Kapitel 9 Drehstrom, Prüfungen von Elektrotechnik

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Kapitel 9

Drehstrom

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit dem Dreiphasenwechselstrom, der auch Dreh‐ strom genannt wird. Im Folgenden werden seine Erzeugung und Anwendung sowie die typischen Schaltungen besprochen: die Stern‐ und die Dreieckschaltung.

9.1 Erzeugung von Wechselspannungen und Drehstrom

Wie Sie in den vorangegangenen Kapiteln, insbesondere in Kapitel 6, gesehen haben, kann mithilfe der Induktion eine Wechselspannung erzeugt werden.

Hierzu war es z. B. notwendig, eine Spule in einem Magnetfeld zu bewegen oder eine Spule einem sich ständig ändernden Magnetfeld auszusetzen. Dieses Prinzip wird auch dazu verwendet, unsere Haushalte mit Strom zu versorgen.

Generatorprinzip

Die Maschinen, die über die Induktion eine Spannung generieren, werden als Genera‐ toren bezeichnet (siehe Abbildung 9.1).

Abbildung 9.1 Generator zur Erzeugung von Wechselspannungen

Ständer

∞

Polrad

U  U 

W 

W 

V  V 

S^

N

U

W V

9 Drehstrom

Da an den Spulen durch die Induktion effektiv 230 V anliegen, können die Spulen auf einer Seite miteinander verbunden werden, und die 230 V sind jeweils gegen das an- dere Ende der Spule zu messen. Die spannungsführenden Leitungen heißen L1 , L2 und L3. Diese Schaltung wird als Sternschaltung bezeichnet. Die Leitung, gegen die an L1 , L2 und L3 jeweils 230 V anliegen, wird N‐Leiter , Null‐Leiter oder Neutral‐Leiter ge- nannt. Wenn Sie die Schaltung etwas umzeichnen, ist die Sternform aus Abbildung 9. zu erkennen. In Abschnitt 7.4 haben Sie schon berechnet, wie groß die Spannung zwischen zwei 230-V-Leitungen mit einer Phasenverschiebung von 120° ist. Das Ergebnis war √3 ∙ 230 V = 398,4 V, aufgerundet 400 V. Zwischen den Leitungen^ L1^ und^ L2 ,^ L2^ und L3 sowie L3 und L1 liegt also jeweils eine Spannung von 400 V an. Daher spricht man beim Drehstrom auch vom 400 ‐V‐System.

Der Weg vom Kraftwerk nach Hause Die Dreiphasenwechselspannung wird in einem Kraftwerk mithilfe eines Generators erzeugt. Dann wird sie zunächst auf eine Mittelspannung, eine Spannung im zweistel- ligen kV-Bereich, und letztendlich auf eine Hochspannung im dreistelligen kV-Bereich hochtransformiert. Über Hochspannungsleitungen werden die Spannungen dann in die Nähe des Verbrauchers gebracht. In einem Umspannwerk werden sie wieder zu einer Mittelspannung und in kleinen Trafostationen kurz vor unseren Haustüren auf 400 V transformiert. Spannungen unterhalb von 1000 V werden als Niederspannung bezeichnet. Durch die Transformation wird erreicht, dass der Strom bei annähernd gleichbleiben- der Leistung klein bleiben kann, denn ein hoher Strom über eine mehrere Kilometer lange Leitung zu transportieren, würde einen sehr großen Querschnitt der Leitungen erfordern, um die Wirkleistungsverluste auf der Leitung klein zu halten. Ebenso wür- den die Leitungen sehr schwer und sehr teuer werden. In unserem Keller bekommen wir dann vom Energieversorger die Dreiphasenwech- selspannung mit einem Wert von jeweils 230 V geliefert, nämlich die Spannungen auf den oben genannten Leitungen L1 , L2 und L3. L1 führt die Induktionsspannung von U, L2 die von V und L3 die von W. In der Praxis werden die Spannungen mit den Leitungen gleichgesetzt. Mit L1 wird dann z. B. sowohl die Leitung als auch die Spannung bezeichnet.

Motorprinzip Das Prinzip des Generators kann auch umgekehrt werden. Umgekehrt insofern, als dass der Strom, der im Vorfeld in einem Generator erzeugt wurde, nun eine Ma-

9.1 Erzeugung von Wechselspannungen und Drehstrom

schine antreibt, die wir Motor nennen. Den grundsätzlichen Aufbau sehen Sie in Ab- bildung 9.5.

Abbildung 9.5 Prinzipieller Aufbau eines Motors – hier ist ein sogenannter Synchronmotor dargestellt.

Ein Motor besitzt prinzipiell wie ein Generator drei Spulen, die mit U, V und W be- zeichnet werden. In der Mitte ist ein Magnet angebracht, der drehbar gelagert ist. Der Magnet kann allerdings auch durch eine stromdurchflossene Spule realisiert werden. Schließen Sie nun an die Spulen den Drehstrom an, also L1 an U, L2 an V, L3 an W, dann entsteht an jeder Spule ein Magnetfeld, das sich aufgrund der sinusförmigen Spannung ändert. Betrachten Sie zuerst die Spule U: Das Magnetfeld, das an dieser Spule aufgebaut wird, ändert sich mit der angelegten Spannung. Nehmen Sie an, dass sich der Südpol der Spule U, wie in Abbildung 9.5 dargestellt, auf der Unterseite der Spule befindet, wenn L1 sein Maximum erreicht hat. Der drehbare Magnet wird sich dann mit seinem Nord- pol zum Südpol der Spule hin ausrichten. Die Spannung ändert sich aber kontinuier- lich und somit auch das Magnetfeld. An der Spule U wird nun der das Feld des Nord- pols immer stärker. Der Magnet wird sich jetzt von der Spule wegbewegen.

N

S

N S

N S

L L L

U

U

W

W

V

V

N

S

9 Drehstrom

Es gibt nun potenziell zwei Möglichkeiten: Der Magnet dreht sich nach rechts oder nach links. Er bewegt sich zu der Spule hin, bei der als Nächstes der Südpol auf der Unterseite der Spule zu finden ist. Aufgrund der Phasenverschiebung wird das aber die Spule sein, an die L2 angeschlossen ist, denn diese Spannung erreicht als nächste ihr Maximum. Somit ist eine klare Drehrichtung des Motors vorgegeben. Der Motor in Abbildung 9.5 dreht sich nach rechts. Wenn L2 und L3 vertauscht würden, so würde er sich nach links drehen. Die 120°-Phasenverschiebung gibt also eine klare Drehrichtung vor. Man spricht hier auch von Rechts‐ oder Linksdrehfeld und dadurch erklärt sich auch die Bezeichnung Drehstrom. Bei nur zwei Spannungen und einer 180°-Anordnung wäre nie klar, in welche Rich- tung der Motor dreht, und somit wäre dieser »Motor« nicht funktionsfähig.

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Der Transformator, der die Mittelspannung auf die Niederspannung heruntertrans- formiert, hat den Aufbau aus Abbildung 9.6.

Abbildung 9.6 Transformation von Mittelspannung zu Niederspannung (230 V)

L

L

L

Primärseite Anschluss der Mittelspannungs- leitungen

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Die Sekundärseite (siehe Abbildung 9.7) ist in Sternschaltung geschaltet.

Abbildung 9.7 Schaltung der Sekundärseite

In jeder Transformatorspule auf der Sekundärseite wird eine Spannung von effektiv 230 V induziert. Zwischen den einzelnen Phasen herrscht eine Spannung von effektiv 400 V. Aufgrund dieser Spannung zwischen den Leitern können zwischen ihnen auch Ströme fließen, wenn ein Verbraucher angeschlossen wird. Die Phasen werden also nicht nur als Hin-, sondern auch als Rückleiter verwendet. Dieses System kann nun belastet werden, d. h., es können Verbraucher an dieses Netz angeschlossen werden, wie z. B. in Abbildung 9.8.

Abbildung 9.8 Ohm’sche Belastung in Dreieckschaltung

In dieser Schaltung fließen über die Widerstände nun drei Ströme, nämlich 𝐼AC , 𝐼BA , 𝐼CB. Diese Ströme werden Strangströme genannt. Die Ströme in den Leitungen 𝐼௅ଵ , 𝐼௅ଶ , 𝐼௅ଷ , die Leiterströme , sind hier größer als die Strangströme, denn die Anschlusspunkte A , B , C stellen Knotenpunkte dar, an denen sich Ströme verzweigen. Die genaue Größe der Leiterströme 𝐼௅ଵ , 𝐼௅ଶ und 𝐼௅ଷ hängt von den angeschlossenen Widerständen ab.

L

L

L

sekundärseitige Trafospulen

Sternpunkt

L

L

L

I (^) L

I (^) L

I (^) L

I (^) CB

I (^) AC I (^) BA

A

C B

9 Drehstrom

Abbildung 9.12 Die Summe der Strangströme bildet den Leiterstrom.

Insgesamt ergibt sich somit die Form aus Abbildung 9.13.

Abbildung 9.13 Zeigerdiagramm einer Dreieckschaltung mit rein Ohm’scher Belastung

Um die Ströme zu berechnen, muss der Cosinussatz helfen, da es sich um nicht recht- winklige Dreiecke handelt. Der Cosinussatz lautet:

𝑐 ଶ^ = 𝑎 ଶ^ + 𝑏 ଶ^ − 2𝑎𝑏 cos 𝛾

Die Strangströme sind alle gleich groß, da die Belastung symmetrisch ist:

𝐼௅ଶ^ = 𝐼strଶ^ + 𝐼strଶ^ − 2𝐼strଶ^ cos 120° = 2𝐼strଶ^ − 2𝐼strଶ^ cos 120° = 2𝐼strଶ^ + 𝐼strଶ^ = 3𝐼strଶ

⟹ 𝐼௅ = √3𝐼str

Also gilt für die Ströme:

𝐼௅ = √3𝐼str

I str

I L

I str

I str

I str

I str

I L

I L

I L

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Beispiel Die Strangwiderstände eines in Dreieck geschalteten Warmwasserbereiters betragen 80 Ω. Wie groß ist der Leiterstrom? Das Schaltungsdiagramm sehen Sie in Abbil- dung 9.14.

Abbildung 9.14 Symmetrische Belastung mit 80 Ω

Jeder dieser Widerstände liegt an 400 V. Die Strangströme betragen also:

𝐼str =

400 V

80 Ω = 5 A

Jeder Leiterstrom hat somit einen Wert von:

𝐼௅ = √3𝐼str = √3 ∙ 5 A = 8,66 A

Die von den Heizwiderständen abgegebene Leistung beträgt pro Strangwiderstand: 𝑃str = 𝐼str 𝑈str = 5 A ∙ 400 V = 2000 W

Die Gesamtleistung P ist das Dreifache von 𝑃str , da an jedem Widerstand die gleiche Leistung abgegeben wird:

𝑃 = 3𝑃str = 3 ∙ 2000 W = 6 kW

Die Dreieckschaltung wird hauptsächlich eingesetzt, wenn Verbraucher angeschlos- sen werden, von denen eine hohe Leistung gefordert wird. Das ist z. B. der Fall beim Anschluss eines Drehstrommotors. Ein Motor stellt aber keine rein Ohm’sche Last dar, da er im Wesentlichen aus Spulen besteht.

L

L L

 

   

9 Drehstrom

Worin unterscheidet sich nun die Belastung mit induktiven Widerständen von der Ohm’schen Belastung? Hier ist es wichtig, dass Sie sich die Phasenlage der Spannungen und Ströme an- schauen, denn induktive Lasten führen, im Gegensatz zu Ohm’schen Widerständen, zu einer Phasenverschiebung zwischen Strömen und Spannungen (siehe Kapitel 7). An den Leitern L1 , L2 und L3 liegen – gegen den Sternpunkt des Trafos gemessen – folgende Spannungen an, wobei wir annehmen, dass die Spannung an L1 den Bezugs- winkel 0° besitzt: 𝑈௅ (^) భ = 230 V ∙ 𝑒 j ଴°^ = 230 V 𝑈௅ (^) మ = 230 V ∙ 𝑒ି j ଵଶ଴°^ = 230 V(cos 120° − j sin 120°) = −115 V − j200 V 𝑈௅ (^) య = 230 V ∙ 𝑒ି j ଶସ଴°^ = 230 V(cos 240° − j sin 240°) = −115 V + j200 V

𝑈ଶଵ, 𝑈ଷଶ , 𝑈ଵଷ sind die jeweiligen Spannungen, die jeweils zwischen den Leitern gemes- sen werden: 𝑈ଶଵ = 𝑈௅ (^) మ − 𝑈௅ (^) భ = −345 V − j200 V = 400 V ∙ 𝑒 j ଶଵ଴° 𝑈ଷଶ = 𝑈௅ (^) య − 𝑈௅ (^) మ = j400 V = 400 V ∙ 𝑒 j ଽ଴° 𝑈ଵଷ = 𝑈௅ (^) భ − 𝑈௅ (^) య = 345 V − j200 V = 400 V ∙ 𝑒ି j ଷ଴° Diese Spannungen sind wieder um 120° zueinander phasenverschoben.

Der Blindwiderstand 𝑋௅ wird ebenfalls als komplexe Zahl aufgefasst: j𝑋௅ = 𝑋௅ ∙ 𝑒 j 90°

Für die Strangströme gilt dann:

𝐼str1 =

𝑈 ∙ 𝑒 j ଶଵ଴° 𝑋௅ ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = |𝐼str1 | ∙ 𝑒 j ଵଶ଴°

𝐼str2 =

𝑈 ∙ 𝑒 j ଽ଴° 𝑋௅ ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = |𝐼str2 | ∙ 𝑒 j ଴°

𝐼str3 = 𝑈 ∙ 𝑒ି j ଷ଴° 𝑋௅ ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = |𝐼str3 | ∙ 𝑒ି j ଵଶ଴°

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Abbildung 9.15 Zeigerdiagramm einer Dreieckschaltung mit rein induktiver Belastung

𝐼௅ଵ = √3|𝐼str1 | ∙ 𝑒ି j ଽ଴°

𝐼௅ଶ = √3|𝐼str2 | ∙ 𝑒ି j ଶଵ଴°

𝐼௅ଷ = √3|𝐼str3 | ∙ 𝑒 j ଷ଴°

Belasten Sie dieses System mit einer induktiven Last, so bleiben die Spannungen er- halten, aber die Ströme ändern ihre Phase, denn der Strom eilt der Spannung um 90° nach. Da dies aber für jeden Strom gilt, bleibt das Stromdreieck erhalten, es dreht sich nur um 90° im Uhrzeigersinn. Bei einer kapazitiven Last (siehe Abbildung 9.16) hätten wir – im Vergleich zur Ohm’schen Last – eine Verschiebung in die Gegenrichtung um +90°.

Abbildung 9.16 Zeigerdiagramm einer Dreieckschaltung mit rein kapazitiver Belastung

IL Istr

IL

Istr

Istr

IL

IL

Istr

IL

Istr

IL Istr

9 Drehstrom

Beispiel Auf einem Drehstrommotor in Dreieckschaltung finden Sie ein Typenschild mit fol- genden Angaben: 𝑈 = 400 V 𝑃 = 3 kW cos 𝜑 = 0, Wie groß sind die Strangströme und die Scheinleistung?

𝑆 =

cos 𝜑

3 kW 0, = 3,75 kW

3,75 kW 400 V

= 9,38 A

⇔ 𝐼str =

9,38 A

= 5,41 A

9.2.2 Sternschaltung, symmetrisch belastet

Werden die Lasten in Sternform an unser Drehstromsystem angeschlossen, so können Sie den Schaltungsaufbau aus Abbildung 9.19 sehen.

Abbildung 9.19 Sternschaltung Ohm’scher Widerstände

Nun liegen jeweils zwei Widerstände an 400 V. Das heißt gleichzeitig für die Ströme, die durch einen Strang fließen, dass sie kleiner sind als die Strangströme in der Drei- eckschaltung. Für die Leistung, die in dieser Schaltung umgesetzt wird, bedeuten klei- nere Ströme auch kleinere Leistungen.

L

L

L

A

C B

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Sternschaltungen werden überall dort verwendet, wo kleinere Leistungen benötigt werden. Bei einem Drehstrommotor bedeutet das zum Beispiel, dass das Drehmoment des Motors im Vergleich zur Dreieckschaltung klein ist. Je nachdem, welche Last durch den Motor bewegt werden soll, kann es sein, dass die Kraft des Sternmotors nicht aus- reicht.

Abbildung 9.20 Spannungen einer symmetrisch belasteten Sternschaltung im Drehstromnetz

Die Strangströme entsprechen den Leiterströmen, denn es gibt hier nur drei Ströme und auch die Summe aller Ströme, die im Sternpunkt des Sterns zusammenkommen, muss gleich null sein, denn der Sternpunkt ist der Knotenpunkt der Schaltung. Da sowohl die Leiterspannungen 𝑈ଵଶ , 𝑈ଶଷ und 𝑈ଷଵ als auch die Leiterströme 𝐼ଵ , 𝐼ଶ und 𝐼ଷ gleich groß sind, schreiben wir für diese Spannungen und Ströme hier nur kurz 𝑈 und 𝐼. In der Sternschaltung gilt:

𝐼 = 𝐼str

𝑈 = √3𝑈str

Denn:

𝑈 ଶ^ = 𝑈strଶ^ + 𝑈strଶ^ − 𝑈str 𝑈str cos 120°

⟹ 𝑈 = √3𝑈str

L

L

L

U (^) 

U

U

Ustr

U (^) str

Ustr

9 Drehstrom

Das Zeigerdiagramm setzt sich hier aus den Spannungen zusammen, denn die Leiter- spannungen teilen sich in die Strangspannungen auf. Sie setzen sich nicht wie in der Dreieckschaltung aus den Strömen zusammen, denn dort teilen sich die Leiterströme in die Strangströme auf (siehe Abbildung 9.21).

Abbildung 9.21 Zeigerdiagramm einer Sternschaltung mit symmetrischer Ohm’scher Belastung

Für die Leistungen in dieser Schaltung gilt: Je nach Verbraucherart setzt sich die Leis- tung aus Blind- und Wirkleistung zusammen, genauso wie bei der Dreieckschaltung.

Symmetrisch belastete Sternschaltung 𝐼 = 𝐼str 𝑈 = √3𝑈str 𝑈str = 𝐼𝑍str 𝑃str = 𝑈str 𝐼 cos 𝜑 𝑃 = 3𝑃str = √3𝑈𝐼 cos 𝜑 𝑄 = √3𝑈𝐼 sin 𝜑 𝑆 = √3𝑈𝐼

Beispiel An einem 400-V-Drehstromnetz sind drei gleich große Heizwiderstände in einer Hei- zung in Stern geschaltet. Dabei fließen Strangströme von jeweils 3 A. Wie groß sind die Widerstandswerte der Heizwiderstände?

U

U

U

L (^) Ustr

L

Ustr

Ustr

L

[9.7] [9.8] [9.9]

[9.10]

[9.11]

[9.12]

[9.13]

9.2 Symmetrisch belastete Drehstromsysteme

Die Strangspannung beträgt:

𝑈str =

= 230 V

Da 𝐼str = 𝐼, gilt:

𝑅 =

𝑈str 𝐼str

𝑈str 𝐼

230 V

3 A

9.2.3 Allgemeine Eigenschaften von Strömen und Spannungen

in Drehstromsystemen

Betrachten wir die Ströme und Spannungen in einem symmetrisch belasteten Dreh- stromsystem etwas genauer: Wenn Sie die Summe aller Spannungen und Ströme betrachten, können Sie Folgendes feststellen: 𝑈௅ (^) భ + 𝑈௅ (^) మ + 𝑈௅ (^) య = 230 V − 115 V + j200 V − 115 V − j200 V = 0

𝑈ଶଵ + 𝑈ଷଶ + 𝑈ଵଷ = −345 V − j200 V + j400 V + 345 V − j200 V = 0

Dies gilt auch für die Ströme:

𝐼str1 = |𝐼str1 | ∙ 𝑒 j ଶଵ଴° = |𝐼str1 | ∙ (cos(210°) + j sin(210°)) = |𝐼str1 | ∙ (−0,866 − j0,5)

𝐼str2 = |𝐼str2 | ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = |𝐼str2 | ∙ (cos(90°) + j sin(90°)) = j|𝐼str2 |

𝐼str3 = |𝐼str3 | ∙ 𝑒ି j ଷ଴° = |𝐼str3 | ∙ (cos(−30°) + j sin(−30°)) = |𝐼str3 | ∙ (0,866 − j0,5)

Da die Strangströme gleich groß sind, setzen wir:

|𝐼str | = |𝐼str1 | = |𝐼str2 | = |𝐼str3 | 𝐼str1 + 𝐼str2 + 𝐼str = |𝐼str | ∙ (j1 − j0,5 − 0,866 − j0,5 + 0,866) = 0

Für die Leiterströme gilt ebenfalls:

𝐼௅ଶ + 𝐼௅ଷ + 𝐼௅ଵ = 0

9 Drehstrom

trag der Ströme hat sich verändert, aber bei rein Ohm’scher Belastung bleiben die 120°-Winkel zwischen den Strangströmen erhalten. Es zeigt sich dann eine Darstel- lung wie in Abbildung 9.24. Um die Leiterströme zu berechnen, können Sie nun nicht mehr einfach 𝐼௅ = √3𝐼str an- nehmen, denn es ist kein gleichseitiges Dreieck mehr (siehe Abbildung 9.25).

Abbildung 9.25 Die Strangströme sind unterschiedlich groß – es handelt sich nicht mehr um ein gleichschenkliges Dreieck.

𝐼௅ଷଶ^ = 𝐼str3ଶ^ + 𝐼str2ଶ^ − 2𝐼str3 𝐼str2 cos 120 ° = 𝐼str3ଶ^ + 𝐼str3ଶ^ + 𝐼str3 𝐼str

⟹ 𝐼௅ଷ = ට𝐼str3ଶ^ + 𝐼str2ଶ^ + 𝐼str3 𝐼str

Analog dazu gilt für 𝐼௅ଶ und 𝐼௅ଵ :

⟹ 𝐼௅ଶ = ට𝐼str1ଶ^ + 𝐼str2ଶ^ + 𝐼str1 𝐼str

⟹ 𝐼௅ଵ = ට𝐼str1ଶ^ + 𝐼str2ଶ^ + 𝐼str1 𝐼str

In unserem Eingangsbeispiel folgt daraus für die Ströme: 𝐼௅ଶ = ඥ(15 A)ଶ^ + (25 A)ଶ^ + 15 A ∙ 25 A = 35 A 𝐼௅ଷ = ඥ(30 A)ଶ^ + (25 A)ଶ^ + 30 A ∙ 25 A = 47,7 A 𝐼௅ଵ = ඥ(15 A)ଶ^ + (30 A)ଶ^ + 30 A ∙ 15 A = 39,7 A Die unsymmetrische Belastung mit ungleichartigen Lasten können Sie in einer Auf- gabe berechnen.

I str

I str

I L

°

9.3 Unsymmetrische Belastung

9.3.2 Sternschaltung, unsymmetrisch belastet

Der Neutralleiter hat nicht nur die Funktion, eine Spannungsversorgung mit 230 V zu gewährleisten, sondern er hat bei einer unsymmetrischen Belastung bei Sternschal- tung noch eine zusätzliche wesentliche Bedeutung.

Abbildung 9.26 Anschluss einer Sternschaltung im Vierleitersystem; der N-Leiter wird an den Sternpunkt angeschlossen.

Wenn die Belastung unsymmetrisch ist, müssen bei gleicher Spannung die Strang- ströme unterschiedlich hoch sein. Das heißt, trotz der Phasenverschiebung um 120° ist die Summe aller Ströme nun nicht mehr null. Dieser Summenstrom wird durch den Neutralleiter abgeleitet. Die Spannungen, L gegen N gemessen, betragen alle 230 V. Somit bleibt das Spannungsdreieck auch bei unsymmetrischer Belastung erhalten (siehe Abbildung 9.27).

Abbildung 9.27 Zeigerdiagramm der Sternschaltung mit unsymmetrischer Ohm’scher Belastung und angeschlossenem N-Leiter

L

L

L

N

U  

U 

U 

L (^) U (^) str

L

U (^) str

U (^) str

L

9 Drehstrom

Sollte der Neutralleiter defekt sein, fließen diese Ströme über die restlichen Wider- stände zurück und verschieben dadurch die Spannungsverhältnisse. Es kommt zu einer sogenannten Sternpunktverschiebung wie in Abbildung 9.28.

Abbildung 9.28 Zeigerdiagramm der Sternschaltung mit unsymmetrischer Ohm’scher Belastung ohne Anschluss des N-Leiters

Je nach Größe der Verschiebung liegen nun die Verbraucher in den Strängen entweder an einer zu kleinen oder einer zu großen Spannung und brennen im schlimmsten Fall durch.

Beispiel Die Heizwiderstände 𝑅ଵ = 20 Ω, 𝑅ଶ = 30 Ω, 𝑅ଷ = 40 Ω liegen wie in Abbildung 9.29 in Sternschaltung an einem Vierleiter-Drehstromnetz mit 400 V und 230 V.

Abbildung 9.29 Sternschaltung mit unsymmetrischer Ohm’scher Belastung

U 

U  

U  

U (^) str

U (^) str

U (^) str

L

L

L

 

(^)    

N

Istr

Istr Istr

9.3 Unsymmetrische Belastung

Ermitteln Sie die Strangströme und den Strom im Neutralleiter. Jeder dieser Widerstände liegt an 230 V. Somit ermitteln Sie den Betrag der Strang- ströme durch:

𝐼 =

230 V

20 Ω = 11,5 A

230 V

= 7,7 A

230 V

40 Ω = 5,75 A

Da es sich um Ohm’sche Widerstände handelt, haben die Ströme die gleiche Phasen- lage wie die Spannungen. Im N-Leiter addieren sich aber die Ströme, und aufgrund der unterschiedlichen Phasenlage muss die Phasenverschiebung von 120° bei der Addi- tion berücksichtigt werden:

𝐼ே = 𝐼ଵ + 𝐼ଶ + 𝐼ଷ

𝐼ଵ = 11,5 A ∙ 𝑒 j ଶଵ଴°^ = −10 A − j5,75 A

𝐼ଶ = 7,7 A ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = j7,7 A

𝐼ଷ = 5,75 A ∙ 𝑒ି j ଷ଴°^ = −5 A − j2,875 A

𝐼ே = 𝐼ଵ + 𝐼ଶ + 𝐼ଷ

𝐼ே = −10 A − 5 A + j7,7 A − j2,875 A − j5,75 A = −15 A − j0,925 A = 15 A ∙ 𝑒 j ଷ,ହ°

Wird nun der N-Leiter unterbrochen, ruft dieser Strom einen Spannungsabfall an den Widerständen hervor. Dadurch verschiebt sich der Sternpunkt von N nach N’ (siehe Abbildung 9.30).

9 Drehstrom

Aufgabe 5 Drei Wirkwiderstände 𝑅ଵ = 30 Ω, 𝑅ଶ = 40 Ω, 𝑅ଷ = 60 Ω liegen in Sternschaltung an einem 400-V-Drehstromnetz. Berechnen Sie: a) die Strangströme, b) den Strom im Neutralleiter, c) die Verschiebungsspannung bei Ausfall des Neutralleiters und die Spannungen an den Widerständen.

Aufgabe 6 In einem Vierleiter-Drehstromnetz werden gemessen: 𝐼ଵ = 10 A, cos 𝜑 = 1 𝐼ଶ = 20 A, cos 𝜑 = 0,75 induktiv 𝐼ଷ = 5 A kapazitiv Wie groß ist der Strom im Neutralleiter?

Aufgabe 7 Ein Stern-Dreieckschalter schließt drei Wirkwiderstände von je 20 Ω an ein Vierleiter- Drehstromnetz von 400 V an. a) Welcher Leiterstrom fließt in der Sternschaltung? b) Welcher Leiterstrom fließt in der Dreieckschaltung? c) Welche Leistung wird in jeder Schaltung aufgenommen? d) In welchem Verhältnis stehen die Leistungen zueinander?

9.5 Lösungen

Lösung 1 Gegeben sind: 400-V-Sternschaltung 𝑅 = 34,9 Ω

9.5 Lösungen

Gesucht sind: Leiterstrom 𝐼 Leistung 𝑆

Die Strangspannung beträgt 230 V, denn

𝑈str =

400 V

= 230 V

𝐼 = 𝐼str = 𝑈str 𝑅

230 V

= 6,6 A

𝑆 = 𝑃 = 3𝑃str 𝑃str = 𝑈str 𝐼 = 230 V ∙ 6,6 A = 1,52 kW 𝑃 = 4,56 kW

Lösung 2 Gegeben sind: 400-V-Sternschaltung 𝑅 = 60 Ω

a) Gesucht: 𝐼str

𝑈str =

400 V

= 230 V

𝐼str = 𝑈str 𝑅

230 V

= 3,8 A

b) Wenn ein Widerstand unterbrochen ist, stellt sich die Schaltung so dar wie in Ab- bildung 9.31.

Abbildung 9.31 Ein defekter Widerstand stellt eine Unterbrechung des Stromkreises dar.

L L L



 

N

I (^) I IN

9 Drehstrom

Die Schaltung reduziert sich auf eine Parallelschaltung der restlichen Wider- stände: 𝐼ே = 𝐼ଶ + 𝐼ଷ = 2 ∙ 3,8 A = 7,6 A c) Wenn ein Widerstand und der N-Leiter unterbrochen sind, stellt sich die Schal- tung so dar wie in Abbildung 9.32.

Abbildung 9.32 Ein defekter Widerstand stellt eine Unterbrechung des Stromkreises dar und der N-Leiter ist unterbrochen.

Die Widerstände sind in Reihe an 400 V angeschlossen:

𝐼 =

400 V

= 3,3 A

Lösung 3 Gegeben sind: 400-V-Dreieckschaltung 𝑅 = 25 Ω

a) Gesucht ist 𝑈str : 𝑈 = 𝑈str = 400 V b) Gesucht ist 𝐼str :

𝐼str = 𝑈str 𝑅

400 V

= 16 A

c) Gesucht sind 𝐼௅ଵ , 𝐼௅ଶ , 𝐼௅ଷ : Alle Strangströme sind gleich groß und somit auch die Leiterströme: 𝐼௅ଵ = 𝐼௅ଶ = 𝐼௅ଷ = 𝐼 = √3𝐼str = √3 ∙ 16 A = 27,7 A

L

L

L

 

  ^ 

N

9.5 Lösungen

d) Durch die Unterbrechung von L1 stellt sich die Schaltung wie in Abbildung 9. dar.

Abbildung 9.33 Unterbrechung von L

In diesem Fall ändert sich die Schaltung zur Darstellung aus Abbildung 9.34.

Abbildung 9.34 Ersatzschaltung zu Abbildung 9.

400 V

400 V

25 Ω = 8 A + 16 A = 24 A

L

L

L

I (^) L

I (^) L

I (^) L

 

 

 

V

9 Drehstrom

Lösung 5

Abbildung 9.38 Unsymmetrische Ohm’sche Belastung einer Sternschaltung

a) Gesucht sind die Strangströme:

𝑈str =

= 230 V

ห𝐼str 1 ห = 𝑈str 𝑅ଵ

230 V

= 7,7 A

ห𝐼str 2 ห =

𝑈str 𝑅ଶ=

230 V

40 Ω = 5,75 A

ห𝐼str 3 ห = 𝑈str 𝑅ଷ

230 V

= 3,8A

b) Gesucht ist 𝐼ே. Alle Ströme haben eine Phasenverschiebung von 120° zueinander. Treffen Sie fol- gende Annahme: 𝐼str1 = 7,7 A 𝐼str2 = 5,75 A ∙ 𝑒 j ଵଶ଴° 𝐼str3 = 3,8 A ∙ 𝑒ି j ଵଶ଴° 𝐼str1 + 𝐼str2 + 𝐼str3 = 7,7 A + 5,75 A ∙ 𝑒 j ଵଶ଴°^ + 3,8 A ∙ 𝑒ି j ଵଶ଴° 𝐼str2 = 5,75 A (cos 120° + j sin 120°) = −2,875 A + j4,98 A 𝐼str3 = 3,8A (cos(−120°) + j sin(−120°)) = −1,9 A − j3,3 A 𝐼str1 + 𝐼str2 + 𝐼str3 = 7,7 A − 2,875 A + j4,98 A − 1,9 A − j3,3 A

L

L

L

 

  ^ 

9.5 Lösungen

𝐼ே = 2,925A + j1,69 A = 3,38 A ∙ 𝑒 j ଷ଴° c) Gesucht ist 𝑈ேேᇱ :

𝑈ேேᇱ =

ଵ ோభ+^

ଵ ோమ+^

ଵ ோయ

𝑈ேேᇱ =

3,38A ∙ 𝑒 j ଷ଴° ଵ ଶ଴ Ω +^

ଵ ସ଴ Ω +^

ଵ ଺଴ Ω = 36,87 V ∙ 𝑒 j ଷ଴° = 31,9 V + 18,4 V

𝑈str1 = 230 𝑉 ∙ 𝑒 j ଴°^ 230 V 𝑈str2 = 230 V ∙ 𝑒ି j ଵଶ଴°^ = −115 V − j200 V 𝑈str3 = 230 V ∙ 𝑒 j ଵଶ଴°^ = −115 V + j200 V 𝑈ோଵ = 𝑈str1 + 𝑈ேேᇱ = 230 V + 31,9 V + 18,4 V = 261,9 V + 18,4 V = 262,5 V ∙ 𝑒 j ସ°

𝑈ோଶ = 𝑈str2 + 𝑈ேேᇱ = −115 V − j200 V + 31,9 V + 18,4 V = −76,5 V − 181,6 V = 197,06 V ∙ 𝑒 jଶସ଻,ଵ଺°

𝑈ோଷ = 𝑈str3 + 𝑈ேேᇱ = −115 V + j200 V + 31,9 V + 18,4 V = −76,5 + j218,4 V = 231,4 V ∙ 𝑒ି j ଻଴,଻°

Lösung 6 Gegeben waren: 𝐼ଵ = 10 A, cos 𝜑 = 1 𝐼ଶ = 20 A, cos 𝜑 = 0,75 induktiv 𝐼ଷ = 5 A kapazitiv

cos 𝜑 = 1 bedeutet 𝜑 = 0°, also handelt es sich um einen Ohm’schen Verbraucher. cos 𝜑 = 0,75 induktiv ⟹ 𝜑 = −41,4°, denn es handelt sich um eine reale Spule. 𝐼ଷ = 5 A kapazitiv, denn es handelt sich um einen Kondensator, 𝜑 = 90°.

9 Drehstrom

Abbildung 9.39 Sternschaltung mit gemischten Lasten

𝐼ଵ = 10 A

𝐼ଶ = 20 A ∙ 𝑒ି j ସଵ,ସ°^ = 15 A − j13,2 A

𝐼ଷ = 5 A ∙ 𝑒 j ଽ଴°^ = j5 A

𝐼ே = 𝐼ଵ + 𝐼ଶ + 𝐼ଷ = 10 A + 15 A − j13,2 A + j5 A = 25 A − j8,2 A = 26,31 A ∙ 𝑒ି j ଵ଼,ଵ଺°

Lösung 7 Gegeben ist 𝑅 = 20 Ω.

a) Gesucht: 𝐼௅ in Sternschaltung:

𝐼௅ = 𝑈str 𝑅

230 V

= 11,5 A

b) Gesucht: 𝐼௅ in Dreieckschaltung:

𝐼str =

400 V

20 Ω = 20 A

𝐼 = √3𝐼str = 34,64 A c) Sternschaltung: 𝑃str = 𝑈str 𝐼௅ = 230 V ∙ 11,5 A = 2,645 kW 𝑃௦ = 3𝑃str = 7,935 kW

L

L

L

9.5 Lösungen

Dreieckschaltung: 𝑃str = 𝑈 ∙ 𝐼௦௧௥ = 400 V ∙ 20A = 8 kW 𝑃 = 3𝑃str = 24 kW d) Die Leistung in der Dreieckschaltung ist dreimal größer als die Leistung in der Sternschaltung.