Statistik/Allgemeine Psych., Slides von Allgemeine Psychologie

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Statistik

Literatur: Glantz, S.A. (2002).

Primer of Biostatistics.

New York: McGraw-Hill. Maxwell, S.E. & Delaney, H.D. (2000).

Designing

Experiments and Analyzing Data.

Mahwah, NJ: Erlbaum.

Wozu braucht man Statistik? • Entscheiden, wie extrem eine Beobachtung innerhalbeiner normierten Population ist. • Zeigen, daß die beobachteten Effekte stärker sind alsdie Zufallseinflüsse in der Studie. • Qualitätssicherung: statistisch signifikante Ergebnissezeigen, daß die Daten mit hinreichender Präzisiongemessen wurden. • „Statistik ist ein organisiertes Argument“ (Maxwell &Delaney, 2000): Die statistische Analyse ist genausoorganisiert wie die logische Argumentation.

Stichprobe und Grundgesamtheit

Grundgesamtheit:Die Menge aller

möglichen

Beobachtungen einer fest-

gelegten Kategorie

die IQ-Ergebnisse aller amerikanischen Busfahrerdie BSE-Werte aller Rinder in Deutschland

Stichprobe:eine

zufällig

und

unabhängig

gezogene Teilmenge davon

FreiheitsgradeDie Freiheitsgrade (

df

, degrees of freedom) sind die Zahl der Elemente einer

Stichprobe, die frei variieren können.In einer (theoretischen) Population entspricht die Zahl der Freiheitsgradeeinfach der Zahl der Elemente:

df = n

.

Wenn man weiß, daß die Elemente bestimmte Randbedingungen erfüllenmüssen, gehen Freiheitsgrade verloren: ein Freiheitsgrad pro einzuhaltendeRandbedingung.

Beispiel: In der Formel für die empirische Varianz steht (

n-

) statt

n , weil die

Varianz ja relativ zum Mittelwert berechnet werden muß – einer der Meßwerte istalso durch die anderen genau festgelegt, wenn alle zusammen den Mittelwertergeben sollen. Viele Wahrscheinlichkeitsverteilungen hängen von der Zahl derFreiheitsgrade ab!

Der Standardmeßfehler

• Eine Stichprobe kann die Population nur unvollkommenwiderspiegeln. • alle geschätzten Statistiken (Mittelwert, Varianz usw.)unterscheiden sich etwas von einer Stichprobe zur anderen. • Die Standardabweichung dieser leicht verschiedenenWerte nennt man

Standardmeßfehler.

• Je größer die Stichprobe ist, desto genauer werden dieStatistiken geschätzt, und umso kleiner ist derStandardmeßfehler. • z.B.

Standardfehler des Mittelwertes:

Standardabweichung geteilt durch Wurzel N.

Kleine Stichproben:geschätzte Mittelwertekönnen durchZufallseinflüsse weitvom „wahren“Mittelwert entferntliegen ⇒

die theoretische Verteilung dergeschätztenMittelwerte ist breit,d.h. der Standardmeß-fehler ist groß.

Konfidenzintervalle

Mit Hilfe des Standardmeßfehlers kann man einKonfidenzintervall erzeugen:

z.B. Schätzer des Mittelwertes: mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95 liegt derPopulationsmittelwert innerhalb eines Bereichs vonca. 2 Standardfehlern um den Stichproben-mittelwert.

Mittelwert

s.e.m.

Busfahrer:

IQ

______________________________________ Mittelwert:

Standardmeßfehler:

95%-Konfidenzintervall:

Normalverteilung: Dichtefunktion

μ = 2, σ = 2^ x-Wert

0,219 0,165 0,110 0,055Wahrscheinlichkeitsdichte für x 0,

-^ -^

0

2

4

6

8

Normalverteilung: Verteilungsfunktion

μ = 2, σ = 2^ x-Wert

Fläche links von x unter Dichtefunktion 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,

-^ -^

0

2

4

6

8

σ μ

Fläche A:

A

Beispiel: Intelligenztest Daten: IQs von einer sehr großen Stichprobe von zufälligausgewählten Personen Annahme: Das Merkmal "Intelligenz" ist in der Population normalverteilt

Normalverteilung eines IQ-Tests: Dichtefunktion

μ = 100, σ = 15

IQ

Wahrscheinlichkeitsdichte 0,029 0,022 0,015 0,007 0,

55

70

85

100

115

130

145

Normalverteilung eines IQ-Tests: Verteilungsfunktio

n

μ = 100, σ = 15

IQ

Fläche links von x unter Dichtefunktion 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,

55

70

85

100

115

130

145

Fläche

A

A

Wenn man weiß, wie eine Statistik verteilt ist, kann manentscheiden, ob ein bestimmter Wert "extrem" ist odernicht: • ein IQ von 130 ist hoch, weil nur wenige Personen einenhöheren IQ haben • ein IQ von 70 weist dagegen auf ein Intelligenzdefizit hin