Integraltransformationen, Mitschriften von Mathematische Physik

Nur auf Docsity: Lade Integraltransformationen und mehr Mitschriften als PDF für Mathematische Physik herunter!

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

Integraltransformationen

Fakult¨at Grundlagen

Juli 2010

Fakult¨at Grundlagen Integraltransformationen

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

Ubersicht^ ¨

(^1) Fourier-Transformation komplexe Fourierreihe Fourierintegral Definition

(^2) Laplace-Transformation Motivation Definition

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

komplexe Fourierreihe FourierintegralDefinition

Grenz¨ubergang T → ∞

f (t) = (^) T^1

∑^ ∞

k=−∞

ck · T

ejkω^0 t^ = (^21) π

∑^ ∞

k=−∞

ck · T

ejkΔωt^ ︸︷︷︸Δω = (^2) Tπ

mit ωk = k · Δω erh¨alt man ck · T =

T 2 ∫

− T 2

f (t)e−jωk^ t^ dt

ck ·T ︷ ︸︸ ︷ T 2 ∫

− T 2

f (t)e−jωk^ t^ dt

ωk → ω =⇒

S(ω) ︷ ︸︸ ︷ ∫^ ∞

−∞

f (t)e−jωt^ dt

2 π

∑^ ∞

k=−∞

(ck · T ) · ejωk^ t^ Δω ︸ ︷︷ ︸ f (^) T (t)

∑ (^) → ∫ =⇒

2 π

∫^ ∞

−∞

S(ω)ejωt^ dω

︸ ︷︷ ︸ f (t)

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

komplexe Fourierreihe FourierintegralDefinition

Beispiel I

f (t) =

1 f¨ur |t| < 1 0 f¨ur 1 < |t| < T 2

f (t + T ) = f (t); ω 0 = (^2) Tπ

Periode : T ; Impulsdauer : T 1 = 2

t

1

1 T 2

ck = (^) T^1

∫^1

− 1

e−jkω^0 t^ dt = (^) T^1 e

−jkω 0 t −jkω 0

1

− 1

= (^) T^1 e

jk (^2) Tπ (^) − e−jk (^2) Tπ jkω 0

2 j sin

k 2 π T

T · jk 2 π T

= (^) k^1 π sin

k (^2) Tπ

; c 0 = (^) T^2

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

komplexe Fourierreihe FourierintegralDefinition

Fouriertransformation

Besteht zwischen S(ω) und f (t) der Zusammenhang

S(ω) =

∫^ ∞

−∞

f (t) · e−jωt^ dt f (t) = (^21) π

∫^ ∞

−∞

S(ω) · ejωt^ dω

so nennt man S(ω) Spektraldichte des Zeitsignals f (t). Die ¨Aquivalenz von f (t) und S(ω) wird durch ^ ^ beschrieben.

f (t) Funktion im Zeitbereich

 

S(ω) Funktion im Frequenzbereich

periodische Funktion f (t) ⇔ diskretes Spektrum {ck } aperiodische Funktion f (t) ⇔ kontinuierliches Spektrum S(ω)

Fourier-Transformation Laplace-Transformation

komplexe Fourierreihe FourierintegralDefinition

Fouriertransformation; Definition

H¨aufig wird als Frequenzvariable anstelle der Kreisfrequenz ω die Frequenz f mit ω = 2πf verwendet. Subst: {ω = 2πf ; dω = 2πdf }  (^21) π

g (ω)dω =

g (2πf )df Die Zeitfunktion s(t) und die Frequenzfunktion S(f ) bilden ein Fourier-Transformationspaar s(t) ^ ^ S(f ) , wenn sie folgenden Transformationsgleichungen gen¨ugen:

F{s(t)} = S(f ) =

∫^ ∞

−∞

s(t) · e−j^2 πft^ dt

F−^1 {S(f )} = s(t) =

∫^ ∞

−∞

S(f ) · ej^2 πft^ df

Korrespondenzsymbol ^ ^ : s(t) ^ ^ S(f )

Fourier-Transformation Laplace-Transformation Motivation Definition

Motivation

Fouriertransformation ist f¨ur Signale auf ganz IR, die gewissen Abklingbedingungen gen¨ugen, erkl¨art.(zweiseitige Transformation) Bei Einschaltvorg¨angen ist s(t) nur f¨ur t ≥ 0 interessant. Wird ein konvergenzerzeugender Faktor e−αt^ eingef¨ugt, so k¨onnen auch wachsende Zeitfunk- tionen transformiert werden.

s∗(t) =

0 f¨ur t < 0 s(t) · e−αt^ f¨ur t ≥ 0

t

s(t)

t

s(t)

F {s∗(t)} =

∫^ ∞

t=−∞

s∗(t) · e−j^2 πft^ dt =

∫^ ∞

t=

s(t) · e−(α+j^2 πf^ )t^ dt

Fourier-Transformation Laplace-Transformation Motivation Definition

Definition

Mit ω = 2πf und s = α + jω ergibt sich die Darstellung:

F {s∗(t)} =

∫^ ∞

t=

s(t)·e−(α+jω)t^ dt =

∫^ ∞

t=

s(t)·e−st^ dt = S(s) ; s ∈ C

Damit die uneigentlichen Integrale existieren, muss α hinreichend groß gew¨ahlt werden. Eine f¨ur t ≥ 0 erkl¨arte Funktion s(t) entspricht so einer komplexwertigen Funktion S(s). Damit eine Transformation entsteht, muss auch der R¨uckweg erkl¨art sein. Weiter muss sich die Ausgangssfunktion s(t) aus S(s) rekonstruieren lassen. Benutzt wird die Fouriertransformation f¨ur die Hilfsfunktion s∗(t).

Fourier-Transformation Laplace-Transformation Motivation Definition

Definition

Die Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 f¨ur t < 0 und die Frequenzfunktion F (s) bilden ein Laplace-Transformationspaar f (t) ^ ^ F (s) , wenn der Zusammenhang gilt:

F (s) = L {f (t)} =

∫^ ∞

t=

f (t) · e−st^ dt; s ∈ C

f (t) = L−^1 {F (s)} = (^21) πj

α∫+j∞

s=α−j∞

F (s) · est^ ds

Symbol wie bei Fourier-Transformation: f (t) ^ ^ F (s)

Fourier-Transformation Laplace-Transformation Motivation Definition

Beispiel

L {σ(t)} =

∫^ ∞

t=

e−st^ dt = lim T →∞

[

s e−st

]T

0

s

lim T →∞

−e−sT^

Mit s = α + jω und wegen |e−jωT^ | = 1, folgt

L {σ(t)} =

s

s

· lim T →∞

e−αT^ · e−jωT^

s

, falls α = Re(s) > 0.

⇒ σ(t) ^ ^1 s ; Re(s) > 0

Konvergenzhalbebene

Im

Re