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Facult´e Pluridisciplinaire NADOR Ann´ee universitaire : 2019-
Niveau : 1ere ann´ee Filiere :
Economie et Gestion
Exercices corrig´es Alg`ebre
Exercice 1. Soit la matrice M d´efinie par :
M =
- V´erifier que M − I 4 est nilpotente, c-`a-d qu’il existe p ≥ 1 tel que ( 4 M − I )
p = 0.
- Calculer le d´eterminant de M , puis d´eduire que M est inversible.
Exercice 2.
- Soit A =
. Montrer que A
2 = 2 I 3
- A , en d´eduire que A est
inversible et calculer A
− 1 .
- Soit A =
. Calculer A
3 − A. En d´eduire que A est inversible puis
d´eterminer A
− 1 .
- Soit A =
. Calculer A
2 − 3 A +2 I 3
. En d´eduire que A est inversible,
et calculer A
− 1 .
Exercice 3. Soit la matrice :
A =
La matrice A est-elle inversible?
Si A est inversible,d´eterminerl’inverse de A : A
− 1 , en utilisantla m´ethode des
cofacteurs :
Exercice 4. Dire si les matrices suivantes sont inversibles et,le cas ´ech´eant,calculer
leur inverse :
A =
, B =
Exercice 5. R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants en utilisant la m´ethode de pivo
de Gauss :
x + y + 2 z = 3
x + 2 y + z = 1
2 x + y + z = 0
x + 2 z = 1
−y + z = 2
x − 2 y = 1
Exercice 6. R´esoudre les syst`emes suivants :
x + y + z − 3 t = 1
2 x + y − z + t = − 1
x + 2 y − 3 z = 4
x + 3 y − z = 11
2 x + 5 y − 5 z = 13
x + 4 y + z = 18
Exercice 7. Discuter suivant la valeur du parametre **_m ∈_** R le systeme :
3 x + y − z = 1
x − 2 y + 2 z = m
x + y − z = 1
Lien pour d’autres exercices ( D´eterminant et Syst`emes Lin´eaires ; Espaces
Vectoriels et Applications Lin´eaires) :
http ://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00160.pdf
http ://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00019.pdf
http ://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00018.pdf
L’inverse de A est :
A
− 1
=
det ( A )
t
com ( A ) =
Exercice 4 :
- En utilisant la m´ethode du pivot de Gauss. Commen¸cons par A.
L
2
− L
1
→ L
2
L 3 − 2 L 1 → L 3
L 3 + L 2 → L 3
Apres transformations ´el´ementaires,la matrice quiapparaita gauche esttriangulaire
sup´erieure,et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls.On en d´eduit que A
est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la m´ethode.
− 1
4
L
3
→ L
3
L 1 − 2 L 3 → L 1
L
2
+ L
3
→ L
2
L 1 − L 2 → L 1
La matrice inverse recherch´ee est donc :
A
− 1
=
Utilisant la mˆeme m´ethode pour B :
L 2 → L 1
L
1
→ L
2
L
3
− 2 L
1
→ L
3
Apres transformations ´el´ementaires,la matrice quiapparaita gauche esttriangulaire
sup´erieure,et les coefficients sur la diagonale sont tous non nuls.On en d´eduit que B
est inversible. On trouve son inverse en poursuivant la m´ethode.
L
1
+ 2 L
3
→ L
1
L 2 + 2 L 3 → L 2
−L
3
→ L
3
L
1
− L
2
→ L
1
La matrice inverse recherch´ee est donc :
B
− 1
=
Exercice 5 :
On va utiliser la m´ethode du pivot de Gauss. Pour le premier syst`eme, on ´ecrit :
x + y + 2 z = 3
x + 2 y + z = 1
2 x + y + z = 0
x + y + 2 z = 3
y − z = − 2 L 2
− L
1
→ L
2
−y − 3 z = − 6 L (^) 3 − 2 L 1 → L (^) 3
x + y + 2 z = 3
y − z = − 2
− 4 z = − 8 L 3
+ L
2
→ L
2
x = − 1
y = 0
z = 2
Pour le second systeme, on procede de la mˆeme fa¸con :
x + 2 z = 1
−y + z = 2
x − 2 y = 1
x + 2 z = 1
−y + z = 2
− 2 y − 2 z = 0 L 3
− L
1
→ L
3
x + 2 z = 1
−y + z = 2
− 4 z = − 4 L (^) 3 − 2 L 2 → L (^) 2
x = − 1
y = − 1
z = 1
Exercice 6 :
Pour le premier syst`eme :
x + y + z − 3 t = 1
2 x + y − z + t = − 1
x + y + z − 3 t = 1
−y − 3 z + 7 t = − 3
Le syst`eme est triangulaire, et il y a plus d’inconnues que d’´equations. On va donc exprim
certaines inconnues en fonctions des autres. Par exemple, ici, on peut exprimer x et y en
fonction de z et t. Le syst`eme devient :
