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______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
38
(Bitte wiederholen Sie zunächst einmal die Haushaltstheorie aus Mikro I!!!) wendungen 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und An-
gegeben
e
Güterpreis
gegeben
Einkommen
erreichbare Indifferenzkurve festgelegt
(Nutzenfunktion festhalten!) erreichbares Nutzenniveau festgelegt
n
n
n
q
q
E
y
q
q
E
y
U
U
1
1
1
n
q
q
E
V
1
V(.) wird
indirekte Nutzenfunktion
genannt.
Eigenschaften:
E V
höhere Indifferenzkurve erreichbar
i
q V
nur noch niedrigere Indifferenzkurve erreichbar
V
ist homogen vom Grad 0 in
n
q
q
E
1
K
weil die Marshallschen Nachfra-
gefunktionen homogen vom Grad 0 in
n
q
q
E
1
K
sind.
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle Beispiel:
1
2
1
1
−
−
y
y
U
2
/
1
2
1
2
1
2
/
1
2
1
1
q
q
q
E
y
q
q
q
E
y
(nachrechnen!)
2
2
/
21
2
/
1
1
2
2
/
1
2
1
1
2
/
1
2
1
2
1
q
q
E
q
q
q
E
q
q
q
E
q
q
E
V
U
i
q
V
E
V
(klar)
Homogen vom Grad 0 in
n
q
q
E
1
K
[
]
2
1
2
2
/
21
2
/
1
1
2
2
/
21
2
/
11
2
/
1
2
2
/
1
2
2
/
1
1
2
1
q
q
E
V
q
q
E
q
q
E
q
q
E
q
q
E
V
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(nachrechnen!)
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
40
in der Produktionstheorie Die zweite Funktion, die wir einführen wollen, entspricht der Kostenfunktion
(
)
n
p
p
y
K
K
1
K
×
×
×
(
)
n
q
q
U
a
1
K
(
)
n
q
q
U
a
1
K
gibt die
minimalen Ausgaben
an, die nötig sind, um das
Nutzenniveau
U
(die damit bezeichnete Indifferenzkurve) zu erreichen. a(.)
wird
Ausgabenfunktion
genannt.
Vergleich mit bisheriger Aufgabenstellung:
bisher
E
fest
U
U
fest
max
U
, NB.
n
n
y
q
y
q
E
L
1
1
min
E
, NB.
U
(
)
n
y
y
U
1
K
optimales Güterbündel
Minimalkostenkombination
Marshallsche Nachfragefkt.
Hickssche Nachfragefunktionen
indirekte Nutzenfunktion
Ausgabefunktion
Duale Probleme
Gleiche Marginalbedingungen
gleicher Expansionspfad
Wenn
(
)
n
q
q
U
a
E
1
a
(.) und
V
(.) stellen
dieselbe Beziehung zwischen
dann
(
)
n
q
q
E
V
U
1
E
und
U
dar.
Also sind
a
(.) und
V
(.) Umkehrfunktionen!
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle Beispiel von oben:
(
)
(
)
2
2
/
21
2
/
1
1
2
1
q
q
E
q
q
E
V
U
(
)
(
)
2
1
2
2
/
21
2
/
11
q
q
U
a
q
q
U
= E
Weitere
Eigenschaften der Ausgabenfunktion
a
(.) ist homogen vom Grad 1 in den Preisen
eltnis
Preisverha
gleiches
zkurve
Indifferen
gleiche
gleiches optimales Güterbündel
gleichen Faktor steigen wie die Preisenotwendiges Einkommen muss um den
i
q
a
∂
∂
werden kann, muß das Einkommen steigen. Damit die alte Indifferenzkurve wieder erreicht
(Beide Eigenschaften am Beispiel von oben prüfen!)
Wie bereits gesagt:
a
(.) entspricht der Kostenfunktion in der Theorie der
Unternehmung.
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
44
Preisindices
Frage:
Steht sich der Haushalt nach einer Änderung aller Preise besser
oder schlechter?
Kriterium
Ist
V
vor oder nach der Änderung der Preise größer.
Anmerkung: Nur "besser" oder "schlechter" lässt sich so entscheiden
, nicht
wie viel
"besser/schlechter".
Beispiel: Haushalt mit Präferenzen, die durch Nutzenfunktion
2
1
y
y
U
beschrieben werden.
Gut 1 = Wohnung,
Gut 2 = Nahrung
vorher:
(
)
2
1
q
q
nachher:
(
)
2 '
'
1
q
q
(
)
(
)
2
2
/
21
2
/
11
2
1
q
q
E
q
q
E
V
(siehe oben)
Einsetzen
(
)
(
)
E
E
E
V
2
2
/
1
2
/
1
(
)
(
)
E
E
E
V
2
2
/
1
2
/
1
Also neues Preissystem schlechter (für diesen Haushalt).
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle Frage:
Könnten wir nicht doch etwas über das Ausmaß der Verbesse-
nur wieder erreicht werden, wenn das Einkommen auf Im obigen Beispiel: Das alte Nutzenniveau (die alte Indifferenzkurve) kannrung/Verschlechterung sagen?
E
E
gesteigert
wird. Könnte man nicht diese
notwendige Steigerung als
Maß für den Nut-
zenverlust
ansehen?
Ja, aber wir müssen uns immer bewusst sein, dass wir dieses Maß
defi-
niert
haben, und dass ihm beim Haushalt kein z. B. gefühlsmäßiges Äqui-
- Allgemeine Definition dieses Maßes:valent gegenübersteht!
Nutzen in Periode 1 ist
(
)
2
1
q
q
E
V
wie in Periode 1, istnotwendiges Einkommen in Periode 2, um gleichen Nutzen zu erreichen
(
)
(
)
2 '
'
1
2
1
q
q
q
q
E
V
a
Maß
(
)
E
q
q
q
q
E
V
a
I
'
2
'
1
2
1
Lebenhaltungskostenindex
Ein-
wie in Periode 1.kommensrelation für gleichen Nutzen
Wenn Nutzen in Periode 2 die Norm ist:
(
)
(
)
2
1
'
2
'
1
q
q
q
q
E
V
a
E
I
zen wie in Periode 2 zu erreichen.Einkommensrelation, um gleichen Nut-
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
46
Beispiel 1:
2
1
y
y
U
2
2
21
2
1
1
q
q
E
V
(wie oben)
(
)
2
2
21
2
1
1
q
q
U
a
((((
))))
((((
))))
2
2
/
21
2
/
11
2
2
/
1
'
2
2
/
1 '
1
q
q
q
q
Beispiel 2:
2
1
y
y
U
(
)
2
/
1
2
1
2
/
1
2
1
2
q
q
U
a
q
q E
V
(
)
E
q
q
q
q E
I
2
/
1
2 '
'
1
2
/
1
2
1
2
2
2
/
1
2
1
'
2
'
1
q
q
q
q
2
I
Also:
(
)
2
1
q
q
(
)
'
2
'
1
q
q
(
)
(
)
E
q
q
q
q
E
I
2
2
/
1
2 '
2
/
1
'
1
2
2
/
21
2
/
1
1
1
1
I
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle
47
lich Unterschiedliche Haushalte bewerten die Preisveränderung unterschied-
. Was dem einen wie eine "Preissteigerung" erscheint
1
I
kann dem anderen wie eine Preisreduktion
2
I
erscheinen.
In beiden Fällen werden
Mittelwerte
gebildet und durcheinander
dividiert
Im Fall 2 ist es das geometrische Mittel.
Aufgabe
(selbst nachrechnen)
2
2 '
1
'
1
I
I
I
I
gilt bei den obigen Beispielen. (Gilt nicht allgemein!)
Frage:
nen in der Zeitung erwähnten zu tun?Was haben die von uns bestimmten Lebenshaltungskosten mit de-
Obige Definition: Lebenshaltungskostenindex für
einen
Haushalt
In der Zeitung:
Lebenhaltungskostenindex für
viele
Haushalte
Unterschied
Man kann für viele Haushalte keine Nutzenfunktion wäh-
Gemeinsamkeitlen.
: Auch der
Lebenshaltungskostenindex für viele Haushalte
ist ein
Quotient von Mittelwerten
der Preise.
aber wiederWir können zwar keine Nutzenfunktion verwenden,
Mittelwert
der Preise bilden.
×
einfachster:
arithmetisches Mittel
Gewichte:
nachgefragte Mengen
[messen Bedeutung]
Im Beispiel:
y
1
y
2
in Periode 1
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
50
Graphische Analyse
I
E
E
E
E
a
y
q
y
q
y
q
y
L
I
L
n
n
n
n
n
1
1
'
'
1
- altes Optimum
notwendiges Ein-
kommen gemäß L
für
Periode 2 =
E
L
- Budgetgerade mit neuen Preisen und
E
I gemäßEinkommen 4. notwendiges
ist gleich
E
I
Budgetgerade mit alten Pre
i
sen und E
I' gemäßEinkommen 4. notwendiges
ist gleich
E
I'
- neues Optimum
notwendiges Einkommen
gemäß
P
für Periode 1 =
E
P
Budgetgerade mit
neuen Preisen und
E
'
'
1
'
1
'
'
'
1
'
1
I
E
E
E
E
q
y
q
y
q
y
q
y
P
I
P
n
n
n
n
alten Preisen und 2. Budgetgerade mit
E
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle
Aggregation
Lebensmittel
Käse
Brot
Eier
1
y
y
2
3
y
n
y
= Warenkorb für Lebensmittel
Preise
n
q
q
q
2
1
K
"Menge Lebensmittel"
n
n
y
q
y
q
L
1
1
= Preisindex mit "Preis für Lebensmittel" = Ausgaben für Lebensmittel
n
y
y
1
K
, als Gewichten
reale
Ausgaben für Lebensmittel
Preisindex Ausgaben
Im Internet "Statistisches Bundesamt" besuchen!
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
52
Konsumentenrente
Bei Preisindices haben wir
(
)
(
)
E
q
q
q
q
E
V
a
I
2 '
'
1
2
1
als einen "wahren" Lebenshaltungskostenindex bezeichnet
. Statt des Quo-
tienten können wir auch die Differenz verwenden
(
)
(
)
2
1
2
1
'
2
'
1
2
1
w
q
q
q
q
E
V
a
E
obei
E
q
q
q
q
E
V
a
W
gilt.
Halten wir jetzt den einen Preis fest, z.B.der auf das alte Nutzenniveau kommt.W mißt, wieviel man einem Haushalt geben (wegnehmen) müsste, damit
'
2
2
q
q
=
1 1 '
2
1
2
1
1
1
)
,
~
),
,
,
(
(
1
2
1
2
1
q q
q
q
q
q
E
V
h
q
d
q
q
q
q
q
E
V
a
W
Nachfrage
Fläche = monetarisierter Verlust des Haushaltes bei Preiserhöhung
q
1
q
1
1
q
'
1
q
1
q
(
)
(
)
2
1
2
1
1
q
q
q
q
E
V
h
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
2
1
1
q
q
E
y
q
q
q
q
E
V
h
wegen Shephards Lemma
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle Identität:
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
2
1
1
q
q
E
y
q
q
q
q
E
V
h
, also
y
1
statt h
1
verwenden?
Nachfrage
Die
notwendige
Einkommenskompensation
bei
Preiserhöhungen
rioren Gütern unterschätzt wird bei Verwendung der Marshallschen Nachfragefunktion und supe-
, bei
Preisminderungen
wird der Gewinn
überschätzt.
(Übungsaufgabe: inf. Güter betrachten!)
Aber:
h
ist schwer zu beobachten
y
einfacher!
1
q
'
1
q
1
q
(
)
2
1
1
q
q
E
y
Einkommensverlust unterschätzter
(
)
(
)
2
1
2
1
1
q
q
q
q
E
V
h
Substitutions-
und
Einkommenseffekt
Preis
erhöhung, superiores
Gut
Nachfragerückgang
deshalb für
1
1
q
q
unter
1
h
nur Substituti-
onseffekt
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle
56
Slutsky-Gleichung
Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir
den Einkommens- und Substitu-
tionseffekt auch formal trennen.
n
q
q
E
1
K
gegeben
(
)
n
q
q
E
V
U
1
K
∗
erreichbar
Es gilt
(
)
(
)
=
n
E
n
n
i
q
q
q
q
U
a
y
q
q
U
h
1
1
1
1
für alle identisch gleich, d. h. gilt
n
q
q
U
1
K
∗
j
i
j i
j
i
q
a
E
y
q y
q h
j
q
a
marginale
Einkommensänderung nötig für konstanten Nutzen
Substitutionseffekt
Einkommenseffekt
j
j
i
j
j
j
j
i
q
y
E
y
q
q h
q
q y
1
Slutsky-Gleichung
Gesamtveränderung
verlorenes Eink. bei Preiserhöhung und
y
j
const. Nachfrage nach Gut
i
(
)
(
)
Lemma
Shephards
wegen
1
1
n
j
n
j
q
q
E
y
q
q
U
h
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie II Prof. Dr. Friedel Bolle
57
Zusammenfassung,
Ableitung
und
Zusammenhang
der
in
der
Haushaltstheorie besprochenen Funktionen
Nutzenfunktion
(
)
n
y
y
U
1
K
Optimales
Güterbündel
Haushaltsrestriktion
Indifferenzkurve
n
n
y
q
y
q
E
L
1
1
(
)
n
y
y
U
U
1
K
Marshallsche Nachfragefunktion
i
y
H
ickssche Nachfragefunktionen h
j
Roys
Einsetzen in
1
1
h
q
Shepards
Theorem
Nutzenfunktionen
n
n
h
q
Lemma
Indirekte Nutzenfunktion
V
funktionen
Umkehr
Ausgabefunktion
a
Shepards Lemma:
(
)
(
)
i
n
n
i
q
q
q
U
a
q
q
U
h
1
1
K
K
Roys Theorem:
(
)
(
)
(
)
E
q
q
E
V
q
q
q
E
V
q
q
E
y
n
i
n
n
i
1
1
1
K
K
K
(
Anmerkung:
Roys Theorem ist in der Vorlesung nicht besprochen worden und deshalb
nicht klausurrelevant.)
j i
j i
p p
y
U
y
U
n
-1 unabhängige Gleichungen
(bestimmen den
Expansionspfad
______________________________________Vorlesung Mikroökonomie IIProf. Dr. Friedel Bolle Identitäten:
(
)
(
)
E
q
q
q
q
E
V
a
n
n
1
1
K
K
(
)
(
)
U
q
q
q
q
U
a
V
n
n
1
1
K
K
(
)
(
)
(
)
n
n
i
n
i
q
q
q
q
E
V
h
q
q
E
y
1
1
1
K
K
K
(
)
(
)
(
)
n
n
i
n
i
q
q
q
q
U
a
y
q
q
U
h
1
1
1
K
K
K
in den Preisen; sie nimmt ab im eigenen Preis.im Einkommen. Die Hickssche Nachfragefunktion ist homogen vom Grad 0shallsche Nachfragefunktion ist homogen vom Grad 0 in den Preisen undhomogen vom Grad 1 in den Preisen; sie steigt in allen Preisen. Die Mar-im Einkommen, sie nimmt ab in allen Preisen. Die Ausgabenfunktion istDie indirekte Nutzenfunktion ist homogen vom Grad 0 in den Preisen und
