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Kovarianzanalyse (ANCOVA)
ALM mit metrischen & kategorialen Prädiktoren
Kategoriale & stetige Variablen werden als Prädiktoren in das ALM aufgenommen
Varianzanalyse, bei welcher für den Effekt eines metrischen Prädiktors kontrolliert
wird
Regressionsanalyse, bei welcher für den Effekt eines kategorialen Prädiktors
kontrolliert wird
Kontrolliert wird = herauspartialisieren
Kovariate = Drittvariable
Einfluss der Kovariate auf die AV wird konstant gehalten, d.h. der Einfluss wird
herauspartialisiert
Verfahren, welches Varianzanalyse & Regressionsanalyse kombiniert
Prädiktor interessiert uns nicht, d.h. nicht Teil der Fragetsellung, aber es ist bekannt,
dass er Einfluss auf die AV hat -> nuisance parameter
Kovarianzanalyse = ALM mit metrischen & kategorialen Prädiktoren
Beispiel:
o Gedächtnisexperiment; Reize einprägen
o UV Dauer (kategorial 1min, 2min, 3min) -> Faktor
o UV Intelligenz (stetig) -> Kovariate
o Der Mittelwert für die Intelligenz ist in allen drei Gruppen identisch, somit sind
Dauer und Intelligenz unabhängig
o Die Wirkung der Variablen Intelligenz soll konstant gehalten werden
o Y= 0
1
X
1
2
X
2
3
X
3
+e (da keine Interaktion zwischen Dauer & Intelligenz
vorliegt, somit verlaufen Regressionsgeraden parallel, d.h.
Regressionsgewichte=Steigung sind identisch)
o Warum nehmen wir dann die Variable Intelligenz auf?
Intelligenz korreliert positiv mit der AV & ist unabhängig von der UV
Dauer
Somit ändert sich an der Varianz nichts
Varianz, die durch den Faktor Dauer aufgeklärt wird = Varianz, die
durch Faktor Dauer aufgeklärt wird, wenn der Einfluss von Intelligenz
konstant gehalten wird
Intelligenz als nuisance parameter
Ziele:
o Relevante Prädiktoren & Interaktionen finden
o Gruppenunterschiede konkretisieren
o Einfluss des metrischen Prädiktors untersuchen
o Vorhersage & Erklärung
o Statistische Kontrolle einer Störvariablen, die die Daten beeinflussen könnte
D.h. wie sähen die Ergebnisse aus, wenn die metrische Kovariate in
allen Gruppen gleich gewesen wäre/ konstant gehalten werden
würde?!
Voraussetzungen:
o Normalverteilung der Residuen
o Varianzhomogenität
o Die Kovariate ist unabhängig vom Gruppeneffekt
o Homogenität der Regressionssteigungen, d.h. Beziehung Kovariate & AV muss
in jeder Gruppe gleich sein
Ablauf:
o Einfluss des Faktors untersuchen, die Kovariate dient zur Kontrolle von
unerwünschter Variation
o Der Einfluss von Störvariablen wird bei der statistischen Auswertung
kontrolliert
o Wenn es nicht möglich ist, zwei vergleichbare Gruppen zu gewinnen, können
die Unterschiede zwischen den Gruppen statistisch eliminiert werden
o Der Einfluss der Störvariablen wird über eine Regressionsanalyse aus der AV
herauspartialisiert / die Regressionsanalyse entfernt die Varianz der
Kovariate aus der AV
o Die Regressionsresiduen beschreiben den Anteil der AV, der nicht durch die
Kovariate erklärt werden kann
o Diese Residuen werden als neue AV in eine Varianzanalyse gegeben/ Die
Restvarianz wird mittels einer Varianzanalyse untersucht
Bevor man die Gedächtnisleistung (AV) zwischen zwei
Lernbedingungen (UV) untersucht, wird der Einfluss des Alters
(Kovariate) mithilfe einer Regressionsanalyse heraus gerechnet,
anschließend werden die Residuen, d.h. der Anteil, der nicht durch
das Alter erklärt werden kann, mittels einer Varianzanalyse
untersucht
o -> erst Regressionsanalyse, um Störvariablen zu eliminieren, dann
Varianzanalyse, um Gruppeneffekte zu untersuchen
Auswirkungen von Störvariablen:
o Sie reduziert den Anteil der nichterklärbaren Varianz, dadurch steigen die F-
Werte der Faktoren, sodass ein Faktor statistisch bedeutsam wird, welcher
normalerweise nicht signifikant werden würde
o Sie klärt die Varianz auf, die normalerweise einem Faktor zugeordnet werden
würde, dadurch sinkt die durch den Faktor erklärbare Varianz, sodass dieser
nicht mehr signifikant werden würde, obwohl er es normalerweise wäre
Vorteile:
o Reduziert Fehlervarianz & erhöht somit die Power
Die Fehlervarianz wird nur reduziert, wenn Kovariate & AV korrelieren
o Modellvoraussetzung der Unabhängigkeit der Residuen wird nicht verletzt
Vorgehen:
o Die Störvariable wird zusätzlich erhoben & ihr Einfluss durch die
Kovarianzanalyse neutralisiert
o Metische Prädiktoren werden einfach mit einem Regressionskoeffizienten in
das Modell aufgenommen
o Kategoriale Prädiktoren müssen kodiert werden; die Kodiervariablen werden
dann mit einem Regressionskoeffizienten aufgenommen
o Kleinste Quadrate Schätzung, um Modellparameter zu schätzen,
Regressionskoeffizienten auf Signifikanz testen, Modellvergleiche via F-Tests
Konfidenzintervalle, Hypothesentests
Effektstärke:
o R
2
allgemein
o Eta-Quadrat bzw. partielles Eta-Quadrat für einzelne Prädiktoren
o Modellgleichung mit Interaktionseffekt ist eine einfaktorielle ANOVA mit 0 1
2 abhängig vom festen Wert des metrischen Prädiktors X
o E(Y) = β 0
X
X
X
X
X
X
X
o E(Y) = (β 0
X
X
) + (β 1
X
X
)X
o E(Y) = β
X
o Modellgleichung mit Interaktionseffekt ist eine einfache lineare Regression
mit 0 & 1 abhängig von fester Faktorstufe des kategorialen Prädiktors
