Kapitel 2: Numerische Integration
Mathematik IV ET/III INF
SS 2022, Mathematik IV ET/III INF – Integration | 1
Prüfungen vorbereiten
Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Download-Punkte bekommen.
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
Leitfäden und Tipps
Prüfungen vorbereiten
Besser lernen dank der zahlreichen Ressourcen auf Docsity
Download-Punkte bekommen.
Heimse Punkte ein, indem du anderen Studierenden hilfst oder erwirb Punkte mit einem Premium-Abo
Numerische Integration, Grafiken und Mindmaps von Mathematik
Das Dokument behandelt die numerische Integration, insbesondere die Newton-Cotes-Quadratur. Es wird erklärt, wie man bestimmte Integrale näherungsweise berechnen kann, indem man ein Interpolationspolynom integriert. Die wichtigsten geschlossenen Newton-Cotes-Formeln sind die Trapezregel und die Simpson-Regel. Für n ≥ 7 treten jedoch numerische Instabilitäten auf. Um eine beliebig genaue Approximation zu erreichen, kann man die Anzahl der Teilintervalle m erhöhen. Das Dokument enthält Beispiele zur Anwendung der Formeln und Fehlerabschätzungen. Es bietet einen umfassenden Überblick über die Thematik der numerischen Integration.
Art: Grafiken und Mindmaps
2020/2021
1 / 41
Diese Seite wird in der Vorschau nicht angezeigt
Lass dir nichts Wichtiges entgehen!
Zugehörige Dokumente
Unvollständige Textvorschau
Nur auf Docsity: Lade Numerische Integration und mehr Grafiken und Mindmaps als PDF für Mathematik herunter!
Kapitel 2: Numerische Integration
Mathematik IV ET/III INF
Problemstellung
Ziel: näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale
∫ b
a f^ (x) dx.
Integrationsaufgabe
Zu gegebenem integrierbarem f : [a, b] → R berechne
I(f ) =
∫ b
a
f (x) dx.
Übersicht
- Numerische Integration 2.1 Newton-Cotes-Quadratur 2.1.1 Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur 2.1.2 Offene Newton-Cotes-Quadratur 2.2 Summierte Newton-Cotes-Formeln
Übersicht
- Numerische Integration 2.1 Newton-Cotes-Quadratur 2.1.1 Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur 2.1.2 Offene Newton-Cotes-Quadratur 2.2 Summierte Newton-Cotes-Formeln
Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur
Bisheriges Ergebnis: Numerische Quadraturformel
In(f ) =
∫ b
a
pn(x) dx =
∑^ n
k=
f (xk )
∫ b
a
Lk,n(x) dx.
Bequemere Darstellung: Mit der Substitution x = a + sh und s ∈ [0, n] ergibt sich
wegen xi = a + ih
Lk,n(x) = Lk,n(a + sh) =
∏^ n
j= j 6 =k
a + sh − xj
xk − xj
∏^ n
j= j 6 =k
(s − j)h
(k − j)h
∏^ n
j= j 6 =k
s − j
k − j
und wegen dx = h ds somit
∫ b
a
Lk,n(x) dx =
∫ n
0
Lk,n(a + sh) h ds = h
∫ n
0
∏^ n
j= j 6 =k
s − j
k − j
ds.
Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur
Wir erhalten also:
Geschlossene Newton-Cotes Formel
In(f ) = h
∑^ n
k=
αk,n f (xk ), mit αk,n =
∫ n
0
∏^ n
j= j 6 =k
s − j
k − j
ds, h =
b − a
n
, xk = a + kh.
. α0,n, ... , αn,n heißen Gewichte.
. Sie sind unabhängig von f und [a, b] und somit tabellierbar.
. Es gilt stets (setze f ≡ 1, dann auch pn ≡ 1):
h
∑^ n
k=
αk,n = b − a, also
∑^ n
k=
αk,n = n.
Fehlerabschätzung
Ziel: Abschätzung für den Fehler
En(f ) := I(f ) − In(f ).
Nach Korollar 1.1.4 gilt
|f (x) − pn(x)| ≤
|f (n+1)(ξx )|
(n + 1)!
(b − a)n+
mit einem ξx ∈ [a, b].
Dies ergibt mit einem ξ ∈ [a, b]:
∫ b
a
f (x) dx −
∫ b
a
pn(x) dx
∫ b
a
|f (x) − pn(x)| dx ≤
|f (n+1)(ξ)|
(n + 1)!
(b − a)n+2.
Fehlerabschätzung
Eine verfeinerte Restgliedabschätzung ergibt sich durch Taylorentwicklung:
n h αk,n max. Fehler En(f ) Name
1 b − a 12 12 − f^
(2) (^) (ξ) 12 h
(^3) Trapezregel
2 b− 2 a^134313 − f^
(4) (^) (ξ) 90 h
(^5) Simpson-Regel
3 b− 3 a^38989838 − 3 f^
(4) (^) (ξ) 80 h
(^5) 3/8-Regel
4 b− 4 a^14456445244564451445 − 8 f^
(6) (^) (ξ) 945 h
(^7) Milne-Regel
Für n ≥ 7 treten leider negative Gewichte auf und die Formeln werden dadurch
zunehmend numerisch instabil, da Auslöschung auftritt.
Beispiel
f (x) = log 2 (x) auf [a, b] = [2, 4]. Es gilt:
I(f ) =
2
f (x) dx =
2
log 2 (x) dx = ln(2)^1 (x ln(x) − x)
4 2
=
4 ln(4) − 4 − 2 ln(2) + 2
ln(2)
Beispiel
f (x) = log 2 (x) auf [a, b] = [2, 4]. Es gilt:
I(f ) =
2
f (x) dx =
2
log 2 (x) dx = ln(2)^1 (x ln(x) − x)
4 2
=
4 ln(4) − 4 − 2 ln(2) + 2
ln(2)
. Die Trapezregel ergibt: h = 4 − 1 2 = 2 und damit
I 1 (f ) = 2
2 f^ (2) +^
1 2 f^ (4)
2 log^2 (2) +^
1 2 log^2 (4)
Beispiel
. Die Fehlerabschätzung ergibt bei Verwendung von ξ ∈ [2, 4] für die
Trapezregel:
E 1 (f ) = −f ′′(ξ)
h^3 12
ξ^2 ln(2)
22 ln(2)
was gut mit dem tatsächlichen Fehler von 0.11461 übereinstimmt.
Beispiel
. Die Fehlerabschätzung ergibt bei Verwendung von ξ ∈ [2, 4] für die
Trapezregel:
E 1 (f ) = −f ′′(ξ)
h^3 12
ξ^2 ln(2)
22 ln(2)
was gut mit dem tatsächlichen Fehler von 0.11461 übereinstimmt.
. Für die Simpson-Regel ergibt die Fehlerabschätzung:
E 2 (f ) = −f (4)(ξ)
h^5 90
ξ^4 ln(2)
24 ln(2)
was akzeptabel mit dem tatsächlichen Fehler von 0.00133 übereinstimmt.
Offene Newton-Cotes-Quadratur
Hier wählen wir für n ∈ N ∪ { 0 } die in ]a, b[ liegenden äquidistanten Stützstellen
xi = a + ih, i = 1, ... , n + 1, mit h =
b − a
n + 2
Beispiel: n = 5 : a x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b
Geht man völlig analog vor, dann erhält man:
Offene Newton-Cotes Formel
˜In(f ) = h
∑^ n+
k=
α ˜k,n f (xk ), α˜k,n =
∫ n+
0
∏^ n+
j= j 6 =k
s − j
k − j
ds, h =
b − a
n + 2
, xk = a + k h.
Offene Newton-Cotes-Quadratur
Für den Quadraturfehler ergeben sich ähnliche Formeln wie im geschlossenen Fall:
n h α˜i,n max. Fehler ˜En(f ) Name
0 b− 2 a 2 f^
(2) (^) (ξ) 3 h
(^3) Rechteck-Regel
1 b− 3 a^32323 f^
(2) (^) (ξ) 4 h
3
2 b− 4 a^83 − 43 83 28 f^
(4) (^) (ξ) 90 h
5