Rechnerstrukturen, Skripte von Informatik

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Heinrich-Hertz-Gymnasium 2018/

WPU 10

Rechnerstrukturen

P. Kreißig

Stand 29. Januar 2019

Info

 - Informatik 

• 1 Übersicht 2 - Inhaltsverzeichnis
• 2 Entwicklung der Rechentechnik 2 -
• 3 Von-Neumann-Rechnerarchitektur (1945) 3 -
  • 3.1 Konzept des von-Neumann-Rechners 3 -
  • 3.2 Konsequenzen 3 -
  • 3.3 Beispiel: Speicherzugriff 3 -
  • 3.4 Blockschaltbild eines von-Neumann-Rechners 3 -
  • 3.5 Aufgabe der Funktionseinheiten 3 -
• 4 Stellenwertsysteme 4 -
  • 4.1 Rechnen im Stellenwertsystem 4 -
  • 4.2 Umrechnungen von Dezimal in andere Systeme 4 -
  • 4.3 Oktal- und Hexadezimalzahlen 4 -
    • 4.3.1 Oktalzahlen 4 -
    • 4.3.2 Hexadezimalzahlen 4 -
  • 4.4 Nachkommastellen bei Dualzahlen 4 -
  • 4.5 Programmieraufgaben 4 -
• 5 Boolsche Algebra 5 -
  • 5.1 Huntington-Axiome 5 -
  • 5.2 Aufgaben 5 -
• 6 Schaltfunktionen 6 -
  • 6.1 Ziel einer Schaltfunktion 6 -
  • 6.2 Vom Problem zur Schaltung (KDNF, KKNF) 6 -
• 7 KV-Diagramme 7 -
  • 7.1 Eine Eingangsvariable 7 -
  • 7.2 Zwei Eingangsvariablen 7 -
  • 7.3 Drei Eingangsvariablen 7 -
  • 7.4 Vier Eingangsvariablen 7 -
• 8 Auswahlschaltungen (MUX und DEMUX) 8 -
  • 8.1 Multiplexer (MUX) 8 -
  • 8.2 Demultiplexer (DEMUX) 8 -
• 9 Bau einer 2-Bit-Alu 9 -
  • 9.1 Halbadder (HA) und Volladder (VA) 9 -
• 10 Flip-Flop 10 -
  • 10.1 NOR-Latch 10 -
  • 10.2 Zustandsübergangsgraph (ZÜG), Anregungstabelle, Zustandsübergangstabelle (ZÜT)10 -
  • 10.3 D-Latch 10 -
  • 10.4 Takt 10 -
  • 10.5 Zählschaltung 10 -
  • 10.6 Zahlenschloss 10 -

Info

2. Entwicklung der Rechentechnik Informatik 10
3. Jahrhundert: Rechnergeneration I 1937 Konrad Zuse (1910-1995): Erste frei programmierbare Rechenmaschine ZUSE Z1 mit binären Zah- len; mit Rechenwerk, Speicherwerk, Programmwerk, Ein- und Ausgabe- werk; Programm auf gelochten Filmstreifen 1941 Konrad Zuse: Programmgesteuerte elektromechanische Rechenmaschine Z3 mit Relaistechnik, vier Grundrechenarten und Wurzelziehen, Gleit- kommazahlen, Programm auf 8-Bit-Lochkarten, turingmächtig 1943 Alan Turing (1912-1954) u.a.: COLOSSUS (elektronischer Rechner, Röhrentechnik; Takt 5 kHz; pro Takt 100 Boolean-Operationen) 1944 Howard Aiken (Harvard): MARK I (Relais, ohne Binärsystem) - turingmächtig 1945 John von Neumann: bis heute gültiger Standard der Rechnerarchitektur 1946 Eckert/Mauchly: Erste programmgesteuerte elektronische Rechenmaschine ENIAC I (4 Grundrechenoperatioen, Quadratwurzel; Addition 0,2 ms; Multiplika- tion 2,8 ms; Division bis 24 ms; Quadratwurzel bis 300 ms; P = 174 kW; m = 27 t) Rechnergeneration II ab 1948 W. Shockley, J. Bardeen, W. Brattain u.a.: Transistor → Ent- wicklung von Rechneranlagen auf Transistorbasis 1946-1952 John von Neumann (1903-1957), Burks, Goldstine: IAS (EDVAC) mit Befehlen und Daten binär kodiert im gleichen Speicher (pro Tag bis zu 20 h sicheres Arbeiten) ca. 1960 IBM 7090 – transistorisierter Großrechner ca. 1963 CD 6600 (Seymour Cray) Supercomputer Die elektronische Revolution 1965-1975 Rechnergeneration III

• Integrierte Schaltkreise ab 1959
• IBM System/360 Familie mit intgrierten Schaltkreisen
• DEC PDP-11: 16-Bit Minicomputer
• Entwicklung des Mikroprozessors (Intel 4004, 1971) seit 1975 Rechnergeneration IV
• Entwicklung hochintegrierter Mikroprozessorschaltungen
• 1978: Intel 8080, 6502 Mikrocomputer
• 1978-1990er: Intel 8086 (16-Bit-Architektur, 1 MB RAM, 5-10 Mhz)
• 1981: IBM-PC mit Intel 8088
• 1985: RISC-Prozessoren (Reduced Instruction Set Computer)
• 1982-frühe 1990er: Intel 80286
• 1985-2007: Intel 80386 (32-Bit Architektur, 12-40 MHz)
• 1989-2007: Intel 80486 (32-Bit-Integer-RISC-Core, 16-100 MHz)
• 1993-1999: Intel Pentium (60-300 MHz)
• 2000-2008: Intel Pentium4 (mehr als 4 GB RAM addressierbar)

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Informatik 10 2. Entwicklung der Rechentechnik Info

• 2006-heute: Intel Core 2 - Serie (bis 3,3 GHz, 2 Kerne)
• 2008-heute: Intel Core i - Serie (mehrere Kerne) ab ??? Rechnergeneration V z.B. Quantencomputer oder biologische Computer

P. Kreißig 2018/19 2 - 3

Info

3. Von-Neumann-Rechnerarchitektur (1945) Informatik 10

3.2 Konsequenzen

Es muss folgende Befehlstypen geben:

• Ein- und Ausgabebefehle: Für die Kommunikation mit der I/O-Einheit (Lesen externer Daten in den Arbeitsspeicher, Schreiben von Daten vom Arbeits- in externe Speicher)
• Transverbefehle: Daten müssen in Speicherzellen abgelegt oder aus Speicherzellen geladen werden.
• arithmetische Befehle: Es gibt Befehle für Rechenoperationen.
• logische Befehle: Ebenso muss es Vergleichsoperationen und logische Operationen geben.
• Sprungbefehle und bedingte Sprungbefehle

Bestimmte Speicherzellen, auf die besonders oft zugegriffen wird, befinden sich in der CPU. Diese nennt man Register.

3.3 Beispiel: Speicherzugriff

CPU

MAR MBR

Steuerbus RAM

Datenbus

Adressbus

1. Im MAR wird die Speicheradresse abgelegt.
2. Über die Steuerleitung „D“ (direction) wird die Richtung des Signalflusses angezeigt.
3. Über die Steuersignalleitung „A“ (address strobe) wird der Transver initiiert.
4. Während der Speicher das Datum (langsam) heraussucht, und auf den Datenbus legt, lauscht die Steuereinheit auf einer weiteren Steuersignalleitung „T“ (data transver acknow- ledge).
5. Liegt das Datum auf dem Datenbus, wird damit das MBR automatisch befüllt.
6. Der Speicher bestätigt den Erfolg automatisch auf der „T“-Leitung, die CU kann fortfahren.

In dieser Art funktionieren andere Befehle ebenfalls.

3 - 2 2018/19 P. Kreißig

Informatik 10 3. Von-Neumann-Rechnerarchitektur (1945) Info

3.4 Blockschaltbild eines von-Neumann-Rechners

CPU

MBR MAR

CU

Decode

ALU

PC

IR

SR

D 0

Dn

An

A 0

HS IO

I O

C

A

D

Wobei die Abkürzungen folgende Bedeutungen haben:

Abk. Englisch Deutsch CPU Central Processing Unit Zeintraleinheit CU Control Unit Steuerwerk MBR Memory Buffer Register Datenpuffer-Register MAR Memory Address Register Adresspuffer-Register PC Programm Counter Befehlszähler IR Instruction Register Befehlsregister SR Status Register Statusregister ALU Arithmetic Logic Unit arithmetisch-logische Einheit Decode Decoding Unit Dekodierwerk D 0... Dn Data Register Datenregister A 0... An Address Register Adressregister HS Main Store (Memory) Hauptspeicher IO Input / Output Unit Ein- und Ausgabewerk I Input Register Eingaberegister O Output Register Ausgaberegister Bus Leitungen C Control Bus Steuerleitung A Address Bus Adressleitung D Data Bus Datenleitungen

P. Kreißig 2018/19 3 - 3

Informatik 10 4. Stellenwertsysteme Info

4 Stellenwertsysteme

Das von-Neumann-Konzept lässt die Rechner im Binärsystem arbeiten.

Trotzdem sind auch andere Stellenwertsysteme wie das übliche Dezimalsystem, aber auch das Oktalsystem und das Hexadezimalsystem von Bedeutung.

Demzufolge müssen Zahlen von einem in das andere Stellenwertsystem umgerechnet werden.

Beispiel 4.1 : Dezimalsystem

523610 = 5 000 + 200 + 3 + 6 = 5 · 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 6 · 100

Jede Stelle wird mit einer Zehnerpotenz multipliziert, diese Produkte werden addiert. Die Basis des Systems ist die 10, es gibt die 10 Ziffern 0... 9.

Analog sieht die Darstellung bei anderen Basen aus:

Beispiel 4.2 : Dualsystem

1011112 = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 Hieraus ergibt sich sofort die Umrechnung in das Dezimalsystem. = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 10

Die Basis des Dualsystems ist die 2. Es gibt zwei Ziffern 0 und 1.

Beispiel 4.3 : Oktalsystem

2378 = 2 · 82 + 3 · 81 + 7 · 80 Hieraus ergibt sich wieder die Umrechnung in das Dezimalsystem. = 2 · 64 + 3 · 8 + 7 · 1 = 128 + 24 + 7 = 159 10

Die Basis des Dualsystems ist die 8. Es gibt acht Ziffern 0... 7.

Beispiel 4.4 : Hexadezimalsystem

Die Basis ist nun 16. Man benötigt also 16 Ziffern. Zu den Ziffern 0... 9 kommen noch die Ziffern A... F hinzu mit folgenden Bedeutungen: A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 und F = 15 3 BD 16 = 3 · 162 + 11 · 161 + 13 · 160 Hieraus ergibt sich wieder die Umrechnung in das Dezimalsystem. = 3 · 256 + 11 · 16 + 13 · 1 = 768 + 176 + 13 = 957 10

Allgemein: Zahl=

∑^ n

i=

ai · bi^ , wobei ai die entsprechende Ziffer, b die Basis und i die Potenz

darstellt.

P. Kreißig 2018/19 4 - 1

Info

4. Stellenwertsysteme Informatik 10

4.1 Rechnen im Stellenwertsystem

Das schriftliche Rechnen (Addition, Subtrktion, Multiplikation und Division) erfolgt in allen Stellenwertsystemen wie im Dezimalsystem. Man muss nur die entsprechenden Überträge beach- ten.

Aufgabe 4.1: Addition

Berechne folgende Summen schriftlich. Überprüfe durch Umrechnung in das Dezimalsystem.

1. 111012 + 11011 2 + 1011 2
2. 7238 + 175 8
3. 3 A 16 + 19 16

Aufgabe 4.2: Subtraktion

Berechne analog die Differenzen.

1. 110102 − (^11102)
2. 3728 − (^1758)
3. A 1 B 16 − 78 D 16

Aufgabe 4.3: Multiplikation und Division

Löse die folgenden Aufgaben schriftlich im Binärsystem, überprüfe im Dezimalsystem.

1. 10112 · (^11012)
2. 1000012 : 110 2

Lösung 4.

1. 1 1 1 0 12 29
   • 1 1 0 1 12 +
   • 1 0 1 12 + 1 + 1 0 1 1 1 Ü 10 0 0 0 1 12 67

1 1 1 Ü

3. 3 A 16 58

1 Ü

Lösung 4.

1. 1 1 0 1 02 26 − 1 1 1 02 - 1 1 Ü 1 1 0 02 12

1 1 Ü

3. A 1 B 16 2587

− 7 8 D 16 -

1 1 Ü

4 - 2 2018/19 P. Kreißig

Info

4. Stellenwertsysteme Informatik 10

Aufgabe 4.4: Umrechnung Dezimal ⇒ Oktal

Rechne analog zu Beispiel 4.6 die Dezimalzahl 24510 in eine Oktalzahl um.

Lösung 4.

245 : 8 = 30 Rest 5 30 : 8 = 3 Rest 6 3 : 8 = 0 Rest 3 Also folgt 24510 = 365 8

4.3 Oktal- und Hexadezimalzahlen

Der Computer rechnet zwar grundsätzlich mit Dualzahlen, jedoch ist deren Darstellung bei grö- ßeren Zahlen für uns Menschen sehr unübersichtlich.

Eine Ziffer einer Dualzahl nennt man auch ein Bit.

4.3.1 Oktalzahlen

Da die 7 die größte Zahl aus 3 Bits ist, 710 = 111 2 , kann man 3 Bits zu einer Ziffer der entspre- chenden Dualzahl zusammenfassen.

So lassen sich Dualzahlen sehr leicht in Oktalzahlen umwandeln und umgekehrt.

Beispiel 4.7 : Dualzahl ⇔ Oktalzahl

110101102 = 011︸︷︷︸ 3

︸︷︷︸^010

2

︸︷︷︸^110

6

Als noch Datenwörter von 24 Bit Länge gebräuchlich waren, deren Wertebereich genau dem einer achtstelligen Oktalzahl entsprach, wurden Oktalzahlen zur Eingabe und Ausgabe von Bitmustern verwendet.

Oktalzahlen werden heute noch bei der Darstellung von Dateizugriffsrechten unter Unix verwen- det, wo je drei Bit die Rechte einer Benutzerklasse darstellen (chmod).

Anwendung in der Luftfahrt: Der Transpondercode (Squawk) in jedem Flugzeug arbeitet mit Oktalzahlen.

4 - 4 2018/19 P. Kreißig

Informatik 10 4. Stellenwertsysteme Info

4.3.2 Hexadezimalzahlen

Analog kann man 4 Bits zusammenfassen und erhält als größte Zahl die 1510 = F 16 , der größten Hexadezimalziffer.

Alle 8-Bit-, 16-Bit-, 32-Bit-, 64-Bit-Zahlen usw. lassen sich zu je 4 Bits zusammenfassen und so übersichtlicher darstellen.

Beispiel 4.8 : Dualzahl ⇔ Hexadezimalzahl

110101102 = 1101︸ ︷︷︸ 13

6

= D 616

4.4 Nachkommastellen bei Dualzahlen

Die konsequente Weiterführung der Potenzen bedeutet für die Nachkommastellen:

Vorkomma Nachkomma Beispielzahl 1 1 1 , (^1 1 1 ) Wert der Stelle als Potenz 22 21 20 2 −^1 2 −^2 2 −^3 2 −^4 Wert der Stelle als Dezimalzahl 4 2 1

Gesamtwert Dezimal: 4 + 2 + 1 + 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 = 7, 9375

Die Nachkommastellen sind also Potenzen von 12 und müssen unabhängig von den Vorkommas- tellen berechnet werden.

Beispiel 4.9 : Umrechnung Nachkommastellen Dezimal ⇔ Dual

0 , 82812510 = (1 + 0, 65625) · (^12)

∣Klammer auflösen = 1 · 12 + 0, 65625 · (^12)

∣0,65625 zerlegen = 1 · 12 +

∣Klammer auflösen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

0,3125 zerlegen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

∣Klammerauflösen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

0,625 zerlegen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

Klammer auflösen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

2

0,25 zerlegen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

2

Klammer auflösen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

2

2

0,5 zerlegen = 1 · 12 + 1 ·

2

2

2

2

2

Mit der 1 bricht das Verfahren ab und wir haben die Kommastellen in der richtigen Reihenfolge. Im anderen Fall könnte man beliebig weitere Kommastellen berechnen. 0 , 82812510 = 0, (^1101012)

Dieses Verfahren kann man natürlich auc wieder deutlich verkürzt aufschreiben. Man multipliziert immer mit 2 und notiert, ob das Ergebnis größer 1 ist oder nicht. Dies zeigt das folgende Beispiel.

P. Kreißig 2018/19 4 - 5

Informatik 10 5. Boolsche Algebra Info

5 Boolsche Algebra

Mit binären Zahlen kann man rechnen, die zwei Werte ermöglichen aber auch die Interpretation als whr und falsch wie in der Logik. So lassen sich mit 0 (falsch) und 1 (wahr) auch logische Funktionen umsetzen.

Die theoretische Grundlage hierfür bildet die boolsche Algebra, eine algebraische Struktur, die bereits Mitte des 19. Jahrhunderts von dem britischen Philosophen nd Mathematiker George Boole entwickelt wurde.

In Form der Schaltalgebra ist sie das Fundament der Technischen Informatik.

5.1 Huntington-Axiome

Die häufigste Begriffsdefinition einer boolschen Algebra stammt vom Amerikaner Edward Ver- milye Huntington (1874-1952), der 1904 zeigen konnt, dass nur 4 Axiome genügen.

Wir benutzen statt einer allgemeinen Bezeichnung der Operatoren gleich die logischen Funktionen Konjunktion „und“ (∧), Alternative „oder“ (∨) und Negation „nicht“ (¬).

Um die Übersichtlichkeit zu erhöhen, vereinfachen wir die Schreibweisen von ∧ und ¬.

Operator bisherige Schreibweise neue Schreibweise oder x 1 ∨ x 2 x 1 ∨ x 2 und x 1 ∧ x 2 x 1 · x 2 bzw. x 1 x 2 nicht ¬x x

Huntigton-Axiome

duales Gesetz durch Vertauschen von · und ∨ sowie von 0 und 1

1. Kommutativgesetze ab = ba (K1) a ∨ b = b ∨ a (K2)
2. Distributivgesetze x(y ∨ z) = xy ∨ xz (D1) x ∨ yz = (x ∨ y)(x ∨ z) (D2)
3. Neutrale Elemente x · 1 = x (N1) x ∨ 0 = x (N2)
4. Komplementgesetze (Inverse Elemente)

x · x = 0 (KP1) x ∨ x = 1 (KP2)

Aus diesen Axiomen lassen sich weitere Regeln ableiten: Assoziativgesetze x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z (A1) x · (y · z) = (x · y) · z (A2) Idempotenzgesetze x ∨ x = x (ID1) x · x = x (ID2) Eliminationsgesetze x ∨ 1 = 1 (E1) x · 0 = 0 (E2) de Morgan Regeln x ∨ y = x · y (M1) x · y = x ∨ y (M2) Doppelnegation x = x (DN) Dualitätsgesetz 0 = 1 (DU1) 1 = 0 (DU2) Absorptionsgesetz x ∨ (x · y) = x (AB1) x · (x ∨ y) = x (AB2)

P. Kreißig 2018/19 5 - 1

Info

5. Boolsche Algebra Informatik 10

5.2 Aufgaben

Aufgabe 5.1: Abgeleitete Regeln

Leite aus den 4 Huntigton-Axiomen

1. das Idempotenzgesetz ID1, 2. das Eleminationsgesetz E1,
2. das Absorptionsgesetz AB1 her. Bereits abgeleitete Regeln dürfen benutzt werden.

Lösung 5.

1. Idempotenzgesetz: x ∨ x (N1)

= (x ∨ x) · 1 (KP2) = (x ∨ x) · (x ∨ x) (D2) = x ∨ (x · x) (KP1) = x ∨ 0 (N2) = x

2. Eleminationsgesetz: x ∨ 1 (N1)

= (x ∨ 1) · 1 (KP2) = (x ∨ 1) · (x ∨ x) (D2) = x ∨ (1 · x) (K1) = x ∨ (x · 1) (N1) = x ∨ x (KP2) = x

3. Absorptionsgesetz: x ∨ (x · y) (N1)

= (x · 1) ∨ (x · y) (D1) = x · (1 ∨ y) (K2) = x · (y ∨ 1) (E1) = x · 1 (N1) = x

Aufgabe 5.2: Vereinfachung boolscher Ausdrücke

Vereinfache mit Hilfe der Huntington-Axiome und -Regeln

1. (a · b) ∨ (a · b) 2. a ∨ (a · b) 3. (a ∨ b) · (a ∨ b)

Lösung 5.

1. (a · b) ∨ (a · b) (D1)

= a · (b ∨ b) (KP1) = a · 1 (N1) = 1

2. a ∨ (a · b) (D2) = (a ∨ a) · (a ∨ b) (KP2) = 1 · (a ∨ b) (N1) = a ∨ b

5 - 2 2018/19 P. Kreißig

Informatik 10 6. Schaltfunktionen Info

6 Schaltfunktionen

Definition 6.0 : Schaltfunktion

Jede Funktion der Form y = f (x 1 , x 2 ,... , xn) mit xi ∈ {0; 1} heißt Schaltfunktion der Stelligkeit n.

Jede Wertetabelle, deren Eingangsparameter mit 0 oder 1 belegt werden können, stellt eine solche Schaltfunktion dar, also auch alle bekannten logischen Funktionen wie „Und“ , „Oder“ ,....

Für die meisten logischen Funktionen gibt es auch eine elektrische Schaltung zur Umsetzung.

∧ ∨ ∧ ∨ ↔ = → x x

x 1 x 2 ANDORNANDNOR XOR ID

x

0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0

KonjunktionAlternativeÄquivalenzAntivalenzImplikationIdentitätNegation

6.1 Ziel einer Schaltfunktion

Ziele einer Schaltfunktion und ggf. ihrer Vereinfachung sind

• zu einem gegebenen logischen Problem eine Schaltung zu finden,
• die minimal ist,
• mit gegebenen Bauelementen realisiert wird,
• schnell ist und
• hazardfrei ist. (keine verschiedenen Laufzeiten zweier Signale zum gemeinsamen Ziel)

P. Kreißig 2018/19 6 - 1

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6. Schaltfunktionen Informatik 10

6.2 Vom Problem zur Schaltung (KDNF, KKNF)

Beispiel 6.2 : Demokratieschaltung

In einem Schlafwagon mit drei Betten soll das Licht nur leuchten, wenn sich zwei oder drei Insassen einig sind.

a) Wertetabelle: Index

i

a b c y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1

b) Finde einschlägige Indizes Ein Index heißt einschlägig, wenn der Fun- tionswert in dessen Zeile 1 ist. Hier sind dies 3, 5, 6 und 7. c) Bilde die Minterme Minterme sind durch „und“ verknüpfte Eingangsvariablen der einschlägigen Indi- zes.

M 3 = abc = 0 · 1 · 1 , M 5 = abc = 1 · 0 · 1 , M 6 = abc = 1 · 1 · 0 und M 7 = abc = 1 · 1 · 1.

d) Kanonisch disjunktive Normalform (KDNF)

kanonisch - jede mögliche Eingangansbelegung hat einen Ausgangswert disjunktiv - die zuletzt auszuführende Operation ist eine Disjunktion (Alternative)

Jede Schaltfunktion (Wertetabelle) lässt sich darstellen als disjunktive Verknüpfung ihrer Minterme. y = M 3 ∨ M 5 ∨ M 6 ∨ M 7 = abc ∨ abc ∨ abc ∨ abc

e) Schaltung

Die Schaltung wurde mit dem Programm logisim erstellt. Dieses ist für alle Plattformen im Internet frei verfügbar.

Einen negierten Eingang erkennt man an dem Kreis.

6 - 2 2018/19 P. Kreißig