Stetigkeit
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Hebbare Unstetigkeitsstelle x. 0. : Beispiel f: ℝ \ {-1} → ℝ, x → f(x) = x. 2. −1 x+1 f ist in x0. = -1 nicht stetig, da -1 = x0.
Art: Mitschriften
2021/2022
1 / 76
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Stetigkeit
1. Grenzwerte von Funktionen
2. Der Begriff der Stetigkeit
3. Beispiele
„Typen“ von Unstetigkeiten
4. Zusammensetzung stetiger
Funktionen
5. Der Nullstellensatz
Programm
1. Grenzwerte von Funktionen
Skriptum, Seiten 64- 65
Grenzwert einer Folge
Skriptum, Seite 147
Linksseitiger Grenzwert
Beispiel eines linksseitigen Grenzwertes
f :
#$® %$&$'(#)$&$*×#$+,-$#
!
Testfolge:
€
x
n
=
n − 1
n
< 1 , lim
n→ ∞
x
n
= lim
n→ ∞
n − 1
n
= 1
f(x
n
) = f
n − 1
n
n − 1
n
3 ⋅ (n − 1 ) − n
n
2 n − 3
n
lim
x↑ x
0
f(x) = lim
n→ ∞
f(x
n
) = lim
n→ ∞
2 n − 3
n
Beispiel eines rechtsseitigen Grenzwertes
f :
#$® %$&$'(#)$&$*×#$+,-$#
!
Testfolge:
€
ʹ
x
n
=
n + 1
n
1 , lim
n→ ∞
ʹ
x
n
= lim
n→ ∞
n + 1
n
= 1
f(
x
n
) = f
n + 1
n
n + 1
n
3 ⋅ (n + 1 ) − n
n
2 n + 3
n
lim
x↓ x
0
f(x) = lim
n→ ∞
f(
x
n
) = lim
n→ ∞
2 n + 3
n
Linksseitiger Grenzwert: Bemerkung
Skriptum, Seite 147
Grenzwert einer Funktion: Beispiel
f:! ® !, x ®
lim
x 0
f(x) = lim
x 0
e
x
lim
x¯ 0
f(x) = lim
x¯ 0
x = 0
lim
x® 0
f(x) existiert nicht
f(x) =
e
x
, x £ 0
x, x > 0
ì
í
î
Skriptum, Seiten 147- 148
Grenzwert einer Funktion:
Noch ein Beispiel
f:! \ {1} ® !, x ®
lim
x↑ 0
f(x) = lim
x↑ 0
e
−x
lim
x↓ 0
f(x) = lim
x↓ 0
ln(x)
f(x) =
e
−x
− 1 , x ≤ 0
ln(x)
, x > 0
lim
x→ 0
f(x) = 0
Skriptum, Seite 148
Bemerkung: „Klassische“ Definition des
Grenzwertes (Karl Weierstraß [1875-1895])
L = lim
x→x
0
f(x) ⇔
Für jedes ε > 0 gibt es ein
δ > 0 , so dass gilt:
x − x
0
< δ ⇒ f(x) − L < ε.
Grenzwertsatz für Folgen
Skriptum, Seite 66
Grenzwertsatz: Anwendung
f: D
f
, x ®
lim
x→ 2
f(x) = lim
x→ 2
x
2
x + 5
f(x) =
x
2
x + 5
(v)
lim
x→ 2
x
2
x + 5
(iv)
lim
x→ 2
x
2
lim
x→ 2
x + 5
(i)&(iii)
2
Skriptum, Seiten 149- 150
Grenzwertsatz: Anwendung
f: D
f
® !, x ®
lim
x® 9
f(x) = lim
x® 9
x - 3
x - 9
€
f(x) =
x − 3
x − 9
=
(v)
lim
x® 9
x - 3
x - 9
= lim
x® 9
x - 3
x - 9
×
x + 3
x + 3
( 9 ) ( 3 )
( 9 )
lim
9
× +
=
®
x x
x
x
= lim
x® 9
1
x + 3
=
(iv)
1
lim
x® 9
x + 3
=
(i)
1
9 + 3
=
1
6
Supertrick!
Skriptum, Seiten 149- 150