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Technische Universit¨at Clausthal Institut f¨ur Mathematik Prof. Dr. L. G. Lucht Dr. C. Elsholtz Dipl.-Math. T. Bekehermes cand. math. S. Kubertin
WS 2000/
Ingenieurmathematik I
Haus¨ubungen und L¨osungen
Allgemeine Hinweise: Die Veranstalter der Vorlesung wurden mehrfach gebeten, eine schriftli- che Losung der Hausaufgaben auszuteilen. Wir danken besonders Dr. Maxsein, der uns erlaubt hat, auch von ihm mehrfach erprobte Aufgaben und L osungen zu verwenden und die Losun- gen auf diesem Wege zu verteilen. Die meisten der vorliegenden L osungen wurden von Frau Kubertin erstellt und getippt. Auch ihr sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Ebenso danken wir Herrn Bekehermes f ur das Korrekturlesen und viele weitere Hinweise an die Tutoren. Wir verweisen darauf, da die L osungen sich an die Tutoren richten, und daher vielleicht an mancher Stelle zu knapp sind, an anderer Stelle vielleicht aber auch zu ausf uhrlich sind, wenn Alternativlosungen erwahnt werden. Wir ho en aber, da die Losungen auch fur Sie als Studenten hilfreich sind: Vielleicht sehen Sie besser, wie Sie ihre eigenen langen Rechnungen h atten vereinfachen konnen, oder welche Schritte zu einem vollstandigen Beweis gefehlt haben. Sie pro tieren von diesen L osungen am meisten, wenn Sie diese nicht abheften, sondern durcharbeiten! Eine juristische Haftung f ur die Korrektheit der Losungen wird naturlich nicht ubernommen. Wenn Sie Fehler nden, senden Sie mir bitte eine Email. C. Elsholtz
1. Haus¨ubungsblatt
- Je einer der drei Br uder Karl, Ludwig und Martin studiert an einer der Universit aten von Aachen, Berlin und Clausthal. Sie studieren verschiedene F acher in verschiedenen Semestern, namlich Geotechnik, Informatik und Verfahrenstechnik. Der alteste Bruder Karl studiert nicht in Clausthal und Martin nicht in Aachen. Der Bruder in Clausthal studiert nicht Verfahrenstechnik. Der Bruder in Aachen studiert Informatik. Martin studiert nicht Geotechnik. Der Berliner Bruder hat sein Vorexamen bestanden. Die Eltern ho en, da alle Sohne ihr Studium in der Regelstudienzeit abschlieen werden. Das Produkt ihrer Semesterzahlen ergibt 45. Was und wo studiert Ludwig, und im wievielten Semester ist er?
- Bestimmen Sie die Mengen A, B, C aus den folgenden Angaben: A [ B =
B [ C =
, B \ C =
A [ C =
, A \ C =
L¨osungen
- Numeriere die einzelnen Satze des Textes von (1) bis (9) durch.
Wegen (1), (2) und (5) wird Informatik in Aachen studiert, wegen (4) Geotechnik in Clausthal, also Verfahrenstechnik in Berlin.
Wegen (3) und (6) studiert Martin weder Informatik noch Geotechnik, also Verfahrens- technik in Berlin. Wegen (3) studiert Karl in Aachen Informatik. Also studiert Ludwig Geotechnik in Clausthal.
Aus (9) und (8) kommen fur das Produkt 45 dreier verschiedener Zahlen < 15 aus der Teilermenge {1, 3, 5, 9, 15, 45} von 45 nur die Faktoren 1, 5, 9 in Frage. Wegen (3) ist Karl im 9. Semester, wegen (7) Martin im 5. Semester; also ist Ludwig im 1. Semester.
Ergebnis: Ludwig studiert im 1. Semester Geotechnik in Clausthal.
- Fertige eine Tabelle an und markiere die Zugeh origkeit zu einer Menge durch 1, die Nicht-Zugehorigkeit durch 0.
1 2 3 4 5 6 7 8 A 0 1 1 1 1 0 1 0 B 0 0 0 1 0 1 0 1 C 1 1 0 1 0 0 0 1
Zuerst sieht man A [ B [ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Etwa folgt aus B [ C = {1, 2, 4, 6, 8} sofort, da 3, 5, 7 nur in A liegen. Aus B \ C = {4, 8} ergibt sich die Zugehorigkeit von 4, 8 zu B und zu C, aus A \ C = {2, 4} folgt damit neben 2, 4 2 A weiter 8 / 2 A usw.
Ergebnis: A = {2, 3, 4, 5, 7}, B = {4, 6, 8}, C = {1, 2, 4, 8}.
2. Haus¨ubungsblatt
- Gegeben seien die nichtleeren Mengen X, Y und die Abbildung f : X → Y. Ferner seien M 1 , M 2 X. Beweisen Sie: (a) f
M 1 [ M 2
= f(M 1 ) [ f(M 2 ) , (b) f
M 1 \ M 2
f(M 1 ) \ f(M 2 ). (c) Geben Sie ein Beispiel daf ur, da in (b) keine Gleichheit bestehen mu.
- (a) Fur genau welche naturlichen Zahlen n gilt 4 n^ n^4? Begrundung?
stehen rechts n 2 Summanden, die alle groer als 12 und, abgesehen vom ersten, kleiner als 1 sind. Es folgt n 2 < sn < n fur alle n 2 N , n 2 , wie behauptet.
3. Haus¨ubungsblatt
(H1) Es seien f : A → B und g : B → C Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) Ist g f surjektiv, so ist g surjektiv. (b) Ist g f injektiv, so ist f injektiv.
(H2) Beweisen Sie, da 3
p 5 irrational ist.
L¨osungen
(H1) (a) Da g f surjektiv ist, gibt es zu jedem z 2 C ein x 2 A mit z = (g f)(x) = g(f(x)). Somit existiert ein y 2 B (namlich f(x)) mit g(y) = z. Also ist g surjektiv. (b) Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann gibt es zwei verschiedene x 1 , x 2 2 A mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Fur diese gilt dann aber auch g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) bzw. (g f)(x 1 ) = (g f)(x 2 ), im Widerspruch zur Annahme.
(H2) Angenommen, es gilt 3
p 5 = ab mit teilerfremden nat urlichen Zahlen a, b. Dann folgt: 5b^3 = a^3. Daher ist a^3 durch 5 teilbar; wir zeigen, da dann auch a durch 5 teilbar sein mu. W urde 5 nicht a teilen, so ware a = 5k + b mit k 2 N 0 und b 2 {1, 2, 3, 4}; dann ware
a^3 = (5k + b)^3 = (5k)^3 + 3b(5k)^2 + 3b^2 (5k) + b^3 = 5 ~k + ~b
mit ~k 2 N 0 und ~b 2 {1, 3, 2, 4}. Hierzu betrachte man die 4 Falle,
13 = 1 ergibt Rest 1 beim Teilen durch 5 23 = 8 3 33 = 27 2 43 = 64 4.
Ware also a kein Vielfaches von 5 , dann ware auch a^3 kein Vielfaches von 5. Dies zeigt, da a doch ein Vielfaches von 5 sein mu. Mit a = 5k gilt dann: 5b^3 = (5k)^3 bzw. b^3 = 25k^3. Wie oben mu b durch 5 teilbar sein. Das steht aber im Widerspruch zu a, b teilerfremd. Anmerkung: Im allgemeinen ist k
p n fur k, n 2 N entweder ganz oder irrational. Der Beweis erfolgt ahnlich wie hier, mit Hilfe der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Mittels eindeutiger Primfaktorzerlegung, die aus der Vorlesung nicht bekannt ist, kann man naturlich obigen Beweis stark vereinfachen.
4. Haus¨ubungsblatt
(H1) (a) Beweisen Sie 2 n−^1 < n! fur n 3.
(b) Beweisen Sie
∑n k= 0
1 k! < 3^ fur^ n^2 N.
(c) Geben Sie eine Formel f ur Pn =
∏n k= 2
1 − (^) k^12
an und beweisen Sie diese.
(H2) Geben Sie eine geschlossene Formel f ur
∑n ν= 1
ν^2 qν^ an und beweisen Sie diese. Benutzen Sie Ihre Ergebnisse aus (P1).
L¨osungen
(H1) (a) Beweis durch Induktion: Die Aussage ist richtig f ur n = 3 , da 23 −^1 = 4 < 3! = 6. Die Aussage sei richtig f ur n, also 2 n−^1 < n!. Dann folgt: 2 (n+^1 )−^1 = 2 2 n−^1 < 2 n! < (n + 1 )!, da n 3. (b) Nach a) ist k! > 2k−^1 , also gilt (^) k^1! <
2
k− 1 fur k 3. Unter Benutzung der Formel fur die geometrische Summe folgt: ∑^ n
k= 0
k! <^1 +^1 +^
∑^ n
k= 3
k− 1
2 +^
n∑− 3
k= 0
k
2
n− 2
1 − (^12)
= 1 + 1 + 1 2
2 n−^2
2 n−^1 < 3.
(c) Wendet man die dritte binomische Formel auf
1 − (^) k^12
an, so erhalt man ein Teleskop-Produkt:
Q 1 = q
2 q− 1 −^0 +^0 −^
q q− 1 =^ q.)
Alternativlosung: Benutze n^2 =
∑n ν= 1 (2ν^ −^1 ).
Qn :=
∑n ν= 1
ν^2 qν^ = q + 4q^2 + 9q^3 +... + n^2 qn = q + q^2 + q^3 +... + qn
- 3 (q^2 + q^3 +... + qn)
- 5 (q^3 +... + qn)
... ... + (2n − 1 )qn.
Dann folgt mit der geometrischen Summe und mit dem Ergebnis aus (P1):
Qn = q q
n (^) − 1 q − 1
n− (^1) − 1 q − 1
q − 1
= − (^) q −^1 1 −n^2 qn+^1 +
∑^ n
k= 1
(2k − 1 )qk
q − 1
−n^2 qn+^1 + 2
∑^ n
k= 1
kqk^ −
∑^ n
k= 1
qk
q − 1
−n^2 qn+^1 + 2
nqn+^1 q − 1 −^
qn+^1 − q (q − 1 )^2
− q
qn^ − 1 q − 1
(wegen (P1))
= − (^) q −^1
−n^2 qn+^1 + (2n^ −^1 )q
n+ (^1) + q q − 1 −^2
qn+^1 − q (q − 1 )^2
q − 1
n^2 qn+^1 − (2n^ −^1 )q
n+ (^1) + q q − 1
n+ (^1) − q (q − 1 )^2
Dies ist aquivalent zu obigem Ergebnis, auch wenn es optisch anders aussieht. Die verschieden aussehenden Teile sind: −q (q − 1 )^2 −^
2q (q − 1 )^3 =^
−2q^2 (q − 1 )^3 +^
q (q − 1 )^2.
5. Haus¨ubungsblatt
(H1) Beweisen Sie:
(a) Fur alle naturlichen Zahlen n gilt ∑^ n
k= 0
(− 1 )k
n k
(b) Fur alle nicht negativen ganzen Zahlen n, k gilt ∑^ k
j= 0
n + j j
n + k + 1 k
(H2) An einer Wurfbude auf dem Jahrmarkt werfen drei (ungeschickte?) Personen auf eine Figur je einen Ball. Die erste tri t mit einer Wahrscheinlichkeit von 34 , die zweite mit einer von 23 und die dritte mit Wahrscheinlichkeit 12. Berechnen Sie die Wahrscheinlich- keit dafur, da die Figur (a) nicht getro en wird, (b) von allen drei Ballen getro en wird, (c) von genau zwei Ballen getro en wird.
L¨osungen
(H1) (a) Es gilt:
∑^ n
k= 0
(− 1 )k
n k
∑^ n
k= 0
n k
(− 1 )k^ 1 n−k
= ( 1 − 1 )n^ = 0 n = 0 fur n 2 N, also n 6 = 0.
Alternativlosung: Benutze
n k
n− 1 k− 1
n− 1 k
. Dann folgt: ∑^ n
k= 0
(− 1 )k
n k
∑^ n
k= 0
(− 1 )k
n − 1 k − 1
∑^ n
k= 0
(− 1 )k
n − 1 k
∑^ n
k= 1
(− 1 )k
n − 1 k − 1
n∑− 1
k= 0
(− 1 )k
n − 1 k
n∑− 1
k= 0
(− 1 )k+^1 + (− 1 )k
n − 1 k
(b) Vorbemerkung: Die Gleichung lautet etwa f ur k = 3 und n = 1 : 1 0
1
2
3
3
Im Pascalschen Dreieck stellt sich das folgendermaen dar: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
(H2) Untersuchen Sie, ob die Bildmenge f(D) mit D = (−1, ∞) der Funktion
x 7 −→ y = f(x) = (^1) +x x
beschrankt ist; bestimmen Sie ggf. sup f(D) und inf f(D), und skizzieren Sie die Funk- tion.
L¨osungen
(H1) Zunachst die allgemeinen Umrechnungsformeln:
(c) Ist sin ϕ gegeben, so folgt mit cos 2 ϕ = 1 − sin^2 ϕ:
cos ϕ =
p 1 − sin^2 ϕ sowie
tan ϕ = sin^ ϕ cos ϕ
= sin^ ϕ
p 1 − sin^2 ϕ
und cot ϕ = 1 tan ϕ
p 1 − sin^2 ϕ sin ϕ
Ist cos ϕ gegeben, so folgt mit sin 2 ϕ = 1 − cos^2 ϕ:
sin ϕ =
p 1 − cos^2 ϕ sowie
tan ϕ = sin^ ϕ cos ϕ
p 1 − cos^2 ϕ cos ϕ
und cot ϕ = 1 tan ϕ
= cos^ ϕ
p 1 − cos^2 ϕ
Es sei tan ϕ gegeben; aus tan^2 ϕ = sin cos^22 ϕϕ = (^) cos^12 ϕ − 1 folgt dann (^) cos^12 ϕ = 1 +tan^2 ϕ, also: cos ϕ =
p 1 + tan^2 ϕ
Aus (^) tan^12 ϕ = cos sin^22 ϕϕ = (^) sin^12 ϕ − 1 folgt dann entsprechend (^) sin^12 ϕ = 1 + (^) tan^12 ϕ = tan^2 ϕ+ 1 tan^2 ϕ , also: sin ϕ = p tan^ ϕ 1 + tan^2 ϕ
Ist cot ϕ gegeben, so folgen mit cot ϕ = (^) tan^1 ϕ die ubrigen Formeln.
Insgesamt hat man:
ges. sin ϕ cos ϕ tan ϕ cot ϕ geg.
sin ϕ |
p 1 − sin^2 ϕ psin^ ϕ 1 −sin^2 ϕ
p 1 −sin^2 ϕ sin ϕ
cos ϕ
p 1 − cos^2 ϕ |
p 1 −cos (^2) ϕ cos ϕ
cos ϕ p 1 −cos^2 ϕ
tan ϕ ptan^ ϕ 1 +tan^2 ϕ
p^1 1 +tan^2 ϕ
| (^) tan^1 ϕ
cot ϕ p 1 +^1 cot (^2) ϕ p 1 cot+cot^ ϕ (^2) ϕ cot^1 ϕ |
Dabei sind die Vorzeichen so zu w ahlen, da sin ϕ fur ϕ 2 [0, 180] positiv, fur ϕ 2 ( 180 , 360) negativ ist, usw., also gem a folgender Tabelle:
ϕ 2 (0, 90] ( 90 , 180] ( 180 , 270] ( 270 , 360] sin ϕ + + - - cos ϕ + - - + tan ϕ + - + - cot ϕ + - + -
(a) Nach den Formeln aus (c) ergibt sich: (i) sin ϕ = 257 ⇒ cos ϕ = 2425 , tan ϕ = 247 , cot ϕ = 247. (ii) cos ϕ = 35 ⇒ sin ϕ = 45 , tan ϕ = 43 , cot ϕ = 34. (iii) tan ϕ = 125 ⇒ sin ϕ = 1213 , cos ϕ = 135 , cot ϕ = 125. (b)
zu (a)(i) ϕ 1 = arcsin 257 = 0.28 . ϕ 2 = π − ϕ 1 = 2.85 . Auerdem ϕ = ϕ1,2 + 2kπ, mit k 2 Z. zu (a)(ii) ϕ 1 = arccos 35 = 0.927 . Der zweite Wert ϕ 2 = 2π − ϕ 1 = 5.35 . liegt nicht im gesuchten Intervall. Alle anderen Werte erhalt man aus ϕ 1 und ϕ 2 durch Addition von 2kπ. zu (a)(iii) ϕ 1 = arctan 125 = 1.17 . Da die Tangensfunktion die Periode π hat, auer- dem ϕ = ϕ 1 + kπ, mit k 2 Z.
(H2) Es ist y = f(x) > 0 genau fur x > 0, also fur x = |x|. Also gilt wie in (P1) y < 1 fur al- le y 2 f(D). Damit existiert das Supremum von f(D), und wie in (P1) folgt sup f(D) = 1.
Alternative Losung unter Benutzung von (P1 a):
cos x + cos y = sin( π 2 − x) + sin( π 2 − y)
= 2 sin
( π 2 − x) + ( π 2 − y) 2
cos
( π 2 − x) − ( π 2 − y) 2
= 2 sin
π 2 −^
x + y 2
cos
y − x 2
= 2 cos
x + y 2
cos
x − y 2
(b) Ebenfalls mit obigem Additionstheorem folgt:
cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos^2 x − ( 1 − cos^2 x) = 2 cos^2 x − 1.
(c) Verwende erneut das Additionstheorem f ur cos(a + b) mit a := 2x und b := x und benutze die Ergebnisse aus (b) sowie (P1 b). Dann folgt:
cos 3x = cos(2x + x) = cos 2x cos x − sin 2x sin x = ( 2 cos^2 x − 1 ) cos x − 2 sin x cos x sin x =
2 cos^2 x − 1 − 2 ( 1 − cos^2 x)
cos x = ( 4 cos^2 x − 3 ) cos x = − 3 cos x + 4 cos^3 x.
(H2) (a) Mit den De nitionen von sinh x und cosh x erhalt man wie in (P2 a):
cosh x cosh y + sinh x sinh y =
ex^ + e−x
(ey^ + e−y
ex^ − e−x
ey^ − e−y
ex+y^ + ex−y^ + e−x+y^ + e−(x+y)
ex+y^ − ex−y^ − e−x+y^ + e−(x+y)
2ex+y^ + 2e−(x+y)
= cosh(x + y).
(b) Da cosh x nur Werte 1 annimmt, ist Arcosh x nur fur x 1 de niert. Tatsachlich gilt die Formel auch f ur alle x 1.
Rechne analog zu (P2 b): Setze y := Arcosh x. Dann ist also x = cosh y = ey+ 2 e −y.
Damit folgt weiter:
2x = ey^ + 1 ey^
=⇒ 2xey^ = e2y^ + 1 =⇒ − 1 = e2y^ − 2xey =⇒ x^2 − 1 = e2y^ − 2xey^ + x^2 = (ey^ − x)^2 =⇒ (s.u.)
p x^2 − 1 = ey^ − x =⇒ ey^ = x +
p x^2 − 1 =⇒ y = ln
x +
p x^2 − 1
Erganzung: Wir benotigen ey^ − x 0. Nach De nition von x ist ey^ − x = ey^ − cosh y = sinh y. Nun ist aber sinh y 0 genau fur y 0. Wegen y = Arcosh x ist also nach De nition des Arcosh hier y 0. Alternativlosung: Zeige, da cosh
ln
x +
p x^2 − 1
= x fur alle x 1 gilt:
cosh
ln
x +
p x^2 − 1
eln(x+
px (^2) − 1 ) + e−^ ln(x+
px (^2) − 1 )
x +
p x^2 − 1 + 1 x +
p x^2 − 1
x +
p x^2 − 1
x +
p x^2 − 1 = 1 2
x
(^2) + 2xpx (^2) − 1 + x (^2) − 1 + 1 x +
p x^2 − 1 = 1 2
2x
(^2) + 2xpx (^2) − 1 x +
p x^2 − 1 = 1 2
2x = x.
8. Haus¨ubungsblatt
(H1) Berechnen und skizzieren Sie die Menge aller z 2 C mit:
(a) |z − z 0 | R , (b) |z − 2 | < |z| , (c) Re(z^2 ) = 0 , (d) Re z = 2 Im z + 1 , (e) |z + i| + |z − i| 4.
(H2) Es seien z, w, z 1 , z 2 2 C. Rechnen Sie nach, da
|z + w|^2 + |z − w|^2 = 2
|z|^2 + |w|^2
gilt. Folgern Sie dann mit der Gleichung ():
(d) Re z = 2 Im z + 1 ist gleichbedeutend mit x = 2y + 1 oder auch y = x− 2 1.
6
Re z
Im z
(e) |z + i| + |z − i| 4 gilt, falls die Summe der Abst ande von z zu i und −i nicht groer als 4 ist. Die Ungleichung beschreibt also das Innere einer Ellipse mit den Brennpunkten i und −i und Halbachsen der Lange
p 3 (in Richtung des Realteils) und 2 (in Richtung des Imaginarteils).
6
Re z
Im z
2
p 3 pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
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pp
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pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
(H2) Es gilt fur z, w 2 C
|z + w|^2 + |z − w|^2 = (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w) = (z + w)(z + w) + (z − w)(z − w) = zz + z w + zw + w w + zz − z w − zw + ww = 2 (|z|^2 + |w|^2 ). ()
(a) Mit () folgt 2 (|z 1 |^2 +|z 2 |^2 ) = |z 1 +z 2 |^2 +|z 1 −z 2 |^2 1 + 1 = 2 , also die Behauptung. (b) Angenommen, es gilt |z 1 + z 2 | > 1 und gleichzeitig |z 1 − z 2 | > 1, dann folgt wie in (a) 2 (|z 1 |^2 + |z 2 |^2 ) = |z 1 + z 2 |^2 + |z 1 − z 2 |^2 > 2, also |z 1 |^2 + |z 2 |^2 > 1, im Widerspruch zur Voraussetzung. (c) Das Beispiel z 1 = z 2 = 23 zeigt, da die Umkehrung zu (a) nicht gilt. Es ist dann |z 1 |^2 + |z 2 |^2 = 89 1 , aber es gilt nur |z 1 − z 2 | 1 und nicht |z 1 + z 2 | 1.
9. Haus¨ubungsblatt
(H1) Fur eine naturliche Zahl n seien ζ 1 , ζ 2 , , ζn die n-ten komplexen Einheitswurzeln. Berechnen Sie (^) n ∏
ν= 1
ζν.
Unterscheiden Sie hierbei zwischen geradem und ungeradem n.
(H2) (a) Bestimmen Sie die komplexe und die reelle Produktzerlegung von x^4 + 1.
(b) Bestimmen Sie die relle Partialbruchzerlegung von f(x) = x^6 − x 4 x+^5 + 1 x^4.
L¨osungen
(H1) 1. Losung Es sei ζ = e 2πin^. Bei geeigneter Numerierung der ζν ist dann ζν = ζν. Damit folgt: ∏^ n
ν= 1
ζν =
∏^ n
ν= 1
ζν^ = ζ^1 +^2 ++n^ = ζ
n(n 2 + 1 )
= e
2πin n(n 2 + 1 ) = eπi^ (n+^1 )
=
falls n ungerade falls n gerade.
- Losung Betrachte die geometrische Lage der Wurzeln auf dem Einheitskreis:
z.B. n = 5 :
6
Re z
Im z
r ζ 5
rζ 1 ζ (^2) r
ζ 3 r rζ 4
oder n = 6 :
6
Re z
Im z
r ζ 6
ζ 2 r rζ 1
r ζ 3
r ζ 4
r ζ 5
Es gilt ζ ζ = 1 fur konjugierte Wurzeln.
∏n ν= 1
ζν ist das Produkt uber Paare von konjugierten Wurzeln multipliziert mit den Wurzeln, die gleich ihrem Konjugierten sind (diese sind 1 und, falls n gerade ist, auch − 1 ). Somit ist
∏n ν= 1
ζν = 1 , falls n
ungerade, und
∏n ν= 1
ζν = 1 (− 1 ) = − 1 , falls n gerade.
- Losung Da die ζν die Nullstellen des Polynoms xn^ − 1 sind, gilt:
(x − ζ 1 )(x − ζ 2 ) (x − ζn) = xn^ − 1.
Dies ist aquivalent zu
x^2 − x + 1 = (Ax + B) (x^2 −
p 2 x + 1 ) + (Cx + D) (x^2 +
p 2 x + 1 ) = Ax^3 −
p 2 Ax^2 + Ax + Bx^2 −
p 2 Bx + B+ Cx^3 +
p 2 Cx^2 + Cx + Dx^2 +
p 2 Dx + D.
Weiter erhalt man durch Koezientenvergleich fur x^3 : A + C = 0, ( 1 ) fur x^2 : −
p 2 A + B +
p 2 C + D = 1, ( 2 ) fur x : A −
p 2 B + C +
p 2 D = −1, ( 3 ) fur 1 : B + D = 1. ( 4 ) Aus (1) und (3) folgt: −
p 2 B +
p 2 D = −1. Mit (4) ergibt sich B =
p 2 + 1 2 p 2 und^ D^ =
p 2 − 1 2 p 2. Aus (2) und (4) folgt entsprechend −
p 2 A +
p 2 C = 0 , und wegen (1): A = C = 0. Also bekommt man die folgende Partialbruchzerlegung:
x^6 − x^5 + x^4 x^4 + 1 =^ x
(^2) − x + 1 −
p 2 + 1 2
p 2 (x^2 +
p 2 x + 1 )
p 2 − 1 2
p 2 (x^2 −
p 2 x + 1 )
10. Haus¨ubungsblatt
(H1) Gegeben seien die Vektoren ~a 1 = (1, 2, 3), ~a 2 = (3, −1, 2), a~ 3 = (2, 1, 3), ~a 4 = (1, 3, 2).
(a) Vier Vektoren des R^3 sind immer linear abhangig. Rechnen Sie dies f ur die Vektoren a^ ~ 1 , a~ 2 , a~ 3 und a~ 4 nach. (b) Sind die Vektoren ~a 1 , ~a 2 , und ~a 4 linear abhangig?
(H2) Durch die Punkte A = (1, 1, 1) , B = (1, 0, 1) , C = (3, 4, 0) ist ein Dreieck gegeben. Berechnen Sie
(a) die Seitenlangen, die Flache und den Winkel bei A , (b) den Vektor der Hohe durch C , (c) die Richtung der Winkelhalbierenden durch A , (d) das Volumen des Tetraeders mit den Ecken A , B , C und (0, 0, 0).
L¨osungen
(H1) (a) x 1 ~a 1 + x 2 ~a 2 + x 3 ~a 3 + x 4 ~a 4 = ~ 0 ist gleichbedeutend mit dem System:
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 = 0 | (− 2 ) | (− 3 ) 2x 1 −x 2 +x 3 +3x 4 = 0 |+ 3x 1 +2x 2 +3x 3 +2x 4 = 0 |+
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 = 0 ( 1 ) −7x 2 −3x 3 +x 4 = 0 ( 2 ) −7x 2 −3x 3 −x 4 = 0 ( 3 ) Aus (2) und (3) folgt x 4 = 0 ; damit ist das System erf ullt fur x 1 = −3x 2 − 2x 3 () mit 7x 2 = −3x 3 (), also etwa fur x 2 = 3, x 3 = −7, x 1 = − 9 + 14 = 5 und x 4 = 0. Es ist also 5 ~a 1 + 3 ~a 2 − 7 a~ 3 = ~ 0 , d.h., die vier Vektoren ~a 1 , ~a 2 , ~a 3 , ~a 4 sind linear abhangig. (Insbesondere sind bereits ~a 1 , ~a 2 , a~ 3 linear abhangig.)
Anmerkung: Vier Vektoren im R^3 mussen linear abhangig sein!
(b) Es gilt dieselbe Rechnung wie in (a) mit x 2 = 0. Dann verschwinden aber neben x 4 wegen () auch x 3 und wegen () auch x 1. Aus x 1 ~a 1 + x 3 ~a 3 + x 4 ~a 4 = ~ 0 folgt somit x 1 = x 3 = x 4 = 0. Also sind ~a 1 , ~a 3 und ~a 4 linear unabhangig.
Alternativ: Es ist:
det(~a 1 , ~a 3 , ~a 4 ) =
(H2) (a) Die Seiten des Dreiecks sind die Vektoren:
~a := BC~ =
A (^) , ~b := AC~ =
A (^) , ~c := AB~ =
A .
Die Seitenlangen sind daher |~a| =
p 21, |~b| =
p 14 und |~c| = 1. Fur den Flacheninhalt gilt:
F 4 = 12 |~a ~c| = (^12)
A
A = 12
A (^) = 12 p.
Anmerkung: Es gilt (wegen ~c = ~b − ~a)
F 4 = 1 2
|~a ~c| = 1 2
|~a ~b| = 1 2
|~b ~c|.
Wegen der Nullen in ~c ist es praktisch, nicht 12 |~a ~b| = zu verwenden. Der Winkel bei A ist ^(~b, ~c) mit
cos ^(~b, ~c) =
~b ~c |~b| |~c|
p−^3 14
und somit ^(~b, ~c) = arccos
p−^3 14
= 2, 501... = 143, 300.. .^ (da ^(~b, ~c) 2 (0, π)).
