikation berücksichtigt.
- Bezugsknoten festlegen.
- Knoten durchnummerieren
- Erstellen der Knotenleitwertmatrix
- Auf der Hauptdiagonalen Summe der Leitwerte an jedem Knoten eintragen
- Oberes Dreieck mit den Werten zwischen den Knotenpunkten füllen und diese negieren
- Werte an der Hauptdiagonalen spiegeln
[ ]
=
n nn
n
y y
y y
y y y
Y
... ...
... ... ... ...
... ...
...
1
21 22
11 12 1
- Erstellen des Stromquellenvektors
- Ströme zu den Knotenpunkten in Stromvektor eintragen (zufließende positiv)
- Kontrolle durch Knoten 0
- Sind ideale Spannungsquellen vorhanden (Superknoten), so sind Knotenleitwertmatrix und Stromquellenvektor zu modifizieren. Alle Elemente des Superknotens addieren und die übrigen Zeilen durch Spannungsgleichungen ersetzen.
- Lösen des Gleichungssystems
WICHTIG: mit Leitwerten arbeiten!
- die Hauptdiagonalelemente sind gleich der Summe aller Leitwerte
- die übrigen Matrixelemente enthalten den negativen Leitwert zwischen Knoten i und k
- die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen
- die Komponenten des Stromquellenvektors sind gleich der Summe aller Quellenströme die am entsprechenden Knoten zufließen und damit positiv bzw. abfließen und damit negativ gezählt werden.
danach: Rücktransformation
9. Ortskurven
Bestimmung einer umfangreichen Schaltung
- mit Bauelement (R,L,C) und Ebene (Z,Y) beginnen, in der die
Ortskurve eine Gerade ergibt
- ||-Schaltung: Addition in Y
- +-Schaltung: Addition in Z
- Inversion: Spiegeln der Orstkurve an der reellen Achse mit
reziproker Zeigerlänge
10. HF-Tapete Reihenschaltung: größere Impedanz dominiert Parallelschaltung: kleinere Impedanz dominiert 11. Das Bodediagramm Spannungs-Übertragungsfaktor
( ) 1020
a u
e
a u U
U A ω = =
Eckkreisfrequenz, -3dB-Grenzfrequenz
L
R
RC
e = = = τ
ω
1 1
Amplitude
dB U
U
a A dB e
a u =^20 lg( u) =^20 lg( )
dB I
I
a A dB e
a i =^20 lg( i) =^20 lg( )
Bodediagramm aus bekannter Ortskurve
Zeiger von ω = 0 bis ω=∞
Amplitude: Länge des Zeigers Phasengang: Winkel zur reellen Achse Bodediagramm aus Übertragungsfunktion
Übertragungsfunktion in der Form Nenner
aufstellen
höchste Potenz: Maß für Steigung im Amplitudengang
ω − Terme: Steigung ± 20 db /Dekade
− Terme
2
ω : Steigung ± 40 db /Dekade
− Terme
3
ω : Steigung ± 60 db /Dekade
Verstärkerschaltung Au 1 ( ω )⋅Au 2 (ω)⋅...⋅Vu 1 ⋅Vu 2 ⋅...=Au( ω )
Einzeln aufzeichnen und addieren
12. Das Kreisdiagramm ||R liegt auf B-Kreis (zum Nullpunkt hin) ||L liegt auf G-Kreis (gegen Uhrzeigersinn) ||C liegt auf G-Kreis (im Uhrzeigersinn) +R waagrecht nach rechts +L senkrecht nach oben +C senkrecht nach unten
Transformationsschaltung
Z ' (^) v = Zi und keine Wirkwiderstände
13. Technische Grundzweipole techn. Widerstände Grenzfrequenz niederohmig hochohmig
e
g L
R
f
e e
g C RC
G
f
14. Drehstromsysteme symmetrisch, Verbraucher in Y
Uq 1 + Uq 2 +Uq 3 = 0
U 12 + U 23 +U 31 = 0
Phasenspannung, Sternspannung
U (^) Y = Uph=Uq=Uq 1 =Uq 2 =Uq 3 =U strang
Außenleiterspannung, verkettete Spannung, Dreieckspannung
U = Uverk =U∆=U 12 =U 23 =U 31
Beziehung zw. Phasen- und verketteter Spannung
U (^) verk = 3 ⋅U ph U = 3 ⋅Uq
Symmetrische Belastung am Vierleitersystem
Z 1 = Z 2 =Z 3 = ZZL 1 = ZL 2 =ZL 3 = 0
⇒ I (^) N = 0 ⇒UKN = 0 U 1 =Uq 1 ...
I L = I 1 =I 2 =I 3 I N= I 1 +I 2 +I 3 = 0
gesamte Wirkleistung
3 cos 3 cos Re{ }
cos 3 cos
2
S Z
U
U I
p P S U I
q verk L
ph L
⋅ ϕ^ ϕ
gesamte Scheinleistung
-komplex
j ϕ S (^) Υ = 3 ⋅Uq ⋅Y = 3 ⋅I ⋅Z= 3 ⋅U⋅Ie
2 * 2
-betragsmäßig
U I U I
Z
U
U I U I
P
S
q
q ph L verk L
cos
2
gesamte Blindleistung
3 sin Im{ }
sin 3 sin 3 sin
2
S Z
U
Q S U I U I
q
ph L verk L
(teilweise) Blindleistungskompensation
P=const., S minimieren, Q=0 bzw. reduzieren
2
U
Q Q
C
2 3
'
U q
Q Q C ω
− Υ = 2 3
'
U
Q Q C ω
− ∆^ =
vollständige Blindleistungskompensation
Qgesamt = Q+Qkomp= 0 ϕ gesamt= 0 cos ϕgesamt= 1
symmetrisch, Verbraucher in Dreieck
I 1 = I 12 −I 31 I 2 = I 23 −I 12 I 3 =I 31 −I 23
31
23
12
2 S (^) ∆=U Y +Y +Y
2 * S (^) ∆= 3 U Y
Spannung ∆ : 3 • Spannungin Υ
Leistung ∆ : 3 • Leistungsaufnahmein Υ
unsymmetrisch, Verbraucher in Y
Leistung allgemein
3 3
2 2
S =P+jQ=S 1 +S 2 +S 3 =U 1 ⋅I 1 +U ⋅I +U ⋅I
von der Quelle abgegebene Leistung
3 3
2 2
S (^) Quelle =Uq 1 ⋅I 1 +Uq ⋅I +Uq ⋅I
Nullleiterspannung, Verschiebespannung (nur bei Z (^) N≠ 0 )
1 2 3
1 1 2 2 3 3
(Y ) Y Y Y
U Y U Y U Y
U U
N
q q q KN N
Bedingung für Nullleiterspannung =
UN= 0
I N= I 1 +I 2 +I 3 = 0
U (^) q 1 ⋅ Y 1 +Uq 2 ⋅Y 2 +Uq 3 ⋅Y 3 = 0
Leitungsverluste
2 Pverl =PLTG⋅ I
2 2 ' ' '
^ =
ges
ges
verluste
verluste S
S
I
I
P
P
Spulen Selbstinduktivität, gleichsinnig
Lges +=L 1 +L 2 + 2 M
Selbstinduktivität, gegensinnig
Lges −=L 1 +L 2 − 2 M
Gegeninduktivität
Lges Lges M
Anhang 1 : Vorsätze von Maßeinheiten T Tera 10
12 d Dezi 10
−
G Giga 10 9 c Zenti 10 −
M Mega 10
6 m Milli 10
−
k Kilo. 10 3 μ Mikro 10 −
h Hekto 10
2 n Nano 10
−
da Deka 10 1 p Piko 10 −
Anhang 2 : Umrechnung von Grad in Bogenmaß
Grad in Bogenmaß
gesuchtes Bogenmaß
gegebene Gradzahl
Bogenmaß in Grad
gesuchtes Gradmaß
gegebenes Bogenmaß ⋅ 180 =
Anhang 3: Geometrische Formeln
Kreis A= πr² U= π d= 2 πr
Kreisring ( ²)
4
1
2 A = d 2 −d
Zylinder A= 2 πrh
Kugel A= d² π = 4 πr²
d ³ π
V =
Pyramide
3
lb h V =
Kegel
12
d ² h V
