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EL Université Monammen V - RasaTt A 2018 - 2019 Facutté Des SCIENCES Unsserune htorentsaeaw Aucésre 2 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES Peclité des Sctencen SMPC - S2 Raber FicHe 3 — CALCUL MATRICIEL A Te TE TE Se Exercice 1. ab 0 F=4M=|6 oa 0}, a,b,cER c 0 @ On considére ensemble 1, Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M3(R). 2. Déterminer une base de F. Bour) . Yousser Exercice 2. 100 SoientA=|a 1 0] et B=A-hb. cb . 1. Calculer B, B? et B3. En déduire Vexpression de A” pour tout n EN. 2. Montrer que A? est combinaison linéaire de A2, A et 13. 3. En déduire que A” est combinaison linéaire de A’-1, A’~? et A”? si n> 3. ~- ; 01-1 oo A=( -3 4 -3 |. -11 0 1. Vérifier que A* — 3A + 2/3 =0, ot /3 est la matrice identité d’ordre 3. 2. En déduire que A est inversible et calculer A“. 3. Retrouver A“ en utilisant la méthode de Gauss-Jordany pa] Exercice 3. On considére la matrice Exercice 4. . Soit f Vendomorphisme de R? dont la matrice dans la base canonique Bo est 2 -3 3 A={-3 2 3 33 2 1. Montrer que f est unjautomorphisme;de R>. 2. Soit (x,y,z) ER?. Donner l’expre wah de f(x, y,z). 3. On pose u = (1,1,0), v=(1,1,1) et w =(0,1,1). (a) Montrer que By = {u,v, w} est une base de R°. (b) Déterminer P la matrice de passage de B & By. Calculer P~'. (c) Calculer f(u), F{v) et f(w). En déduire la matrice D de f dans la base By. {d) Donner la relation entre A et D. Calculer A” pour tout n EN. Scanned by CamScanner 
