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Ministère de l’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scientifique
École Normale Supérieure d’Abidjan
Année Académique 2016 – 2017
DÉPARTEMENT : SCIENCES ET TECHNOLOGIES
SECTION : Mathématiques
FILIÈRE : CAP/PL 1
PRESENTE PAR : ENSEIGNANT :
AKA TANKOUAH MARIUS Dr. KAMANO
GBAMO GBAMO RAYMOND AUBIN
République de Côte d’Ivoire
COURS PREMIERE D
ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE
COMPETENCE 1
THEME 1 : GEOMETRIE DU PLAN
LECON 2 : ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE
Volume horaire : 12 h
Nombre de séance :9 /Durée d’une séance : 55mn
TABLEAU DES HABILETES ET CONTENUS
Habiletés Contenus
Identifier (^) -la mesure principale d’un angle orienté
- la somme ou la différence de deux angles orientés
- le cosinus, le sinus ou la tangente d’un nombre réel
Connaitre - la relation de Chasles
- les propriétés relatives à l’angle orienté nul, l’angle orienté plat ou à
l’angle orienté droit
- les formules d’addition ou de duplication
- les propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente d’angles associés
Reconnaitre - les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente
Déterminer (^) - la mesure principale d’un angle orienté
- une mesure de la somme de deux angles en utilisant la relation de
Chasles
- sur le cercle le sinus, le cosinus, la tangente d’un nombre réel.
- les lignes trigonométriques de à partir de celle de x en –x ; x+𝜋 ;
π
–x ;
π
+x utilisant les angles associés
Placer - sur le cercle trigonométrique le point image d’un angle orienté dont on
Chasles
Placer - sur le cercle trigonométrique le point image d’un angle orienté dont
on connait une mesure
SEANCE 2
Habiletés Contenus
Connaitre - la relation de Chasles
Déterminer - les lignes trigonométriques de –x ; x+𝜋 ; 𝜋−𝑥 ; 2 –x ;𝜋 2 +x à partir de
celle de x en utilisant les angles associés.
- la mesure principale d’un angle orienté
SEANCE 3
Habiletés Contenus
Déterminer - la mesure principale d’un angle orienté
SEANCE
Habiletés Contenus
Identifier - le cosinus, le sinus ou la tangente d’un nombre réel
Connaitre - les propriétés du sinus, du sinus, de la tangente d’angles associés
Déterminer - sur le cercle le sinus, le cosinus, la tangente d’un nombre réel.
SEANCE 5
Habiletés Contenus
Reconnaitre - les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et
tangente
SEANCE 6
Habiletés Contenus
Connaitre
Utiliser
- les formules d’addition ou de duplication
- les formules d’addition et de duplication pour calculer des lignes
trigonométriques ou pour transformer des expressions
trigonométriques
SEANCE 7
Habiletés Contenus
Résoudre - dans IR, les équations du type :
- dans IR les équations du type :
SEANCE 8
FORMULES TRIGONOMETRIQUES
Formules d’addition
Formules de duplication
RESOLUTION D’EQUATIONS TRIGONOMETRIQUE
Equations du type cosx=cosa, sinx=sina, tanx=tana
Equations du type cosx=a, sinx=a, tanx=a
Equations du type acosx+bsinx+c=
Inéquations trigonométriques
SEANCE 1/
Habiletés Contenus
Identifier -la mesure principale d’un angle orienté
- la somme ou la différence de deux angles orientés
Connaitre - la relation de Chasles
Déterminer - une mesure de la somme de deux angles en utilisant la relation de
Chasles
Placer - sur le cercle trigonométrique le point image d’un angle orienté dont
on connait une mesure
Situation d’apprentissage : Les élèves responsables d’une 1èreD du Lycée Moderne de Koumassi ont en charge l’aménagement d’un espace
pour la kermesse de leur lycée. Pour cela, ils disposent du plan ci-dessous. Par rapport à un arbre situé au point P et une boutique située au
point B, ils veulent installer les stands E, F, G et H à des points bien précis tout autour de l’espace comme les points B et C. Ils disposent du
tableau suivant qu’ils présentent au reste de la classe afin de les aider à placer les points E, F, G et H sur le plan avant de les réaliser
effectivement.
Angles
orientés
^
PB ,
PE
^
PB ,
PF
^
PB ,
PH
^
PB ,
PG
Mesure
Principale
5 π
− π
π
PB ,
PC )
7 π
Moments
Didacti-
ques
Stratégies
Pédagogi-
ques
Activités du Professeur Activités de l’élève Trace écrite
PRESEN-
TATION
(5mn)
DECODAGE
(5mn)
Travail
individuel
Travail de
groupe
PRESENTATION DE LA SITUATION
-Lecture de la situation (silencieuse puis à
haute voix)
-Décodage de la situation
Quel est le problème posé dans cette
situation?
-De quelles informations dispose-t-on
pour placer les points E, F, G et H?
-Un élève interrogé lit la situation à
haute voix.
-Ensuite les élèves lisent
silencieusement.
Réponse Attendue
-Placer les points E, F, G et H
représentants des stands ( sur le
dessin) avant leur réalisation
effective sur l’espace.
DEVELOP-
PEMENT
DE L’
ACTIVITE
(10mn)
-Qu’appelle-t-on sens trigonométrique
direct?
ACTIVITE 1
On donne le cercle trigonométrique ci-
dessous.
a)Compléter le tableau ci-dessous
Ang
Or
^
OI ,
OM
^
OI ,
ON
^
OI ,
OI '
Mes.
Pple
b)Placer sur (C) les points P,Q et R tels
que les angles orientes(
^
OI ,
OP
^
OI ,
OQ
^
OI ,
) mesurent
respectivement
π
3 π
et
− 2 π
-Le sens trigonométrique direct est
le sens contraire des aiguilles
d’une montre
Réponse Attendue
a)
b)
I/ANGLES ORIENTES
1 / Angle orienté
a) Représentant d’un angle
orienté
Le couple de demi-droite
(SA),SB)) est un
représentant de l’angle orienté
(⃗ u ,⃗ v ) avec
(^) SA =k⃗ u et,
(^) SB =k’ ⃗ v (k
et k’ étant deux réels non nuls).
S, SA), SB) sont
respectivement le sommet, le
côté origine et le côté
extrémité de ce représentant
Ang
Or
(
^
OI ,
OM
)
(
^
OI ,
ON
)
(
^
OI ,
OI '
)
Mes
pp
π
2 π
π
PRISE DE
NOTE
(10mn)
b )Mesure principale d’un angle
orienté
Chaque angle orienté a pour
mesure principale un nombre
réel élément de π , π
Réciproque-ment tout nombre
réel élément de π , π est la
mesure principale d’un angle
orienté. C’est pourquoi on note
généralement ( α ^) l’angle
orienté de mesure principale .
A chaque point du cercle
trigonométrique (C ),on associe
un nombre réel élément de
π , π ,mesure principale de
l’angle orienté (
OI ,
OM ). Le
point M est appelé point image
de l’angle orienté ( α ^).
-Reciproquement, à chaque
nombre réel élément de
π , π , on peut associer un
FIXATION
(15mn)
EXERCICE DE FIXATION 1
1)Déterminer la mesure principale de la
somme des mesures principales des
angles orientés (^ α ) et (
^
β ) dans les cas
suivants :
a) =
π
et =
π
b) =
3 π
et=
π
- Dans les conditions du 1-b) déterminer
la mesure principale de α − β
Remarque : La mesure principale de la
somme de deux angles orientés n’est pas
Rèponses Attendues
1-a) α^ +^ β =^
π
π
α + β =
9 π
π
b) α + β =
3 π
π
10 π
5 π
Puis en utilisant le cercle
trigonométrique, on constate que
π.
- α − β =^
3 π
π
π
b)Egalité de Chasles
Pour tous vecteurs non nuls ⃗ u ,⃗ v
et ⃗ w ,
^
( u ⃗ , ⃗ v )
^
⃗ v , ⃗ w
^
u ⃗ , ⃗ w ) ou encore
^
⃗ v , ⃗ w
^
u ⃗ , ⃗ w )−
^
( u ⃗ , ⃗ v )
c) Remarque
SEANCE 2/
Habiletés Contenus
Connaitre - la relation de Chasles
Déterminer
- les lignes trigonométriques de –x ; x+𝜋 ; 𝜋−𝑥 ;
π
π
+x à partir
de celle de x en utilisant les angles associés.
toujours égale à la somme des mesures
principales de ces angles orientés.
EXERCICE DE MAISON
Exercice N°6page 184 CIAM 1ere SE
Moments
Didactiques
Stratégies
Pédagogiques
Activités du Professeur Activités de l’élève Trace écrite
DEFINITION
(5mn)
3) Mesures d’un angle orienté
a) Définition
( α ^) un angle orienté de mesure
principale α.
Tout nombre réel de la forme
α + k × 2 π , [k ∈ Z ] est appelé
une mesure de l’angle orienté (
α^ ^).
FIXATION
(10mn)
On constate qu’une mesure d’un angle
orienté nul (resp un angle orienté plat ) est
de la forme k π avec k de valeur absolue
pair (resp k π avec k de valeur absolue
impair.
Par ailleurs un angle orienté droit direct ou
indirect a une mesure de la forme
kπ
avec k
de valeur absolue impaire.
On en déduit la propriété suivante :
EXERCICE DE FIXATION 3
Dans chacun des cas suivants déterminer la
nature de l’angle orienté(nul, plat, droit
dirct ou indirect) dont une mesure est α.
θ =
π
+2k π
ρ = -
π
+2k π
Ainsi par exemple pour
k=1 ;5 ;9 ,on a : α =2 π ; 10 π ;
18 π
β =3 π ; 11 π ; 19 π.
θ =
5 π
21 π
37 π
ρ =
3 π
19 π
35 π
x est une mesure de l’angle
orienté plat si et seulement si
il existe un nombre entier
relatif k tel que :
x =( 2 k + 1 ) π.
x est
une mesure de l’angle orienté
droit si et seulement si
il existe un nombre entier
relatif k tel que :
x =
π
PRESEN-
TATION
(5mn)
FIXATION
(10mn)
α ^= 153 π 2) α ^= 28 π 3) α ^=− 1079 π
α ^=
469 π
- α ^=
143 π
Présentation
Le plan est muni du repere orthonormé
direct (O, I, J). x est un nombre réel d’image
M sur le cercle trigonométrique,
N le symétrique de M par rapport à O,
P le symétrique de M par rapport à (OI),
Q le symétrique de M par rapport à (OJ),
( ∆ )la droite d’équation y = x ,
R le symétrique de M par rapport ( ∆ ),
S le symétrique de R par rapport à (OJ).
La figure ci-contre les mesure d’angles
orientés associés.
EXERCICE DE FIXATION 4
Le plan est muni du repère orthonormé
direct (O, I, J).
Pour chacun des points marqués sur le
cercle trigonométrique (C ), préciser la
mesure principale de l’angle orienté dont il
est l’image.
(faire l’application avec les angles
remarquables)
Réponses attendues
c) Mesures d’angles orientés
associés
d)Mesures principales d’angles
orientés remarquables
α − 2 π )
π π ..
c) Verifier que ((
α − 2 π )− 2 π )
∈ π π..
d) Déduire des
questions
précédentes que
α =
3 π
e)Quelle est la
mesure principale de
α d’après d).
Méthode : pour
déterminer la mesure
principale d’un angle
orienté (
^
δ ) tel que^ δ
π
π .,on peut procéder
comme suit :
soustraire 2 π de
δ cest à dire
calculer
δ ' = δ − 2 π ;
si (^) δ
' ∈ π π. alors
δ est la mesure
principale de δ ;
sinoncalculer
π .parce que
11 π
π
c) (( α − 2 π )− 2 π )=
3 π
et
3 π
∈ π π. par conséquent
(( α − 2 π )− 2 π ) ∈ π π.
d) En supprimant les
parenthèses on a : ((
α − 2 π )−^2 π =^
3 π
α − 4 π =
3 π
donc
α =
3 π
On calcule le quotient entier k de la division de x par
2 π ; on determine ainsi le nombre β tel que : x=
β + k × 2 π avec β ∈ ¿
Si β ∈ ]0 ; π ¿
β est la mesure principale de l’angle orienté dont
une mesure est x.
Si β^ ∉^ ]0 ; π^ ¿
β − 2 π est la mésure principale de l’angle orienté
dont une mesure est x.
_Pour déterminer la mesure principale d’un angle
orienté dont une mesure est un nombre réel négatif
x, on peut procéder comme suit :
ACTIVITE
(20mn)
δ
' − 2 π et verifier
qu’il appartient
ou non à π π.
Soustraire de la
différence
précédente 2 π
jusqu’à obtenir
une mesure qui
appartienne à
π π. et qui est
donc la mesure
principale de δ.
On constate bien que
pour des nombres très
grands la méthode
devient fastidieuse d’où
la méthode suivante.
ACTIVITE 6
On veut déterminer
mesure principale de
241 π
a) Déterminer le
quotient entier
de
241 π
par 2 π.
b) Déduis-en
l’écriture de
241 π
sous la
On détermine la mesure principaleα de l’angle
orienté opposé dont une mesure est le nombre réel
positif - x ;
(-α) est donc la mesure principale de l’angle orienté
dont une mesure est x.
